Analiza funkcjonalna

Wykªad 8

Operatory liniowe i funkcjonaªy liniowe. Przestrze« sprz¦»ona.

1. Wa»ne twierdzenia o operatorach liniowych ograniczonych c.d.

Denicja 1. Funkcja f na przestrzeni metrycznej (X, d) jest odwzorowaniem otwartym,

gdy obraz ka»dego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 1 (o odwzorowaniu otwartym). Niech V i W b¦da przestrzeniami Banacha

i niech A ∈ L(V, W ) (tzn. A jest liniowym i ograniczonym operatorem z V w W ). Je±li A

odwzorowuje przestrze« V na przestrze« W , to A jest odwzorowaniem otwartym.

Twierdzenie 2 (o odwzorowaniu odwrotnym). Niech V i W b¦da przestrzeniami Banacha

i niech A ∈ L(V, W ). Je±li A jest odwracalny (ró»nowarto±ciowy i na), to A

−1

∈ L(W, V )

(tzn. A

−1

jest liniowy i ograniczony).

Denicja 2. Wykresem odwzorowaniaA nazywamy zbiór

{(¯

v, A¯v): ¯v ∈ V }.

W przestrzeni produktowej V ×W wprowadzamy norm¦ wzorem k(¯v, ¯w)k = k¯vk

V

+k¯

Wk

W

,

gdzie k·k

V

i k·k

W

s¡, odpowiednio, normami na V i na W . Mo»na sprawdzi¢, »e V ×W z tak

wprowadzon¡ norm¡ jest przestrzeni¡ Banacha, gdy V i W s¡ Banacha (na ¢wiczeniach).

Šatwo udowodni¢, »e wykres odwzorowania ci¡gªego jest domkni¦ty. Ale zachodzi te»

nast¦puj¡ce twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 3 (o wykresie domkni¦tym). Niech V i W b¦da przestrzeniami Banacha i

niech A: V → W b¦dzie operatorem liniowym. Je±li wykres odwzorowania A jest domkni¦ty

w V × W , to A ∈ L(V, W ).

Nie b¦dziemy udowadnia¢ tych twierdze«, bo to znów wymaga twierdzenia Baire'a, ale

poka»emy, »e w istocie wystarczy udowodni¢ jedno z nich.

Twierdzenie 4. Niech V i W b¦da przestrzeniami Banacha. Wtedy twierdzenia 1, 2 i 3

s¡ równowa»ne.

Proof. Tw.1⇒ Tw.2: Zaªó»my, »e operator A ∈ L(V, W ) jest odwracalny. Wtedy odw-

zorowuje V na W i z twierdzenia 1 jest odwzorowaniem otwartym. Ale skoro A = (A

−1

)

−1

,

to A

−1

jest ci¡gªe. Liniowo±¢ A

−1

jest ªatwa: je±li ¯w

1

, ¯

w

2

∈ W

, to istniej¡ ¯v

1

, ¯

v

2

∈ V

, dla

których ¯w

1

= A¯

v

1

, ¯w

2

= A¯

v

2

i dla dowolnych α, β ∈ K zachodzi

A

−1

(α¯

w

1

+ β¯

w

2

) = A

−1

(αA¯

v

1

+ βA¯

v

2

) = A

−1

(A(α¯

v

1

+ β¯

v

2

)) = α¯

v

1

+ β¯

v

2

= αA¯

w

1

+ β¯

w

2

.

Tw.2⇒ Tw.3: Zaªó»my, »e wykres G = {(¯v, A¯v): ¯v ∈ V } jest domkni¦ty. Zatem jest

to przestrze« Banacha (jako domkni¦cie podprzestrzeni liniowej w przestrzeni Banacha).

Przeksztaªcenie G 3 (¯v, A¯v) 7→ ¯v ∈ V jest liniowe, ró»nowarto±ciowe, na i ci¡gªe, bo
k¯

vk ≤ k(¯v, A¯v)k. Zatem z twierdzenia 2 odwzorowanie odwrotne ¯v ∈ V 7→ (¯v, A¯v) jest

ciagªe. Tzn. istnieje m takie, »e

k(¯

v, A¯v)k ≤ mk¯vk

∀¯

v ∈ V.

Ale kA¯vk ≤ k(¯v, A¯v)k, wi¦c A jest ci¡gªe.

1

Tw.3⇒ Tw.1: Niech A ∈ L(V, W ) b¦dzie na. J¡dro ker(A) = {¯v: A¯v = ¯0} jest

podprzestrzeni¡ liniow¡ domkni¦t¡ (dzi¦ki ci¡gªo±ci). Przypomnijmy z algebry liniowej 2,

»e przestrze« ilorazowa V/

ker(A)

, to zbiór warstw [¯v], gdzie ¯v i ¯w nale»¡ do tej samej warstwy,

gdy ¯v − ¯w ∈ ker(A). Norm¦ na ker(A) okre±lamy wzorem k[¯v]k = inf{¯w: ¯w − ¯v ∈ ker(A)}.

Odwzorowanie kanoniczne κ: V → V/

ker(A)

jest okre±lone wzorem κ(¯v) = [¯v]. Oznaczmy

przez B odwzorowanie B : V/

ker(A)

→ W

takie, »e B ◦ κ = A. Tzn. B[¯v] = A¯v. Jasne, »e

B

jest liniowe i na. Jest te» ró»nowarto±ciowe, bo je±li B[¯v] = B[¯w], to A¯v = A¯w, a wtedy

¯

v − ¯w ∈ ker(A), czyli [¯v] = [¯w]. Jest ci¡gªe, bo kB[¯v]k = kA¯vk ≤ kAkk¯vk i to samo zachodzi

dla ka»dego ¯w ∈ [¯v]. Jednocze±nie B[¯v] = B[¯w], gdy ¯w ∈ ¯v, wi¦c B[¯v] ≤ kAk inf

¯

w∈k¯vk

k¯

wk =

kAkk[¯

v]k.

Zatem B ma domkni¦ty wykres, czyli jest ci¡gªe, a skoro jest odwracalne to tak»e

B

−1

ma domkni¦ty wykres, wi¦c jest ci¡gªe. Zatem B jest izomorzmem V/

ker(A)

na W .

Wiadomo, »e κ jest otwarte, a B jest otwarte jako izomorzm, wi¦c A jest otwarte.

Wniosek 1 (twierdzenie o dwóch normach). Niech k·k

1

i k·k

2

b¦d¡ normami na V . Je±li V

jest przestrzeni¡ Banacha w ka»dej z tych norm i dla ka»dego ci¡gu (¯v

n

)

zachodzi implikacja

lim

n

k¯

v

n

k

1

= 0 ⇒ lim

n

k¯

v

n

k

2

= 0

, to obie normy s¡ równowa»ne.

Proof. Rozwa»my przeksztaªcenie identyczno±ciowe I : (V, k · k

1

) → (V, k · k

2

)

, I(¯v) = ¯v.

To przeksztaªcenie jest, oczywi±cie, liniowe i, zgodnie z zaªo»eniem, ci¡gªe w ¯0. Ale wtedy

jest po prostu ci¡gªe. Jest te» ró»nowarto±ciowe i na, wi¦c z twierdzenia o odwzorowaniu

otwartym odwzorowanie I

−1

: (V, k · k

2

) → (V, k · k

1

)

, I

−1

(¯

v) = ¯v, jest te» ci¡gªe. Czyli

I

jest izomorzmem. Z ograniczono±ci I istnieja staªe C

1

, C

2

, dla których k¯vk

1

≤ k¯

vk

2

i

k¯

vk

2

≤ k¯

vk

1

dla dowolnych ¯v ∈ V .

2. Funkcjonaªy liniowe.

Denicja 3. Funkcjonaªem liniowym na przestrzeni liniowej V nad ciaªem skalarów K

nazywamy przeksztaªcenie liniowe z V w K.

Je±li V b¦dzie przestrzeni¡ unormowan¡ i K potraktujemy jako przestrze« unormowan¡,

poprzednie denicje i twierdzenia (nie tylko z tego wykªadu) b¦d¡ miaªy zastosowanie do

funkcjonaªów jako szczególnego przypadku przeksztaªce« liniowych. W tym:

Denicja 4. Funkcjonaª liniowy F na V jest ograniczony, gdy istnieje taka liczba nieujemna
m

, »e

kF (¯

v)k ≤ mk¯vk

∀ ¯

v ∈ V.

Norm¡ funcjonaªu F nazywamy kres dolny liczb m speªniaj¡cych powy»szy warunek. Nor-

m¦ funkcjonaªu F oznaczamy przez kF k.

Twierdzenie 5.

kF k = sup

k¯

vk≤1

kF ¯

vk = sup

k¯

vk=1

kF ¯

vk = sup

¯

v∈V

kF ¯

vk

k¯

vk

.

2

Twierdzenie 6. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

1. F jest ograniczony,

2. F jest ci¡gªy,

3. F jest ci¡gªy w jednym punkcie,

4. F jest ci¡gªy w ¯0.

Zbiór wszystkich funkcjonaªów liniowych na V jest przestrzeni¡ liniow¡ unormowan¡ (z

naturalnymi dziaªaniami). Co wi¦cej, K jest przestrzeni¡ sko«czenie wymiarow¡, zatem jest

zupeªna, wi¦c przestrze« wszystkich funkcjonaªów jest przestrzeni¡ Banacha. Nazywamy j¡

przestrzeni¡ sprz¦»on¡ (lub dualn¡) do przestrzeni V i oznaczamy przez V

∗

.

Uwaga. Cz¦sto w ksi¡»kach spotyka si¦ inn¡ notacj¦. Przez X oznaczamy przestrze«

unormowan¡, jej elementy przez x, a funkcjonaªy przez x

∗

. Wtedy warto±¢ funkcjonaªu x

∗

w x to x

∗

(x)

lub x

∗

x

.

3