Macierze cd.
Marek Żabka
Instytut Matematyki
20 października 2009r.
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
1 / 15
Co będzie na wykładzie:
zdefiniujemy wyznacznik macierzy kwadratowej
zdefiniujemy rząd macierzy dowolnej
pokażemy związki macierzy i układu równań
pokażemy własności wyznacznika, rzędu i układów równań prowadzące
do procesu Gaussa, będącego efektywnym sposobem liczenia
pokażemy jak wygląda proces Gaussa
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
2 / 15
Znak permutacji
Permutacją σ ∈ S
n
nazywamy bijekcję zbioru {1, 2, . . . n}, czyli
odwzorowanie różnowartościowe i „na”.
Zapisujemy przy pomocy tabelki
"
1
2
3
. . .
n
σ
1
σ
2
σ
3
. . .
σ
n
#
Ilość inwersji definujemy wzorem
Inv (σ) = |{(i , j ) : i < j ∧ σ
i
> σ
j
}|
Definiujemy wreszczie znak permutacji
sgn(σ) =
(
1
gdy Inv(σ) jest liczbą parzystą
−1
gdy Inv(σ) jest liczbą nie parzystą
Więcej na ten temat w materiałach na stronie.
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
3 / 15
Definicja wyznacznika
Dla macierzy kwadratowej
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
definiujemy wyznacznik
det(A)
inaczej oznaczany
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
Definicja – wzór
det(A) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
1σ
1
a
2σ
2
· · · a
nσ
n
Uwaga:
ten wzór dla n > 3 nie nadaje się do obliczeń, służy natomiast do dowodów
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
4 / 15
Definicja wyznacznika
Dla macierzy kwadratowej
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
definiujemy wyznacznik
det(A)
inaczej oznaczany
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
Definicja – wzór
det(A) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
1σ
1
a
2σ
2
· · · a
nσ
n
Uwaga:
ten wzór dla n > 3 nie nadaje się do obliczeń, służy natomiast do dowodów
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
4 / 15
Definicja wyznacznika
Dla macierzy kwadratowej
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
definiujemy wyznacznik
det(A)
inaczej oznaczany
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
Definicja – wzór
det(A) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
1σ
1
a
2σ
2
· · · a
nσ
n
Uwaga:
ten wzór dla n > 3 nie nadaje się do obliczeń, służy natomiast do dowodów
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
4 / 15
Definicja wyznacznika
Dla macierzy kwadratowej
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
definiujemy wyznacznik
det(A)
inaczej oznaczany
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
Definicja – wzór
det(A) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
1σ
1
a
2σ
2
· · · a
nσ
n
Uwaga:
ten wzór dla n > 3 nie nadaje się do obliczeń, służy natomiast do dowodów
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
4 / 15
Przykład n=1
det([a]) = a
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
5 / 15
Przykład n=2
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
S
n
=
h
1
2
1
2
i
,
h
1
2
2
1
i
Permutacja
h
1
2
1
2
i
jest parzysta
Permutacja
h
1
2
2
1
i
jest nieparzysta
Więc det(A) =
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
6 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
Przykład n=3
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
S
n
=
h
1
2
3
1
2
3
i
,
h
1
2
3
3
1
2
i
,
h
1
2
3
2
3
1
i
,
h
1
2
3
1
3
2
i
,
h
1
2
3
2
1
3
i
,
h
1
2
3
3
2
1
i
+
+
+
−
−
−
det(A) =
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
−
a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
+ a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
− a
1
↓
a
2
↓
a
3
↓
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
det(A) =
+a
1
↓
1
a
2
↓
2
a
3
↓
3
+ a
1
↓
3
a
2
↓
1
a
3
↓
2
+ a
1
↓
2
a
2
↓
3
a
3
↓
1
− a
1
↓
1
a
2
↓
3
a
3
↓
2
− a
1
↓
2
a
2
↓
1
a
3
↓
3
− a
1
↓
3
a
2
↓
2
a
3
↓
1
Metoda Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
3
3
3
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
−
−
−
+
+
+
−a
21
a
12
a
33
−a
11
a
32
a
23
−a
31
a
22
a
13
+a
31
a
12
a
23
+a
21
a
32
a
13
+a
11
a
22
a
33
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
7 / 15
NIE ma jakiejś prostej metody Sarrusa dla innych wymiarów
Przy obliczeniach z definicji jest dużo działań
Tablica ilości działań do wykonania w zależności od n
n =
2
3
4
5
6
7
15
n
+, −
1
5
23
119
719
5039
1.3 · 10
12
n! − 1
·
2
12
72
480
3600
30240
1.8 · 10
13
(n − 1) · n!
razem
3
17
95
599
4319
36,279
1.96 · 10
13
n · n! − 1
Metoda Gaussa, komplikacja metody rzędu
O(n
3
)
mnożeń
n
3
+ 2n − 6
3
, dodawań podobna ilość
dla n = 15 jest 1133 mnożeń, około miliard razy mniej!
Dokładniej początek tabeli:
n =
2
3
4
5
6
7
+, −
1
5
14
30
55
91
·, /
2
9
22
43
74
117
razem
3
14
36
73
129
208
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
8 / 15
NIE ma jakiejś prostej metody Sarrusa dla innych wymiarów
Przy obliczeniach z definicji jest dużo działań
Tablica ilości działań do wykonania w zależności od n
n =
2
3
4
5
6
7
15
n
+, −
1
5
23
119
719
5039
1.3 · 10
12
n! − 1
·
2
12
72
480
3600
30240
1.8 · 10
13
(n − 1) · n!
razem
3
17
95
599
4319
36,279
1.96 · 10
13
n · n! − 1
Metoda Gaussa, komplikacja metody rzędu
O(n
3
)
mnożeń
n
3
+ 2n − 6
3
, dodawań podobna ilość
dla n = 15 jest 1133 mnożeń, około miliard razy mniej!
Dokładniej początek tabeli:
n =
2
3
4
5
6
7
+, −
1
5
14
30
55
91
·, /
2
9
22
43
74
117
razem
3
14
36
73
129
208
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
8 / 15
NIE ma jakiejś prostej metody Sarrusa dla innych wymiarów
Przy obliczeniach z definicji jest dużo działań
Tablica ilości działań do wykonania w zależności od n
n =
2
3
4
5
6
7
15
n
+, −
1
5
23
119
719
5039
1.3 · 10
12
n! − 1
·
2
12
72
480
3600
30240
1.8 · 10
13
(n − 1) · n!
razem
3
17
95
599
4319
36,279
1.96 · 10
13
n · n! − 1
Metoda Gaussa, komplikacja metody rzędu
O(n
3
)
mnożeń
n
3
+ 2n − 6
3
, dodawań podobna ilość
dla n = 15 jest 1133 mnożeń, około miliard razy mniej!
Dokładniej początek tabeli:
n =
2
3
4
5
6
7
+, −
1
5
14
30
55
91
·, /
2
9
22
43
74
117
razem
3
14
36
73
129
208
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
8 / 15
NIE ma jakiejś prostej metody Sarrusa dla innych wymiarów
Przy obliczeniach z definicji jest dużo działań
Tablica ilości działań do wykonania w zależności od n
n =
2
3
4
5
6
7
15
n
+, −
1
5
23
119
719
5039
1.3 · 10
12
n! − 1
·
2
12
72
480
3600
30240
1.8 · 10
13
(n − 1) · n!
razem
3
17
95
599
4319
36,279
1.96 · 10
13
n · n! − 1
Metoda Gaussa, komplikacja metody rzędu
O(n
3
)
mnożeń
n
3
+ 2n − 6
3
, dodawań podobna ilość
dla n = 15 jest 1133 mnożeń, około miliard razy mniej!
Dokładniej początek tabeli:
n =
2
3
4
5
6
7
+, −
1
5
14
30
55
91
·, /
2
9
22
43
74
117
razem
3
14
36
73
129
208
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
8 / 15
NIE ma jakiejś prostej metody Sarrusa dla innych wymiarów
Przy obliczeniach z definicji jest dużo działań
Tablica ilości działań do wykonania w zależności od n
n =
2
3
4
5
6
7
15
n
+, −
1
5
23
119
719
5039
1.3 · 10
12
n! − 1
·
2
12
72
480
3600
30240
1.8 · 10
13
(n − 1) · n!
razem
3
17
95
599
4319
36,279
1.96 · 10
13
n · n! − 1
Metoda Gaussa, komplikacja metody rzędu
O(n
3
)
mnożeń
n
3
+ 2n − 6
3
, dodawań podobna ilość
dla n = 15 jest 1133 mnożeń, około miliard razy mniej!
Dokładniej początek tabeli:
n =
2
3
4
5
6
7
+, −
1
5
14
30
55
91
·, /
2
9
22
43
74
117
razem
3
14
36
73
129
208
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
8 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2 −3 −5 22
A tutaj mamy niektóre minory:
czyli podmacierze kwadratow
stopień minora to stopień podmacierzy a
wartość – wartość wyznacznika minora.
1
3
4
0 −1
6
11
20 11
1
2
3 4
0 −1 −1 6
9
0
9 3
9
6
15 2
"
1
2
0 −1
#
2
3
7
6
15
2
−3 −5 22
Proszę sprawdzić jak powstały minory
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
9 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0
−1
−1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2 −3 −5 22
A tutaj mamy niektóre minory:
czyli podmacierze kwadratow
stopień minora to stopień podmacierzy a
wartość – wartość wyznacznika minora.
1
3
4
0 −1
6
11
20 11
1
2
3 4
0 −1 −1 6
9
0
9 3
9
6
15 2
"
1
2
0 −1
#
2
3
7
6
15
2
−3 −5 22
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
10 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2 −3 −5 22
A tutaj mamy niektóre minory:
czyli podmacierze kwadratow
stopień minora to stopień podmacierzy a
wartość – wartość wyznacznika minora.
1
3
4
0 −1
6
11
20 11
1
2
3 4
0 −1 −1 6
9
0
9 3
9
6
15 2
"
1
2
0 −1
#
2
3
7
6
15
2
−3 −5 22
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
11 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1
−1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2 −3 −5 22
A tutaj mamy niektóre minory:
czyli podmacierze kwadratow
stopień minora to stopień podmacierzy a
wartość – wartość wyznacznika minora.
1
3
4
0 −1
6
11
20 11
1
2
3 4
0 −1 −1 6
9
0
9 3
9
6
15 2
"
1
2
0 −1
#
2
3
7
6
15
2
−3 −5 22
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
12 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2
−3 −5 22
A tutaj mamy niektóre minory:
czyli podmacierze kwadratow
stopień minora to stopień podmacierzy a
wartość – wartość wyznacznika minora.
1
3
4
0 −1
6
11
20 11
1
2
3 4
0 −1 −1 6
9
0
9 3
9
6
15 2
"
1
2
0 −1
#
2
3
7
6
15
2
−3 −5 22
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
13 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2
−3 −5 22
Pytanie: ile jest minorów i jakich stopni?
stopnie: 1,2,3,4
stopień
ilość
1
4 · 7 = 28
2
4
2
7
2
= 126
3
4
3
7
3
= 140
4
7
4
= 35
wszystkie
zerowe
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
14 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2
−3 −5 22
Pytanie: ile jest minorów i jakich stopni?
stopnie: 1,2,3,4
stopień
ilość
1
4 · 7 = 28
2
4
2
7
2
= 126
3
4
3
7
3
= 140
4
7
4
= 35
wszystkie
zerowe
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
14 / 15
Minor, przykład
Dana jest macierz:
A =
1
2
3
4
0 −1 −1
6
11
9
20 11
9
0
9
3
1
2
3
7
9
6
15
2
−2
−3 −5 22
Pytanie: ile jest minorów i jakich stopni?
stopnie: 1,2,3,4
stopień
ilość
1
4 · 7 = 28
2
4
2
7
2
= 126
3
4
3
7
3
= 140
4
7
4
= 35
wszystkie
zerowe
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
14 / 15
definicja
Rzędem macierzy A 6= O nazywamy maksymalny stopień spośród
niezerowych minorów (czyli minora o wartości różnej od zera).
Dla macierzy zerowej przyjmujemy, że rząd jest równy zero.
W poprzednim przykładzie rząd jest równy 3 (proszę przeliczyć jakiś minor
stopnia 3)
Sposób z definicji nie jest praktyczny. Znowu proces Gaussa rozwiąże
problem.
Marek Żabka (Instytut Matematyki)
20 października 2009r.
15 / 15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron