Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 16

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

1.

B.

b

ax

x

f

+

=

)

(

– wzór ogólny funkcji liniowej







+

⋅

=

+

⋅

=

−

b

a

b

a

6

1

0

2









−

=

=

2

2

1

b

a

2

2

1

)

(

−

=

x

x

f

2.

C.

6

4

2

2

4

)

1

(

2

2

1

4

−

=

−

=

+

−

=

+

=

+

−

x

x

x

x

x

x

x

Odwrotność 6

−

to

.

6

1

−

3.

A.

( )

4

2

8

6

3

1

6

1

3

3

3

3

3

27

3

3

1

=

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅













−

4.

C.

1

1

2

2

log

2

49

log

2

7

=

−

=

−

=

a

5.

B.

Przyprostokątne trójkąta mają długości:

3

6

,

6

. Przeciwprostokątna ma

długość 12 .

60

2

1

12

6

cos

=

⇒

=

=

α

α

(

−

α

kąt ostry)

β

α

⋅

=

⋅

=

2

30

2

6.

D.

4

5

3

3

1

−

=

−

−

+

7.

C.

b

ax

y

+

=

– równanie ogólne prostej

5

−

=

a

(z warunku równoległości prostych)

Prosta przechodzi przez punkt

)

6

,

1

(

−

:

1

5

1

1

5

6

5

−

−

=

−

=

+

⋅

−

=

−

+

−

=

x

y

b

b

b

x

y

8.

A.

3

=

r

9

3

1

3

3

1

=

=

=

h

h

h

r

9.

A.

x

– liczba osób władających trzema językami

76

3

)

5

9

26

(

)

5

6

50

(

)

9

6

40

(

+

=

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−

x

x

x

x

– liczba osób

władających jednym językiem

x

x

3

20

3

5

9

6

−

=

−

+

+

– liczba osób władających dwoma językami

4

100

3

20

76

3

=

⇔

=

+

−

+

+

x

x

x

x

10.

D.

3

1

6

2

=

,

3

2

3

1

1

=

−

11.

C.

Otrzymana bryła to stożek.

r

h

=

π

π

π

π

72

3

1

72

3

1

3

2

=

⇔

=

⋅

r

h

r

6

=

⇒ r

,

12

2

=

=

r

d

12.

B.

24

...

2

1

=

⋅

⋅

⋅

n

i

4

=

⇔

∈

n

N

n

13.

A.

16

1

4

1

2

1

15

1

12

4

1

20

2

1

=

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

(zł)

14.

A.

4

,

3

,

2

,

1

,

+

+

+

+

a

a

a

a

a

– pięć kolejnych liczb naturalnych, z których

najmniejszą jest

a

5

7

2

=

⇔

=

+

a

a

15.

D.

24

8

16

1

3

=

+

=

+

a

a

5

,

24

4

4

=

=

+

n

n

16.

A.

2

3

6

2

3

3

3

+

=

+

+

=

EWA

L

)

2

2

(

6

2

6

12

)

2

3

6

(

2

+

=

+

=

+

=

MUR

L

17.

C.

Suma cyfr tej liczby jest równa 3 – liczba dzieli się przez 3 . Jest to liczba
parzysta (cyfrą jedności jest 2 ) – dzieli się przez 2 . Liczba podzielna przez

2 i przez 3 dzieli się przez 6 .

18.

A.

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy graniastosłupa i krawędź
boczna (równa wysokości graniastosłupa) tworzą trójkąt prostokątny, w
którym naprzeciw kąta

α

między podstawą a przekątną graniastosłupa leży

przyprostokątna p dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej.

30

2

1

2

sin

=

⇒

=

=

α

α

p

p

19.

C.

4

1

4

1

4

=

⋅

=

−

q

a

a

32

1

7

1

7

=

⋅

=

−

q

a

a

Stąd:

2

,

2

1

1

=

=

q

a

2

1

1

1

2

2

2

1

−

−

−

=

⋅

=

=

n

n

n

n

q

a

a

20.

A.

4

1

)

5

)(

4

(

5

)

5

)(

4

(

5

5

4

)

5

)(

4

(

5

)

5

(

)

4

(

)

5

)(

4

(

5

4

5

2

2

−

=

−

−

−

=

−

−

−

+

−

−

=

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

21.

B.

(

)

5

11

5

3

2

1

cos

sin

2

cos

sin

cos

sin

2

2

2

=

⋅

+

=

+

+

=

+

α

α

α

α

α

α

22.

C.

Wierzchołek paraboli

2

)

3

(

2

+

−

−

=

x

y

znajduje się w punkcie

)

2

,

3

(

.

Ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wykres przecina oś OX w dwóch
punktach.

23.

B.

a

a

a

a

a

a

a

a

%

112

100

112

100

28

100

140

100

140

100

20

100

140

%

140

%

20

%

140

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

−

24.

C.

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy
większą:

36

18

2

=

⋅

.

π

π

π

2

10

2

10

1

2

360

36

=

⋅

⋅

=

⋅

r

25.

D.

7

5

6

1

6

6

1

<

<

−

⇔

<

−

<

−

⇔

<

−

x

x

x

liczby pierwsze spełniające

nierówność:

5

,

3

,

2

.

2

1

2

1

>

+

⇔

>

+

x

x

lub

1

2

1

>

⇔

−

<

+

x

x

lub

3

−

<

x

liczby pierwsze

spełniające nierówność:

...

,

7

,

5

,

3

,

2

.

Liczby spełniające obie nierówności:

5

,

3

,

2

.

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązania

Liczba

punktów

Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias po obu stronach
równania:

)

4

(

2

)

4

(

2

2

+

=

+

x

x

x

.

1

26.

Rozwiązanie równania:

2

=

x

.

1

Znalezienie pierwszej współrzędnej wierzchołka:

1

=

x

i

stwierdzenie, że liczba ta należy do przedziału

2

,

1

−

.

1

27.

Obliczenie największej wartości (drugiej współrzędnej
wierzchołka):

=

)

1

(

f

7 .

1

Obliczenie wysokości rombu:

2

3

1

6

=

⇒

=

h

h

.

1

28.

Obliczenie pola rombu:

12

2

6

=

⋅

=

=

ah

P

.

1

Określenie liczby zdarzeń elementarnych:

5

1000 i określenie liczby

zdarzeń sprzyjających: 1000 .

1

29.

Zapisanie prawdopodobieństwa:

4

5

1000

1

1000

1000

)

(

=

=

A

P

.

1

30.

Obliczenie współrzędnych środka odcinka:

(

)

1

,

2

2

6

4

,

2

6

2

−

=













−

+

−

=

S

.

1

Obliczenie odległości punktu S od punktu

)

0

,

0

(

:

5

)

1

(

2

2

2

=

−

+

.

1

Zapisanie

36

16 jako

144

2

.

1

Obliczenie sumy ciągu arytmetycznego:

2

1

2

....

3

1

n

n

=

−

+

+

+

.

1

Rozwiązanie równania

144

2

=

n

:

12

12

−

=

∪

=

n

n

.

1

31.

Wskazanie rozwiązania będącego liczbą naturalną:

.

12

=

n

1

Obliczenie promienia stożka:

2

,

12

3

2

,

12

2

≈

≈

⋅

⋅

=

r

r

r

π

.

1

Zapisanie zależności między promieniem a wysokością stożka:

r

h

tg

=

α

,

r

h

=

5

,

1

,

r

h

5

,

1

=

.

1

Obliczenie wysokości stożka:

3

=

h

.

1

Obliczenie objętości stożka:

12

3

2

3

3

1

2

=

⋅

⋅

⋅

=

V

(m

3

).

1

32.

Obliczenie liczby kursów ciężarówki:

6

2

:

12

=

.

1

Ułożenie równania opisującego treść zadania:

x

– liczba kilometrów, jaką uczniowie przebywali dziennie,

7

84

2

84

−

=

+

x

x

.

1

Sprowadzenie lewej strony równania do wspólnego mianownika i
skorzystanie z własności proporcji:

)

7

)(

2

84

(

84

−

+

=

x

x

x

.

1

Zapisanie równania w postaci:

0

588

14

2

2

=

−

−

x

x

lub w postaci

0

294

7

2

=

−

−

x

x

.

1

Obliczenie wyróżnika:

1225

=

∆

.

1

Obliczenie pierwiastków równania:

14

1

−

=

x

,

21

2

=

x

.

1

33.

Podanie odpowiedzi: uczniowie przebywali dziennie 21 km.

1