Pytania kontrolne do wykÃladu z algebry

Liczby zespolone

1. Podaj definicj¸e iloczynu kartezja´nskiego zbior´ow. Wyznacz zbi´or A × B, dla A = (−1, 3], B =

{1} ∪ [2, 4).

2. Podaj definicj¸e liczby zespolonej. W jakiej postaci mo˙zna zapisa´c liczb¸e zespolon¸a? Liczb¸e (−2, 2)

zapisz we wszystkich znanych postaciach.

3. Podaj definicj¸e liczby sprz¸e˙zonej i wymie´n wÃlasno´sci sprz¸e˙zenia.

4. Podaj dwie wielko´sci, kt´ore geometrycznie charakteryzuj¸a liczby zespolone. Wymie´n ich wÃlasno´sci.

Zaznacz na pÃlaszczy´znie zespolonej zbiory liczb z ∈ C speÃlniaj¸acych warunki |z −z

0

| = r, |z −z

0

| ≤ r,

r ≤ |z − z

0

| ≤ R, gdzie r, R > 0, z

0

∈ C s¸a ustalone.

5. Podaj wzory na iloczyn i iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Ile wynosi Arg(

z

1

z

2

),

je´sli Argz

1

=

2
5

π, Argz

2

=

3
2

π?

6. a) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e, kt´orej moduÃl jest r´owny 2, a argument gÃl´owny π/6;

b) Zapisz w postaci trygonometrycznej liczb¸e 5 − 5i;
c) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e 2(cos

353π

4

+ i sin

353π

4

);

d) Zaznacz na pÃlaszczy´znie zespolonej liczby o module r´ownym 3, kt´ore s¸a wierzchoÃlkami tr´ojk¸ata
r´ownobocznego o ´srodku w pocz¸atku ukÃladu wsp´oÃlrz¸ednych i podstawie r´ownolegÃlej do osi rzeczy-
wistej.

7. Oblicz wszystkie pot¸egi o wykÃladnikach caÃlkowitych od −4 do 4 liczby

1+i

√

2

i zaznacz ich poÃlo˙zenie na

pÃlaszczy´znie zespolonej. Wyja´snij uzyskany wynik za pomoc¸a przedstawienia trygonometrycznego
tej liczby.

8. Podaj wz´or de Moivre’a. Zastosuj ten wz´or do obliczenia (−2 − 2i)

10

.

9. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczb¸e z = −

√

3 + i i oblicz (−

√

3 + i)

24

.

10. Odgadnij warto´sci liczb i

51

i i

−53

. Uzasadnij otrzymany wynik.

11. Podaj definicj¸e pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej. Korzystaj¸ac z tej definicji oblicz

√

3 + 4i.

12. Odgaduj¸ac jeden z pierwiastk´ow stopnia 4 z liczby (1 − 4i)

4

wyznacz pozostaÃle i podaj interpretacj¸e

geometryczn¸a zbioru tych pierwiastk´ow.

13. Podaj wz´or na pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej.

14. Sprawd´z, czy liczba z

0

=

√

3 − i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z

9

− 512.

15. Ile pierwiastk´ow ma wielomian zespolony stopnia n ∈ N. Znajd´z wszystkie pierwiastki wielomianu

W (z) = z

4

− 1.

16. Ile rozwi¸aza´n ma r´ownanie kwadratowe w zbiorze C? Podaj odpowiednie wzory.

Macierze

17. Podaj definicj¸e macierzy i wymie´n trzy dowolne rodzaje macierzy (podaj odpowiednie przykÃlady).

18. Czy ka˙zde dwie macierze mo˙zna doda´c, pomno˙zy´c? Je´sli nie, jakie musz¸a by´c speÃlnione warunki,

aby mo˙zna byÃlo wykona´c te dziaÃlania?

19. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a jednostkow¸a? Jak¸a wÃlasno´s´c ma ta macierz?

20. Podaj przykÃlady dw´och niezerowych macierzy, kt´orych iloczyn jest macierz¸a zerow¸a. Czy podobna

sytuacja mo˙ze si¸e zdarzy´c w zbiorze liczbowym?

21. Czy w zbiorze macierzy prawdziwy jest wz´or skr´oconego mno˙zenia (A + B)(A − B) = A

2

− B

2

?

Odpowied´z uzasadnij.

22. Napisz dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a doln¸a i dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a g´orn¸a, obie czwartego stopnia.

Oblicz ich iloczyn.

23. UzupeÃlnij wzory (A + B)

T

= ...., (AB)

T

= ...., (A

T

)

T

= .... (wÃlasno´sci transponowania macierzy).

Na przykÃladzie macierzy A =

·

−1 2 4 1
−2 2 1 0

¸

i B =









−1

0

3

2

2 −3
2

4







 sprawd´z drugi wz´or.

24. Podaj definicj¸e wyznacznika macierzy stopnia n ∈ R.

25. SformuÃluj twierdzenie Laplace’a o rozwini¸eciu wyznacznika. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia oblicz

wyznacznik macierzy A =









2

1 0

3

1

4 1 −1

0

2 0

1

1 −1 1

2







 .

26. Wymie´n wÃlasno´sci wyznacznika macierzy. Korzystaj¸ac z tych wÃlasno´sci okre´sl warto´s´c wyznacznika

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

2

3

4

4

3

2

1

1/2 1/2 1/2 1/2

6

4

1

3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

27. Podaj definicj¸e macierzy nieosobliwej. Sprawd´z czy macierz A =





3

1

4

−1 −2

3

−3

6 −9



 jest nieosobliwa.

28. Napisz dowoln¸a macierz tr´ojk¸atn¸a g´orn¸a pi¸atego stopnia i oblicz jej wyznacznik. Ile jest r´owny

wyznacznik dowolnej macierzy tr´ojk¸atnej g´ornej (dolnej)?

29. Podaj definicj¸e macierzy odwrotnej. Sprawd´z, czy macierz A =





0

1 1

1 −1 2

−1

0 2



 jest odwrotna do

macierzy B =





2

2

1

0 −1

2

1

1 −2



.

30. Podaj wz´or macierzy odwrotnej do macierzy A. Wymie´n wÃlasno´sci macierzy odwrotnych.

31. Podaj definicj¸e rz¸edu macierzy.

Sprawd´z, dla jakich a ∈ R rz¸ad macierzy A =





a 4 2

1 a 1
1 2 4



 jest r´owny 2.

32. Wymie´n wÃlasno´sci rz¸edu macierzy i operacje elementarne, kt´ore nie zmieniaj¸a rz¸edu.

33. Niech A ∈ M

m×n

(R). UzupeÃlnij zdanie: rz A = r ⇐⇒ ....

34. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a schodkow¸a? Macierz A =





1 2 3 4

5

2 4 6 8

9

2 4 6 8 12



 sprowad´z do postaci

schodkowej i okre´sl jej rz¸ad.

UkÃlady r´

owa´

n liniowych

35. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi? Zapisz ten ukÃlad w postaci

macierzowej.

36. Podaj definicj¸e ukÃladu jednorodnego i niejednorodnego. Co wiemy o rozwi¸azaniach ukÃladu jednorod-

nego?

37. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem Cramera? SformuÃluj twierdzenie o rozwi¸azaniu tego ukÃladu.

38. SformuÃluj twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Czy ukÃlad pi¸eciu r´owna´n liniowych z sze´scioma niewiadomymi mo˙ze nie mie´c ˙zadnego rozwi¸azania?
Czy taki ukÃlad mo˙ze mie´c dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowied´z uzasadnij.

39. Czy ukÃlad siedmiu r´owna´n liniowych z sze´scioma niewiadomymi mo˙ze nie mie´c ˙zadnego rozwi¸azania?

Czy taki ukÃlad mo˙ze mie´c dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowied´z uzasadnij.

40. W ka˙zdym z poni˙zszych zda´n wybierz poprawn¸a odpowied´z.

A) Jednorodny ukÃlad m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi, kt´orego macierz wsp´oÃlczynnik´ow ma
rz¸ad r, ma dokÃladnie jedno rozwi¸azanie wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m = n > r, c)
m ≥ n = r, d) n ≥ m = r.
B) Jednorodny ukÃlad m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi, kt´orego macierz wsp´oÃlczynnik´ow ma
rz¸ad r, jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m < n < r, c) m > n > r, d)
n > m > r.

41. Ile rozwi¸aza´n mo˙ze mie´c ukÃlad n r´owna´n liniowych z n niewiadomymi? Podaj odpowiednie warunki.

Przestrzenie liniowe. PrzeksztaÃlcenia liniowe

42. Podaj definicj¸e podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V . Sprawd´z, czy zbi´or wielomian´ow W =

{w ∈ R

3

[x] : w(0) ≥ 0} jest podprzestrzeni¸a przestrzeni wektorowej R

3

[x].

43. Podaj przykÃlady podprzestrzeni wektorowych przestrzeni R

2

i R

3

.

44. Podaj definicj¸e podprzestrzeni generowanej przez zbi´or A ⊂ V . Niech v

1

= (1, 0, 2), v

2

= (−2, 0, 4).

Wyznacz Lin({v

1

}) i Lin({v

1

, v

2

}).

45. Czy przeci¸ecie i suma podprzestrzeni V

1

i V

2

przestrzeni wektorowej V s¸a tak˙ze podprzestrzeniami.

Odpowied´z uzasadnij.

46. Podaj definicj¸e liniowej niezale˙zno´sci wektor´ow. Sprawd´z, czy wektory (1, 2), (−1, 4) ∈ R

2

s¸a liniowo

niezale˙zne.

47. SformuÃluj warunek konieczny i wystarczaj¸acy na to, aby wektory v

1

, ..., v

n

∈ V byÃly liniowo zale˙zne.

48. Uzasadnij, ˙ze zbi´or wektor´ow v

1

, ..., v

n

∈ V zawieraj¸acy wektor zerowy jest liniowo zale˙zny.

49. Podaj definicj¸e bazy przestrzeni wektorowej. Podaj przykÃlady baz kanonicznych znanych przestrzeni

wektorowych.

50. SformuÃluj twierdzenie o r´ownoliczno´sci baz. Ile element´ow liczy dowolna baza przestrzeni R

n

, R

n

[x],

n ∈ N? Jakie s¸a wymiary tych przestrzeni?

51. Co to s¸a wsp´oÃlrz¸edne wektora w bazie B? Podaj wsp´oÃlrz¸edne wektora (4, 5) w bazie B = {(1, 1), (1, 0)}.

52. SformuÃluj i uzasadnij twierdzenie o jednoznaczno´sci przedstawienia wektora w bazie.

53. Jaki jest warunek na to, by ukÃlad n wektor´ow v

1

, ..., v

n

tworzyÃl baz¸e przestrzeni wektorowej R

n

.

54. Podaj definicj¸e przeksztaÃlcenia liniowego. Sprawd´z, czy L : R

2

→ R

2

okre´slone wzorem L(x, y) =

(2x + y, x − y) jest przeksztaÃlceniem liniowym.

55. Co to jest j¸adro i obraz odwzorowania liniowego? Podaj zwi¸azek mi¸edzy ich wymiarami.

56. Podaj definicje monomorfizmu, epimorfizmu oraz izomorfizmu.

57. SformuÃluj warunki wystarczaj¸ace na to, aby odwzorowanie liniowe byÃlo:

(a) monomorfizmem,

(b) epimorfizmem,

(c) izomorfizmem.

58. Wyznacz KerL i ImL dla odwzorowania z pytania 54. Czy to odwzorowanie jest izomorfizmem?

59. W przestrzeni wektorowej V = R

3

[x] okre´slone jest odwzorowanie L : V → V wedÃlug wzoru

(L(f ))(x) = f

00

(x)−f (x). Wyznacz macierz tego odwzorowania wzgl¸edem kanonicznej bazy przestrzeni

R

3

[x].

Geometria analityczna

60. Podaj definicj¸e iloczynu skalarnego i om´ow jego wÃlasno´sci. Jaki jest zwi¸azek mi¸edzy prostopadÃlo´sci¸a

wektor´ow a iloczynem skalarnym tych wektor´ow?

61. Oblicz iloczyn skalarny u ◦ v, je´sli kuk = 2, kvk = 3, ^(u, v) = π/3.

62. Korzystaj¸ac z wÃlasno´sci iloczynu skalarnego uzasadnij twierdzenie kosinus´ow.

63. Podaj definicj¸e iloczynu wektorowego i wyprowad´z wz´or na jego wsp´oÃlrz¸edne. Jaka jest interpretacja

geometryczna dÃlugo´sci wektora u × v?

64. Znajd´z wektor jednostkowy prostopadÃly do dw´och danych wektor´ow u = (1, 2, 3) i v = (−1, 0, 2).

65. Podaj definicj¸e iloczynu mieszanego wektor´ow u, v, w ∈ R

3

. Oblicz obj¸eto´s´c r´ownolegÃlo´scianu

rozpi¸etego na wektorach u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 3), w = (−1, 2, 1).

66. Napisz r´ownanie og´olne, odcinkowe i parametryczne pÃlaszczyzny.

Napisz r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez punkt P = (1, 2, −1) i prostopadÃlej do wektora
n = (−1, 0, 3).

67. Napisz r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez trzy punkty P

1

= (1, 1, 1), P

2

= (−1, 0, 1), P

3

=

(5, 6, 7).

68. Podaj r´ownanie parametryczne, kraw¸edziowe i kierunkowe prostej w przestrzeni. Napisz r´ownanie

parametryczne prostej przechodz¸acej przez punkt P = (1, 2, −1) i r´ownolegÃlej do wektora v =
(−1, −2, 4).

69. Prost¸a opisan¸a r´ownaniem kraw¸edziowym

½

x + 2y + z − 3 = 0
−x + 4y − z + 2 = 0

zapisz w postaci parametrycznej

i kierunkowej.

70. Oblicz odlegÃlo´s´c punktu (2, 4, −1) od pÃlaszczyzny 2x + y − z + 3 = 0.