Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

CIĄGI I FUNKCJE ELEMENTARNE – lista zadań powtórkowych

1. Wypisać pięć początkowych wyrazów ciągu, którego n-ty wyraz ma postać:

a)

3





n

n

a

n

, b)

, c)

n

n

a

)

1

(





2

)

1

(

n

a

n

n





, d)

.

1

3





n

n

a

2. Wypisać pozostałe z sześciu początkowych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie:
a)

1

a

dla

, b)

3

2

,

1

1











n

n

a

a

2



n

n

a

a

a

n

n

2

,

4

1

1









dla

,

2



n

c)

dla n

, d)

2

1

2

1

2

,

1

,

0













n

n

n

a

a

a

a

a

3



1

1

2

2

2,

1,

n

n

n

na

a

a

a

a











dla

.

3



n

3. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym

spełnia równanie rekurencyjne z warunkiem początkowym:

n

a

a)

, równanie:

n

n

a

2



1

1

2

,

2







n

n

a

a

a

,

b)

1



 n

a

n

, równanie:

1

,

0

1

1









n

n

a

a

a

,

c)

, równanie:

)

1

2

(

3

1









n

n

a

3

2

,

0

1

1









n

n

a

a

a

,

d)

, równanie:

1

5

1







n

n

a

4

5

,

2

1

1









n

n

a

a

a

.

4. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym: a)

1

2

5







n

n

a

n

, b)

1

2

5

3







n

n

a

.

n

5. Wypisać pięć początkowych wyrazów ciągu. Który ciąg jest arytmetyczny, który geometryczny ?

a)

a

, b)

, c)

, d)

,

5

2



 n

n

2

6



 n

a

n

n

n

a

4

3





4

2



 n

a

n

e)

a

, f)

n

n

n

)

1

(





n

a

, g)

, h)

.

n

1



n

n

n

a

3

)

2

(







n

n

a

)

2

(





6. Podać wzór na n-ty wyraz ciągu, którego początkowymi wyrazami są:

a)

1

, b)

, c)

...

,

13

,

9

,

5

,

3, 6, 12, 24, ...

....

,

16

1

,

8

1

,

4

1

,

2

1

, d)

...

,

5

4

,

4

3

,

3

2

,

2

1

e)

...

,

9

1

,

7

1

,

5

1

,

3

1

. f) 1, 1, 1, 1, ...





, g) 1, 2,

3, 4, ...





h) 10

...

,

28

,

22

,

16

,





,

i)

1 1 1

1

,

,

,

, ...

3 6 9 12

, j)

1

1

1

1

,

,

,

,

1 2 2 3 3 4 4 5









... , k)

1

1

1

1

,

,

,

,

1 2 3 4 5 6 7 8













....

7. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:

a)

x

y

, b)



 4

4

2



 x

y

, c)

2

3







x

x

y

, d)

3

2

5

3

2

2











x

x

x

x

y

.

8. Na podstawie wykresu (przedstawionego obok) podać
rozwiązania nierówności: a)

0 , b)

0

)

(



x

f

)

(



x

f

.

)

(x

f

y



2

X

5

8

9. Zbadać parzystość funkcji: a)

5

,

5

)

(

x

x

x

f





b)

4

, c)

8

)

(

x

x

x

f





2

.

2

1

)

(

x

x

x

f





Ciągi i funkcje elementarne – lista zadań powtórkowych

2

10. Naszkicować wykresy funkcji:
a)

, b)

, c)

, d)

2



 x

y

6

2







x

y

4



y

x

y

2



.

W

każdym przypadku podać współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

11. Znaleźć funkcję liniową , jeżeli wiadomo, że 3

)

0

(



f

i

2

)

1

(





f

.

12. Sporządzić wykresy następujących trójmianów (uwzględniając punkty przecięcia z osiami
oraz położenie wierzchołka paraboli):
a)

, b)

, c)

, d)

.

3

4

2









x

x

y

x

x

y

4

2





4

4

2







x

x

y

3

4

2

2







x

x

y

13. Naszkicować wykres funkcji

(uwzględniając jedynie położenie względem osi OX),

a następnie podać rozwiązania nierówności: a)

, b)

.

10

3

2







x

x

y

0

10

3

2





 x

x

0

10

3

2





 x

x

14. Rozwiązać nierówności:
a)

, b)

, c)

, d)

, e)

27

0

2

3

2





 x

x

0

8

2



 x

x

0

4

4

2









x

x

0

1

2





 x

x

3

2



x

.

15. Naszkicować wykresy wielomianów:

a)

, b)

, c)

,

9

9

)

(

2

3









x

x

x

x

W

6

7

)

(

3









x

x

x

W

8

4

2

)

(

2

3









x

x

x

x

W

d)

, e)

, f)

.

2

3

)

(

3







x

x

x

W

6

4

)

(

2

3









x

x

x

x

W

2

3

)

(

x

x

x

W







Na podstawie wykresu podać rozwiązania nierówności

.

0

)

(



x

W

16. Następujące funkcje zapisać w postaci



x

x

f



)

(

:

a)

4

)

(

x

x

f



, b)

3

4

)

(

x

x

f



, c)

3

)

(

x

x

x

f



, d)

3

1

)

(

x

x

f



, e)

x

x

x

f

1

)

(



,

f)

3

2

1

)

(

x

x

f



, g)

4

2

1

)

(

x

x

x

f





.

17. Rozwiązać równania:

a)

, b)

8

2



x

3

3



4

2



x

, c)

4

1

4

5

2





x

, d)

3

1

3

2





x

, e) 6

1

x

 , f)

3

5

4

2

x

 



.

18. Rozwiązać nierówności:

a)

, b)

4

2



5

3



x

9

1

3

3





x

, c)

8

1

)

2

1

(



x

, d)

4

27

)

3

1

(



x

, e)

2

2

5

5

x





5 , f)

2

1

( )

2

2

x

 .

19. Podać wartości logarytmów:

a)

, b)

16

log

2

3

log

3

, c)

8

1

log

2

1

, d)

4

log

2

1

, e)

2

2

log

4

, f) l

, g)

, h)

og100

log1

3

log 10 .

20. Rozwiązać równania i nierówności:

a)

, b)

1

)

4

2

(

log

3





x

2

)

6

3

(

log

2





x

, c)

2

)

3

(

log

2

1







x

.

21. Zbadać parzystość funkcji:

a)

, b)

x

x

x

f







3

3

)

(

2

2

( )

2

2

x

x

x

x

f x











, c)

x

x

x

f

2

sin

)

(



,

d)

3

cos

1

)

(

x

x

x

f





, e)

2

1

3

sin

sin

)

(

x

x

x

x

f







, f)

x

x

x

x

x

f

sin

2

cos

)

(





.

Ciągi i funkcje elementarne – lista zadań powtórkowych

3

22. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

8

2

2







x

x

y

, b)

1

2

2







x

x

y

, c)

, d)

)

3

4

(

log

2

2









x

x

y

2

1

y

x

x



 

e)

3

4

y

x



 x , f)

3

4

2

4







x

x

y

, g)

5

2







x

x

y

, h)

2

2

6

log

5

x

y

x







,

i)

1

4

2







x

x

y

, j)

4

log

2

2







x

x

x

y

.

23. Sporządzić wykres funkcji

, a następnie wykresy pozostałych funkcji stosując odpowiednie

przekształcenia:

)

(x

f

y



2

( ) 2 ,

2 ,

2 ,

2

3,

2

x

x

x

x

y

f x

y

y

y

y

x











 







.

24. Sporządzić wykres funkcji

, a następnie wykresy pozostałych funkcji stosując odpowiednie

przekształcenia:

)

(x

f

y



( )

,

2,

1 ,

y

f x

x

y

x

y

x

y

x









 

  .

25. Dana jest funkcja określona wzorem:

2

2

dla

( )

1 dla

2.

x

x

f x

x

x



2,





 







Obliczyć ( 1),

(0),

(2),

(10),

(2

) oraz

(2

)

f

f

f

f

f

h

f





h



0

h



gdy

.

Odpowiedzi

1. a)

1 2 1 4 5

,

,

,

,

,..

4 5 2 7 8

. b)

c)

1, 1, 1, 1, 1, ...







1

1

1

1

1,

,

,

,

, ...

4

9 16

25







d) 2, 8, 26, 80, 242, … .

2. a) -1, 1, 5, 13, 29, 61, … b) 4, 8, 14, 22, 32, 44, … c) 0, 1, 1, 3, 5, 11, … d) 2, 1,

3
2

, 6, 20, 20, ….

4. a)

1

3

0, dla

(

1)(

2)

n

n

a

a

n

n

n















N - ciąg jest rosnący,

b)

1

7

0, dla

(2

1)(2

3)

n

n

a

a

n

n

n

















N - ciąg jest malejący.

5. a) -3, -1, 1, 3, 5, … - c.arytm. b) 8, 14, 20, 26, 32, … - c.geom. c) 12, 48, 192, 768, 3072,… - c.geom.

d) 5, 8, 13, 20, 29, … e) -1, 2, -3, 4, -5, … f)

1 1 1 1

1, , , , , ...

2 3 4 5

g) 9, 36, 135, 486, 1701, … h) -2, 4, -8, 16, -32, … - c.geom.

6. a)

, b)

, c)

4

3

n

a

n





1

3 2

n

n

a



 

1

2

n

n

a



, d)

1

n

n

a

n





, e)

1

2

n

a

n



1



, f)

,

( 1)

n

n

a

 

g)

, h)

( 1)

n

n

a

n

 



1

( 1)

(6

4)

n

n

a

n



 





, i)

1

1

3 2

n

n

a







, j)

1

(

1)

n

a

n n





, k)

1

( 1)

(2

1) 2

n

n

a

n

n







 

.

7. a)



;4

D

 

, b)





; 2

2;

D

   

 , c)

\ { 2}

D

R



 , d)

\ { 3,1}

D

R





.

8. a)

, b)



 

; 2

5;8









2;5

8;



 .

9. a) D R

 , funkcja nieparzysta, b) D R

 , funkcja nieparzysta, c)

\ {0}

D

R



, funkcja parzysta.

Ciągi i funkcje elementarne – lista zadań powtórkowych

4

10. a) b) c) d)









11. ( )

3

f x

x

  .

12. a) b) c) d)










13. a)



 



; 5

2;

  

 , b) 5;2



.

14. a)

 

1; 2 , b) 8;0



, c)

, d) R, e)

\ {2}

R



 



; 3

3;

  

 .

15. a) b)






c) d)






e) f)

16. a)

1
4

( )

f x

x



, b)

4
3

( )

f x

x



, c)

4
3

( )

f x

x



, d)

3

( )

f x

x





, e)

3
2

( )

f x

x





, f)

2
3

( )

f x

x





, g)

9
4

( )

f x

x





.

17. a)

, b)

3

x



9
4

x

 , c)

, d)

2

x



3
2

x

 , e)

0

x

 , f)

7
4

x

 .

-5

2

y

O

y

O

y

O

y

O

X

X

X

X

Y Y

6

Y Y

4

2

- 2

0

3

O

W(2,1 )

Y

1

- 3

X

O

W(-1,1)

Y

3

X

O

W(-2,0 )

Y

4

X

O

Y

0

- 4

X

3

W(-2,-4 )

3

2

-3

-3

1

-1

( ) 0

3; 1

3;

)

W x

x

     



( ) 0

(

; 3

1;2

W x

x

     

2

-2 1

( ) 0

2;

)

W x

x

  



( ) 0

2;

)

W x

x

    

-1

1

2

3

0

( ) 0

1;2

3;

)

W x

x

   





( ) 0

(

;1

W x

x

   

Ciągi i funkcje elementarne – lista zadań powtórkowych

5

18. a)

7
4

x

 , b)

1

x

 , c)

, d)

3

x



3
4

x

 , e)

7
4

x

  , f)

1
2

x

  .

19. a) 4, b)

1
2

, c) 3, d) -2, e)

3
4

, f) 2, g) 0, h)

3
2

.

20. a)

7
2

x

 , b)



2

2;

3

x

  

, c)





1;

x



  .

21. a) D R

 , funkcja nieparzysta, b)

\ {0}

D

R



, funkcja nieparzysta, c) D R

 , funkcja parzysta,

d)

, funkcja nieparzysta, e)

\ {0}

D

R



\ { 1,1}

D

R





, funkcja nieparzysta, f)

\ {0}

D

R



,funkcja parzysta.

22. a)

(

; 4

2;

)

D

   

 , b)

1

(

;

1;

)

2

D

  



 , c)

(1; 3)

D



, d) D R

 ,

e)

, f)

( 2; 0) (2;

)

D

 



 

(

;

3) ( 1;1) ( 3,

)

D

  

 



 , g)

(

; 2

(5;

)

D

   

 ,

h)

, i)

(

; 5) (3;

)

D

   



2; 1)

2;

)

D

   

 , j)

( 4;0) (1;

)

D

 

  .

23. 24.

25.

1

( 1)

2

f

  ,

,

,

(0) 1

f



(2) 4

f



(10) 99

f



,

2

(2

)

4

3

f

h

h

h







 ,

.

2

(2

) 2

h

f

h







-4 -2

1

2 4

-4

-2

1

2

4

5

6

x

y

O

2

3

x

y





-

2

x

y



6

y

2

2

x

y





2

x

y





2

x

y

 

4

-2

1

2

4

-4

-2

1

2

4

5

x

O

2

y

x





y

x

 

y

x



1

y

x



