Wyk

ł

ad 4

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2011/12

1

Wyk

ł

ad 4

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciąg

ł

ych

Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia

ł

Inżynierii Lądowej

REDUKCJA DO NAJPROSTSZEJ POSTACI

P

Ł

ASKI I RÓWNOLEG

Ł

Y UK

Ł

AD SI

Ł

Część 1

REDUKCJA DO NAJPROSTSZEJ POSTACI

cd.

cd.

1.1. Twierdzenie o zmianie bieguna - cd

Wniosek 4
Jeżeli punkt redukcji przemieszcza się po prostej równoleg

ł

ej do sumy to

moment uk

ł

adu względem tego punktu nie ulega zmianie

Z: Wektor OO’ || S

O'

S

O'

M

3

T: Moment uk

ł

adu

nie ulega zmianie

O

O'

M

M

=

D:

OO' ||S

O'

O

O'

O

M

M

S

OO'

M

M

=

+ ×

⇒

=

n

A

2

F

1

A

•

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

•

•

•

O

O'

S

O

M

Wniosek 5
Rzut momentu na kierunek sumy jest sta

ł

y i nie zależy od punktu redukcji

D:

S

K

M

const

S

S

⋅

=

=

Miara rzutu M na kierunek S
jest sta

ł

a a tym samym rzut

M na S jest sta

ł

y

M

B

M

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

o

O

M

4

A

B

A

M

a

S

=

b

S

=

o

O

M

O

w

S

=

α

?

O

M

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

M

B

M

B

O

M

O

A

M

M

S

AO

=

+ ×

AO

o

(

)

O

A

M

AO

M

AO

S

AO

AO

=

+

×

o

o

o

0

0

A

M

AO

⊥

A

O

M

M

S

OA

=

+ ×

S

OA

S

OA

×

=

⋅

1.2. Przypadek ogólny

K

≠

0

- w

ł

asności wektorów zredukowanych

5

A

π

B

π

O

M

O

w

S

=

o

a

S

=

b

S

=

A

M

A

B

O

M

n

S

OA

×

F

F

−

o

o

S

OB

×

Skrętnik

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

B

M

B

M

O

M

1.3. Przypadek szczególny

K

S

=

∩

≠

0

0

- redukcja do wypadkowej

W punkcie O prostej dzia

ł

ania wypadkowej uk

ł

ad si

ł

redukuje się do jednego wektora

w

S

M

= ∩

=

0

F

F

−

6

A

π

B

π

O

w

S

=

o

a

S

=

b

S

=

A

B

O

M

n

S

OA

×

A

M

O

M

F

F

−

S

OB

×

a

F

+

Wypadkowa

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

M

O

A

M

M

S

AO

=

+ ×

S

×

(

)

O

A

M

S

M

S

S

AO

S

× =

× +

×

×

0

λ AO , λ

⋅

>

0

O

O : M

S

⇒

(

)

S

AO

S

S

AO S

λ

AO

×

× =

⋅

⋅

= ⋅

AO

⇓

λ

S

=

2

A

M

S

S

AO

−

× =

⋅

2

⇒

A

S

M

AO

S

×

=

2

(

)

X x, y, z

1.4. Równanie osi środkowej

7

O

O

ś

ś

A

π

a

S

=

A

M

O

M

w

S

=

o

A

S

A

S

M

OX

λ S

S

×

=

+ ⋅

2

Wektorowe równanie osi środkowej

1.5. Przypadki redukcji - podsumowanie

Cztery przypadki redukcji

do najprostszej postaci

Cztery przypadki redukcji

w punkcie

Uk

ł

ad zerowy

1.

S

M

= ∩

=

0

0

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Uk

ł

ad zerowy

1.

S

M

= ∩

=

0

0

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

8

Para si

ł

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Skrętnik

4.

K

≠

0

Wektor i para si

ł

(lub dwa wektory)

4.

S

M

≠ ∩

≠

0

0

Para si

ł

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Jeden wektor

3.

S

M

≠ ∩

=

0

0

Wypadkowa

3.

S

K

≠ ∩

=

0

0

Część 2

P

Ł

ASKI UK

Ł

AD SI

Ł

2.1. Definicja p

ł

askiego uk

ł

adu si

ł

P

ł

aski uk

ł

ad si

ł

Uk

ł

ad si

ł

, których proste dzia

ł

ania

zawierają się w jednej p

ł

aszczyźnie

10

F

1

π

i

F

F

3

F

2

2.2. Przyk

ł

ady

Uk

ł

ad si

ł

przekazywanych na pylon

przez wanty mostu podwieszonego

fot. Henryk Laskowski – archiwum SKNMB

11

Uk

ł

ad si

ł

przekazywanych na

ł

uk

żelbetowy przez podpory pomostu

12

Wiadukt drogowy w Milówce

fot. Jacek Ostaficzuk

Uk

ł

ad si

ł

w węźle kratownicy

13

fot. Paweł Szafran – archiwum SKNMB

2.3. Redukcja p

ł

askiego uk

ł

adu si

ł

F

F

F

2

n

A

2

i

M

A

3

M

2

M

3

O

M

i

i

i

F

A O

π

M

S

∩

⊂

⇔

⊥

n

i

i

S

F

=

=

∑

1

n

O

i

i

i

M

F

A O

=

=

×

∑

1

df

Redukcja w punkcie

14

F

1

π

i

F

F

3

O

M

1

A

1

i

A

S

o

df

O

K

M

S

=

=

0

o

Przypadek redukcji do najprostszej postaci

S

M

≠ ∩

≠

0

0

o

ś ś

rodk

owa

pros

ta dz

ia

F

−

15

n

A

2

F

1

A

•

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

•

•

•

M

o

ś ś

rodk

owa

pros

ta dz

iałan

ia w

ypad

kow

ej

F

F

−

n

A

2

F

1

A

•

i

A

2

A

i

F

1

F

n

F

•

•

•

2.4. Przypadki redukcji p

ł

askiego uk

ł

adu si

ł

- podsumowanie

Trzy przypadki redukcji

do najprostszej postaci

Cztery przypadki redukcji

w punkcie

Uk

ł

ad zerowy

1.

S

M

= ∩

=

0

0

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Uk

ł

ad zerowy

1.

S

M

= ∩

=

0

0

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

P

ł

aski uk

ł

ad si

ł

nie może się

zredukowa ani do dwóch

16

Para si

ł

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Wypadkowa

3.

S

≠

0

Wektor i para si

ł

w p

ł

aszczyźnie

uk

ł

adu (lub dwa wektory)

4.

S

M

≠ ∩

≠

0

0

Para si

ł

2.

S

M

= ∩

≠

0

0

Jeden wektor

3.

S

M

≠ ∩

=

0

0

zredukować ani do dwóch

wektorów skośnych ani do

skrętnika

Pa

16

y

z

M

P a

P

a

P

a

P a

P

a

Pa

Pa

=

⋅ −

⋅

+

⋅

−

⋅ +

⋅

−

=

5

6

3

3

3

4

4

7

16

4

A

4

Pa

16

x

S

P

P

P

=

−

=

6

4

2

y

S

P

P

P

P

= −

+

+

=

5

3

4

2

P

3

(

)

b

S

P

P

= =

2

2

0

(

)

O

M

Pa

=

0 0

4

Redukcja

do najprostszej postaci

Redukcja w punkcie

2.5. Redukcja p

ł

askiego uk

ł

adu si

ł

– przyk

ł

ad obliczeniowy

W punkcie

O

uk

ł

ad si

ł

redukuje

się do wektora

b = S

oraz do

pary si

ł

o momencie

M

O

17

P

5

O

x

a

a

A

1

A

2

A

3

P

6

P

5

A

4

P

4

P

4

do najprostszej postaci

O

M

S

OX

=

+ ×

0

(

) (

)

(

)

Pa

P

P

x

y

z

=

+

×

0

0 0

4

2

2

0

y

x

a

= −

2

Najprostszym równoważnym
uk

ł

adem zredukowanym jest

wypadkowa

w = S

o prostej

dzia

ł

ania danej równaniem:

y = x – 2a