Podstawy rachunku r´

o ˙

zniczkowego

• Co to jest pre

ι

dko´

s´

c w danej chwili?

• Jakie jest pole pod krzywa

ι

, np pod frag-

mentem paraboli y = x

2

, 2 ≤ x ≤ 4 ?

• Mamy S metr´

ow kwadratowych desek i budu-

jemy prostopad lo´

scienna

ι

szope

ι

(o kwadra-

towej podstawie i z p laskim dachem). Jakie

musza

ι

by´

c wymiary tej szopy, aby mia la maksymalna

ι

pojemno´

s´

c?

1

a – d lugo´

s´

c krawe

ι

dzi podstawy, h – wysoko´

s´

c,

V – obje

ι

to´

s´

c, S –pole powierzchni ca lkowitej

V = a

2

h , S = 4ah + a

2

h =

S − a

2

4a

V (a) = a

2

(

S − a

2

4a

) =

1

4

(Sa − a

3

)

Obje

ι

to´

s´

c jest funkcja

ι

zmiennej a, chcemy znale´

z´

c

jej maksymalna

ι

warto´

s´

c.

2

Cia

ι

g lo´

s´

c funkcji

Idea cia

ι

g lo´

sci:

ma le zmiany argumentu powoduja

ι

ma le zmiany

warto´

sci funkcji

.

Co to znaczy

“ma le”

?

f (x) :=

1
x

x

1

= 0.01 , x

2

= 0.02 , x

3

= 1 , x

4

= 1.01

f (x

1

) = 100 , f (x

2

) = 50 , f (x

3

) = 1 , f (x

4

) = 0.99

Funkcja, kt´

ora

nie jest cia

ι

g la

:

f (x) :=



x dla x ≤ 1
0 dla x > 1

Inaczej:

je ˙

zeli warto´

sci argumentu “zbli ˙

zaja

ι

” sie

ι

do x, to warto´

sci funkcji “zbli ˙

zaja

ι

” sie

ι

do f (x)

Co to znaczy

“zbli ˙

zaja

ι

”

?

3

Cia

ι

gi, granica cia

ι

gu

Cia

ι

g

to funkcja, kt´

orej dziedzina

ι

jest zbi´

or liczb

naturalnych.

Notacja: zamiast pisa´

c a(n) piszemy a

n

.

a

n

:=

1

n

1,

1

2

,

1

3

,

1

4

,

1

5

,

1

6

, . . .

Liczba g jest granica

ι

cia

ι

gu a

n

, je ˙

zeli

dalekie

wyrazy

cia

ι

gu r´

o ˙

znia

ι

sie

ι

ma lo

od g.

a

1000

=

1

1000

, a

1000000

=

1

1000000

4

Ma lo

znaczy

dowolnie ma lo

dalekie

wyrazy znaczy

wszystkie z wyja

ι

tkiem sko´

nczonej ilo´

sci

Liczba g jest granica

ι

cia

ι

gu a

n

je ˙

zeli

dla ka ˙

zdej

dodatniej liczby 

istnieje N ∈

N

takie, ˙

ze

dla

wszystkich m > N

:

|a

m

− g| ≤ 

Notacja:

g = lim

n→∞

a

n

Je ˙

zeli istnieje granica cia

ι

gu, cia

ι

g nazywamy

zbie ˙

znym

.

5

Przyk lad:

a

n

:=

1
n

Niech dane be

ι

dzie  > 0 oraz niech N be

ι

dzie

liczba

ι

naturalna

ι

wie

ι

ksza

ι

od

1



. Wtedy dla m > N

mamy:

0 < a

m

=

1

m

<

1

N

< 

Czyli

lim

n→∞

1

n

= 0

Np:  =

1
4

to N = 4;  = 0.005 to N = 200, itp.

6

Przyk lad:

a

n

:= 3 +

1
n

Niech dane be

ι

dzie  > 0 oraz niech N be

ι

dzie

liczba

ι

naturalna

ι

wie

ι

ksza

ι

od

1



. Wtedy dla m > N

mamy:

0 < a

m

− 3 =

1

m

<

1

N

< 

Czyli

lim

n→∞

(3 +

1

n

) = 3

7

Przyk lad:

a

n

:=

3n+6
n+12

a

3

=

15
15

= 1

a

10

=

36
32

=

9
8

a

100

=

306
112

' 2.73

a

1000

=

3006
1012

' 2.97

a

10000

=

30006
10012

' 2.997

3n+6
n+12

=

3n+36−30

n+12

= 3

−

30

n+12

8

“Podste

ι

pny” przyk lad

a

n

:= 1 +

1

2

+

1

3

+

1

4

+

· · · +

1

n

a

1

= 1 , a

2

=

3

2

, a

3

=

3

2

+

1

3

, . . .

...............................

a

1000

' 7.48...

a

10000

' 9.79

a

100000

' 12.09

a

1000000

' 14.39

a

1000000000

' 21.3

Ale a

n

da

ι

˙

zy do

∞, tzn dla odpowiednio du ˙zych

n przekroczy ka ˙zda

ι

zadana

ι

liczbe

ι

.

9

a

n

:= (

−1)

n

czyli

a

1

=

−1 , a

2

= 1 , a

3

=

−1 , a

4

= 1 , . . .

Ten cia

ι

g

nie ma granicy

czyli nie jest zbie ˙

zny.

Ka ˙

zdorazowe korzystanie z definicji by loby dosy´

c

ucia

ι

˙

zliwe:

a

n

=

2 + n

3

+ 3n

2

− 123

4n

3

+ 3n

2

+ 25

10

W lasno´

sci granicy cia

ι

gu

a

n

, b

n

– cia

ι

gi zbie ˙

zne

•

granica sumy(r´

oznicy) jest r´

owna sumie(r´

oznicy)

granic:

lim

n→∞

(a

n

± b

n

) = lim

n→∞

a

n

± lim

n→∞

b

n

•

granica iloczynu(ilorazu) jest r´

owna iloczynowi

(ilorazowi) granic:

lim

n→∞

(a

n

b

n

) = lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

Je ˙

zeli lim

n→∞

b

n

6= 0 oraz b

n

6= 0 dla “du ˙zych”

n to:

lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

11

Twierdzenie o 3 cia

ι

gach

Mamy 3 cia

ι

gi a

n

, b

n

, c

n

. Spe lniaja

ι

one nier´

owno´

s´

c:

a

n

≤ b

n

≤ c

n

oraz

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

=: g

Wtedy:

lim

n→∞

b

n

= g.

12

• a

n

= b– cia

ι

g sta ly;

jest zbie ˙

zny i lim a

n

= b

• a

n

= nr , r > 0 – cia

ι

g arytmetyczny

cia

ι

g nie jest zbie ˙

zny;

• a

n

=

2+

2
n

3+

1

n2

lim

n→∞

a

n

=

lim(2 +

2
n

)

lim(3 +

1

n

2

)

=

2 + 0

3 + 0

=

2

3

a

n

=

2n

2

+2n

3n

2

+1

13

Fakt:

Je ˙

zeli cia

ι

g a

n

da

ι

˙

zy do g > 0 to cia

ι

g

√

a

n

da

ι

˙

zy

do

√

g.

Bowiem:

• Je ˙zeli lim a

n

= g to a

n

>

g

4

dla n > N

0

.

• Czyli dla n > N

0

|

√

a

n

−

√

g| =







a

n

− g

√

a

n

+

√

g







≤

|a

n

− g|

√

g/2 +

√

g

Je ˙

zeli a

n

> 0 i lim a

n

= 0 to lim

√

a

n

= 0; bowiem

niech  > 0 be

ι

dzie dany.

We´

zmy 

1

:= 

2

.

Wiemy, ˙

ze istnieje N takie, ˙ze dla m > N

a

m

< 

1

= 

2

wtedy

√

a

m

≤

q



2

= 

14

Cia

ι

gi da

ι

˙

za

ι

ce do

±∞

Cia

ι

g da

ι

˙

zy do

∞ je ˙zeli

“dalekie” wyrazy sa

ι

“dowol-

nie du ˙

ze”

, czyli wie

ι

ksze od dowolnej zadanej z

g´

ory liczby.

Dla ka ˙

zdej liczby M istnieje N takie, ˙ze dla wszys-

tkich m > N

a

m

> M.

Do

−∞:

Dla ka ˙

zdej liczby M istnieje N takie, ˙ze dla wszys-

tkich m > N

a

m

< M.

15

Przyk lady:

Cia

ι

g arytmetyczny:

a

n

= nr , r > 0.

Wtedy

lim a

n

=

∞.

Je ˙

zeli r < 0 to lim a

n

=

−∞.

Dow´

od:

Niech dane be

ι

dzie M > 0, chcemy znale´

z´

c N

takie, ˙

ze dla m > N a

m

> M

ale a

m

= mr > N r, czyli potrzebujemy

rN > M

zatem N >

M

r

.

Uwaga:

Cia

ι

g a

n

:= (

−1)

n

n

nie da

ι

˙

zy do

∞ ani do −∞.

16

Uwaga!!

Je ˙

zeli cia

ι

g a

n

da

ι

˙

zy do 0 a cia

ι

g b

n

do

∞ to cia

ι

g

a

n

b

n

mo ˙

ze da

ι

˙

zy´

c do 0,

±∞, dowolnej liczby, lub

nie mie´

c granicy.

• a

n

:=

1

n

2

, b

n

:= n wtedy a

n

b

n

=

1
n

i to da

ι

˙

zy

do 0.

• a

n

:=

1
n

, b

n

:= rn , r ∈

R

wtedy a

n

b

n

= r jest

cia

ι

giem sta lym czyli zbie ˙

znym do granicy r.

• a

n

:=

1
n

, b

n

:= n

2

wtedy a

n

b

n

= n i to da

ι

˙

zy

do

∞.

• a

n

:=

(

−1)

n

n

, b

n

:= n wtedy a

n

b

n

= (

−1)

n

i

ten cia

ι

g nie ma granicy.

17

Cia

ι

g geometryczny

a

n

:= aq

n

, a, q ∈

R

\ {0}

a

1

= aq , a

2

= aq

2

, a

3

= aq

3

, . . .

a

n+1

a

n

= q

Oprocentowanie w banku:

Je ˙

zeli mamy lokate

ι

roczna

ι

o warto´

sci pocza

ι

tkowej

K, oprocentowaniu r% w stosunku rocznym i

rocznej kapitalizacji to warto´

s´

c lokaty po kole-

jnych latach wynosi:

po pierwszym roku:

K +

r

100

K = K(1 +

r

100

)

po drugim roku:

K(1 +

r

100

) + K(1 +

r

100

)

r

100

= K(1 +

r

100

)

2

po trzecim roku:

K(1 +

r

100

)

2

+ K(1 +

r

100

)

2

r

100

= K(1 +

r

100

)

3

po n-tym roku:

K(1 +

r

100

)

n

18

Zbie ˙

zno´

s´

c cia

ι

gu geometrycznego:

• Je ˙zeli q = 1 to cia

ι

g jest sta ly, czyli zbie ˙

zny;

• Je ˙zeli q > 1 to cia

ι

g da

ι

˙

zy do

∞;

• Je ˙zeli |q| < 1 czyli −1 < q < 1 to cia

ι

g da

ι

˙

zy

do 0.

• Je ˙zeli q ≤ −1 to cia

ι

g nie ma granicy.

19

Liczba e:

Powiedzmy, ˙

ze lokata be

ι

dzie kapitalizowana kilka

razy w cia

ι

gu roku, np co p´

o l roku, wtedy jej

warto´

s´

c po roku wynosi:

K(1 +

r

2

)

2

,

gdzie r oznacza teraz oprocentowanie jako u lamek,

czyli np 5% =

5

100

.

Je ˙

zeli be

ι

dzie kapitalizacja miesie

ι

czna to warto´

s´

c

po roku wynosi:

K(1 +

r

12

)

12

kapitalizacja dzienna:

K(1 +

r

365

)

365

kapitalizacja sekundowa:

K(1 +

r

31563000

)

31563000

20

Dla r = 0.08 mamy

(1 +

r

2

)

2

' 1.082 , (1 +

r

12

)

12

' 1.083 ,

(1 +

r

365

)

365

' 1.0833

Okazuje sie

ι

, ˙

ze cia

ι

g

a

n

(x) := (1 +

x

n

)

n

, x ∈

R

ma granice

ι

lim

n→∞

(1 +

x

n

)

n

= e

x

e := lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

' 2.73...

e jest liczba

ι

niewymierna

ι

21

Przydatne fakty

• Niech a

n

be

ι

dzie cia

ι

giem o wyrazach r´

o ˙

znych

od 0 (przynajmniej od pewnego miejsca).

Tworzymy cia

ι

g iloraz´

ow kolejnych wyraz´

ow:

b

n

:=

a

n+1

a

n

. Je ˙

zeli cia

ι

g

|b

n

| ma granice

ι

mniejsza

ι

od 1

to cia

ι

g a

n

ma granice

ι

0.

Przyk lad:

a

n

:=

6

n

n!

(n! := 1 · 2 · 3 · · · · · n)

a

n+1

a

n

=

6

n+1

n!

6

n

(n + 1)!

=

6

n + 1

oraz lim

n→∞

6

n+1

= 0 zatem

lim

n→∞

6

n

n!

= 0.

• Je ˙zeli dodatkowo a

n

> 0 oraz cia

ι

g b

n

ma

granice

ι

wie

ι

ksza

ι

od 1, to cia

ι

g a

n

da

ι

˙

zy do

∞

• Dla ka ˙zdej dodatniej liczby a ∈

R

lim

n→∞

n

√

a = 1

22

Uwaga: Nieprawda

ι

jest

, ˙

ze je ˙

zeli a

n

ma granice

ι

zero, to

1

a

n

ma granice

ι

∞, natomiast

prawda

ι

jest,

˙

ze je ˙

zeli a

n

ma granice

ι

∞ to

1

a

n

ma

granice

ι

zero.

• Je ˙zeli cia

ι

g a

n

jest

ograniczony

tzn istnieje

liczba M taka, ˙ze |a

n

| < M dla ka ˙zdego n

oraz cia

ι

g b

n

da

ι

˙

zy do zera, to cia

ι

g a

n

b

n

da

ι

˙

zy

do zera.

• Cia

ι

g jest

ograniczony z do lu

je ˙

zeli istnieje

liczba M taka, ˙ze a

n

> M dla ka ˙zdego n.

Cia

ι

g jest

ograniczony z g´

ory

je ˙

zeli istnieje

liczba M taka, ˙ze a

n

< M dla ka ˙zdego n.

Cia

ι

g jest

rosna

ι

cy

je ˙

zeli a

n+1

≥ a

n

dla ka ˙

zdego

n.

Cia

ι

g jest

maleja

ι

cy

je ˙

zeli a

n+1

≤ a

n

dla

ka ˙

zdego n.

Cia

ι

g rosna

ι

cy i ograniczony z g´

ory jest zbie ˙

zny,

cia

ι

g maleja

ι

cy i ograniczony z do lu jest zbie ˙

zny.

Cia

ι

g lo´

s´

c funkcji

Funkcja cia

ι

g la dla

“bliskich”

argument´

ow przyj-

muje

“bliskie”

warto´

sci

Cia

ι

g lo´

s´

c funkcji=cia

ι

g lo´

s´

c funkcji w ka ˙

zdym punkcie

dziedziny.

Funkcja f

jest cia

ι

g la w punkcie p

, je ˙

zeli dla

ka ˙

zdego cia

ι

gu x

n

element´

ow z dziedziny zachodzi:



lim

n→∞

x

n

= p



⇒



lim

n→∞

f (x

n

) = f (p)



Czyli je ˙

zeli argumenty “da

ι

˙

za

ι

” do pewnego punktu

w dziedzinie, to warto´

sci “da

ι

˙

za

ι

” do warto´

sci

funkcji w tym punkcie.

23

R´

ownowa ˙

zna definicja:

f jest cia

ι

g la w punkcie x

0

je ˙

zeli dla dowolnego

 > 0 istnieje δ > 0 taka, ˙ze

|x − x

0

| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (x

0

)

| ≤ 

Przyk lad:

f (x) := 3x + 7

|f (x) − f (x

0

)

| = |3x + 7 − (3x

0

+ 7)

| =

=

|3(x − x

0

)

| = 3|x − x

0

|

tak jest dla dowolnych liczb x, x

0

. Zatem je ˙

zeli

chcemy aby

|f (x)−f (x

0

)

| = 3|x−x

0

| by lo mniejsze

od  musimy wzia

ι

´

c δ =



3

.

24

Inaczej: niech cia

ι

g a

n

da

ι

˙

zy do x

0

. Liczymy:

f (a

n

) = 3a

n

+ 7

→ 3x

0

+ 7 = f (x

0

),

na mocy w lasno´

sci granicy cia

ι

gu.

Granica funkcji w punkcie

Cia

ι

g lo´

s´

c w punkcie:



lim

n→∞

x

n

= p



⇒



lim

n→∞

f (x

n

) = f (p)



Warunek:

lim

n→∞

f (x

n

) = f (p)

mo ˙

zna potraktowa´

c jako koniunkcje

ι

dw´

och warunk´

ow:

1) Istnieje: lim

n→∞

f (x

n

) =: g

2) Ta granica jest r´

owna warto´

sci: g = f (p)

Dla pierwszego

nie trzeba

, aby punkt p by l w

dziedzinie funkcji f , wystarczy by w dziedzinie

by ly wyrazy cia

ι

gu x

n

.

Np: f (x) =

1
x

oraz x

n

:=

1
n

.

25

Liczbe

ι

g nazywamy

granica

ι

funkcji w punkcie

p

, je ˙

zeli dla ka ˙

zdego cia

ι

gu x

n

6= p w dziedzinie

funkcji f spe lniony jest warunek:



lim

n→∞

x

n

= p



⇒



lim

n→∞

f (x

n

) = g



Ten fakt zapisujemy jako

g = lim

x→p

f (x)

26

Granice jednostronne

Granica prawostronna:

Liczbe

ι

g nazywamy

granica

ι

prawostronna

ι

funkcji

w punkcie p

, je ˙

zeli dla ka ˙

zdego cia

ι

gu

x

n

> p

w

dziedzinie funkcji f spe lniony jest warunek:



lim

n→∞

x

n

= p



⇒



lim

n→∞

f (x

n

) = g



Piszemy:

g = lim

x→p

+

f (x)

Granica lewostronna:

Liczbe

ι

g nazywamy

granica

ι

lewostronna

ι

funkcji

w punkcie p

, je ˙

zeli dla ka ˙

zdego cia

ι

gu

x

n

< p

w

dziedzinie funkcji f spe lniony jest warunek:



lim

n→∞

x

n

= p



⇒



lim

n→∞

f (x

n

) = g



Piszemy:

g = lim

x→p

−

f (x)

27

Funkcja f posiada w punkcie p granice

ι

g wtedy

i tylko wtedy, gdy

lim

x→p

+

f (x) = lim

x→p

−

f (x) = g

28

Przyk lad:

Niech f (x) :=







x + 3 dla

x < 0

a dla x = 0

−x + 3 dla

x > 0

Wtedy

lim

x→0

−

f (x) = lim

x→0

−

x + 3 = 3

lim

x→0

+

f (x) = lim

x→0

−

−x + 3 = 3

Czyli granica funkcji w punkcie 0 istnieje i jest

r´

owna 3.

Zatem ta funkcja jest cia

ι

g la

jedynie

dla a = 3

.

29

Podstawowe operacje na funkcjach cia

ι

g lych

• Suma (r´

o ˙

znica) funkcji cia

ι

g lych jest funkcja

ι

cia

ι

g la

ι

.

Suma (r´

o ˙

znica) funkcji:

(f ± g)(x) := f (x) ± g(x)

• Iloczyn (iloraz) funkcji cia

ι

g lych jest funkcja

ι

cia

ι

g la

ι

.

Iloczyn (iloraz) funkcji:

(f g)(x) := f (x)g(x) ,

f

g

!

(x) :=

f (x)

g(x)

30

Z lo ˙

zenie funkcji

Je ˙

zeli wynik dzia lania funkcji f nale ˙zy do dziedziny

funkcji g, to moge

ι

obliczy´

c warto´

s´

c g(f (x)), w

ten spos´

ob okre´

slona zosta la nowa funkcja:

z lo ˙

zenie

f i g

:

(f · g)(x) := f (g(x))

Przyk lady:

f (x) := x

2

, g(x) = x − 3

(f · g)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)

2

(g · f )(x) = g(f (x)) = g(x

2

) = x

2

− 3

Uwaga: Sk ladanie funkcji zale ˙

zy od kolejno´

sci,

czyli na og´

o l:

f · g 6= g · f

31

Z lo ˙

zenie funkcji cia

ι

g lych jest funkcja

ι

cia

ι

g la

ι

32

Podstawowe w lasno´

sci funkcji cia

ι

g lych:

• Funkcja cia

ι

g la na

odcinku domknie

ι

tym

przyj-

muje warto´

s´

c najwie

ι

ksza

ι

i najmniejsza

ι

.

• W lasno´

s´

c Darboux: Funkcja cia

ι

g la

na przedziale

przechodzi przez wszystkie warto´

sci po´

srednie,

czyli

f : [a, b] →

R

cia

ι

g la

dla ka ˙

zdego f (a) < c < f (b) istnieje a < x < b

takie, ˙

ze f (x) = c

• Je ˙zeli f jest cia

ι

g la i f (x

0

) > 0, to istnieje

pewien przedzia l [x

0

−δ, x

0

+δ] taki, ˙ze f (x) >

0 dla ka ˙

zdego x z tego przedzia lu.

33

Przyk lady:

f :]0, 2[3 x 7→ f (x) :=

x−1

x(x−2)

f -cia

ι

g la, przedzia l

otwarty

, nie osia

ι

ga ani warto´

sci najmniejszej ani

najwie

ι

kszej;

34

f : [0, 2] 3 x 7→ f (x) :=

(

1
2

dla x = 0, x = 2

x dla

0 < x < 2

przedzia l domknie

ι

ty, funkcja niecia

ι

g la

– nie osia

ι

ga

warto´

sci najwie

ι

kszej ani najmniejszej;

f : [−1, 1] 3 x 7→ f (x) :=

(

1
2

dla x = 0,

0 dla

x 6= 0

wtedy nie istnieje przedzia l wok´

o l x = 0, na

kt´

orym funkcja jest dodatnia.

Podstawowe funkcje cia

ι

g le:

•

Wielomiany:

wielomian stopnia n to funkcja

postaci:

f (x) := a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+

· · · a

n

x

n

, a

0

, a

1

, · · · , a

n

∈

R

dziedzina wielomian´

ow to wszystkie liczby

rzeczywiste.

35

•

Funkcje wymierne:

to funkcje postaci

f (x) :=

W (x)

R(x)

, W, R − −wielomiany

Dziedzina funkcji wymiernej: wszystkie liczby

rzeczywiste z wyja

ι

tkiem miejsc zerowych mi-

anownika.

f (x) = x

3

− 2x + 7 , f (x) :=

x

3

+ 2x + 11

x

4

− x + 1

f (x) =

1

x − 3

•

Funkcje pote

ι

gowe

(o wyk ladniku wymiernym):

f (x) :=

√

x = x

1
2

, f (x) =

3

√

x = x

1
3

,

f (x) = x

−

7
3

=

1

3

√

x

7

•

Funkcje trygonometryczne:

sin, cos, tan, cot