1

Mechanika ogólna

Wykład nr 8
Podstawy dynamiki

Dynamika

n

Dział mechaniki zajmujący się

badaniem związków między ruchem

punktów materialnych i ciał sztywnych

oraz sił go wywołujących.

n

Dynamika bada zależności między

takimi wielkościami jak: siła,

przyspieszenie, prędkość, pęd, kręt,

praca, energia itd.

2

Pierwsza zasada

dynamiki Newtona

n

Prawo bezwładności:

– Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko

jedno, czy ciało się porusza ruchem
jednostajnym prostoliniowym, czy jest w
spoczynku.

– W obu przypadkach siły działające na

ciało są w równowadze.

– Można zawsze założyć istnienie

nieruchomego układu odniesienia.

3

Druga zasada dynamiki

Newtona

n

Pod działaniem stałej siły punkt materialny

porusza się ruchem jednostajnie

przyspieszonym po linii prostej.

n

Przyspieszenie z jakim porusza się punkt

jest wprost proporcjonalne do działającej

siły (wypadkowej układu sił), a odwrotnie

proporcjonalne do masy ciała.

4

m

=

P

a

P

a

m

Trzecia zasada dynamiki

Newtona

n

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch

punktów materialnych równoważą się,

tj. mają jednakowe moduły i kierunki,

zaś zwroty przeciwne.

5

P

1

P

2

2

1

P

P

=

2

1

P

P

−

=

Prawo grawitacji

n

Dwa ciała działają na siebie wzajemnie

jednakowymi co do wartości i

przeciwnie zwróconymi siłami o wartości

odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu

odległości między ich środkami i wprost

proporcjonalnej do iloczynu mas tych

ciał.

6

1

2

2

m m

r

⋅

=

P

G

Zasada superpozycji

n

Efekt działania kilku wpływów na ciało

można wyrazić jako sumę efektów ich

działania.

n

Przyspieszenie z jakim porusza się ciało

pod wpływem układu sił (siły

wypadkowej) może zostać obliczone

jako suma przyspieszeń powodowanych

przez każdą z sił składowych.

7

1

2

...

...

n

n

m

m

m

m

=

+

+ +

=

+

+ +

=

1

2

a

a

a

a

P

P

P

P

Równania ruchu punktu

materialnego

n

Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu

punktu materialnego:

n

Dynamiczne różniczkowe równania ruchu

we współrzędnych prostokątnych:

8

d

d

m

m

m

dt

dt



 = ⋅ = ⋅ =









r

r

a

P

&&

x

ix

i

m x

m a

P

⋅ = ⋅ =

∑

&&

z

iz

i

m z

m a

P

⋅ = ⋅ =

∑

&&

y

iy

i

m y

m a

P

⋅ = ⋅

=

∑

&&

Skalarne równania ruchu

n

Rzutowanie przyspieszenia na osie

normalną, styczną i binormalną:

n

Wektor przyspieszenia całkowitego leży

na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru.

9

2

n

in

i

v

m a

m

P

ρ

⋅

=

=

∑

t

it

i

dv

m a

m

P

dt

⋅ =

=

∑

b

ib

i

m a

P

⋅ =

∑

0

b

a

=

Pierwsze i drugie zadanie

dynamiki

n

Pierwsze zadanie dynamiki:

– Dana jest masa i równania ruchu punktu

materialnego, należy wyznaczyć siły
działające na ten punkt;

n

Drugie zadanie dynamiki:

– Dana jest masa i siły działające na punkt

materialny, należy wyznaczyć równania
ruchu tego punktu.

10

Pierwsze zadanie

dynamiki

n

Równanie ruchu:

n

Składowe wypadkowej we współrzędnych

prostokątnych:

n

Wartość i kierunek wypadkowej:

11

m

m

⋅ = ⋅ =

a

r

P

&&

x

P

mx

=

&&

y

P

my

=

&&

x

P

mz

=

&&

2

2

2

x

y

z

P

P

P

P

=

+

+

( )

cos

,

x

P

P

=

P i

S

( )

cos

,

y

P

P

=

P j

S

(

)

cos

,

z

P

P

=

P k

S

Drugie zadanie dynamiki

n

Ruch punktu pod działaniem siły:

– Stałej co do wartości i kierunku;

–

Zależnej od czasu;

–

Zależnej od prędkości;

– Zależnej od położenia.

12

const

=

P

( )

t

=

P

P

( )

v

=

P

P

( )

x

=

P

P

Ruch pod działaniem

stałej siły

(1)

n

Rzut ukośny:

n

Równania ruchu:

n

Składowe przyspieszeń:

n

Składowe prędkości:

n

Równania ruchu:

13

( )

2

y

v

t

gt

C

= − +

( )

1

3

x t

C t

C

=

+

0

v

0

mx

=

&&

my

mg

= −

&&

0

x

a

=

y

a

g

= −

1

x

v

C

=

( )

2

2

4

2

gt

y t

C t

C

= −

+

+

mg

v

max

x

max

y

Ruch pod działaniem

stałej siły

(2)

n

Warunki brzegowe:

n

Stałe całkowania:

n

Równania prędkości:

n

Równania ruchu

14

1

0

cos

C

v

α

=

( )

0

sin

v t

gt

v

α

= − +

0

0

(

0)

cos

x

x

v t

v

v

α

=

=

=

0

0

(

0)

sin

y

y

v t

v

v

α

=

=

=

(

0)

0

x t

=

=

(

0)

0

y t

=

=

2

0

sin

C

v

α

=

3

0

C

=

4

0

C

=

0

cos

x

v

v

α

=

( )

0

cos

x t

v t

α

=

( )

2

0

sin

2

gt

y t

v t

α

= −

+

0

v

mg

v

max

y

max

x

Ruch pod działaniem siły

zależnej od położenia

n

Drgania liniowe:

n

Różniczkowe

równanie ruchu:

n

Rozwiązanie ogólne:

(Równanie ruchu harmonicznego prostego)

15

0

x

P

m

x

x

x

P

ma

mx

kx

=

=

= −

&&

0

k

x

x

m

+

=

&&

k

m

ω =

1

2

sin

cos

x

C

t

C

t

ω

ω

=

+

(

)

0

sin

x

a

t

ω ϕ

=

+

1

0

cos

C

a

ϕ

=

2

0

sin

C

a

ϕ

=

Ruch nieswobodnego

punktu materialnego

n

W przypadku, gdy warunki zewnętrzne

ograniczają swobodę ruchu, w

równaniu ruchu należy uwzględnić

także siły bierne (reakcje więzów):

16

m

m

=

= +

a

r

P

R

&&

X

Y

N

m

=

G

g

µ

=

T

N

x

x

m

=

∑

a

P

0

y

y

m

=

=

∑

a

P

Siła bezwładności

n

Równanie ruchu:

n

Siła bezwładności

(d’Alemberta):

n

Zasada d’Alemberta:

– Siły rzeczywiste działające na

punkt materialny równoważą

się z siłą bezwładności tego

punktu.

17

m

=

P

a

0

m

−

=

P

a

m

= −

B

a

0

+ =

P

B

0

r

v

n

a

0

r

P

0

t

a

=

const

=

v

2

n

v

a

r

=

m

m

B

Zasady zachowania w

dynamice

n

Zasada:

– zachowania pędu;
– zachowania momentu pędu (krętu);
– równoważności energii i pracy;
– zachowania energii mechanicznej.

18

Pęd,

zasada zachowania pędu

n

Zgodnie z drugim prawem Newtona:

– Pochodna pędu punktu materialnego

względem czasu równa jest sumie sił

działających na ciało.

n

Pęd (ilość ruchu) pozostaje wielkością

stałą, jeżeli siły działające na ciało

pozostają w równowadze:

19

( )

d m

d

m

m

dt

dt

=

=

=

v

v

P

a

m

const

=

v

Moment pędu, zasada

zachowania krętu

n

Momentem pędu (kręt) punktu

materialnego względem bieguna jest

iloczyn wektorowy promienia wodzącego

punktu względem bieguna i pędu:

n

Kręt punktu materialnego względem

bieguna jest wielkością stałą, jeśli moment

sił działających na punkt materialny

względem tego bieguna jest równy 0.

20

0

m

= ×

K

r

v

0

r

m

mv

Praca

n

Praca stałej siły na prostoliniowym

przesunięciu równa jest iloczynowi wartości

bezwzględnej przesunięcia przez miarę

rzutu siły na kierunek przemieszczenia.

n

Praca wypadkowej układu sił działających

na ciało równa jest sumie prac

poszczególnych sił działających na ciało.

21

α

m

P

α

m

P

l

W

P l

= ⋅

cos

W

Pl

α

=

Zasada równoważności

energii i pracy

n

Energia kinetyczna:

n

Zasada równoważności energii i pracy:

– Przyrost energii kinetycznej punktu

materialnego (ciała) równy jest pracy
wykonanej przez siły działającej na ciało.

22

2

2

mv

E

=

2

1

E

E

E

W

∆

=

−

=

Zasada zachowania

energii mechanicznej

n

Potencjalne pole sił:

– Praca wykonana przez siły w potencjalnym

polu sił nie zależą od drogi po której
wykonane zostało przemieszczenie a jedynie

od położeń początkowego i końcowego.

n

Energia mechaniczna ciała w
potencjalnym polu sił pozostaje
wielkością stałą.

23

1

1

2

2

E

V

E

V

+ =

+

Zasada zachowania

energii – przykład

(1)

n

Wyznaczyć miejsce oderwania punktu

materialnego zsuwającego się po

gładkiej półkuli:

24

2

cos

mv

mg

r

ϕ

=

2

mv

r

(

)

2

cos

2

mv

mg r

r

ϕ

=

−

2

cos

3

ϕ =

r

mg

ϕ

ϕ

r

cos

ϕ

Zasada zachowania

energii – przykład

(2a)

n

Na jaką wysokość po gładkiej równi

wjedzie ciało, któremu nadano

prędkość

początkową v:

25

h

v

2

2

mv

mgh

=

α

Energia

kinetyczna

Energia

potencjalna

Początek

Koniec

2

2

mv

0

0

mgh

Zasada zachowania

energii – przykład

(2b)

n

Na jaką wysokość po równi wjedzie

ciało, któremu nadano prędkość

początkową v (z uwzględnieniem tarcia):

– Praca siły tarcia:

26

h

N

2

2

mv

mgh Ts

=

+

µ

mg

T

W

Ts

=

s

v

α

T

N

µ

=

cos

N

mg

α

=

2

cos

sin

2

mv

mgh

mg

h

µ

α

α

=

+

⋅

Dynamika ruchu obrotowego
bryły sztywnej

n

Druga zasada dynamiki w

ruchu obrotowym bryły

sztywnej:

n

Kręt w ruchu obrotowym:

n

Energia kinetyczna:

27

t

I

ω

=

K

2

2

I

E

ω

=

0

R

r

v

r

ω

R

v

R

v

0

M

I

ε

=

Dynamika układu

punktów materialnych

n

Zasady zachowania w ruchu układu

punktów materialnych:

– Ruchu środka masy;
– Zachowania pędu;
– Zachowania krętu;
– Zasada d’Alemberta;
– Zachowania energii mechanicznej.

28

Zasada ruchu środka masy

n

Jeżeli siły zewnętrzne działające na układ

ciał równoważą się, to środek masy
układu pozostaje w spoczynku lub porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

29

Zasada zachowania pędu

n

Pęd układu punktów materialnych –

suma wektorowa pędów wszystkich

punktów.

n

Przyrost pędu układu punktów

materialnych jest równy popędowi

wypadkowej sił zewnętrznych.

n

Pęd układu punktów materialnych

pozostaje niezmienny, jeżeli siły

działające na układ równoważą się.

30

Zasada zachowania pędu

– przykład

n

Określić prędkość ciała po uderzeniu

kuli:

31

2 2

m v

1 1

m v

(

)

1

2

m

m

v

+

(

)

1

2

m

m

v

+

2 2

m v

1 1

m v

2

v

1

v

v

Zasada zachowania

momentu pędu

n

Moment pędu (kręt) układu punktów

materialnych – suma wektorowa krętów

wszystkich punktów układu względem

bieguna.

n

Pochodna krętu układu punktów po

czasie równa jest wypadkowemu

momentowi sił względem bieguna.

n

Kręt układu punktów materialnych

pozostaje niezmienny, jeżeli wypadkowy

moment sił względem bieguna jest równy

zero.

32

Zasada zachowania krętu

– przykład

n

Po cięciwie tarczy zaczyna poruszać się punkt

materialny z prędkością v. Z jaką prędkością

kątową poruszać się będzie tarcza?

33

0

m

α

R

w

r

v

r

M

ω

x

(t

)=

wt

d

0

=

K

t

I

ω

=

K

p

mwd

mur

=

−

K

0

mwd

mur

I

ω

−

−

=

2

2

0

2

MR

mwd

m r

ω

ω

−

−

=

(

)

2

2

2 2

0

2

MR

mwd

m

d

w t

ω

ω

−

+

−

=

Zasada zachowania energii

mechanicznej

n

Energia mechaniczna układu punktów

materialnych w potencjalnym polu sił

pozostaje niezmienna.

n

Przyrost energii kinetycznej układu

punktów materialnych równy jest

sumie prac wykonanych przez

wszystkie siły (zewnętrzne i

wewnętrzne) działające na ten układ.

34

Zasada zachowania energii

mechanicznej

(1)

n

Na dwa współśrodkowe

walce o masach m

1

i m

2

nawinięte są nieważkie

nici na których

zawieszono dwa ciała.

Obliczyć z jaką

prędkością uderzy o

ziemię ciało M.

35

1

m

R

r

2

m

m

M

H

Zasada zachowania energii

mechanicznej

(2)

36

1

m

2

m

m

M

h

2

H

h

1

Energia kinetyczna

Energia
potencjalna

Początek

Koniec

0

1

MgH

mgh

+

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

mv

MV

I

I

ω

ω

+

+

+

+

2

mgh

φ

Zasada zachowania energii

mechanicznej

(3)

37

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

I

I

mv

MV

MgH

mgh

mgh

ω

ω

+

=

+

+

+

+

(

)

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

I

I

mv

MV

MgH

mg h

h

ω

ω

−

−

=

+

+

+

2

1

1

1

2

I

m R

=

2

2

2

1

2

I

m r

=

2

1

h

h

H

r

R

φ

−

=

=

v

V

r

R

ω = =

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

Vr

V

V

m

m R

m r

Hr

MV

R

R

R

MgH

mg

R





 

 





 

 





 

 

−

=

+

+

+