3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

: XUQLH ]QDMGXMH VL SRF]WNRZR  NXO ELDá\FK L  NXO F]DUQ\FK

'RZLDGF]HQLH SROHJD QD NROHMQ\P NURWQ\P ORVRZDQLX EH] ]ZUDFDQLD SR MHGQHM

NXOL 5R]ZD*P\ ]GDU]HQLD ORVRZH

2

1

, A

A

oraz

3

A

RNUHORQH Z WDNL VSRVyE

1

A

 ÄZ SLHUZV]\FK FK ORVRZDQLDFK SRMDZL VL  NXOH ELDáH L  F]DUQH´

2

A

 ÄZ SLHUZV]\FK FLX ORVRZDQLDFK SRMDZL VL  NXOH ELDáH L  F]DUQH´

3

A

 ÄZ RVWDWQLFK FK ORVRZDQLDFK SRMDZL VL  NXOH ELDáH L  F]DUQH´

.WyUH ] SRQL*V]\FK ]GD MHVW SUDZG]LZH"

(A)

(

) (

) (

)

2

3

2

1

2

3

1

Pr

Pr

Pr

A

A

A

A

A

A

A

⋅

=

∩

(B)

(

) (

) (

)

1

3

1

2

1

3

2

Pr

Pr

Pr

A

A

A

A

A

A

A

⋅

=

∩

(C)

(

)

1

2

1

2

3

2

4

20

2

10

6

20

3

10

Pr

−

−









⋅









⋅









⋅









=

∩

A

A

(D)

(

) (

)

1

3

2

1

3

Pr

Pr

A

A

A

A

A

=

∩

(E)

( )

( )

2

3

Pr

Pr

A

A

=

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2. Niech





,

,

,

,

1

0

n

X

X

X

E G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R

UR]NáDG]LH MHGQRVWDMQ\P QD SU]HG]LDOH

( )

1

,

0

. Zmienna losowa N oznacza numer

pierwszej ze zmiennych





,

,

,

1

n

X

X

 NWyUD MHVW ZL NV]D QL*

0

X :

{

}

{

}

0

,

3

,

2

,

1

:

inf

X

X

oraz

k

k

N

k

>

∈

=



.

(

)

0

X

X

E

N

−

wynosi:

(A)

1

1

+

N

(B)

2

1

(C)

2

1

0

X

−

(D)

4

1

(E)

3

1

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3. Zmienne losowe U oraz V

PDM áF]Q J VWRü SUDZGRSRGRELHVWZD

( )







≤

+

≥

≥

=

przypadku

przeciwnym

w

v

u

i

v

u

dla

v

u

f

0

1

0

,

0

4

,

2

2

π

Niech

2

2

2

V

U

U

X

+

=

. Zmienna losowa X

PD UR]NáDG

A)

beta

(

)

5

.

0

,

5

.

0

Be

(B)

R J VWRFL

( )

x

x

g

2

=

dla

1

0

≤

≤

x

(C)

beta

( )

2

,

2

Be

(D)

R J VWRFL

( ) ( )

(

)

1

2

1

2

−

+

⋅

=

x

x

g

π

dla

0

≥

x

(D)

jednostajny na przedziale

( )

1

,

0

Uwaga

 UR]NáDG EHWD

(

)

β

α

,

Be

PD ] GHILQLFML J VWRü

( )

(

)

( ) ( )

(

)

1

1

1

−

−

−

⋅

⋅

Γ

⋅

Γ

+

Γ

=

β

α

β

α

β

α

x

x

x

g

dla

1

0

≤

≤

x

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4. Wykonano n

GRZLDGF]H ]JRGQLH ]H VFKHPDWHP Bernoulli’ego, z

SUDZGRSRGRELHVWZHP VXNFHVX

3

1

=

p

. Liczba n

GRZLDGF]H MHVW QLH]QDQ\P

SDUDPHWUHP 2ND]DáR VL  *H OLF]ED SRUD*HN MHVW R  ZL NV]D QL* OLF]ED VXNFHVyZ

:DUWRü HVW\PDWRUD QDMZL NV]HM ZLDU\JRGQRFL nˆ parametru n Z\QLRVáD

(A)

12

(B)

8

(C)

7

(D)

6

(E)

4

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5.

:LDGRPR *H

n

X

X

X

,

,

,

2

1



MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX

normalnego

(

)

1

,

θ

µ −

N

 ]D

n

Y

Y

Y

,

,

,

2

1



MHVW QLH]DOH*Q SUyE ] UR]NáDGX

(

)

1

,

θ

µ +

N

. Liczby

µ

i

θ

V QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL 5R]SDWUXMHP\ ]DGDQLH

testowania hipotezy:

0

:

0

=

θ

H

przeciw alternatywie:

2

1

:

1

=

θ

H

.

Dla jakich n

PR*QD VNRQVWUXRZDü WHVW QD SR]LRPLH LVWRWQRFL  R PRF\ SU]\QDMPQLHM

0.95?

(A)

Wtedy i tylko wtedy, gdy

22

11

≤

≤

n

(B)

Wtedy i tylko wtedy, gdy

11

≥

n

(C)

Wtedy i tylko wtedy, gdy

22

≥

n

(D)

Wtedy i tylko wtedy, gdy

6

≥

n

(E)

Wtedy i tylko wtedy, gdy

100

≥

n

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.

=DNáDGDP\ *H

5

4

3

2

1

,

,

,

,

X

X

X

X

X

MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX R

J VWRFL

( )







≤

≤

⋅

=

−

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

x

x

f

0

1

0

1

θ

θ

θ

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem.

&KFHP\ VNRQVWUXRZDü SU]HG]LDá XIQRFL

[ ]

θ

θ

,

dla parametru

θ

(na poziomie

90

.

0

1

=

−

α

 WDN *HE\

(

)

(

)

θ

θ

θ

θ

θ

θ

>

=

=

<

Pr

05

.

0

Pr

.

.WyU\ ] SRGDQ\FK SRQL*HM SU]HG]LDáyZ PD *GDQH ZáDVQRFL"

Uwaga: stosujemy oznaczenie

( )

∑

=

−

=

5

1

ln

i

i

X

S

(A)









S

S

31

.

18

,

94

.

3

(B)









⋅

⋅

S

S

2

07

.

11

,

2

15

.

1

(C)









⋅

⋅

S

S

2

31

.

18

,

2

94

.

3

(D)









S

S

07

.

11

,

15

.

1

(E)

[

]

S

S

⋅

⋅

31

.

18

,

94

.

3

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

=DNáDGDP\ *H

20

2

1

,

,

,

X

X

X



V QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R

UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P

(

)

2

,

σ

µ

N

. Niech:

15

1

X

X

Y

+

+

=



i

20

6

X

X

Z

+

+

=



.

:DUXQNRZD ZDUWRü RF]HNLZDQD

( )

Y

Z

E

wynosi:

(A)

µ

15

(B)

µ

5

(C)

Y

⋅

3

2

(D)

Y

⋅

−

3

1

20

µ

(E)

µ

5

3

2

+

⋅

Y

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8.

àDFXFK 0DUNRZD PD GZD VWDQ\

2

1

, E

E

L PDFLHU] SU]HMFLD













5

.

0

5

.

0

1

0

.

Niech

n

X

R]QDF]D VWDQ Z NWyU\P ]QDMGXMH VL áDFXFK SR GRNRQDQLX n kroków

(

)



,

1

,

0

=

n

 )XQNFM f QD ]ELRU]H VWDQyZ RNUHODP\ Z]RUHP

( )

i

E

f

i

=

dla

2

,

1

=

i

.

Niech

( ) (

)

[

]

1

,

lim

+

∞

→

=

n

n

n

X

f

X

f

COV

c

.

Granica c wynosi:

(A)

9

1

(B)

9

1

−

(C)

:DUWRü c ]DOH*\ RG SRF]WNRZHJR VWDQX áDFXFKD

(D)

0

(E)

1

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9. Niech

n

X

X

X

,

,

,

2

1



E G]LH SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX R J VWRFL

( )









≥

⋅

=

−

−

przypadku

przeciwnym

w

c

x

dla

e

x

f

c

x

c

0

1

,

µ

µ

µ

Gdzie

R

c

∈

i

0

>

µ

V QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL .WyU\ ] SRGDQ\FK Z]RUyZ RNUHOD

QLHREFL*RQ\ GOD GRZROQHJR

1

>

n

) estymator parametru

µ

?

(A)

{

}

n

n

i

i

X

X

n

n

X

n

,

,

min

1

1

1

ˆ

1

1



⋅

−

−

⋅

−

=

∑

=

µ

(B)

{

}

n

n

i

i

X

X

X

n

,

,

min

1

ˆ

1

1



−

⋅

=

∑

=

µ

(C)

{

}

n

n

i

i

X

X

n

n

X

n

,

,

min

1

1

ˆ

1

1



⋅

−

−

⋅

=

∑

=

µ

(D)

{

}

n

n

i

i

X

X

X

n

,

,

min

1

1

ˆ

1

1



−

⋅

−

=

∑

=

µ

(E)

Nie is

WQLHMH QLHREFL*RQ\ HVW\PDWRU SDUDPHWUX

µ

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.

=DNáDGDP\ *H

n

X

X

X

,

,

,

2

1



MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX

normalnego

(

)

2

2

,

µ

γ

µ

N

, gdzie

R

∈

µ

MHVW QLH]QDQ\P SDUDPHWUHP ]D

2

γ

- znanym

ZVSyáF]\QQLNLHP 3RV]XNXMHP\ HVW\PDWRUD SDUDPHWUX

µ

postaci:

n

n

X

c

X

c

+

+

=



1

1

ˆ

µ

,

NWyU\ PD MHGQRVWDMQLH WR ]QDF]\ GOD ND*GHJR

µ

 QDMPQLHMV]\ EáG UHGQLRNZDGUDWRZ\

(

)

2

ˆ

µ

µ

µ

−

E

ZUyG HVW\PDWRUyZ UR]SDWU\ZDQHM SRVWDFL

(A)

Nie ma takiego estymatora.

(B)

7DN ZáDVQRü PD

X

=

µ

ˆ

, czyli estymator dla którego

n

c

c

n

1

1

=

=

=



(C)

7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR

2

1

1

γ

+

=

n

c

,

2

2

2

1

γ

+

=

n

c

,

2

3

3

1

γ

+

=

n

c

, ... ,

2

1

γ

n

n

c

n

+

=

.

(D)

7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR

2

1

1

γ

+

=

=

=

n

c

c

n



(E)

7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR

(

)

2

1

1

1

γ

+

⋅

=

=

=

n

c

c

n



3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

28.02.1998 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 28 lutego 1998 r.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR   ./8&= 2'32:,('=, 

Pesel ...........................................

Zadanie nr

2GSRZLHG( Punktacja

♦

1

A

2

D

3

D

4

B

5

C

6

C

7

E

8

B

9

A

10

D

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD