1

Funkcje wektorowe jednej zmiennej

Niech

I

⊂

R

będzie dowolnym przedziałem. Funkcję

~

r : I → R

3 nazywamy funkcją wektorową jednej zmiennej.

Funkcję taką zapisujemy w postaci:

~

r(t) = [ x(t), y(t), z(t) ]

dla

t ∈ I

.

Jeżeli początek każdego z wektorów

~

r(t)

dla

t ∈ I

zaczepimy we

wspólnym punkcie

O

, to zbiór punktów

M

, będących końcami

tych wektorów, nazywamy hodografem funkcji wektorowej

~

r

.

Hodograf jest więc obrazem przedziału

I

i na ogół przedstawia

pewną krzywą.

2

~

r(t

0

) =

~

OM

Przykład

Znaleźć hodograf funkcji wektorowej:

a)

~

r(t) = [ 1 − 2t, 3 + t, −4 + 5t ] ,

t ∈ R

b)

~

r(t) = [ 5 cos t, 5 sin t, −1 ] ,

t ∈ [0, 2π]

3

Granica i ciągłość funkcji wektorowej

Definicja

Wektor stały

~a = [a

1

, a

2

, a

3

]

nazywamy granicą

funkcji wektorowej

~

r(t) = [ x(t), y(t), z(t) ]

w punkcie

t

0

∈ I

,

jeżeli

a

1

= lim

t→t

0

x(t),

a

2

= lim

t→t

0

y(t),

a

3

= lim

t→t

0

z(t).

Piszemy

~a = lim

t→t

0

~

r(t).

Przykład

Obliczyć granicę funkcji wektorowej

~

r(t)

w punkcie

t

0

= 0

, jeżeli

~

r(t) =






sin t

t

, e

t

− 1 , (1 + t)

1

t






.

4

Definicja

Funkcja wektorowa

~

r(t)

jest ciągła w punkcie

t

0

∈ I

,

jeżeli

lim

t→t

0

~

r(t) = ~

r(t

0

).

Fakt

Funkcja wektorowa

~

r(t) = [ x(t), y(t), z(t) ]

jest ciągła

w punkcie

t

0

∈ I

wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje skalarne

x(t), y(t), z(t)

są ciągłe w punkcie

t

0

∈ I

.

Definicja

Funkcja wektorowa

~

r(t)

jest ciągła w zbiorze

I

0

⊂ I

,

jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie zbioru

I

0 .

5

Pochodna funkcji wektorowej

Definicja

Załóżmy, że funkcje

x(t), y(t), z(t)

są różniczkowalne w

punkcie

t

0

∈ I

. Wówczas funkcja wektorowa

~

r(t) = [ x(t), y(t), z(t) ]

jest różniczkowalna w punkcie

t

0

∈ I

oraz

~

r

0

(t

0

) =

"

x

0

(t

0

), y

0

(t

0

), z

0

(t

0

)

#

.

Uwaga

W mechanice pochodną względem czasu oznacza się za

pomocą kropki:

~

r

0

(t

0

) =



~

r (t

0

).

6

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej

Jeżeli



~

r (t

0

) 6= ~0

, to pochodna



~

r (t

0

)

jest wektorem stycznym do

hodografu funkcji wektorowej

~

r(t)

w punkcie

M

0

~

OM

0

= ~

r(t

0

)

.

Zwrot wektora



~

r (t

0

)

jest zgodny z orientacją hodografu.

7

Reguły różniczkowania funkcji wektorowej

•

( C · ~

r )

0

= C · ~

r

0

•

( f · ~

r )

0

= f

0

· ~r + f · ~r

0

•

( ~

r

1

+ ~

r

2

)

0

= ~

r

1

0

+ ~

r

2

0

•

( ~

r

1

◦ ~r

2

)

0

= ~

r

1

0

◦ ~r

2

+ ~

r

1

◦ ~r

2

0

•

( ~

r

1

× ~r

2

)

0

= ~

r

1

0

× ~r

2

+ ~

r

1

× ~r

2

0

Pochodne wyższych rzędów

~

r

00

(t) =

~

r

0

(t)

!

0

~

r

000

(t) =

~

r

00

(t)

!

0

8

Definicja

Łukiem gładkim nazywamy hodograf funkcji wektorowej

~

r : [a, b] → R

2 , która jest ciągła na

[a, b]

oraz różnowartościowa i

różniczkowalna na

(a, b)

, przy czym dla każdego

t ∈ (a, b)

zachodzi

~

r

0

(t) 6= 0

.

Równanie prostej stycznej do łuku gładkiego

L

w punkcie

M

0

Jeżeli łuk gładki

L

dany jest równaniem

~

r(t)

, dla

t ∈ [a, b]

i

~

OM

0

= ~

r(t

0

)

,

t

0

∈ (a, b)

, to równanie prostej stycznej do łuku

gładkiego

L

w punkcie

M

0 ma postać:

~

r = ~

r(t

0

) + s ~

r

0

(t

0

),

s ∈ R

Przykład

Napisz równanie prostej stycznej do hodografu funkcji

~

r(t) = [ cos 2t , sin t , tg t−1 ]

w punkcie odpowiadającym parametro-

wi

t

0

=

π

4 .

9

Trójścian Freneta

Niech

L

będzie zorientowanym łukiem gładkim klasy C

2

o równaniu

~

r = ~

r(t),

t ∈ [a, b]

, przy czym orientacja łuku

L

jest zgodna z

jego parametryzacją. Załóżmy ponadto, że dla każdego

t ∈ (a, b)

~

r

0

(t) × ~

r

00

(t) 6= 0

.

Wówczas w punkcie

M

0

∈ L

można zaczepić trzy wzajemnie

prostopadłe wektory:

•

~

T (t

0

) = ~

r

0

(t

0

)

- wektor styczny

•

~

B(t

0

) = ~

r

0

(t

0

) × ~

r

00

(t

0

)

- wektor binormalny

•

~

N (t

0

) = ~

B(t

0

) × ~

T (t

0

)

- wektor normalny

Wektory te wyznaczają trzy wzajemnie prostopadłe proste, przecina-

jące się w punkcie

M

0

∈ L

oraz trzy wzajemnie prostopadłe

płaszczyzny, przechodzące przez ten punkt.

10

11

• Prosta styczna

~

r = ~

r(t

0

) + s ~

T (t

0

),

s ∈ R

Jeżeli

~

r(t

0

) = [ x(t

0

), y(t

0

), z(t

0

) ]

i

~

T (t

0

) = [T

1

, T

2

, T

3

]

, to







































































x = x(t

0

) + s T

1

y = y(t

0

) + s T

2

z = z(t

0

) + s T

3

s ∈ R

• Prosta binormalna

~

r = ~

r(t

0

) + s ~

B(t

0

),

s ∈ R

Jeżeli

~

r(t

0

) = [ x(t

0

), y(t

0

), z(t

0

) ]

i

~

B(t

0

) = [B

1

, B

2

, B

3

]

, to

12







































































x = x(t

0

) + s B

1

y = y(t

0

) + s B

2

z = z(t

0

) + s B

3

s ∈ R

• Prosta normalna

~

r = ~

r(t

0

) + s ~

N (t

0

),

s ∈ R

Jeżeli

~

r(t

0

) = [ x(t

0

), y(t

0

), z(t

0

) ]

i

~

N (t

0

) = [N

1

, N

2

, N

3

]

, to







































































x = x(t

0

) + s N

1

y = y(t

0

) + s N

2

z = z(t

0

) + s N

3

s ∈ R

13

• Płaszczyzna ściśle styczna

~

r = ~

r(t

0

) + s

1

~

T (t

0

) + s

2

~

N (t

0

),

s

1

, s

2

∈ R

B

1

( x − x(t

0

) ) + B

2

( y − y(t

0

) ) + B

3

( z − z(t

0

) ) = 0

• Płaszczyzna normalna

~

r = ~

r(t

0

) + s

1

~

B(t

0

) + s

2

~

N (t

0

),

s

1

, s

2

∈ R

T

1

( x − x(t

0

) ) + T

2

( y − y(t

0

) ) + T

3

( z − z(t

0

) ) = 0

• Płaszczyzna prostująca

~

r = ~

r(t

0

) + s

1

~

T (t

0

) + s

2

~

B(t

0

),

s

1

, s

2

∈ R

N

1

( x − x(t

0

) ) + N

2

( y − y(t

0

) ) + N

3

( z − z(t

0

) ) = 0

14

Przykład Napisz równania prostych i płasczyzn trójścianu Freneta

krzywej

L

w punkcie

M

0

(0, 0, 0)

:

L :

x(t) = t sin t,

y(t) = t cos t,

z(t) = t e

t

Przykład

Napisać równanie prostej binormalnej do krzywej

L

w

punkcie

(1, 2, −1)

:

L :

3x

2

= y − z,

x

2

= y + z

Przykład

W jakich punktach prosta styczna do krzywej

L

:

x(t) = 3t − t

3

,

y(t) = 3t

2

,

z(t) = 3t + t

2

jest równoległa do płaszczyzny

3x + y + z + 2 = 0

?

15

Wersory Trójścianu Freneta

Niech wektory

~

T , ~

B , ~

N

będą wektorami trójścianu Freneta w

punkcie

M

0 krzywej

L : ~

r = ~

r(t)

. Wówczas

~t =

~

T

| ~

T |

~b =

~

B

| ~

B|

~

n =

~

N

| ~

N |

nazywamy wersorami trójścianu Freneta.

Przykład

Wyznacz

wersory

trójścianu

Freneta

krzywej

L : x

2

+ y

2

= 2x, z = x

w punkcie

(1, 1, 1)

16

Krzywizna, promień krzywizny

Definicja Niech

L

będzie łukiem głdkim klasy

C

2 o parametryzacji

~

r = ~

r(t)

. Liczbę rzeczywistą

κ(t) =







~

r

0

(t) × ~

r

00

(t)







| ~r

0

(t) |

3

nazywamy krzywizną krzywej

L

w punkcie

M : ~

OM = ~

r(t)

.

Odwrotność krzywizny, tj.

R(t) =

1

κ(t)

nazywamy promieniem krzywizny.

Przykład Wyznaczyć krzywiznę i promień krzywizny spirali stożkowej:

~

r(t) = [ t cos t , t sin t , t ]

w punkcie

t = 0

.

17

Okrąg ściśle styczny

Definicja

Środkiem krzywizny krzywej

L

w punkcie

M : ~

OM =

~

r(t)

nazywamy punkt

S

taki, że

~

OS = ~

r(t) + R(t) · ~

n(t)

Definicja

Okręgiem ściśle stycznym do krzywej

L

w punkcie

M

nazywamy okrąg, leżący w płaszczyźnie ściśle stycznej, o środku

w punkcie

S

i promieniu

R(t)

.

Przykład

Wyznaczyć środek krzywizny krzywej

L : y − x

2

=

0, z − x

3

= 0

w punkcie

(0, 0, 0)

. Napisać równanie okręgu ściśle

stycznego.

18

Przykład

Wykazać, że krzywa

L : ~

r(t) =








1

2

+

1

2

sin t , −

1

2

+

1

2

sin t ,

1

√

2

cos t








jest okręgiem. Znaleźć promień i środek tego okręgu.

Definicja

Punkty krzywej

L : ~

r = ~

r(t)

, dla których

κ(t) = 0

,

nazywamy punktami wyprostowania krzywej

L

.

Przykład

Znaleźć punkty wyprostowania krzywej:

~

r(t) = [ sin t , sin 3t , t ]

19

Skręcenie krzywej

Definicja Niech

L

będzie łukiem głdkim klasy

C

3 o parametryzacji

~

r = ~

r(t)

. Liczbę rzeczywistą

σ(t) =

"

~

r

0

(t) × ~

r

00

(t)

#

◦ ~r

000

(t)

| ~r

0

(t) × ~

r

00

(t) |

2

nazywamy krzywizną krzywej

L

w punkcie

M : ~

OM = ~

r(t)

.

Przykład

Wyznaczyć skręcenie krzywej

~

r(t) =





3t − t

3

, sin 3t

2

, 3t + t

3





w punkcie odpowiadającym

t

0

= 0

. Wykazać, że krzywizna i

skręcenie tej krzywej w każdym jej punkcie są sobie równe.

20

Definicja

Punkty krzywej

L : ~

r = ~

r(t)

, dla których

σ(t) = 0

,

nazywamy punktami spłaszczenia krzywej

L

.

Uwaga

Jeżeli w każdym punkcie krzywej

L

σ(t) = 0

, to

krzywa jest krzywa płaską.

Przykład

Wykazać, że krzywa

L : ~

r(t) =





1 + 3t + 2t

2

, 2 − 2t + 5t

2

, 1 − t

2





jest płaska oraz wyznaczyć płaszczyznę, w której leży dana krzywa.