Odwzorowanie Gaussa - Krugera

1

Odwzorowanie Gaussa-Krügera


Najbardziej korzystnym układem z którym mamy do czynienia w geodezji jest układ współrzędnych
prostokątnych (na płaszczyźnie). Taki układ ułatwia rozwiązanie szeregu zagadnień, gdyż związki
zachodzące na płaszczyźnie dają się wyrazić w sposób prosty.
Jest to odwzorowanie wiernokątne walcowe poprzeczne elipsoidy.
Dla celów geodezyjnych używa się w Polsce trzystopniowych pasów południkowych z południkami
osiowymi
15

°

, 18

°

, 21

°

, 24

°

(na wschód od Greenwich)

Przy wyprowadzeniu formuł odwzorowawczych zrobiono następujące założenia

1. południk osiowy odwzoruje się w postaci linii prostej, która służy jako oś odciętych
2. odcięta punktu leżącego na południku osiowym powinna być równa długości łuku południka

liczonego od równika do danego punktu.

Rzędne w południku są równe zeru, przecięcie południka osiowego z równikiem jest początkiem

układu współrzędnych. Współrzędnymi punktu P są (rys.):

P

P

y

P

P

X

1

1

0

=

=

Odcięta X ma zawsze znak dodatni.
Rzędna y będzie dodatnia jeśli leży na wschód i ujemna jeśli leży na zachód od południka osiowego. Aby
jednak współrzędne punktów miały zawsze znak dodatni wprowadza się następujący sposób oznaczenia.
Rzędną południka osiowego oblicza się dzieląc numer południka osiowego przez trzy. Otrzymana liczba
wskazuje ilość tysięcy kilometrów. Następnie do tej liczby dodaje się 500 km. Na przykład dla południka
osiowego którego długość

ο

21

=

L

rzędna wynosi

km

Y

7500

0

=

Jeżeli punkt nie leży w południku osiowym, to jego rzędna będzie wynosić:

y

Y

Y

+

=

0

Para funkcji odwzorowawczych Gaussa-Krügera (odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznice
walca) ma następującą postać:

(

)

2

2

2

3

4

4

2

2

2

4

9

5

cos

sin

24

cos

sin

2

η

η

ρ

ρ

+

+

−

+

+

=

t

B

B

l

N

B

B

l

N

X

X

pol

(

)

(

)

2

2

2

4

2

5

5

5

2

2

3

3

3

58

14

18

5

cos

120

1

cos

6

cos

t

t

t

B

l

N

t

B

l

N

B

l

N

Y

η

η

ρ

η

ρ

ρ

−

+

+

−

+

+

−

+

=

gdzie:

B

t

B

e

tan

cos

2

=

′

=

η

(

)

...

6

sin

4

cos

2

sin

6

4

2

0

+

−

+

−

=

B

A

B

A

B

A

B

A

a

X

pol

- długość łuku południka

Odwzorowanie Gaussa - Krugera

2

256

5

64

3

4

1

6

4

2

0

e

e

e

A

−

−

−

=













+

+

=

128

15

4

8

3

6

4

2

2

e

e

e

A













+

=

4

3

256

15

6

4

4

e

e

A

3072

35

6

6

e

A

=

Skala m w tym odwzorowaniu wyraża się wzorem:

(

)

(

)

2

4

4

4

2

2

2

2

4

5

cos

24

1

cos

2

1

t

B

l

B

l

m

−

+

+

+

=

ρ

η

ρ

gdzie:

l – różnica długości geodezyjnej danego punktu i południka osiowego.

Prawa odwzorowawcze definiuje się jednoznacznie kładąc obok generalnej wiernokątności warunek

prostoliniowości i izometryczności odwzorowania południka osiowego (powierzchnia walcowa jest
styczna wzdłuż tego południka do elipsoidy). Na płaszczyźnie odwzorowawczej definiujemy układ
współrzędnych tak, że osie x, y układu pokrywają się odpowiednio z prostoliniowymi obrazami południka
osiowego i równika (obrazem równika jest linia prosta prostopadła do obrazu południka).

Metoda Krügera jest najbardziej efektywną numerycznie metodę realizacji odwzorowania. Polega ona na
zastosowaniu trzech przekształceń:

•

wiernokątne odwzorowanie całej powierzchni elipsoidy na całą sferę (powierzchnię kuli), znane
jako odwzorowanie Lagrange'a,

•

wiernokątne - walcowe - poprzeczne odwzorowanie sfery na płaszczyznę (odwzorowanie
poprzeczne Mercatora),

•

wiernokątne przekształcenie płaszczyzny Mercatora na płaszczyznę Gaussa-Krügera (odwzorowane
Krügera) tak, aby był spełniony warunek odwzorowania dotyczący izometryczności południka
środkowego.