2010 11 WIL Wyklad 04

background image

Wykład 04

Witold Obłoza

22 listopada 2010

background image

Szeregi liczbowe

DEFINICJA 28

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {a

n

}

n=1

.

Określamy ci

,

ag sum cz

,

eściowych {S

n

}

n=1

szeregu

P

n=1

a

n

wzorem

S

n

=

n

P

k=1

a

k

.

Mówimy, że szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny, jeżeli jego ci

,

ag sum cz

,

eściowych

jest zbieżny do granicy właściwej.

W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

background image

SZEREGI LICZBOWE

PRZYKŁAD 29

Szereg

P

n=1

1

n(n + 1)

jest zbieżny.

DOWÓD:

S

n

=

n

P

k=1

1

k(k + 1)

=

n

P

k=1

(

1

k

1

k + 1

) =

n

P

k=1

1

k

n

P

k=1

1

k + 1

= 1 +

n

P

k=2

1

k

n−1

P

k=1

1

k + 1

1

n + 1

=

1 +

n−1

P

k=1

1

k + 1

n−1

P

k=1

1

k + 1

1

n + 1

= 1 −

1

n + 1

−→ 1

background image

SZEREGI LICZBOWE

TWIERDZENIE 30

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu

P

n=l

a

n

jest to aby

lim

n→∞

a

n

= 0.

DOWÓD:

Jeżeli szereg

P

n=l

a

n

jest zbieżny to ci

,

ag {S

n

}

n=1

spełnia warunek

Cauchy

,

ego

czyli ∀ε > 0 ∃n

0

∀n > n

0

|a

n

| = |S

n

− S

n−1

| < ε.

Zatem ∀ε > 0 ∃n

0

∀n > n

0

|a

n

| < ε,

a to oznacza, że lim

n→∞

a

n

= 0.

background image

SZEREGI LICZBOWE

UWAGA 31

lim

n→∞

a

n

= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu

P

n=l

a

n

nie jest

warunkiem wystarczającym.

DOWÓD:

Szereg

P

n=l

1

n

spełnia warunek lim

n→∞

a

n

= 0, ale nie jest zbieżny.

Ciąg sum częsciowych szeregu

P

n=l

1

n

jest ciągiem rosnącym,

ma zatem

granicę.

Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.

background image

SZEREGI LICZBOWE

Rozważmy podciąg {S

2

k

}


k=1

ciągu sum częściowych.

S

2

k

=

2

k

P

m=1

1

m

= 1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l+1

P

m=2

l

+1

1

m

1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l+1

P

m=2

l

+1

1

2

l+1

= 1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l

1

2

l+1

=

1 +

1

2

+ (k − 1) ·

1

2

=

k + 2

2

−→ ∞.

Zatem lim

n→∞

S

n

= ∞ czyli szereg

P

n=l

1

n

nie jest zbieżny.

background image

TWIERDZENIE 32

Jeżeli szeregi

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

są zbieżne i λ ∈ R to zbieżny jest

P

n=1

(a

n

+ b

n

) oraz

P

n=1

λa

n

. Ponadto jeżeli

P

n=1

a

n

= A,

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

(a

n

+ b

n

) = A + B oraz

P

n=1

λa

n

= λA.

DOWÓD:

Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 33

Szereg geometryczny

P

n=1

a · q

n−1

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

|q| < 1.

DOWÓD:

Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:

S

n

= a

1 − q

n

1 − q

=

a

1 − q

· (1 − q

n

). =

a

1 − q

a

1 − q

· q

n

.

Wyrażenie

a

1 − q

jest stałe,

istnienie granicy właściwej ciągu S

n

zależy wyłącznie od zbieżności ciągu

q

n

.

Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 34

Jeżeli ∀n a

n

≥ 0 to warunkiem wystarczaj

,

acym zbieżności szeregu

P

n=l

a

n

jest to, aby ci

,

ag {S

n

}

n=1

był ograniczony z góry.

DOWÓD:

Ciąg sum częściowych jest niemalejący,

jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą

czyli szereg jest zbieżny.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )

Załóżmy, że ∀n a

n

> 0 oraz a

n

≥ a

n+1

wówczas szereg

P

n=1

a

n

jest

zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg

P

n=1

2

n

a

2

n

.

DOWÓD:

Niech S

k

=

k

P

n=1

a

n

i S

k

=

k

P

n=1

2

n

a

2

n

.

Wystarczy pokazać, że ci

,

agi {S

k

},

{S

k

} s

,

a równocześnie ograniczone

lub jednocześnie niograniczone.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

Mamy:

2 · S

2

k

= 2a

1

+ 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m+1

P

n=2

m

+1

a

n

≥ 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m+1

P

n=2

m

+1

a

2

m+1

=

= 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m

a

2

m+1

= S

k

.

Z kolei dla n ≤ 2

k

− 1 mamy:

S

n

≤ S

2

k

−1

= a

1

+

k−1

P

m=1

2

m+1

−1

P

n=2

m

a

n

≤ a

1

+

k−1

P

m=1

2

m

a

2

m

= a

1

+ S

k−1

.

Zatem dwa ciągi {S

n

} oraz {S

n

} są jednocześnie zbieżne lub

jednocześnie rozbieżne.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 36

Szereg

P

n=1

1

n

α

jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.

DOWÓD:

Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu

P

n=1

2

n

(2

n

)

α

=

P

n=1

2

n(1−α)

.

Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2

1−α

.

Zbieżny jest on gdy 2

1−α

< 1

czyli, gdy

α > 1

zaś dla α ≤ 1 jest

rozbieżny.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)

Jeżeli istnieje n

0

takie, że dla n większych od n

0

a

n

≥ b

n

≥ 0

to mówimy, że szereg

P

n=1

a

n

jest majorantą szeregu

P

n=1

b

n

zaś szereg

P

n=1

b

n

jest minorantą szeregu

P

n=1

a

n

.

TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest majorantą szeregu

P

n=1

b

n

to

ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty

zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ n

0

ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.

Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S

n

=

n

P

k=1

a

k

}

n=1

wynika

ograniczoność {T

n

=

n

P

k=1

b

k

}

n=1

zaś z nieograniczoności {T

n

=

n

P

k=1

b

k

}

n=1

wynika nieograniczoność

{S

n

=

n

P

k=1

a

k

}

n=1

.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

Dla n ≥ n

0

S

n

− S

n

0

≥ T

n

− T

n

0

.

(S

n

− S

n

0

=

n

P

k=n

0

+1

a

n

n

P

k=n

0

+1

b

n

= T

n

− T

n

0

.)

Stąd dla n ≥ n

0

mamy

T

n

≤ S

n

+ (T

n

0

− S

n

0

)

oraz

S

n

≥ T

n

+ (S

n

0

− T

n

0

).

Z ograniczoności S

n

wynika ograniczoność T

n

oraz z nieograniczoności T

n

wynika nieograniczoność S

n

.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Niech b

,

ed

,

a dane dwa szeregi

P

n=1

a

n

P

n=1

b

n

takie, że ∀n a

n

≥ 0 oraz

b

n

> 0 i niech istnieje granica lim

n→∞

a

n

b

n

= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi

P

n=1

a

n

oraz

P

n=1

b

n

s

,

a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

DOWÓD:

Dla

n > n

0

g
2

a

n

b

n

3g

2

.

Mamy stad

g
2

b

n

≤ a

n

3g

2

b

n

.

Jeżeli

P

n=1

a

n

jest zbiezny to

P

n=1

g
2

b

n

jest zbieżny na mocy klasycznego

kryterium porównawczego.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

P

n=1

g
2

b

n

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny

P

n=1

b

n

.

Jeżeli

P

n=1

b

n

jest zbieżny to jest zbieżny

P

n=1

3g

2

b

n

i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny

P

n=1

a

n

.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)

Załóżmy, że ∀n a

n

≥ 0 i istnieje granica lim

n→∞

n

a

n

= g.

Jeżeli g < 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

Jeżeli g > 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Jeżeli g = 1 to szereg

P

n=1

a

n

może być zbieżny lub rozbiezny.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g < 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

n

a

n

<

1+g

2

< 1.

Stąd ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n

.

Oznacza to, że szereg

P

n=1

a

n

ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.

Dowód dla g > 1

jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

n

q

1

n

2

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

n

q

1

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 41(KRYTERIUM d’Alemberta)

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

taki, że ∀n a

n

> 0 i niech istnieje

granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g. Jeżeli q < 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny,

a gdy q > 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2

· a

n−n

0

−1

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

== 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 WIL Wyklad 07id 27178 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 03id 27176 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 06id 27177 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 02
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 12 WIL Wyklad 09id 27185 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 06 WIL Wyklad 06

więcej podobnych podstron