Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

PRÓBNY

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony

( zadania 1–19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

zespołu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to

przeznaczonym.

3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń

w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za

to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby

punktów.

4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym

tuszem lub atramentem.

5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.

8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej

naklejkę z kodem.

9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla

egzaminatora.

PRZED MATURĄ

MAJ 2015

Czas pracy:

180 minut

Liczba punktów

do uzyskania: 50

WPISUJE ZDAJĄCY

KOD

PESEL

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

2

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

W każdym z zadań 1.–4. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (0–1)

Dane są proste l

1

: y = 2x – 28, l

2

: y = 1

2

x – 1, l

3

: y = 1

3

x + 2 i l

4

: 9x – 13y – 58 = 0. Wszystkie

one przechodzą przez punkt (18, 8).

A. Prosta l

3

jest obrazem prostej l

4

w symetrii względem prostej l

2

.

B. Prosta l

4

jest obrazem prostej l

2

w symetrii względem prostej l

3

.

C. Prosta l

2

jest obrazem prostej l

1

w symetrii względem prostej l

4

.

D. Prosta l

1

jest obrazem prostej l

3

w symetrii względem prostej l

4

.

Zadanie 2. (0–1)

Niech a = log

2

3 i b = log

5

3. Wtedy

A. log

3

100 = 1 1

a b

+

B. log

3

100 = 2a + 2b

C. log 3 = ab

a b

+

D. log 3 = ab

Zadanie 3. (0–1)

Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż wtedy, gdy

A. α = 1

6

π B.

α = 1

3

π C.

α = 1

2

π D.

α = 5

3

π

Zadanie 4. (0–1)

Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej prawdopodobne.

A. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie.

B. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie.

C. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie.

D. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

3

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

4

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem.

Zadanie 5. (0–2)

Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej jedna cyfra i przynaj-

mniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr.

Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry

odpowiedzi.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

5

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 6. (0–2)

Dwa różne rozwiązania równania x

2

– 11x + 1 = 0 to x

1

i x

2

. Bez rozwiązywania tego równania

oblicz wartość (x

1

)

5

+ (x

2

)

5

.

Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

6

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Rozwiązania zadań 7.–19. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.

Zadanie 7. (0–2)

Rozwiąż nierówność

2

3

2

5

3

2

5

x x

x

x

x

x

x

(

)

(

)(

) (

)(

)

+

+

−

≤

+

+

−

dla x ≠ –2 i x ≠ 5.

Odpowiedź: ..................................................................................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

7

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 8. (0–2)

W niewypukłym czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB| = 4, |BC| = 3, |CD| = 5,

|AD| = 6 oraz kąt wklęsły ABC = 300°. Na rysunku kąt ADC oznaczony został jako x.

300°

A

B

C

D

3

4

5

6

x

a) Oblicz cos x.

b) Oblicz pole czworokąta ABCD.

Odpowiedź: a) .................................................. b) ....................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

8

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 9. (0–3)

Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n

2

– 10n + 24)(n

2

– 8n + 15) jest dla każdego n = 0, 1, 2, 3, ...

podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7).

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

9

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 10. (0–3)

a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek?

b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić prze-

ciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą?

A

B

C

D

E

F

S

Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

10

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 11. (0–3)

Na pewną groźną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano tani i łatwy w użyciu test

na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test wykrywa chorobę u chorej

osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że osoba jest chora, nawet jeśli

osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora?

Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

11

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 12. (0–3)

a) Udowodnij, że prosta l: 3x + 4y – 19 = 0 jest styczna do okręgów o

1

i o

2

, gdzie

o

1

: (x – 2)

2

+ (y – 2)

2

= 1 oraz

o

2

: (x – 6)

2

+ (y – 4)

2

= 9.

b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o

1

i o

2

,

prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych umieszczonym na następ-

nej stronie.

Znajdź równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o

1

i o

2

. Narysuj ją.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

12

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

13

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 13. (0–3)

Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13 może być trapezem.

Oblicz jego pole.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

14

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

15

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 14. (0–3)

O

R

3

S

3

R

2

S

2

R

1

S

1



Pierwszy odcinek koła o polu P

1

powstał z okręgu o środku O i promieniu r = |OR

1

| = |OS

1

| po

odcięciu odcinkiem R

1

S

1

. Drugi odcinek koła powstał następująco: prosta prostopadła do pół-

prostej OR

1

i przechodząca przez S

1

przecina półprostą OR

1

w punkcie R

2

. Odcinek S

2

R

2

odcina

od koła o środku w O i promieniu |OR

2

| = |OS

2

| odcinek o polu P

2

. Po zatoczeniu łuku o środku

w O i promieniu OR

2

powstaje punkt S

3

na półprostej OS

1

itd. powstaje nieskończony ciąg od-

cinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół

i określ ją jako funkcję a (wyrażonego w radianach) i r.

Odpowiedź: ..................................................................................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

16

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 15. (0–4)

Od czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 4 odcięto płaszczyzną przechodzącą przez

punkt B′ na krawędzi AB, punkt C′ na krawędzi AC i D′ na krawędzi AD ostrosłup AB′C′D′,

przy czym |AB′| = 3, |AC′| = 2, |AD′| = 1.

A

B

B′

C

C′

D

D′

a) Oblicz objętość ostrosłupa ABCD i AB′C′D′.

b) Oblicz wysokość ostrosłupa AB′C′D′, gdy za jego podstawę przyjmiemy B′C′D′.

Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

17

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 16. (0–4)

W trójkącie ABC zaznaczono punkt A′ na boku BC,

tak że |A′B| : |A′C| = 1 : 2, i punkt B′ na boku AC,

tak że |B′A| : |B′C| = 3 : 1. Odcinki AA′ i BB′ prze-

cinają się w punkcie D.

Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C′.

Pole trójkąta BA′D jest równe 14.

a) Oblicz pole trójkąta ABC.

b) Oblicz stosunek |CD| : |DC′|.

Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................

A′

B

C

B′

C′

A

D 14

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

18

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 17. (0–4)

Pole powierzchni całkowitej stożka to π.

a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka?

b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości?

Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

19

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 18. (0–4)

W graniastosłupie prostym prostokątnym ABCDEFGH krawędzie podstawy mają długość 3

i 4 (|AB| = 4, |BC| = 3), a wysokość 10. Dodatkowo wyróżnione są trzy punkty: punkt B′ na

krawędzi BF w odległości 3 od wierzchołka B, punkt C′ na krawędzi CG w odległości 7 od

wierzchołka C i punkt D′ na krawędzi DH w odległości 4 od wierzchołka D.

A

B

B′

C

C′

D

D′

E

F

G

H

3

3

4

4

7

a) Udowodnij, że płaszczyzna B′C′D′ przecina krawędź AE w punkcie A.

b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa ABCDEFGH płaszczyzną B′C′D′.

c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną B′C′D′ i płaszczyzną podstawy ABCD.

d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną B′C′D′.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

20

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Odpowiedź: b) ...................................... c) ................................... d) .....................................

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

21

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Zadanie 19. (0–4)

a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki

tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku poniżej). Udowodnij, że

a′ + b′ = g + 180°

b′ + g′ = a + 180°

a′ + g′ = b + 180°.

b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czwo-

rokąt z łuków, na które wierzchołki czworokąta podzieliły okrąg, jest o 180° większa niż

suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie

narysowany jest n-kąt, gdy n = 4).





1



4



3



2



45



12



23



34

′



′



′

a)

b)

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

22

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro