Serwomechanizm hydrauliczny, zasada działania model matematyczny.
Na rys. 1 pokazano schemat serwonapędu hydraulicznego. Składa się on z siłownika
(cylindra) hydraulicznego i rozdzielacza sterującego przepływem cieczy do komór siłownika.

Rys. 1. Schemat ideowy serwomechanizmu hydraulicznego.

Przesunięcie tłoczka rozdzielacza - sygnał

u jest sygnałem sterującym, siła obciążająca

r

f

jest sygnałem zakłócającym, natomiast położenie tłoka siłownika

x i jego prędkość

x

v





są

sygnałami wyjściowymi.
Oznaczenia:

a

p - ciśnienie wejściowe - MPa,

b

p - ciśnienie wyjściowe - MPa,

u - sygnał sterujący - m,

x - przemieszczenie tłoka w cylindrze sygnał wyjściowy - m,

dt

dx

v 

- prędkość tłoka w cylindrze -

1



ms

1

q - natężenie przepływu cieczy wpływającej do komory 1 -

1

3



s

m

,

2

q - natężenie przepływu cieczy wpływającej do komory 2 -

1

3



s

m

,

dla cieczy wpływającej do komory

0

i



q

f

q - natężenie przepływu przecieków międzykomorowych w cylindrze -

1

3



s

m

,

1

p ,

2

p - ciśnienia w komorach siłownika - MPa,

B

- moduł sprężystości objętościowej cieczy - MPa,

S

- pole czynnego przekroju tłoka w cylindrze -

2

m ,

r

f - siła zewnętrzna działająca na tłoczysko - N,

 - współczynnik wiskotycznych oporów ruchu -

1



Nsm ,

M

- masa napędzanego mechanizmu zredukowana do osi tłoka - kg,

h

- połowa wartości skoku (zakresu ruchu) tłoka w cylindrze - m,

R

- współczynnik oporów przepływu laminarnego -

3







m

s

MPa

Równania opisujące procesy w siłowniku:





dt

dp

B

x

h

S

q

v

S

q

f

1

1











,

- wydatek cieczy dopływającej do komory „1”,





dt

dp

B

x

h

S

q

v

S

q

f

2

2













- wydatek cieczy dopływającej do komory „2”,

f

q

R

p

p







2

1

- spadek ciśnienia przy przepływie laminarnym,





r

f

v

p

p

S

dt

dv

M













2

1

- równanie ruchu ,

gdzie:





2

1

p

p

S



- siła parcia cieczy na tłok wskutek różnicy ciśnień,

v





- siła oporów ruchu (tarcia wiskotycznego),

r

f

- siła zewnętrzna działająca na tłoczysko.

Po uporządkowaniu otrzymuje się następujący układ równań stanu siłownika:

 































1

2

1

1

1

q

v

S

R

p

R

p

x

h

S

p

B

p

(1)

 





























2

2

1

2

2

q

v

S

R

p

R

p

x

h

S

p

B

p

(2)





r

f

v

p

S

p

S

M

v

















2

1

1



(3)

v

x 



(4)

Któremu odpowiada schemat blokowy pokazany na rys. 2a.

Rys. 2. Schemat blokowy: a) serwomechanizmu hydraulicznego, b) siłownika w układzie.

Wektor zmiennych stanu ma postać:



























x

v

p

p

2

1

x

Dodatkowo na rys. 2b pokazano schemat blokowy siłownika z zaznaczeniem zmiennych
wejściowych i wyjściowych.
Uwaga:
- zmienne

1

q ,

2

q i

r

f są traktowane jako sygnały wejściowe chociaż często

r

f jest zależne

od

x i

x

,

- moduł sprężystości objętościowej

B

jest zależny od rodzaju cieczy i bardzo silnie od jej

zapowietrzenia.

Rys. 3. Zależność modułu sprężystości objętościowej oleju mineralnego od zapowietrzenia.

Na rys. 3 przedstawiono Zależność modułu sprężystości objętościowej typowego oleju
mineralnego od współczynnika zapowietrzenia z wyrażającego procentową zawartość
masową powietrza rozpuszczonego w oleju do masy mieszaniny. Jak widać przy

%

1

,

0



z

i

ciśnieniu

MPa

p

10



można przyjąć

 

.

const

p

B



Dla

MPa

p

2



i zapowietrzeniu

%

01

,

0



z

można przyjmować, że

 

.

const

p

B



(dla olejów pochodzenia mineralnego

  







.

10

5

.

1

4

.

1

1500

1400

9

const

Pa

MPa

p

B













) Natomiast jeśli w obliczeniach

hydraulicznego układu napędowego i jego symulacjach nie uwzględni się rzeczywistej
zależności współczynnika B od wartości bieżącej ciśnienia

 

p

B

, to czasami można otrzymać

absurdalne wyniki, że

0



i

p

. W rzeczywistości przy dużym spadku ciśnienia w cieczy

zapowietrzonej następuje wydzielanie pęcherzy gazu, natomiast ciecz niezapowietrzona przy
spadku ciśnienia poniżej

Pa

p

i

1000



ulega intensywnemu wrzeniu w całej objętości co

nazywamy kawitacją. Fakt ten należy uwzględnić w obliczeniach symulacyjnych w postaci
odpowiednich warunków logicznych.

Rozdzielacz hydrauliczny
W celu odpowiedniej dystrybucji cieczy do cylindra stosuje się zespoły rozdzielaczy. Na
rys. 4 pokazano schemat ideowy typowego pojedynczego rozdzielacza. Składa się on z
tłoczka kształtowego oraz tulei do której z jednej strony jest doprowadzony czynnik pod
ciśnieniem

a

p a z drugiej czynnik jest odprowadzany na zlew do zbiornika zbiorczego przy

ciśnieniu

b

p . W tulei znajdują się też tzw. okna przepływowe z kanałami łączącymi do komór

cylindra hydraulicznego. Na rys. 4 pokazano jedno okno połączone z komorą. Rozdzielacz
pokazany na rys. 4 jest rozdzielaczem o przekryciu zerowym, tzn. szerokość tłoczka c jest
dokładnie równa szerokości okna e





e

c 

z dokładnością do pojedynczych mikrometrów.

Należy wyjaśnić, że typowe średnice tłoczka wynoszą kilka do kilkanaście milimetrów przy
czym między tłoczkiem a tulejką nie montuje się uszczelek lecz poprzez dobór luzu o
wartości kilku mikrometrów jest realizowane tzw. uszczelnienie szczelinowe – stosunkowo
wysoka lepkość oleju w mikroskopijnej szczelinie nie pozwala na niekontrolowany przepływ
czynnika (przecieki). Takie rozwiązanie konstrukcyjne rozdzielacza wymaga bardzo
wysokich dokładności wykonania współpracujących elementów co do walcowości (kołowości
i prostoliniowości) oraz współliniowości elementów składowych zarówno tłoczka (w zespole
elementy o różnych średnicach) jak i tulejki (powierzchnia cylindryczna główna oraz
prowadzące tuleje boczne).

Rys. 4. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem zerowym (c=e).

Traktując przepływ w rozdzielaczu jako turbulentny oraz zakładając przekrycie zerowe,
mamy:

e

c  ,

b

i

a

p

p

p





Natężenie przepływu w szczelinie rozdzielacza:
dla

e

u 



0

,

2

,

1



i





0

2











i

a

i

p

p

u

k

q

Tutaj

0



i

q

oznacza przepływ w kierunku do i-tej komory

Mimo że w wyrażeniu pod pierwiastkiem występują wielkości mianowane (ciśnienie

p

) jest

to uwzględnione w wymiarze współczynnika

k

.

dla

e

u 

natężenie przepływu osiąga wartość maksymalną i pozostaje stałe o wartości:





0

2













i

a

im

i

p

p

e

k

q

q

dla

0



u

dla

0







u

e





b

i

i

p

p

u

k

q











2

dla

e

u









b

i

im

p

p

e

k

q











2

,

W wypadku rozdzielacza tego typu w układzie serwomechanizmu z rys. 1 stosuje się
zależności:

dla

0



u

dla

0



u





0

2

1

1











p

p

u

k

q

a





0

2

2

2













b

p

p

u

k

q





0

2

1

1











b

p

p

u

k

q

(5)





0

2

2

2













p

p

u

k

q

a

(6)

Co można opisać w sposób jednolity za pomocą wzorów:

























b

a

p

p

u

u

p

p

u

u

k

q

1

1

1

2

2

(5a)



























2

2

2

2

2

p

p

u

u

p

p

u

u

k

q

a

b

(6a)

Uwaga: wzory te obowiązują przy założeniu

a

i

b

p

p

p





,

2

,

1



i

Jeżeli założenie to nie może być spełnione, to należy stosować wzór ogólny w postaci:





i

j

i

j

j

i

p

p

p

p

Fsign

q









2

,

(7)

gdzie

j

i

q

,

jest natężeniem przepływu cieczy z

tej



j

do

tej



i

komory, F jest umownym

(zastępczym) przekrojem przewodu łączącego komory

tą



j

i

tą



i

,

 - jest gęstością

cieczy. Wzór (7) można stosować do wyznaczania natężenia przepływu między dowolnymi
komorami połączonymi krótkim przewodem którego przekrój zastępczy (umowny) ma
powierzchnię F . Dla rozdzielacza wartość bieżąca

u

k

F





a maksymalna

e

k

F





max

.

Wzory (1) do (6) stanowią pełny model wzmacniacza hydraulicznego i są wykorzystywane w
komputerowych modelach symulacyjnych.

Stan ustalony układu rozdzielacz-cylinder.
W pracy serwomechanizmu występują różne stany pracy, wśród których do celów oceny ich
pracy i do celów porównawczych wyróżnia się stany o wybranych parametrach zadanych i
stałych. Stan ustalony to taki, w którym prędkość na wyjściu jest równa zero, chwilowe
położenie jest stałe. Oznaczając zmienne w stanie ustalonym poziomą kreską ponad
symbolem zastosujemy następujące podstawienia:

u

u 

:

,

i

i

p

p 

:

,

0



i

p



,

0



v

,

.

:

const

x

x





co oznacza, że w układzie z rys. 1 tłok w cylindrze stoi zablokowany (ale nie przez hamulec
zewnętrzny lecz wskutek równowagi ciśnień i siły zewnętrznej w obecności innych
czynników).
Rozważymy własności układu z rys. 1 wyposażonego w rozdzielacz z przekryciem zerowym.
Mamy tu

f

q

q

q







2

1

,

co oznacza, że

b

a

p

p

u

k

p

p

u

k















2

1

,

czyli

b

a

p

p

p

p







2

1

skąd

b

a

p

p

p

p







2

1

(8)

Z zależności (3) dla stanu ustalonego mamy:

S

f

p

p

r





2

1

(3a)

Wobec tego z (8) i (3a) można napisać:





















S

f

p

p

p

r

b

a

2

1

1

(9)





















S

f

p

p

p

r

b

a

2

1

2

(10)

Nominalne własności rozdzielacza określa się w warunkach nominalnych, dla których

0



r

f

,

wtedy:





b

a

nom

p

p

p

p

p









2

1

2

1

Maksymalne natężenie przepływu w warunkach nominalnych wynosi:





b

a

b

a

a

m

m

p

p

e

k

p

p

p

e

k

q

q

































2

1

2

1

Współczynnik wzmocnienia rozdzielacza określa się dla warunków nominalnych jako:

b

a

m

p

p

k

e

q

u

q

A













Na rys. 5 pokazano charakterystykę statyczną rozważanego rozdzielacza (z przekryciem
zerowym) w warunkach nominalnych.

Rys. 5. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem zerowym.

Jak widać z wykresu na rys. 5 zmiana sygnału sterującego u w przedziale

e

e

u

,





wywołuje liniową zmianę wydatku cieczy przepływającej przez rozdzielacz a przy dalszym
wzroście wartości bezwzględnej sygnału u wartość natężenia przepływu (wydatku) ulega
ustaleniu – mówimy, że rozdzielacz przechodzi w stan nasycenia. Doświadczalnie wartość
wzmocnienia można wyznaczyć wykorzystując liniowość przebiegu w zakresie

e

e

u

,





z

zależności:

e

q

u

q

A

m

2

2









gdzie wartości

m

q

2

i

e

2

można łatwo zmierzyć albo oszacować z wykresów sporządzonych

na podstawie pomiarów.

Własności rozdzielacza z przekryciem dodatnim.

Rys. 6. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem dodatnim (c>e).

Na rys. 6 pokazano schemat ideowy rozdzielacza z przekryciem dodatnim. Tłoczek w tym
rozwiązaniu ma szerokość większą od szerokości okna, co powoduje, że w trakcie pracy przy
zmianie sygnału sterującego z wartości dodatniej na wartość ujemną w zakresie

r

r

u

,





prześwit rozdzielacza jest zamknięty i zmiana sygnału sterującego w tym zakresie nie
wywołuje zmiany stanu przepływu.
Mamy tutaj:

r

e

u





,

e

A

q

q

m













,





r

u

r

e















r

u

A

q









r

u

r







0



 q

r

e

u

r











r

u

A

q









dla

r

e

u





,

e

A

q

q

m









,

Rys. 7. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem dodatnim.

Własności rozdzielacza z przekryciem ujemnym.

Rys. 8. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem ujemnym (c<e).

Na rys. 8 pokazano schemat ideowy rozdzielacza z przekryciem ujemnym. Tłoczek w tym
rozwiązaniu ma szerokość mniejszą od szerokości okna, co powoduje, że w trakcie pracy przy
zmianie sygnału sterującego z wartości dodatniej na wartość ujemną w zakresie





d

d

u

,





prześwit między tłoczkiem i oknem rozdzielacza zarówno po prawej jak i po lewej stronie
tłoczka jest otwarty, co w trakcie pracy wywołuje przecieki przepływu z części zasilającej na
zlew.
Mamy tutaj:

dla,





d

e

u







0

'

 q

,

m

q

q 

"

,

e

A

q

q

m















d

u

d

e











0

'

 q

,





d

u

A

q









"

,





d

u

A

q







d

u

d











d

u

A

q







 '

,





d

u

A

q









"

,

u

A

q



 2

d

e

u

d













d

u

A

q







 '

,

0

"

q

,





d

u

A

q







d

e

u





,

m

q

q 

 '

,

0

"

q

,

e

A

q

q

m







Rys. 9. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem ujemnym.

W zakresie sygnału sterującego





d

d

u

,





wzmocnienie rozdzielacza jest dwukrotnie

większe niż rozdzielacza z przekryciem zerowym i dodatnim co zapewnia wyższą jakość
przebiegów przejściowych. Ponadto przecieki skrośne w tym zakresie sygnału u zapewniają
lepsze własności tłumiące dla przebiegów przejściowych. Wadą tego rozwiązania są straty
mocy i niższa sprawność oraz silne nagrzewanie się czynnika i elementów rozdzielacza.