Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-1

Wykład 12

12. Ruch obrotowy

12.1

Wstęp

Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał.

Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddziel-
nego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielkości:

moment pędu

i

moment siły

. Zasada zachowania momen-

tu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.

12.2

Kinematyka ruchu obrotowego

Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego.

Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest

przesunięcie kąto-

we

θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okrę-

gu, z definicji miary łukowej kąta

θ = S/R. (w radianach). Kątową analogią prędkości

v = dx/dt jest

prędkość kątowa

ω.

t

d

d

θ

ω

=

(12.1)

Dla ruchu po okręgu v

=

ω R.

W przypadku ruchu jednostajnego po okrę-
gu

ω jest nazywane

częstością kątową

i jest

związana z częstotliwością f relacją

ω = 2

π

f

Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie ką-
towe

α.

t

d

d

ω

α

=

(12.2)

Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i

α jest analogiczny do związku pomiędzy v

i

ω tzn. a = αR. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-

niem

α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

a = const
v

= v

0

+ at

s = s

0

+ v

0

t + (1/2)at

2

α = const

ω = ω

0

+

αt

θ =θ

0

+

ω

0

t + (1/2)

αt

2

θ

R

S

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-2

Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej

ω i przyspieszenia kątowego α

w ruchu

obrotowym są pokazane na rysunku poniżej.

12.3

Dynamika ruchu obrotowego

12.3.1 Moment siły

W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wiel-

kość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W
szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle do
nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na ich
zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest

moment siły

(tzw.

moment obrotowy)

τ.

Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako

F

r

τ

×

=

(12.3)

gdzie wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu
odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wyno-
si:

τ = rFsinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać, że

bierzemy albo r

⊥

albo F

⊥

).

12.3.2 Moment pędu

Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do

pędu. Wielkość L będziemy nazywać

momentem pędu

i definiujemy ją

p

r

L

×

=

(12.4)

gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsin

θ i analogicznie do momentu siły

wielkość rsin

θ nazywamy ramieniem pędu.

ω

α

ω

α

ruch przyspieszony

ruch opóźniony

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-3

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy
od znanej zależności, że siła F = dp/dt (dla pojedynczej cząstki). Mnożąc wektorowo
obie strony przez r otrzymujemy

t

d

d p

r

F

r

×

=

×

F

r

×

jest momentem siły

τ więc

t

d

d p

r

τ

×

=

(12.5)

Teraz przechodzimy do równania na moment pędu L = r

×

p i różniczkujemy je obu-

stronnie względem czasu, otrzymując

t

t

t

t

d

d

d

d

d

)

d(

d

d

p

r

p

r

p

r

L

×

+

×

=

×

=

ponieważ dr/dt =

v więc

t

m

t

d

d

)

(

d

d

p

r

L

×

+

×

=

v

v

Wiemy, że

v

v

m

×

= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc

t

t

d

d

d

d

p

r

L

×

=

(12.6)

Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że

t

d

d L

τ

=

(12.7)

Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian
momentu pędu tej cząstki.

12.3.3 Zachowanie momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach

t

t

wypadkowy

i

i

i

i

d

d

d

d

L

L

τ

=













=

∑

∑

(12.8)

Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to
moment pędu układu pozostaje stały.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-4

.

const

0

d

d

=

⇒

=

wypadkowy

wypadkowy

t

L

L

Przykład 1

Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone ra-

miona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f

1

= 0.5 obrotów na sekun-

dę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość
jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu, zostają
ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się osoba ma
taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi

L

h1

= R

1

mv

1

= R

1

m(

ω

1

R

1

) = m

ω

1

(R

1

)

2

gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc

L

1

= L

o1

+ m

ω

1

(R

1

)

2

Ponieważ L

o1

= L

h1

więc L

o1

= m

ω

1

(R

1

)

2

.

Dla hantli w odległości R

2

moment pędu układu wynosi

L

2

= L

o2

+ m

ω

2

(R

2

)

2

Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy

L

1

= L

2

czyli:

L

o1

+ m

ω

1

(R

1

)

2

= L

o2

+ m

ω

2

(R

2

)

2

Pamiętając, że L

o2

= L

o1

ω

2

/

ω

1

ponieważ L

∼

ω rozwiązujemy to równanie względem ω

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

R

R

R

+

=

ω

ω

ω

2

= 1.97

ω

1

Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.

Przykład 2

Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła

działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F

2

= 4

N. Z jaką siłą F

1

łańcuch musi ciągnąć zębatkę je-

żeli stosunek R

2

/R

1

= 10?

Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0
i co za tym idzie

R

1

R

2

F

1

F

2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-5

τ

wypadkowy

= (

τ

1

-

τ

2

) = 0

czyli

τ

1

=

τ

2

Stąd

R

1

F

1

= R

2

F

2

więc

F

1

= (R

2

/R

1

)F

2

= 40N

12.4

Ciała sztywne i moment bezwładności

Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą

wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozu-
miemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa

ω wokół

stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają róż-
ną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową

ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy po-

dzielić na elementy o masie

∆

m

i

odległe od osi obrotu o r

i

.

Wtedy prędkość takiego elementu wynosi v

i

= r

i

ω. Wartość

momentu pędu L tego ciała można obliczyć

ω

ω













∆

=

∆

=

∆

=

∑

∑

∑

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

m

r

m

r

L

2

)

(

v

Wielkość w nawiasie nazywamy

momentem bezwładności

I,

który definiujemy jako

∑

∆

=

i

m

r

I

i

i

2

a dla ciągłego rozkładu masy mamy

∫

=

m

r

I

d

2

(12.9)

Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać moment pędu

L = I

ω

(12.10)

a ponieważ

τ = dL/dt więc

α

ω

τ

I

t

I

=

=

d

d

(12.11)

∆

m

i

r

i

v

i

ω

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-6

Energia kinetyczna w układzie środka masy

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

ω

∑

∑

∑













∆

=

∆

=

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

m

E

v

więc

2

2

1 ω

I

E

k

=

(12.12)

Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

p = mv
F = ma
E

k

= (1/2) mv

2

L= I

ω

τ = Iα
E

k

= (1/2)I

ω

2

Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w
ruchu postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bez-
władności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektó-
rych ciał są podane w tabeli.

Ciało

I

Obręcz, pierścień względem osi

⊥

przez środek

Krążek, walec względem osi

⊥

przez środek

Pręt wokół osi

⊥

przez środek

Pręt wokół osi

⊥

przez koniec

Pełna kula wokół osi przez środek
Czasza kulista wokół osi przez środek

mR

2

mR

2

/2

ml

2

/12

ml

2

/3

2mR

2

/5

2mR

2

/3

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdze-

niem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała wzglę-
dem danej osi, a momentem bezwładności I

śr.m.

tego ciała względem osi przechodzącej

przez jego środek masy i równoległej do danej.

I = I

śr.m.

+ md

2

(12.13)

gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.

12.5

Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego

Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy

ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też tocze-
nie możemy traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano
to na rysunku poniżej dla toczącego się walca.

W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi

prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty po-

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-7

ruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) po-
kazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku obok)

w każdej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast
prędkość liniowa każdego innego punktu jest
w każdej chwili prostopadła do linii łączącej
ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do
odległości tego punktu od P. Oznacza to, że
walec

obraca się wokół punktu P

. Oznacza to,

że możemy toczenie opisywać również jako
"czysty" ruch obrotowy ale względem osi
przechodzącej przez punkt P styczności
z powierzchnią, po której toczy się ciało.

Przykład 3

Krążek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h
Obliczyć ich prędkości u dołu równi.
Z zasady zachowania energii

mgh = (1/2)mv

2

+ (1/2)I

ω

2

Ponieważ

ω = v/R więc

mgh = (1/2)mv

2

+ (1/2)I(v/R)

2

Przekształcając

2

2

2

R

I

m

mgh

+

=

v

Dla krążka I = mR

2

/2 więc

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-8

gh

3

4

=

v

podczas gdy dla kuli I = 2mR

2

/5 więc

gh

7

10

=

v

Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od masy i promienia ale

zależy tylko od kształtu

.

Gdyby te ciała zsuwały się to

gh

2

=

v

dla obu brył.

Ten sam przykład możemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy
ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, żeby obliczyć moment bezwładno-
ści względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią.

12.6

Ruch precesyjny (bąk)

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w iner-

cjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt pod-
parcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia. Z doświadczenia
wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzch-

nię stożka. Taki ruch nazywamy

precesją

.

W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową

ω

dookoła

swej osi

. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt

θ z osią pio-

nową.
Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła ciężkości przy-
łożona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment
bo ma zerowe ramię (względem punktu podparcia). Ciężar mg wytwarza jednak mo-
ment siły względem punktu podparcia:

τ = r

×

F = r

×

mg

L

mg

r

θ

θ

τ

x

y

z

y

z

x

τ

L+

∆

L

L

∆

L

∆ϕ

ω

p

θ

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-9

gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że

τ jest pro-

stopadłe do r i do mg.
Zauważmy, że

τ, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji ω

p

.

Obliczymy teraz kątową precesję

ω

p

.

t

p

∆

∆

=

ϕ

ω

Ponieważ

∆

L << L, to mamy

∆

ϕ

≅

∆

L/Lsin

θ

Z równania (12.5) wynika, że

∆

L =

τ

∆

t

więc

∆

ϕ

≅

τ

∆

t/Lsin

θ

Otrzymujemy więc

ω

p

=

∆

ϕ/

∆

t =

τ/Lsinθ

(12.14)

Moment siły jest równy

τ = rmg sin(180°-θ) = rmg sinθ

więc ostatecznie

ω

p

= rmg/L

(12.15)

Zwróćmy uwagę, że

prędkość precesji nie zależy od kąta

θ

i jest odwrotnie proporcjo-

nalna do wartości momentu pędu.
Równanie (12.14) można zapisać w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do
postaci

τ = ω

p

L sin

θ

Widać, że po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość iloczynu wektorowego
ω

p

×

L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem

siły i momentem pędu ma postać

L

ω

τ

×

=

p

(12.16)

Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstawą różnych technik do-
świadczalnych (NMR, EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach, techni-
ce i medycynie.