Mechanika kwantowa 1

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje się ruchami
mikrocząsteczek i ich oddziaływaniami (o ile nie prowadzą do zmiany liczby i
rodzaju mikrocząstek)

Zajmiemy się mechaniką kwantową nierelatywistyczną.


Hipoteza de Broglie’a (1924 r.)

Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząstkową naturę,

- fale o częstości

ν

i długości

λ

- cząstki o energii

E h

ν

=

i pędzie

E

h

h

p

c

c

ν

λ

=

=

=

to także cząstki o niezerowej masie powinny mieć taką naturę.
Cząstki takie, o energii E i pędzie p , zachowują się jak fale o częstości

E

h

ν

=

i długości

h

p

λ

=

.

( E i p są tu rozumiane w sensie relatywistycznym:

2

2

2

1

E mc

c

υ

=

−

,

2

2

1

p m

c

υ

υ

=

−

)

Doświadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de
Broglie'a (1927 r.)

2

2

2

2

k

m

p

E

Ue

m

υ

=

=

=

2

p

mUe

=

2

h

h

p

mUe

λ

= =

Mechanika kwantowa 2

k

S - płaszczyzny sieciowe

CD - różnica dróg ciągów

falowych P

1

B i P

2

B.

Wzmocnienie,

gdy

2 cos

CD

d

n

ϑ

λ

≡

=

(warunek Braggów)

W doświadczeniu Davissona i Germera

było:

0,91 Å

d

=

,

25

ϑ

= °

,

1

n

=

stąd

2

cos

1,65 Å

d

n

λ

ϑ

=

=

Z drugiej strony:

34

6,63 10

Js

h

−

=

×

,

54 V

U

=

31

9,1 10

kg

m

−

=

×

stąd

1,64 Å

2

h

mUe

λ

=

=

Wniosek:

Każdej poruszającej się cząstce materialnej można przypisać falę materii,

której długość jest określona wzorem de Broglie'a

h

p

λ

=

Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-cząstkowy.

Zależność prądu detektora D od
napięcia przyspieszającego elek-
trony w doświadczeniu Davissona i
Germera

Mechanika kwantowa 3

Częstość kołowa i wektor falowy fal de Broglie'a

2

2

E

E

h

ω

π ν

π

=

=

=

!

⇒

E

ω

=

!

2

h

π





=









!

2

2 p

p

k

h

π

π

λ

=

=

=

!

⇒

p

k

=

!

Funkcja falowa

W mechanice kwantowej cząstkom przypisuje się zespolone funkcje falowe

( , , , )

( , )

x y z t

r t

Ψ

= Ψ

"

w ogólności będące superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie’a

LICZBY ZESPOLONE

Liczby zespolone są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla
badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej
mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych.

Określenie liczb zespolonych

Liczbę zespoloną można traktować jako parę uporządkowaną liczb
rzeczywistych

( , )

z

a b

a bi

=

= +

gdzie liczba i , zwana jednostką urojoną, jest zdefiniowana wzorem

2

1

i

= −

.

a - część rzeczywista liczby

z

, (piszemy

re

a

z

=

),

b

- część urojona liczby

z

, (piszemy

im

a

z

=

),

*

z

z

a bi

=

= −

- liczba sprzężona z liczbą

z a bi

= +

.

Mechanika kwantowa 4

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych

Niech

z a bi

= +

,

w c di

= +

Dodawanie:

(

) (

)

z w

a c

b d i

+ = + + +

Odejmowanie:

(

) (

)

z w

a c

b d i

− = − + −

Mnożenie:

2

(

)(

)

(

) (

)

zw

a bi c di

ac adi bci bdi

ac bd

ad bc i

= +

+

=

+

+

+

=

−

+

+

Dzielenie:

2

2

2

2

(

)(

)

(

)(

)

z

a bi

a bi c di

ac bd

bc ad

i

w

c di

c di c di

c

d

c

d

+

+

−

+

−

=

=

=

+

+

+

−

+

+

Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Liczbę zespoloną

z a bi

= +

można też

traktować jako punkt na płaszczyźnie o
współrzędnych

( , )

a b

2

2

z

r

a

b

= =

+

-

Moduł liczby

z

. Odległość odpowiadającego jej

punktu od początku układu współrzędnych.

ϕ

- Argument liczby

z

.Kąt zawarty między dodatnią

półosią osi x , a odcinkiem Oz . Kąt ten jest określany
z dokładnością do całkowitej wielokrotności kąta
pełnego. Piszemy

arg z

ϕ

=

.

Zachodzi

cos

a

r

ϕ

=

,

sin

b

r

ϕ

=

(cos

sin )

a b

z a bi r

i

r

i

r

r

ϕ

ϕ





= + =

+

=

+









Mechanika kwantowa 5

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Liczbę zespoloną

z

o module r i argumencie

ϕ

można też zapisać w postaci

i

z r e

ϕ

=

Zachodzi:

cos

sin

i

e

i

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

wzór Eulera

Potęgowanie liczb zespolonych

Korzysta się tu ze wzoru Moivre'a

[

]

(cos

sin )

(cos

sin

)

n

n

r

i

r

n

i

n

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

Wzór Moivre'a można stosować przy n całkowitym lub ułamkowym,
dodatnim lub ujemnym. Przy n ułamkowym należy uwzględnić
wieloznaczność wyniku.




Sens fizyczny funkcji falowej

Interpretacja Borna (1926 r.)

Sama funkcja falowa nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej.
Interpretację fizyczną ma natomiast kwadrat modułu funkcji falowej

2

*

Ψ = ΨΨ

taką, że

2

dP

dV

Ψ

∼

gdzie

dP

- prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz

obszaru o objętości

dV

.

Mechanika kwantowa 6

Sens fizyczny funkcji falowej, cd

Funkcja

Ψ

jest często rozumiana jako funkcja znormalizowana (unormowana),

czyli spełniająca warunek

*

1

V

dV

ΨΨ

=

∫

(wtedy

2

dP

dV

= Ψ

)

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym elemencie
przestrzeni:

2

*

( , )

dP

r t

dV

ρ

=

= Ψ = ΨΨ

"

Opis ruchu cząstki swobodnej za pomocą monochromatycznej fali de Broglie’a

(

)

( , )

i

t k x

x t

A e

ω

−

−

Ψ

=

w jednym wymiarze, dla cząstki poruszającej
się wzdłuż osi x.

(

)

( , )

i

t k r

r t

A e

ω

−

−

Ψ

=

" "

"

w przestrzeni trójwymiarowej, dla cząstki
poruszającej się w kierunku k

"

.

Cząstki opisane taką falą mają ściśle określoną energię i pęd, ale ich zależność
położenia od czasu nie jest określona. Dla cząstek poruszających się z
prędkościami

c

υ

$ zachodzi

2

2

2

2 2

2 4

2

2

2

2 2

2 2

1

1

2

2

p

p

p

E

p c

m c

mc

mc

mc

m c

m c

m





=

+

=

+

≈

+

=

+









a więc wtedy częstość

ω

może być rozumiana jako obliczana z zależności

k

E

ω

=

! , gdzie

2

(2 )

k

E

p

m

=

.

Mechanika kwantowa 7

Opis ruchu cząstki swobodnej za pomocą paczki falowej

Dla uproszczenia weźmy cząstkę poruszającą się równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej cząstce można przypisać grupę fal płaskich o
wartościach modułu wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (np. o
szerokości

2 k

∆

) wokół pewnej wartości

0

k .

0

0

(

)

( , )

2

k

k

i

t k x

k

k

A

x t

e

dk

k

ω

+∆

−

−

−∆

Ψ

=

∆

∫

Zwróćmy uwagę, że rozmycie

k

oznacza rozmycie pędu (bo

p

k

=

!

) oraz, że

w takim przypadku wartości częstości

ω

są również rozmyte wewnątrz

pewnego przedziału, co wynika relacji energii i pędu

2 2

2 4

E

p c

m c

=

+

⇒

2 2 2

2 4

k c

m c

ω =

+

!

!

(związek dyspersyjny)

Dla cząstek nierelatywistycznych związek dypersyjny ma postać

2

(2 )

k

E

p

m

=

Zasada nieokreśloności Heisenberga

Aby dokładniej przeanalizować konsekwencje rozmycia energii i pędu w
paczce falowej, wykonajmy całkowanie we wzorze opisującym paczkę

0

0

(

)

( , )

2

k

k

i

t k x

k

k

A

x t

e

dk

k

ω

+∆

−

−

−∆

Ψ

=

∆

∫

Wprowadźmy oznaczenia:

g

g

x

t

υ

=

,

g

d

dk

ω

υ

=

,

0

0

( )

k

ω

ω

=

Rozwińmy

ω

w szereg Taylora

0

0

0

0

( )

( )

(

) ...

(

)

g

d

k

k

k k

k k

dk

ω

ω

ω

ω υ

=

+

−

+ ≅

+

−

(wyrazy rzędu wyższego niż pierwszy można pominąć ze względu na założoną
małą wartość

k

∆

).

Mechanika kwantowa 8

Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.

0

0

(

)

( , )

2

k

k

i

t k x

k

k

A

x t

e

dk

k

ω

+∆

−

−

−∆

Ψ

=

∆

∫

0

0

( )

(

)

g

k

k k

ω

ω υ

≅

+

−

Stąd

0

0

0

0

0

0

(

)

(

)

g

g

g

g

g

t kx

t

k k t kx

t

kt

k t kx

t k x

x x k

ω

ω

υ

ω

υ

υ

ω

−

=

+

−

−

=

+

−

−

=

−

− −

0

0

(

)

(

)

(

)

g

g

i

t k x

i x x k

i

t kx

e

e

e

ω

ω

−

−

−

−

−

=

Paczka falowa może być zapisana w postaci

0

0

0

0

(

)

(

)

( , )

2

g

g

k

k

i x x k

i

t k x

k

k

A

x t

e

dk e

k

ω

+∆

−

−

−

−∆





Ψ

= 



∆









∫

Po scałkowaniu i wykorzystaniu zależności

sin

2

i

i

e

e

i

ϕ

ϕ

ϕ

−

−

=

otrzymujemy

0

0

(

)

sin (

)

( , )

(

)

g

i

t k x

g

x x

k

x t

A

e

x x

k

ω

−

−





−

∆





Ψ

=

−

∆

Sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej

*

( , )

x t

ρ

ΨΨ

∼

Stąd mamy

2

2

sin

( , )

x t

α

ρ

α

∼

, gdzie

(

)

(

)

g

g

x x

k

x

t k

α

υ

= −

∆ = −

∆

Mechanika kwantowa 9

Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.

Dla cząstki opisanej paczką falową mamy pewien zakres wartości

α

(nie

pojedynczą wartość). Analizując powyższy rysunek można w pierwszym
przybliżeniu przyjąć, że rozmycie (nieokreśloność)

α

wynosi nie mniej niż 2

π

2

α

π

∆ ≥

czyli, że

(

)

2

g

x

t k

υ

π

∆ − ∆ ∆ ≥

1. Jeśli ustalimy czas

(

0)

t

∆ =

, to mamy

2

x k

π

∆ ∆ ≥

2

x

x

p

k

k

p

h

π

=

→ ∆ =

∆

!

2

2

x

x

p

h

π

π

∆

∆ ≥

→

x

x p

h

∆ ∆ ≥

W analogiczny sposób można otrzymać

y

y p

h

∆ ∆ ≥

z

z p

h

∆ ∆ ≥

Wniosek:

Niemożliwe jest jednoczesne określenie pędu i położenia cząstki.

2. Jeśli ustalimy położenie

(

0)

x

∆ =

, to mamy

2

g

t k

υ

π

∆ ∆ ≥

2

g

t

k

ω

υ

ω

π

∆

=

→

∆ ∆ ≥

∆

2

E

E

h

π

ω

ω

=

→

∆ =

∆

!

2

2

E t

h

π

π

∆ ∆ ≥

→

E t h

∆ ∆ ≥

Wniosek:

Energia cząstki w danym stanie może być określona z tym większą
dokładnością, im dłużej cząstka znajduje się w tym stanie.

Mechanika kwantowa 10

Równanie Schrödingera (1926)

2

2

i

U

t

m

∂Ψ = − ∆Ψ + Ψ

∂

!

!

1

i

= −

2

h

π

=

!

,

2

2

2

2

2

2

2

x

y

z

∂

∂

∂

∆ = ∇ =

+

+

∂

∂

∂

Funkcja

( , , , )

U x y z t

spełnia warunek

U

F

−∇ =

"

, gdzie

x

y

z

e

e

e

x

y

z

∂

∂

∂

∇ =

+

+

∂

∂

∂

"

"

"

(gradient U ze znakiem minus jest równy

wypadkowej sile działającej na cząstkę). Jeśli U nie zależy od czasu, to

( , , )

U U x y z

=

jest energią potencjalną cząstki.

Ogólne właściwości rozwiązań równania Schrödingera

Rozwiązując równanie Schrödingera możemy znaleźć postać funkcji falowej

Ψ

. Funkcja ta musi spełniać przy tym tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi

funkcja falowa musi być:

! ciągła,

!

gładka - pochodne

/ ,

/ ,

/

x

y

z

∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂

powinny być ciągłe,

! jednoznaczna,
! ograniczona,
! funkcja

2

Ψ

powinna być całkowalna, tzn. całka

2

V

dV

Ψ

∫

powinna

mieć wartość skończoną.