Kolokwium poprawkowe 1, maj 2009

Zadanie 1 Rozwi¸

a˙z zagadnienie

(

u

t

+ u

x

= −u

2

, u = u(x, t), (x, t) ∈ R

2

u(0.s) = −s

2

i sprawd´

z warunek niecharakterystyczno´sci.

Zadanie 2 Niech Ω ⊆ R

3

b¸edzie obszarem ograniczonym z brzegiem klasy

C

1

. Wyka˙z, ˙ze rozwi¸

azanie zagadnienia Laplace’a

(

∆u = 0 w Ω

u = φ, na ∂Ω

zale˙zy w spos´

ob ci¸

ag ly od φ, gdy rozwa˙zymy ci¸

ag lo´s´

c ze wzgl¸edu na norm¸e

kφk

L

∞

(Ω)

.

Zadanie 3 Niech u = u(x

1

, x

2

) b¸edzie harmoniczna. Czy funkcja

v(x) = |∇u(x)|

2

,

jest
a) harmoniczna ?
b) subharmoniczna w szerszym sensie?
Odpowiedzi uzasadnij.

Zadanie 4 Niech B = B(0, 1) b¸edzie kul¸

a jednostkow¸

a w R

2

, u = u(x, y)

b¸edzie rozwi¸

azaniem zagadnienia

(

∆u = 10 w B(0, 1),

u(x, y) = 4x

2

+ 6x + 1 na ∂B.

Znajd´

z sup

B

u oraz inf

B

u.

1