2007-12-07

1

Funkcje falowe w atomie wodoru

Wartości przyjmowane przez liczby kwantowe

n, l, m

mają wpływ na postać funkcji falowej

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

m

l,

n,

ϕ

θ

ϕ

θ

r

r

z

y

x

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

m

l,

l

n,

m

l,

n,

ϕ

θ

ϕ

θ

⋅

=

Ψ

r

r

Funkcja

, która spełnia równanie Schrödingera, nosi nazwę

ORBITALU

ORBITAL ATOMU WODORU

= Funkcja falowa elektronu

w atomie wodoru

Orbitale atomu wodoru (1)

Poboczna liczba kwantowa

ma oznaczenia literowe:

l

l

l

l

0

1

2

3

4

s

s

harp

p

p

rincipal

d

d

iffuse

f

f

unda-

mental

g

Uwaga! Nie kryje się za tym żaden głęboki sens, to
jest po prostu sposób na łatwiejsze pamiętanie ...

Orbitale atomu wodoru (2)

• Orbital 1s: n=1, l=0, m=0

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

10

100

100

ϕ

θ

ϕ

θ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

a

h

m e

pm

o

e

0

2

2

52 9

=

=

ε

π

,

0

1

2

3

4

5

r/a

0

r

2

R

2

1 s

Część radialna, R

1,0

(r)

E

1

= -13,6 eV

)

exp(

2

)

(

0

2

/

3

0

a

r

a

r

R

−

⋅

=

−

• Część kątowa

Y(θ,φ)

Orbitale atomu wodoru (3)

ns

1s

wykres łączy punkty o

jednakowej wartości

funkcji kątowej, czyli

jednakowej gęstości

prawdopodobieństwa

znalezienia elektonu

π

ϕ

θ

4

1

)

,

(

=

Y

Orbitale atomu wodoru (4)

•

Orbital 2s: n=2, l=0, m=0

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

20

200

200

ϕ

θ

ϕ

θ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

0

5

10

r/a

0

r

2

R

2

2 s

E

2

= -3,4 eV

Część radialna, R

2,0

(r)

( )

)

exp(

1

2

1

)

(

0

0

2

2

/

3

0

a

r

a

r

a

r

R

−

⋅

−

⋅

=

−

Orbitale atomu wodoru (5)

ns

2s

E

2

= -3,4 eV

π

ϕ

θ

4

1

)

,

(

=

Y

• Część kątowa

Y(θ,φ)

2007-12-07

2

0

5

10

15

r/a

0

r

2

R

2

2 p

Orbitale atomu wodoru (6)

Orbitale 2p: n=2, l=1, m=0, ±1

Ψ

210

(x,y,z), Ψ

211

(x,y,z), Ψ

21,-1

(x,y,z) ; R

21

(r)

E

2

= -3,4 eV

Część radialna, R

2,1

(r)

( )

0

2

0

1

,

2

exp

6

2

1

)

(

a

r

r

a

r

R

−

⋅

⋅

=

Orbitale atomu wodoru (7)

)

,

(

Y

),

,

(

Y

),

,

(

Y

1

1

11

10

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

E

2

= -3,4 eV

θ

ϕ

θ

π

cos

)

,

(

4

3

0

,

1

=

Y

2p

z

ϕ

θ

ϕ

θ

π

cos

sin

)

,

(

4

3

1

,

1

=

Y

2p

x

ϕ

θ

ϕ

θ

π

sin

sin

)

,

(

4

3

1

,

1

=

−

Y

2p

y

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

cos

sin

sin

sin

cos

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

r

y

r

y

r

x

M

M

M

Orbitale atomu wodoru (8)

orbitale np (2p)

m=0

m=1

m= -1

płaszczyzna

węzłowa

xy

płaszczyzna

węzłowa

yz

płaszczyzna

węzłowa

xz

x

y

z

np

z

x

y

z

np

x

x

y

z np

y

Orbitale atomu wodoru (9)

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

30

300

300

ϕ

θ

ϕ

θ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

•

Orbital 3s: n=3, l=0, m=0

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 s

E

3

= -1,5 eV

Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali ns

Część radialna, R

3,0

(r)

[

]

( )

0

2

0

2

0

2

3

3

9

2

0

3

9

2

0

,

3

exp

2

3

)

(

a

r

a

r

a

r

a

r

R

−

⋅

+

−

=

−

Orbitale atomu wodoru (10)

Orbitale 3p: n=3, l=1, m=0, ±1

Ψ

310

(x,y,z), Ψ

311

(x,y,z), Ψ

31,-1

(x,y,z) ; R

31

(r)

3p

z

, 3p

x

, 3p

y

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 p

Część radialna, R

3,1

(r)

Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali np

E

3

= -1,5 eV

[

]

( )

0

0

2

5

3

3

0

6

27

4

1

,

3

exp

2

)

(

a

r

a

r

a

r

R

−

⋅

−

=

−

Orbitale atomu wodoru (11)

Orbitale 3d: n=3, l=2, m=0, ±1, ±2

Ψ

320

(x,y,z), Ψ

321

(x,y,z), Ψ

32,-1

(x,y,z), Ψ

322

(x,y,z),

Ψ

32,-2

(x,y,z) ; R

32

(r)

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 d

Część radialna, R

3,2

(r)

E

3

= -1,5 eV

( )

0

2

7

3

2

0

30

81

1

2

,

3

exp

)

(

a

r

r

a

r

R

−

⋅

⋅

=

−

2007-12-07

3

2

2

2

3

,

3

,

3

,

3

,

3

z

y

x

yz

xz

xy

d

d

d

d

d

−

Orbitale atomu wodoru (12)

część kątowa orbitali 3d

( )

]

1

cos

3

[

,

2

16

45

0

,

2

−

=

θ

ϕ

θ

π

Y

)

3

(

2

z

d

( )

ϕ

θ

ϕ

θ

π

cos

2

sin

,

16

45

1

,

2

⋅

=

Y

)

3

(

xz

d

( )

ϕ

θ

ϕ

θ

π

sin

2

sin

,

16

45

1

,

2

⋅

=

−

Y

)

3

(

yz

d

( )

ϕ

θ

ϕ

θ

π

2

cos

2

sin

,

16

45

2

,

2

⋅

=

Y

)

3

(

2

2

y

x

d

−

( )

ϕ

θ

ϕ

θ

π

2

sin

2

sin

,

16

45

2

,

2

⋅

=

−

Y

)

3

(

xy

d

Orbitale atomu wodoru (13)

część kątowa orbitali 3d

x

z

y

xz

d

3

x

z

y

xy

d

3

x

z

y

yz

d

3

x

z

y

2

2

3

y

x

d

−

x

z

y

2

3

z

d

Orbitale atomu wodoru (14)

część radialna

0

1

2

3

4

5

r/a

0

r

2

R

2

1 s

0

5

10

r/a

0

r

2

R

2

2 s

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 s

0

5

10

15

r/a

0

r

2

R

2

2 p

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 p

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 d

liczba maksimów części radialnej
orbitalu wynosi zawsze n-l;

wysokość maksimów rośnie z r

Orbitale atomu wodoru (15)

część kątowa

ns

x

y

z

np

z

x

y

z

np

x

x

y

z

np

y

płaszczyzna xz

płaszczyzna xy,

na osiach

płaszczyzna xy

płaszczyzna yz

oś z,

w płaszczyźnie xy

Weryfikacja modelu

energia elektronu w atomie wodoru

Widmo emisyjne wodoru składa się z serii:

gdzie:

n

- jest numerem kolejnej serii i najniższego

poziomu w danej serii

q

- jest numerem wyższego poziomu

R

H

- stałą Rydberga













−

=

=

−

−

2

2

1

1

q

n

R

h

E

H

n

q

n

q

ν

Poziomy energetyczne w atomie

a widmo promieniowania wodoru

<<<<

÷

÷

÷

÷

n = 3

n = 4

n = 7

n = 1

n = 2

Poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru,

wynikające z rozwiązania równania Schrödingera

E

1

E

2

E

3

E

4

E

7

<

1

<

2

<

3

<

4

<

7

21

1

2

1

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

31

1

3

2

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

41

1

4

3

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

71

1

7

6

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

2007-12-07

4

Degeneracja energii w atomie wodoru

Jeśli jednej wartości energii odpowiada kilka funkcji
własnych (orbitali), to mówimy, że ten poziom jest
zdegenerowany:

1s

1

2s

2p

x

2p

y

2p

z

4

3s

3p

x

3p

y

3p

z

xy

d

3

2

2

3

y

x

d

−

2

3

z

d

xz

d

3

yz

d

3

9

dla n=4 jest 1+3+5+

7

=

16 funkcji

dla n=5 jest 1+3+5+7+

9

=

25 funkcji

dla dowolnego n jest 1+3+5+7+

9...

=

n

2

funkcji

Degeneracja energii w atomie wodoru

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

s

s

p

p

p

s

p

p

p

d

d

d

d

d

x

y

z

x

y

z

xy

xz

yz

z

x

y

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

<

=

=

=

<

=

=

=

=

=

=

=

=

−

Cofnięcie degeneracji może zachodzić (częściowo
lub całkowicie) w silnym polu :

- elektrycznym (efekt Starka)
- magnetycznym (efekt Zeemana)

Cofnięcie degenracji można obserwować w widmie
emisyjnym lub absorpcyjnym

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

s

s

p

p

p

s

p

p

p

d

d

d

d

d

x

y

z

x

y

z

xy

xz

yz

z

x

y

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

<

<

=

=

<

<

=

=

<

=

=

=

=

−

Cofnięcie degeneracji =

rozszczepienie poziomów energii

2s

3s

3p

x

3p

y

3p

z

1s

1

2p

x

2p

y

2p

z

3

xy

d

3

2

2

3

y

x

d

−

2

3

z

d

xz

d

3

yz

d

3

5

Jeśli elektron w atomie wodoru posiada najniższą
możliwą energię, to jego stan opisuje orbital 1s

Nawet poziomy 1s, 2s, .. mogą być

rozszczepione !

1s

w polu elektrycznym
i magnetycznym

Elektron zachowuje sie tak, jakby posiadał
"wewnętrzny moment pędu„
Ta własność elektronu nosi nazwę

spinu

(Dirac 1928)
Wartość spinu dla elektronu wynosi zawsze 1/2

s

m

s

=

= − +

1
2

1
2

1
2

,

Stan elektronu w atomie wodoru

Do określenia stanu elektronu w atomie wodoru
niezbędna jest znajomość 4 liczb (bo spin jest stały) -
n, l, m i m

s

W stanie podstawowym (minimum energii) stan
elektronu w atomie wodoru określa orbital 1s

(n=1, l=0, m=0, s=1/2, m

s

=±1/2)

spinowa

funkcja

-

orbital

-

)

,

,

(

,

,

s

s,m

m

l

n

z

y

x

σ

+

Ψ

l

spinorbita

-

)

,

,

(

,

,

,

,

,

,

(x,y,z)

z

y

x

s

s

m

s

m

l

n

s,m

m

l

n

Φ

=

⋅

Ψ

σ

Jony wodoropodobne

....

,

,

,

,

5

4

3

+

+

+

+

+

+

C

B

Be

Li

He

T

p

m

=

2

2

jak w atomie
wodoru

V

= −

⋅

Z

e

r

o

2

1

4

πε

gdzie Z - liczba
protonów w
jądrze

E

m

e

const

e

o

= −

=

π

ε

Z

2

4

2

2 h n

n

2

2

'

Wyniki:

orbitale jak w atomie wodoru,
energia uwzglednia wyższy ładunek jądra

M, M

z

, s, m

s

jak w atomie wodoru