pracownia fizyczna wydziału fizyki i techniki jądrowej SU1648

Zeszyt A1

do ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki

Ćwiczenie 0

Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych . .

0-1 – 0-14

J. Ostachowicz

Ćwiczenie 1

Wahadło fizyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1 – 1-6

Z. Stęgowski

Ćwiczenie 5

Wahadło matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-1 – 5-5

M. Bielewski, E. Rulikowska

Ćwiczenie 9

Swobodne spadanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9-1 – 9-6

A. Zięba

Ćwiczenie 11

Moduł Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11-1 – 11-6

J. Cieślak

Ćwiczenie 13

Współczynnik lepkości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13-1 – 13-5

J. Cieślak

Ćwiczenie 25

Interferencja fal akustycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25-1 – 25-7

W. Zieliński

Ćwiczenie 32

Mostek Wheatstone’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32-1 – 32-6

J. Cieślak

Ćwiczenie 33

Kondensatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33-1 – 33-8

A. Zięba

Ćwiczenie 35

Elektroliza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35-1 – 35-6

A. Bolewski

Ćwiczenie 41

Busola stycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41-1 – 41-6

A. Bolewski

Ćwiczenie 51

Współczynnik załamania dla ciał stałych . . . . . . . . . . . . . . . . .

51-1 – 51-8

M. Chyla

Ćwiczenie 53

Soczewki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53-1 – 53-10

M. Chyla

Ćwiczenie 96

Dozymetria promieniowania γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96-1 – 96-10

E. Rulikowska

Ćwiczenie 121

Termometr oporowy i termopara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121-1 – 121-6

J. Rosiek

Ćwiczenie 123

Półprzewodnikowe złącze p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123-1 – 123-8

E. Łącki

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 0: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych

Cel ćwiczenia:
Zapoznanie się z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych i wyliczanych w laboratorium
fizycznym.

Literatura

[1] Szydłowski H., Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiaru, Postępy Fizyki, Tom 51, Zeszyt

2, 2000.

[2] Ostachowicz J., Technika opracowania danych pomiarowych w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki,

OEN, Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica, Kraków 1999.

[3] Guide to Expression of Uncertainty in Measurements, ISO 1995, Switzerland; tłumaczenie: Wyra-

żanie niepewności pomiaru. Przewodnik, GUM, 1999.

[4] Zięba A., Opracowanie danych pomiarowych, http://www.ftj.agh.edu.pl/wfitj/dydaktyka/danepom.pdf

[5] Tarasiuk J., Wirtualne Vademecum Statystyki,

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼tarasiuk/wvs/index1.htm.

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

Co to jest niepewność wyniku pomiaru i czym różni się od pojęcia błędu pomiaru?
Jak zapisujemy wynik pomiaru z niepewnością?

Jak szacujemy niepewność wyniku gdy wykonujemy pomiar jednokrotnie?

Omów rozkład normalny (Gaussa) i objaśnij pojęcie prawdopodobieństwa i gęsto-
ści prawdopodobieństwa.

Jaka wielkość statystyczna jest miarą niepewności i jak ją szacujemy?

Omów prawo przenoszenia niepewności; kiedy wolno je stosować?

Podstawowe parametry statystyczne wielokrotnego pomiaru (wartość średnia, od-
chylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej).

∗

. Wyjaśnij pojęcia: poziom ufności i przedział ufności na przykładzie rozkładu nor-

malnego

∗

. Wyjaśnij pojęcia niepewności rozszerzonej. Jak szacuje się niepewność w przy-

padku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru?

Ocena z odpowiedzi:

∗

– zagadnienia dla studentów WFiTJ.

0-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

0-2

Wprowadzenie

Niniejsze ćwiczenie przewidziano jako ćwiczenie wstępne, zapoznające z szacowaniem niepewności w
pomiarach laboratoryjnych. Jest ono realizowane przez każdego studenta poza pracownią, jako praca
domowa, której zakres ustala prowadzący. Istotne zmiany nomenklatury i pojęć w technice opracowa-
nia wyników pomiaru, wprowadzane od lat dziewięćdziesiątych w świecie, a obecnie również w Polsce,
zmusiły do poprzedzenia części praktycznej wprowadzeniem ułatwiającym realizację tego ćwiczenia.
Dodajmy jednak, że rzetelne przygotowanie się do „szacunku niepewności” w pomiarach laboratoryj-
nych wymaga w zasadzie przyswojenia sobie podstawowych wiadomości ze statystyki. Oprócz wielu
podręczników, pomocą w tym może służyć „Wirtualne Vademecum Statystyki” znajdujące się w ma-
teriałach dydaktycznych na stronie Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej AGH (pozycja [5] w spisie
literatury).

Pomiar i zapis wyniku pomiaru

Pomiar. Aby cokolwiek zmierzyć, musimy znać definicję mierzonej wielkości (np. co to jest dłu-
gość?) oraz jej jednostkę (np. metr), musimy dysponować sprawnym przyrządem pomiarowym
(np. liniałem czy taśmą metalową, suwmiarką, śrubą mikrometryczną) wyskalowanym według
wzorca. Porównując wielkość mierzoną (np. długość stołu) z jednostkową długością (np. 1 mm
na przymiarze metalowym) – uzyskamy wynik pomiaru, to jest liczbę wraz z jednostką (np. 1522
mm). Podobna jest procedura pomiaru wielkości fizycznych wyznaczanych metodami pośredni-
mi, na przykład pomiar temperatury za pomocą termometru spirytusowego z wykorzystaniem
zjawiska rozszerzalności objętościowej cieczy.

Wynik pomiaru i jego zapis. Liczba otrzymana w wyniku procedury pomiarowej wraz z jednost-
ką, np. przytoczony powyżej rezultat pomiaru długości stołu 1522 mm, nie jest pełną informa-
cją o mierzonej wielkości. Potrzebna jest również ocena wiarygodności uzyskanego rezultatu
polegająca na oszacowaniu tzw. niepewności wyniku. Rozróżniamy dwie metody obliczeń nie-
pewności pomiaru: metodę typu A (stosowaną dla serii pomiarów) lub metodę typu B (np.
dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu
lub w oparciu o tzw. działkę elementarną stosowanego miernika). Najczęściej wykorzystuje się
pojęcie niepewności standardowej (u). Przyjęto umowę, że wynikiem pomiaru jest uzyskany
liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbową oszacowanej niepewności standardowej –
obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyrażone przy użyciu tej samej jednostki! Nie-
pewność standardową zaokrągla się do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru
zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością. Na
przykład, zapisujemy wynik: 1522 z niepewnością 1, ale nie 1522 z niepewnością 0,9. Albo
1,00061 (u = 0, 00027), czy zaokrąglony 1,0006 (u = 0, 0003), ale nie 1,0006 (u = 0, 00027). Ka-
rygodnym jest podawanie wszystkich cyfr wynikających z obliczeń numerycznych przy użyciu
kalkulatora, np.: 1522,79346214 (u = 1, 35791622).

Nazewnictwo. W języku potocznym, a także w wielu dotychczasowych opracowaniach nauko-
wych i technicznych stosuje się pojęcie błędu i uściślenia tego pojęcia przydatne do opisu efektów
spowodowanych różnymi przyczynami (źródłami) różnic wyniku pomiaru wielkości mierzonej i
jej wartości prawdziwej. Przez błąd rozumie się różnicę wyniku pomiaru i wartości prawdziwej,
zazwyczaj nieznanej.

Ocena niepewności typu B (pomiar jednokrotny)

Dość często w życiu codziennym, w technice i nauce uznajemy za wystarczające jednokrotne
wykonanie pomiaru. W zależności od potrzeby dobieramy wówczas przyrząd pomiarowy odpo-
wiedniej jakości (dokładności). Na przykład, w pomiarach długości czy grubości jest to liniał
metalowy z najmniejszą działką pomiarową 1 mm albo suwmiarka (z działką 0,1 mm lub 0,005
mm) czy też śruba mikrometryczna z działką 0,01 mm. Do każdego przyrządu pomiarowego
powinna być dostarczona informacja producenta o dokładności z jaką mierzy dany przyrząd
(często sprowadza się ona do podania tzw. błędu maksymalnego – maksymalnej różnicy mię-
dzy wynikiem poprawnego odczytu ze skali przyrządu a wartością prawdziwą). W przypadku
braku takiej informacji przyjmuje się, że dokładność, z jaką mierzy dany przyrząd jest równa

0-3

wartości działki elementarnej (np. 0,01 mm dla śruby mikrometrycznej, czy też 1 mm dla przy-
miaru metrowego). Zdarzają się jednak przypadki, że na przyrządzie zaznaczone są drobniejsze
działki, niż to wynika z jego rzeczywistej dokładności (np. działki jednomilimetrowe na kilkuna-
stometrowej taśmie mierniczej powszechnego użytku). Wtedy to należy kierować się własnym
doświadczeniem i przyjąć rozsądną wartość dokładności z jaką mierzy dany przyrząd, równą
wielokrotności działki elementarnej (np. 1 cm dla wspomnianej wyżej taśmy mierniczej, o ile
mierzona długość przekracza kilka metrów). Podobnie, wykorzystując przyrząd analogowy, np.
woltomierz wychyłowy magnetoelektryczny, możemy oszacować dokładność wyniku pomiaru na
podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu to liczba, która określa jaki procent używane-
go w pomiarze zakresu przyrządu może być utożsamiany z dokładnością pomiarową, a dokładnie
– błędem maksymalnym. I tak, pomiar napięcia 12,5 V przy zakresie 30 V, przyrządem klasy
”1”, wykonany jest z dokładnością wynoszącą 1% z 30 V = 0,3 V. Oszacowanie niepewności
pomiaru jednokrotnego metodą typu B, u

, dokonujemy w oparciu o analizę a priori (przed

pomiarem) wszystkich znanych źródeł niepewności, w szczególności o informacje o danym typie
przyrządu i metodzie pomiaru. Korzystamy tu z danych producenta przyrządu oraz analizuje-
my warunki, w jakich pomiar został wykonany. Oznaczmy dokładność pomiaru przez ∆ – jest
to zwykle najmniejsza działka używanego przyrządu (ew. błąd maksymalny). Przyjmujemy za-
zwyczaj, że z równym prawdopodobieństwem nieco różne wartości mierzonej wielkości mogą się
zawierać w przedziale (µ ± ∆), gdzie przez µ oznaczamy tzw. wartość oczekiwaną zmiennej
losowej, którą reprezentuje mierzona wielkość. Wartość oczekiwana może być utożsamiana ze
wspomnianą wcześniej „prawdziwą” wartością mierzonej wielkości (np. uzyskaną — z bardzo
dobrym przybliżeniem -– w pomiarach o wyjątkowo wysokim stopniu dokładności). Z rozważań
statystycznych tego postulowanego tzw. równomiernego rozkładu zmiennej losowej wynika, że
niepewność standardowa typu B, u

, pomiaru tym przyrządem wyraża się wzorem

= ∆/

√

3 ≈ 0.58∆.

(1)

Przykład 1.
Zmierzono suwmiarką grubość płyty stalowej i odczytano wynik 24,8 mm. Zapiszemy wynik
pomiaru: 24,8 mm (∆ = 0, 1mm) zaznaczając, że na podstawie informacji o przyrządzie przy-
jęliśmy wartość działki elementarnej równą 0,1 mm. Pomiarowi temu przypiszemy niepewność
standardową, u, równą 0,06 mm [wzór(1)], zaznaczając, że uwzględniliśmy tylko informacje o
jakości przyrządu (suwmiarki).

Ocena niepewności typu A (pomiar wielokrotny)

Jeżeli oceniamy, że zmienne warunki pomiaru lub zmiany mierzonego obiektu mogą powodować
nieco różne wyniki pomiaru, często decydujemy się na wielokrotne powtarzanie pomiaru. Na
przykład, wyniki pomiaru średnicy dość długiego, metalowego drutu o przekroju kołowym, wy-
konywane śrubą mikrometryczną w różnych miejscach drutu mogą znacząco się różnić. Oznacz-
my kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez x

, gdzie indeks i oznacza numer

pomiaru (i = 1, ..., n). Wówczas średnia arytmetyczna ¯

x z wyników pomiarów jest dobrym

oszacowaniem (w statystyce używamy terminu: estymatorem) wartości oczekiwanej µ:

x =

i=1

−→

n→∞

µ.

(2)

(Z powyższego wzoru wynika, że dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie średnia arytme-
tyczna staje się dokładnie wartością oczekiwaną).
Niepewność standardową typu A, u

, mierzonej wielkości x utożsamiamy w tym przypadku z

odchyleniem standardowym średniej S(¯

x); i tak niepewność standardowa u

opisana jest

wzorem:

= u(x) = S(¯

x) =

v
u
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

n(n − 1)

(3)

0-4

Określając niepewność standardową obowiązani jesteśmy do wyeliminowania w praktyce błędu
systematycznego. Zakładamy, że poprawne obliczenie wyniku i jego niepewności jest poprze-
dzone eliminacją tzw. błędów grubych (pomyłek) i korektą wpływu znanych źródeł błędów
systematycznych na wynik pomiaru.
Z kolei miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest

S(x) =

v
u
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

(n − 1)

−→

n→∞

σ.

(4)

Występująca we wzorze (4) wielkość S(x), zwana często średnią odchyłką kwadratową (od
średniej), jest estymatorem (oszacowaniem) tzw. odchylenia standardowego pojedyncze-
go pomiaru, σ, a więc miary rozproszenia zmiennej losowej (mierzonej wielkości) wokół jej
wartości oczekiwanej. Z powyższego wzoru wynika zasadność wielokrotnego powtarzania po-
miaru – o ile średnia arytmetyczna każdej serii pomiarów stanowi „takie samo” oszacowanie
wartości oczekiwanej, to związana z tym szacunkiem niepewność maleje ze wzrostem liczebno-
ści serii. W granicy – analogicznie jak w przypadku wzoru (2) – dla liczby pomiarów rosnącej
nieograniczenie S(x) staje się dokładnie odchyleniem standardowym.
Jeżeli wyniki pomiarów w serii x

, . . . , x

są otrzymywane w sposób (a) niezależny i (b) w

warunkach zapewniających taką samą dokładność pomiaru, a także jeżeli liczba pomiarów (n)
staje się znacząco duża (teoretycznie powinniśmy rozpatrywać przypadek n zdążającego do
nieskończoności; w praktyce wystarcza zwykle n ok. 20 ÷ 30) to zmienna losowa jaką jest wynik
pomiaru x podlega tzw. rozkładowi Gaussa (rozkładowi normalnemu) o wartości oczekiwanej µ
i odchyleniu standardowym σ. Rozkład ten określa funkcja gęstości prawdopodobieństwa,
f (x), dana wzorem

f (x) =

√

2π

exp

−

(x − µ)

2σ

(5)

Funkcja f (x) określa prawdopodobieństwo P przyjęcia przez zmienną losową X wartości z
określonego przedziału zmiennej (x, x + dx); konkretnie

P [X ∈ (x, x + dx)] = f (x)dx.

(6)

Rysunek 0-1: Rozkład normalny (Gaussa). Wykres gęstości prawdopodobieństwa f (u) zestandary-
zowanej zmiennej u = (x − µ)/σ, gdzie x oznacza wynik pomiaru, µ – wartość oczekiwaną, a σ –
odchylenie standardowe rozkładu.

0-5

Na rys.0-1 przedstawiona jest funkcja Gaussa dla tzw. zestandaryzowanej zmiennej losowej

U ≡

X − µ

(7)

Jest to zmienna, której „naturalnym” zerem jest jej wartość oczekiwana, a „naturalną” jed-
nostką – jej odchylenie standardowe. Rozkład Gaussa – funkcja f (x) – ma kształt dzwonowy,
przy czym szerokość rozkładu jest proporcjonalna do odchylenia standardowego σ. Wartość
oczekiwana µ jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną.
Całka tej funkcji liczona od x

do x

określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru

w przedziale (x

, x

). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników:

w przedziale

(µ − σ, µ + σ)

wynosi ok. 68,3%,

w przedziale

((µ − 2σ, µ + 2σ)

wynosi ok. 95,5%,

w przedziale

(µ − 3σ, µ + 3σ)

wynosi ok. 99,7%.

Przykład 2 (patrz Tabela 2).
Zmierzono śrubą mikrometryczną średnicę drutu miedzianego. Oceniono, że z uwagi na jakość
powierzchni, możliwe błędy przy wytwarzaniu drutu oraz stopień jego zużycia, niezbędne jest
wykonanie pomiarów w różnych miejscach. Wykonano 10 pomiarów średnicy d i uzyskano
kolejno wyniki (w mm): 2,46; 2.49; 2.52; 2,47; 2,50; 2,51; 2,48; 2,49; 2,45; 2,50. Jaka jest średnica
tego drutu (wartość najlepiej ją charakteryzująca) i z jaką niepewnością została określona?

d =

i=1

= 0, 02214 mm;

S(d) =

v
u
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

(10 − 1)

= 0, 02214 ≈ 0, 022 mm.

S(d) jest estymatorem odchylenia standardowego σ (wzór 4), charakteryzującym rozrzut wyni-
ków wokół wartości średniej. Niepewność standardowa obliczona metodą typu A (u

(d)) wynosi

( ¯

d) =

v
u
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

n(n − 1)

S(d)

√

0, 02214

√

≈ 0, 007 mm.

Czy jednak poprawnie zanalizowaliśmy dostępne dane? Rzut oka na serię wyników pozwala
zauważyć, że poszczególne wartości różnią się znacząco między sobą i różnice te sięgają 0,05
mm, a więc pięciu działek użytej w pomiarze śruby mikrometrycznej. Świadczy to o odstępstwie
„modelu pomiarowego” naszego drutu (jednorodny cylinder, o stałej – wzdłuż całej długości
– średnicy) od sytuacji rzeczywistej, a obliczona niepewność pomiarowa u

(d) jest miarą roz-

proszenia wyników, wynikającego (głównie) z tego właśnie odstępstwa. Rozproszenie wyników
może jednak wynikać także ze skończonej dokładności narzędzia, a w tej sytuacji jego miarą
będzie ocena niepewności standardowej typu B

(d) =

∆

√

≈ 0, 006 mm.

Obie niepewności są tego samego rzędu; w takiej sytuacji można zastosować wzór na tzw.
całkowitą (złożoną) niepewność

(d) =

(d)]

+ [u

(d)]

albo:

(8)

(d) = (0, 007

+ 0, 006

)

1/2

mm = 0, 0085 mm ≈ 0, 01mm.

Ostatecznie wynik pomiaru średnicy drutu możemy zapisać w postaci: d = 2, 49(0, 01) mm.
Gdyby w analogicznym pomiarze wyniki serii pomiarów były zawarte w przedziale ±0, 01 mm,
to — jak łatwo sprawdzić — wartość u

byłaby o rząd wielkości mniejsza od wartości u

. W

0-6

tej sytuacji przyczynek od „odstępstwa od modelu” jest do zaniedbania w stosunku do przy-
czynku „narzędziowego”. Analogicznie, możemy mieć do czynienia z sytuacją kiedy przyczynek
„narzędziowy” będzie zaniedbywalny w stosunku do przyczynku „modelowego”.
Decyzja o tym, czy dla danej serii pomiarowej stosować ocenę typu A, B czy C może być w wielu
przypadkach praktycznych trudna i zależeć od subiektywnej oceny sytuacji przez eksperymen-
tatora (kierującego się zwykle pewnym doświadczeniem praktycznym). O ile – co jest zupełnie
zrozumiałe – nie masz w tym przypadku własnego zdania, należy zapytać o radę prowadzącego
ćwiczenia.

Przykład 3.
Planujemy wykonanie pomiaru znaną metodą i przyrządem. Z opisu wynika, że odchylenie stan-
dardowe tej metody i przyrządu wynosi dla jednego pomiaru σ = 3 (jednostki pominięto). Ile
razy należy powtórzyć pomiar by niepewność standardowa wyniku była mniejsza niż 1? Przy-
jąć, że niepewność standardowa typu B, u

, związana z dokładnością przyrządu jest pomijalnie

mała. Szukaną liczbę powtórzeń n pomiaru znajdujemy z relacji:

S(x)

S(¯

√

stąd

n = (3/1)

= 9.

Odpowiedź: pomiar należy powtórzyć co najmniej 9 razy.

Obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich

W przypadku, gdy mierzymy kilka wielkości fizycznych, np. x, y, z, . . . i na ich podstawie obli-
czamy wielkość fizyczną t, będącą funkcją wielkości mierzonych, niepewność obliczenia wielkości
t wyznaczamy ze wzoru

(t) =

v
u
u
t

∂t

∂x

[u(x)]

∂t

∂y

[u(y)]

∂t

∂z

[u(z)]

+ . . ..

(9)

Wzór ten można stosować przy założeniu, że wielkości mierzone: x, y, z, . . . są wielkościami
statystycznie niezależnymi, a także że niepewności względne u(x)/x, u(y)/y, u(z)/z, . . . są małe
(rzędu kilku procent lub mniejsze). Wzór ten wyraża znane w literaturze prawo przenoszenia
odchyłek przypadkowych.

Przykład 4.
Wykonano pomiar grubości pozornej płytki szklanej przez odczyty położeń, x

= 4, 68 mm i

= 2, 16 mm, dolnej i górnej powierzchni płytki obserwowanej przy użyciu mikroskopu. Do

odczytu położenia użyto czujnika mikrometrycznego. Ile wynosi grubość pozorna tej płytki?
Grubość pozorna płytki: a = x

–x

= 2, 52 mm.

Dla czujnika mikrometrycznego działka elementarna wynosi 0,01 mm, a zatem

u(x

) = u(x

) = u = 0, 01 mm/1, 73 = 0, 0058mm.

Z prawa przenoszenia niepewności

(a) =

v
u
u
t

∂a

∂x

∂a

∂x

√

+ u

√

2u = 0, 0082 ≈ 0, 01 mm.

Tak więc grubość pozorna płytki szklanej wyznaczona powyższą metodą wynosi 2, 42(0, 01) mm.

Przykład 5.
Pomiar czasu trwania 15 oddechów człowieka w spoczynku dał wynik t = 58 s. Niepewność u(t)
oszacowano na 1 s. Ile wynosi przeciętny czas trwania T jednego oddechu?

T = t/15,

a zatem

u(T ) = u(t)/15 ≈ 0, 067 s.

Ostatecznie T = 3, 867 s z niepewnością 0, 067 s.

0-7

Przykład 6.
Zmierzony stoperem czas trwania 20 wahnięć wahadła wynosił t = 25, 32 s. Ile wynosił okres T
badanego wahadła ?
Przyjmujemy za niepewność pomiaru czasu wartość tzw. czasu reakcji człowieka, szacowaną na
0,2 s. W porównaniu z nim niepewność związana z dokładnością stopera elektronicznego, rzędu
0,01 s, jest pomijalnie mała.
Zatem

T = (25, 32 s)/20 = 1, 266 s ≈ 1, 27 s.

u(T ) = u(t)/20 = 0, 2 s/20 = 0, 01 s.

ZADANIA POMIAROWE

I. Pomiar jednokrotny
Zmierz jednokrotnie wielkości 3 trzech wybranych przez siebie przedmiotów, np.:

• szerokość kartki papieru z zeszytu, długość ołówka, wysokość szpalty w gazecie, odległość

dwóch kropek na kartce, długość jaja kurzego – dłuższej osi tej w przybliżeniu elipsoidy
obrotowej (rys.0-2), odległość 20 własnych kroków (wykorzystując, na przykład, informa-
cję o długości płyty chodnikowej), itp.

• jeden kąt w szkolnej ekierce,

• czas opadania piórka z wysokości 1 m, czas trwania 10 oddechów (w stanie spoczynku),

• wagę torebki cukru, mąki, soli, kostki masła, butelki soku itp.,

• średnicę rury przy pomocy kawałka sznurka i przymiaru liniowego,

• wymyśl sam interesującą Ciebie wielkość fizyczną, którą jesteś w stanie zmierzyć:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Dobierz dostępny i Twoim zdaniem właściwy przyrząd pomiarowy: liniał, taśmę mierniczą,

suwmiarkę, śrubę mikrometryczną, wagę kuchenną, wagę laboratoryjną, zegar, stoper, itd.

2. Wykonaj jednokrotnie pomiary odpowiednich wielkości wybranych obiektów nr 1, nr 2,

nr 3 i wyniki pomiaru wpisz w tabelę 1.

3. Określ niepewność standardową u

każdego pomiaru w oparciu o jakość użytego przyrządu

pomiarowego (wzór1).

4. Przeanalizuj, czy w Twoim pomiarze nie występowały inne przyczyny niepewności wyniku,

spróbuj je opisać.

0-8

Tabela 1. Wyniki pomiarów jednokrotnych dla trzech różnych przedmiotów.

Przedmiot mierzony Przyrząd pomiarowy,

jakość przyrządu

(Wynik ±∆)
jednostka

Niepewność
standardowa
u

(wzór 1)

Uwagi

∗

Szerokość kartki

(przykład)

Liniał; ∆ = 1 mm

(209 ± 1) mm

0, 6 mm

≈ 1 mm

∗

0) Znaczącym źródłem niepewności pomiaru jest ewentualne lekko skośne ustawienie liniału

względem kartki. Na podstawie kilku prób szacuję niepewność u

na około 1 mm.

∗

1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗

2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗

3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Pomiary wielokrotne (n  10)

Wykonaj pomiar 10-ciokrotny i opracuj jego wynik:

• wybierz 10 Twoim zdaniem prawie identycznych przedmiotów, np. 10 kurzych jaj, 10

jednakowych bułek, 10 jednakowych owoców, 10 zużytych kulek łożyskowych o średnicy
rzędu 5-10 mm, itp., i wykonaj dziesięć pomiarów, każdy dla innego przedmiotu,

• albo wykonaj 10-krotnie pomiar „tego samego”, np. czasu 15 oddechów w spoczynku, czy

szerokości pokoju w 10-ciu różnych miejscach, obwodu pnia drzewa w różnych miejscach,
średnicy Księżyca przy pomocy monety i twierdzenia Talesa, itp.

1. Ustal co i czym będziesz mierzył, np.: jaja, oś długa tej niemal elipsoidy – suwmiarka lub

papier milimetrowy i dwie ekierki (rys.0-2); kulki, ich średnica – śruba mikrometryczna;
bułki, średnica podstawy – liniał z działką 1mm; czas trwania 15 oddechów – stoper,
zegarek z sekundnikiem.

2. Wykonaj 10 razy pomiar wybranego (wybranych) obiektu (-ów) zachowując należytą sta-

ranność i wyniki wpisz odpowiednio do tabeli 2.

0-9

3. Oblicz średnią arytmetyczną ¯

x [wzór(2)] i odchylenie standardowe średniej S(¯

x) [wzór(3)],

to jest niepewność standardową u

, i wyniki obliczeń wpisz do odpowiedniej kolumny

Tabeli 2.

4. Zastanów się, czy w Twoim pomiarze niepewność typu B (u

) związana z jakością przy-

rządu i warunkami pomiaru nie jest znacząca i postaraj się ją oszacować.

5. Zapisz końcowy wynik pomiaru to jest ¯

x oraz jego niepewność standardową, wybraną na

podstawie analizy wielkości u

i u

oraz charakteru pomiaru. (będzie to jedna z tych

dwóch niepewności, albo też niepewność złożona u

). Dodaj komentarz, w którym uza-

sadniasz swój wybór.

Rysunek 0-2: Pomiar długości jaja (propozycja).

0-10

Tabela 2. Wyniki pomiarów wielokrotnych.
Wykonaj zadania nr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /podpis

Przykład Zadanie Przykład Zadanie

Przykład II.3

Zadanie II.3

Zadanie

II.1

II.2

II.4

Średnica

Czas 15

Czas reakcji

. . . . . . .

drutu

oddechów oddechów

własnej

. . . . . . .

∗∗
i

[mm]

[s]

[mm]

[s]

2,46

220

0,2118

2,49

190

0,1968

2,52

230

0,2165

2,47

200

0,2019

2,50

230

0,2165

2,51

240

0,2212

2,48

220

0,2118

2,49

190

0,1968

2,45

230

0,2165

2,50

240

0,2212

2,487

60,5

219

0,2111

S(x)

0,022

2,89

19,1

0,094

0,007

0,91

6,1

0,0029

0,006

∗)

∗∗∗)

–

0,0092

1,4

7,9

–

≈ 0, 01

2,487

60,5

219

0,211

0,007

0,9

6,1

0, 003

2,49

60,5

219

0,211

0,001

1,4

7,9

0, 004

)

patrz Przykład 2 na stronie 0-6,

∗)

≈ 1 s oszacowano z niepewności ustalenia momentów start-stop na zegar-

ku (porównaj z przykładami dotyczącymi prawa przenoszenia niepewności)

∗∗)

obliczamy z zależności: t

= (2x

/g)

1/2

;

g = 9, 81 m/s

∗∗∗)

= 5 mm oszacowano z niepewności odczytu każdego wyniku

– patrz komentarz w obliczeniach do przykładu II.2 na str.0-14.

0-11

Tabela 2A. Wyniki pomiarów wielokrotnych – ciąg dalszy.

Przykład II.4

Zadanie II.5

Objętość (V ) jaj kurzych

x–oś długa, y, z – osie krótkie;

y ⊥ z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗)

[mm]

[cm

]

49,57

53,87

45,72

49,82

55,72

48,90

47,98

51,98

52,62

56,12

–

51,23

(V )

–

3,41

(V )

–

1,1

(V )

–

(V )

–

51,2

u(V )

1,1

∗)

– Objętość elipsoidy V

= 1/8 · 4/3πx

= 1/6πx

Uwaga: mierzone x

, y

, z

są w znacznym stopniu zależne; dlatego nie korzystamy z prawa prze-

noszenia niepewności zmiennych pośrednich (9), a niepewność u(V ) obliczamy wprost z relacji
(3), to jest z rozrzutu wartości V

. Miara rozrzutu objętości to S(V ) ≈ 3, 4 cm

, estymator

odchylenia standardowego σ rozkładu Gaussa, któremu zapewne podlegają wymiary dużej po-
pulacji jaj tej klasy. W przedziale ( ¯

V ± S(V )), tj. w przedziale (47, 8 ÷ 54, 6) cm

mieści się 7

jaj na 10 (co odpowiada wartości 68% oczekiwanej z rozkładu Gaussa).

0-12

Rysunek 0-3: Pomiar pośredni czasu reakcji. Jedna osoba przytrzymuje gładki liniał (ok. 50 cm) na
gładkiej, pionowej powierzchni i puszcza go bez ostrzeżenia. Druga osoba, której czas reakcji bada
się, stara się jak najszybciej unieruchomić liniał. Droga przebyta przez liniał od chwili puszczenia do
momentu zatrzymania (1/2gt

) pozwala określić czas reakcji t

III. Pomiary wielkości pośrednich.

Wykonaj 10-ciokrotnie pomiar pośredni i oszacuj jego niepewność z prawa przenoszenia nie-
pewności

1. Wybierz problem pomiarowy (lub ustal go sam), np.:

• określenie czasu trwania jednego oddechu metodą pomiaru czasu trwania 15 odde-

chów;

• pomiar średniego czasu reakcji z wykorzystaniem swobodnego spadku ciał – (rys.0-3);

• pomiar przeciętnej objętości kulki stalowej na podstawie pomiaru jej średnicy (10

kulek);

• wymyśl sam interesujący Ciebie pomiar metodą pośrednią, który jesteś w stanie wy-

konać.

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Wyniki 10 krotnego pomiaru wpisz w tabelę 2 lub 2A i oblicz odpowiednie wartości:

– średnią arytmetyczną,

– z rozrzutu wyników: niepewność typu A [wzór(3)],

– z innych informacji: niepewność typu B [wzór(1)],

– całkowitą niepewność u

[wzór (8)].

3. Zapisz wyniki wielkości mierzonych.

4. Wylicz wielkość pochodną (np. czas reakcji) oraz wylicz z prawa przenoszenia niepewności

(wzór 9) jej niepewność, wyniki wpisz do tabeli.

5. Objaśnij jak uzyskano wynik; na przykład:

zmierzony czas reakcji wynosi 0,211 s, a niepewność standardową jego określenia oszaco-
wano na 0,004 s; niepewność oszacowano z wyników 10-krotnego powtórzenia pomiaru i
niepewności typu B związanej z niedokładnościami ustalenia i odczytu położenia punktu
startu i zatrzymania liniału.

0-13

Obliczenia do przykładu II.2 (Tabela 2)

u(t

) =

v
u
u
t

∂t

∂x

u(x)

S(¯

x);

stąd

u(t

) = 0, 00386 ≈ 0, 04 s.

Pomiary kilkakrotne (n < 10)

Bardzo często w praktyce przemysłowej, w pomiarach rutynowych (np. w analizach chemicz-
nych), powtarzamy pomiar nie 10 i więcej razy, a zaledwie 3, rzadziej 5 ÷ 7 razy. Taki, np.
3-krotny pomiar nie pozwala na zbyt wiarygodne oszacowanie niepewności typu A – to znaczy
niepewność samego stosowanego estymatora jest duża (rzędu 20 procent estymowanej wiel-
kości). Poprzestajemy na oszacowaniu niepewności standardowej typu B, albo korzystamy z
niepewności standardowej typu A (ewentualnie typu C) mając świadomość związanego z tym
marginesem niepewności.

Niepewność rozszerzona

W zastosowaniach technicznych, komercyjnych, istotne jest takie określenie przedziału licz-
bowego uznanego za wynik, by mieć wysoki poziom ufności, że w nim zawarta jest wartość
prawdziwa. W dotychczas stosowanej nomenklaturze oznaczało to podanie przedziału ufności,
np.¯

x ± 2S(¯

x), na zadanym poziomie ufności równym 95% (odpowiada to w dobrym przybliże-

niu przypadkowi rozkładu normalnego). Obecnie używana jest nazwa niepewności rozszerzonej
U = ku

. Współczynnik k dobierany jest do założonego poziomu ufności, np. 95% i uwzględ-

nia informacje o przyjętym i doświadczalnym rozkładzie odchyłek pomiarowych dla wybranego
przyrządu i metody pomiarowej. Na przykład w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń po-
miaru współczynnik k określamy z tablic współczynnika t Studenta. Bliższe omówienie tego
problemu można znaleźć w pracach [2, 3, 5].

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

0-14

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne

Cel ćwiczenia:

• opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

• wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych

Literatura

[1] Resnick R., Halliday D.: Fizyka. wyd. PWN (rok wydania dowolny).

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących
ruch obrotowy (kąt, prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, jednostajny
i niejednostajny ruch obrotowy).

Definicje i podstawowe zależności dla wielkości dynamicznych opisujących
ruch obrotowy (moment bezwładności, momentu pędu, moment siły, druga
zasada dynamiki dla ruchu obrotowego).

Definicja momentu bezwładności. Wyprowadzenie momentu bezwładności
dla jednorodnego pręta o długości l i masie m względem osi prostopadłej do
pręta i przechodzącej przez jego środek masy.

Twierdzenie Steinera dla momentu bezwładności i przykłady jego zastoso-
wania.

Ruch harmoniczny, równanie ruchu i parametry opisujące ruch (amplituda,
okres, częstość, częstotliwość).

Wahadło matematyczne. Opis ruchu wahadła matematycznego dla małych
drgań. Okres drgań tego wahadła.

Wahadło fizyczne. Przybliżony opis ruchu wahadła fizycznego za pomocą
równania ruchu harmonicznego. Okres drgań wahadła fizycznego w przybli-
żeniu harmonicznym.

Ocena z odpowiedzi:

1-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

1-2

Wprowadzenie:

Rysunek 1-1: Wahadło fizyczne.

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna mogąca poruszać się swobodnie względem osi obrotu
(O) nie przechodzącej przez środek masy (S)4. W polu grawitacyjnym wahadło fizyczne wyko-
nuje ruch drgający. Jest to ruch obrotowy względem poziomej osi przechodzącej przez punkt
O. Przyczyną tego ruchu jest moment siły ciężkości prostopadły do płaszczyzny rysunku 1-1.
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego ruch ten opisuje równanie:

= −mga sin θ

(1)

gdzie:

— moment bezwładności bryły względem osi obrotu

θ — kąt wychylenia od położenia równowagi
t — czas
m — masa bryły
g — przyspieszenie ziemskie
a — odległość osi obrotu od środka ciężkości (długość odcinka OS).

Równanie to opisuje ruch drgający, który nie jest ruchem harmonicznym. Zakładając, że am-
plituda drgań (kąt maksymalnego wychylenia) nie przekracza kilku stopni, możemy skorzystać
z przybliżenia

sin θ ≈ θ =

(2)

gdzie x długość łuku wychylenia środka ciężkości z położenia równowagi (rys. 1). Wstawiając
tą zależność do równania (1) otrzymujemy:

= −

mga

(3)

Jest to równanie ruchu harmonicznego z okresem:

T = 2π

mga

(4)

1-3

Znając przyspieszenie ziemskie g oraz dokonując pomiaru wielkości m, a i T , z równania (4)
możemy wyznaczyć moment bezwładności I

, a także moment bezwładności bryły względem

osi przechodzącej przez środek masy ciała (S) i równoległej do osi obrotu (por. niżej).

Rysunek 1-2: Pręt i pierścień używane w ćwiczeniu.

Pomiary wykonywane są dla dwóch brył sztywnych: jednorodnego pręta metalowego o długo-
ści l i jednorodnego pierścienia metalowego o promieniu wewnętrznym R

i zewnętrznym R

(rys. 1-2). Dla jednorodnego pręta o długości l i masie m moment bezwładności względem osi
przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do pręta wynosi:

(5)

Moment bezwładności pręta względem osi przesuniętej równolegle o a wyznaczamy z twierdze-
nia Steinera:

= I

+ ma

(6)

Dla jednorodnego krążka o promieniu R i masie M moment bezwładności względem osi prze-
chodzącej przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny krążka wynosi:

M R

(7)

Moment bezwładności, podobnie jak masa, jest wielkością addytywną. Zatem moment bezwład-
ności pierścienia możemy potraktować jako różnicę momentów bezwładności krążka o promieni
R

i masie M oraz krążka o promieni R

i masie M

(zakładając, że oba krążki są jednorodne o

takiej samej gęstości i takiej samej grubości). W ten sposób moment bezwładności pierścienia
o masie m, będącej różnicą mas M i M

, jest równy:

M R

2
z

−

2
w

(M − M

)(R

2
z

+ R

2
w

) =

m(R

2
z

+ R

2
w

)

(8)

Układ pomiarowy:
Układ pomiarowy składa się ze statywu, stopera, wagi, przymiaru liniowego, pręta* i pierście-
nia*.
*wyboru rodzaju pręta i pierścienia dokonuje prowadzący zajęcia.

1-4

Wykonanie ćwiczenia:

1. Zmierz masę pręta lub pierścienia.

2. Zmierz rozmiary: pręta (l i a) lub pierścienia (R

, R

i a).

3. Umieść pręt w statywie, wprowadź go w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej

kilku stopni i zmierz czas kilkudziesięciu drgań (około 30÷50). Pomiar ten powtórz co
najmniej dziesięciokrotnie.

4. Wykonaj pomiary z punktu 3 dla pierścienia.

Wyniki pomiarów:

Tabela 1: Pomiary masy i długości

pręt

pierścień

masa
[kg]

l
[m]

a
[m]

masa
[kg]

[m]

a
[m]

wartość

niepewność

standardowa

Uwaga: wartość danej wielkości wpisuj z dokładnością odpowiednią do wartości niepewności standardowej tej

wielkości.

Tabela 2: Pomiary czasu drgań dla pręta

Liczba drgań

Czas drgań

Okres drgań

Wartość średnia okresu

Niepewność

standar-

dowa

t [s]

[s]

T [s]

u(T ) [s]

10.

1-5

Tabela 3: Pomiary czasu drgań dla pierścienia

Liczba drgań

Czas drgań

Okres drgań

Wartość średnia okresu

Niepewność

standar-

dowa

t [s]

[s]

T [s]

u(T ) [s]

10.

Niepewność standardową wyliczamy ze wzoru:

u(T ) =

v
u
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

T )

n(n − 1)

(9)

gdzie n oznacza liczbę wykonanych pomiarów.

podpis

Opracowanie wyników pomiarów

Wykonaj następujące obliczenia, a otrzymane wartości wpisz w odpowiednie tabele
(4 i 5).

1. Oblicz moment bezwładności względem osi obrotu korzystając ze wzoru na okres drgań

(4).

2. Korzystając z twierdzenia Steinera oblicz moment bezwładności względem osi przecho-

dzącej przez środek masy.

3. Oblicz moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy znając masę

i odpowiednie wymiary geometryczne, równania (5) i (8).

4. Oblicz niepewność złożoną momentu bezwładności obliczonego w punkcie 3.

5. Porównaj otrzymane w punkcie 2 i 3 wartości momentów bezwładności względem osi

przechodzącej przez środek masy

1-6

Przykład wyznaczenia zależności do obliczenia niepewności złożonej momentu bezwładności dla
pręta, obliczanego w punkcie 3
Równanie z którego wyznaczamy moment bezwładności:

Niepewność u(IS) wyznaczamy z zależności:

u(I

) =

v
u
u
t

∂I

∂m

[u(m)]

∂I

∂l

[u(l)]

gdzie: u(m) — niepewność pomiaru masy m; u(l) — niepewność pomiaru długości l.
Ostatecznie wzór na niepewność złożoną w tym przypadku przyjmuje postać:

u(I

) =

[u(m)]

[u(l)]

Analogiczne wyprowadzenia należy wykonać w pozostałych przypadkach.

Tabela 4: Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta

wyznaczone z okresu

drgań

wyznaczone z twier-

dzenia Steinera

wyznaczone z pomia-

rów geometrycznych

[kg · m

]

[kg · m

]

[kg · m

]

Wartość

Niepewność
standardowa

Tabela 5: Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pierścienia

wyznaczone z okresu

drgań

wyznaczone z twier-

dzenia Steinera

wyznaczone z pomia-

rów geometrycznych

[kg · m

]

[kg · m

]

[kg · m

]

Wartość

Niepewność
standardowa

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

1-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 5: Wahadło matematyczne

Cel ćwiczenia:

• zapoznanie się z przykładem ruchu drgającego (opis teoretyczny, pomiar) – a w szczegól-

ności drganiami wahadła matematycznego

• wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego

Literatura

[1] Resnick R., Halliday D.: Fizyka. wyd. PWN (rok wydania dowolny).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących
ruch obrotowy (kąt, prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, jednostajny
i niejednostajny ruch obrotowy).

Definicje i podstawowe zależności dla wielkości dynamicznych opisujących
ruch obrotowy (moment bezwładności, momentu pędu, moment siły, druga
zasada dynamiki dla ruchu obrotowego).

Ruch harmoniczny, równanie ruchu i parametry opisujące ruch (amplituda,
okres, częstość, częstotliwość).

Wahadło matematyczne. Opis ruchu wahadła w przybliżeniu ruchu harmo-
nicznego (dla małych drgań). Okres drgań tego wahadła.

Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących
ruch postępowy (prędkość,przyspieszenie, ruch prostoliniowy – jednostajny
i zmienny).

Prawo powszechnego ciążenia . Pole grawitacyjne Ziemi (ciężar ciała na bie-
gunie oraz na równiku)

Zasady dynamiki Newtona.

Spadek swobodny ciał.

Ocena z odpowiedzi:

5-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

5-2

Wprowadzenie:

Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawie-
szone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. Takie wahadło, wyprowadzone z położenia
równowagi, wykonuje ruch drgający w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest
to ruch okresowy o okresie T . Na rysunku 5-1 przedstawiono wahadło o długości l i masie m,
odchylone od pionu o kąt θ. Na masę m działa siła ciężkości mg i naprężenie nici N . Jako osie
współrzędnych przyjmujemy styczną do łuku (oś x) i przedłużenie promienia nici (oś y). Siłę
ciężkości mg rozkładamy na współrzędną radialną mg cos θ i współrzędną styczną mg sin θ.

Rysunek 5-1: Wahadło matematyczne.

Współrzędna styczna siły ciężkości wynosi

F = −mg sin θ.

Siła F nie jest więc proporcjonalna do przemieszczenia kątowego θ, ale do sin θ. Dla małych
kątów θ mamy sin θ ≈ θ

, a przemieszczenie masy m wzdłuż łuku wynosi x = lθ i (znowu dla

małych kątów θ) — ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy, a siłę w nim działająca możemy
zapisać jako

F = −mgθ = −mg

= −

Dla małych przemieszczeń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciw-
nym, czyli masa m wykonuje drgania harmoniczne proste. Stała mg/l jest odpowiednikiem
stałej k w równaniu F = −kx, opisującym siłę harmoniczną. Z teorii ruchu harmonicznego
prostego, wiemy że okres takiego ruchu wynosi

T = 2π

= 2π

mg/l

= 2π

(1)

Okres drgań wahadła prostego zależy więc jedynie od długości wahadła l oraz od g (nie zależy
od masy m wahadła). Można pokazać , że dla wahań o większej amplitudzie wzór na okres ma
postać

T = 2π

1 +

sin

1 · 3

2 · 4

sin

1 · 3 · 5

2 · 4 · 6

sin

+ . . .

(2)

θ[

◦

]

θ[rad]

sin θ

różnica w %

◦

0, 03491 rad

0, 03490

0, 03

◦

0, 08727 rad

0, 08716

0, 24

◦

0, 17453 rad

0, 17356

0, 50

5-3

W powyższym wzorze θ

jest maksymalnym przemieszczeniem kątowym (zwykle wychyleniem

początkowym), a kolejne wyrazy wewnątrz nawiasu są coraz mniejsze. Wzór (1) dostajemy z
powyższego wzoru przy zaniedbaniu wszystkich wyrazów w nawiasie za wyjątkiem jedności.
W ćwiczeniu wahadło proste jest wykorzystywane do pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.
Pomiar przyspieszenia ziemskiego kojarzy nam się wprawdzie w pierwszym rzędzie ze spadkiem
swobodnym (pomiar czasu spadania i drogi przebytej przez ciało), ale przy pomocy wahadła
pomiar g jest prostszy — wystarczy zmierzyć okres wahań T wahadła o określonej długości l.

Wykonanie ćwiczenia

Wykonaj pomiary okresu drgań wahadła dla 5 do lub 6 różnych długości wahadła. Zmieniaj
długość wahadła (od długości początkowej l

) co ∆l = 30 ÷ 50 cm .

Dla każdej długości wykonaj 5 pomiarów: zmierz pięciokrotnie czas odpowiadający liczbie okre-
sów zwartej pomiędzy po 20 a 30.
Uwaga: Pomiary wykonuj dla kąta wychylenia mniejszego niż 5

◦

. Wyniki pomiarów wpisz do

tabeli 1.

Wyniki pomiarów

Tabela 1: Pomiary okresu drgań wahadła
∆l = l–l

, gdzie l

– początkowa (nieznana) długość wahadła, l – „aktualna” długość, dla której

wyznaczany jest średni okres ¯

T .

∆l

t [s] – czas

[cm]

. . . okresów

T [s]

5-4

Opracowanie wyników

Poniżej zaproponowano dwie metody opracowania wyników wykonanych pomiarów okresu drgań
wahadła , zmierzonych dla różnych długości wahadła. W oparciu o jedną z nich (zapropono-
waną przez prowadzącego zajęcia) wyznacz przyspieszenie ziemskie g oraz początkową długość
wahadła l

, wykorzystując program komputerowy „regresja liniowa”. Oszacuj niepewność wy-

znaczenia g.
Uwaga: We wzorze (1) wielkość l jest sumą dwóch części l = ∆l + l

≡ X + l

(X ≡ ∆l –

zmiana długości wahadła).
Metoda 1

1. Przekształć wzór (1) do postaci

4π

X +

4π

która jest zależnością liniową, typu y = ax + b.

2. Metodą regresji wyznacz parametry a i b i ich niepewności.

3. Oblicz g oraz l

wraz z ich niepewnościami.

Metoda 2

1. Przekształć wzór (1) do postaci

4π

X = gT

− 4π

która jest analogiczną zależnością liniową, typu y = ax + b.

2. Metodą regresji wyznacz parametry a i b i ich niepewności.

3. Oblicz g oraz l

wraz z ich niepewnościami.

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

5-5

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 9: Swobodne spadanie

Cel ćwiczenia: Obserwacja swobodnego spadania z wykorzystaniem elektronicznej rejestracji
czasu przelotu kuli przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Prawo powszechnego ciążenia.

Swobodne spadanie – opis ruch w próżni.

Jakie siły działają na ciało spadające w powietrzu?

Dlaczego pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego jest mniejsza od rze-
czywistej?

Podaj wielkości, od których zależy siła oporu powietrza?

Co to jest siła wyporu powietrza i jaki jest jej możliwy wpływ na pozorną
wartość przyspieszenia ziemskiego?

Wyjaśnij znaczenie słowa ekstrapolacja liniowa, zastosowana jako element
opracowania wyników pomiaru.

Wartość przyspieszenia ziemskiego zmienia się od 9, 832 m

na biegunach, po-

przez 9, 811 m

na szerokości geograficznej Krakowa, do 9, 780 m

na równiku.

Dlaczego?

Ocena z odpowiedzi:

9-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

9-2

Wprowadzenie

Układ pomiarowy

Stosowane oznaczenia:

, x

współrzędne przestrzenne trzech fotokomórek,

, t

czas przelotu kuli przez kolejne fotokomórki,

wartość początkowa położenia kuli (w chwili t = 0),

wartość początkowa prędkości kuli (w chwili t = 0),

pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego (wzór 2 )

gęstość materiału kul,

promień kuli,

prędkość (chwilowa) kuli,

gęstość powietrza,

współczynnik oporu,

wartość rzeczywista przyspieszenia ziemskiego.

Rysunek 9-1: Schemat mechaniczny układu pomiarowego: Z – reflektor lub laser, D – detektor światła,
W – wyrzutnik kul.

Użyteczne wzory
Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego dla swobodnego spadania w próżni, zapisane dla
trzech fotokomórek:

= x

+ v

+ a

2
1

= x

+ v

+ a

2
2

(1)

= x

+ v

+ a

2
3

Pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego (rozwiązanie ww. układu równań ze względu na a).

a =

− t

− x

− t

−

− x

− t

(2)

9-3

Rysunek 9-2: Schemat elektryczny dla źródeł i detektorów światła

Rysunek 9-3: Zarejestrowany przebieg U (t) na monitorze: (a) po pomiarze, (b) określenie czasów t

lub t

po 16-krotnym rozciągnięciu skali czasu

Równanie prostej ekstrapolacji a

pozwalającej obliczyć przyspieszenie ziemskie g z wyeli-

minowaniem wpływu siły oporu powietrza i siły wyporu Archimedesa:

a = g − const ·

gdzie

const = gρ

Cρ

(3)

Wykonanie ćwiczenia

1. Włącz zasilanie układu reflektorów (zestaw 1) lub laserów (zestaw 2).

2. Uruchom komputer z kartą oscyloskopową. Program obsługujący kartę winien zgłosić się

samoczynnie. Sprawdź działanie programu (przez kolejne naciśnięcie ENTER, SPACJA,
ENTER, HOME).

3. Zestaw (lub sprawdź) układ elektryczny detekcji światła według schematu z Rys.9-1.

Sprawdź działanie układu pomiarowego wyzwalając kartę przy długim czasie pomiaru
(8, 192 s) i przerywając w tym czasie ręką światło padające na kolejne fotokomórki.

4. Właściwy eksperyment polega na jednoczesnym wyzwoleniu karty i przesunięciu zasuwki

powodującej spadanie kulki. Należy stosować czas pomiaru 819, 2 ms (Taki czas pomiaru
wynika z faktu, że pracująca w układzie dwójkowych pamięć karty ma 213 = 8192 komórek

9-4

pamięci, na każdą przypada czas dokładnie 0, 1ms). Jeżeli nie uda się zarejestrować trzech
pików za pierwszym razem, należy powtarzać doświadczenie aż do skutku.

5. Współrzędne położenia x

, x

odczytujemy z dokładnością nie gorszą niż 1mm. Do

tabeli wpisujemy również różnice x

− x

oraz x

− x

6. Dla zarejestrowanego sygnału wykonujemy odczyt czasów t

, t

i t

. W tym celu:

(a) najeżdżamy kursorem na dany pik wykorzystując przyciski < i > (przesuw co 4 pkt

ekranu) oraz → i ← (przesuw co 1 pkt),

(b) przy użyciu lupy czasowej (kilkakrotne naciśnięcie +) rozciągamy 16-krotnie skalę

czasu,

(d) czas spisujemy z odpowiedniego okienka na monitorze (z dokładnością do 0, 1 ms),

(e) wykonujemy odczyt czasu dla dwu pozostałych pików (pierwotną skalę czasu przy-

wraca kilkakrotne naciśnięcie — ).

7. Dla każdego pomiaru obliczamy na bieżąco różnice t

− t

, t

− t

, i t

− t

i wpisujemy

do tabeli. Na bieżąco obliczamy też wartość a. Jeżeli otrzymana wartość nie mieści się
w granicach około 9 ÷ 10 m

, trzeba sprawdzić czy nie została popełniona omyłka przy

pomiarze, zapisie lub w obliczeniach.

8. Pomiar (czynności 4 ÷ 7) powtarzamy dla kolejnych kul. Przed każdym pomiarem należy

zmieniać nieznacznie położenia x

, x

i x

(w granicach kilku centymetrów). Uwaga: jeżeli

nie zdążymy dla wszystkich, należy wybierać kule o wyraźnie różnych gęstościach. Gęstości
kul są podane.

Wersja do wykonania

Wykonaj ćwiczenie dla kul ................................................. i dla odległości między fotodiodami
około ....... centymetrów. (Im większa odległość tym wyraźniej widać efekt oporu powietrza).
Dopasować prostą ekstrapolacji metodą:

Graficzną
Najmniejszych kwadratów – obliczenia ręczne
Najmniejszych kwadratów – zaimplementowana w kalkulatorze
Najmniejszych kwadratów – przy pomocy komputera

podpis

9-5

Wyniki pomiarów

Tabela 1a: Własności kul oraz zapis odległości (przedłużeniem jest tabela na dole
strony)

Materiał kuli

gęstość ρ

1/ρ

− x

[g/cm

]

[g/cm

]

[mm]

1
2
3
4
5
6
7

Opracowanie wyników

1. Zestaw rezultaty pomiarów i obliczeń w tabelach 1a – 1b.

2. Wykonaj wykres a w funkcji 1/ρ. (Skali osi pionowej nie należy zaczynać od zera!)

3. Dopasuj prostą ekstrapolacji metodą wyznaczoną przez prowadzącego.

4. Podaj wartość przyspieszenia ziemskiego jako składnik stały równania prostej

g = ............................. ......

5. W przypadku użycia metody najmniejszych kwadratów podaj niepewność g jako odchy-

lenie standardowe składnika stałego równania prostej.

u(g) = .......................... ........

6. Oblicz niepewność rozszerzoną dla wartości współczynnika rozszerzenia k = 3,

U (g) = k · u(g) = ............................ ......

7. Czy uzyskana wartość g jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością

tabelaryczną?

Tabela 1b: Zapis czasów i wartość pozorna przyspieszenia ziemskiego (przedłużenie
tabeli z góry strony)

− t

[ms]

1
2
3
4
5
6
7

9-6

Miejsce na wykres a

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa.

9-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 11: Moduł Younga

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie modułu Younga i porównanie otrzymanych wartości dla różnych
materiałów.

Literatura

[1] Wolny J., Podstawy fizyki, OEN AGH 1998.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Sformułuj prawo Hooke’a. Co to są odkształcenia sprężyste?

Moduł Younga – podaj definicję i jednostki.

Podaj definicję siły harmonicznej oraz zdefiniuj pojęcie stałej sprężystości.

Ile wynosi stała sprężystości dwóch sprężyn połączonych równolegle lub sze-
regowo?

Wyjaśnij zasadę działania dźwigni dwustronnej użytej w doświadczeniu oraz
innej dowolnej (wybranej przez Ciebie) maszyny prostej.

Omów wpływ warunków początkowych (stanu drutu) na wyniki pomiarów.

Omów ideę i podstawy metody regresji liniowej.

Ocena z odpowiedzi:

11-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

11-2

Wprowadzenie

Naprężenie normalne jest to stosunek siły normalnej do pola przekroju [N/m

]: σ =

Względne wydłużenie jest to stosunek przyrostu długości do długości początkowej: ε =

∆l

Moduł Younga jest to stosunek naprężenia normalnego do względnego wydłużenia [N/m

E =

∆l

Wzór ten jest też zapisem prawa Hooke’a.
Układ pomiarowy składa się ze statywu, w którym mocujemy drut, szalki z odważnikami,
która jest podwieszona do jednego z końców drutu oraz czujnika mikrometrycznego za pomocą
którego mierzymy wydłużenie drutu. Schemat układu został przedstawiony na rys.11-1.

Wykonanie ćwiczenia

1. Zmierz długość drutu, którego będziesz używał do wy-

znaczenia modułu Younga (możesz posłużyć się przy-
miarem który jest na stałe przymocowany w górnej czę-
ści prawego ramienia statywu). Wynik wpisz do tabeli.

2. Zwolnij blokadę belki pomiarowej (dźwignia powinna

zostać umieszczona poziomo) a następnie zamocuj drut
w statywie za pomocą nakrętek. Obydwie nakrętki gór-
ną i dolną (na rysunku zaznaczone A i B) należy do-
kręcać równomiernie, pamiętając aby pozioma belka C
dotykała czujnika mikrometrycznego D.

3. Po obciążeniu szalki czterema odważnikami kilogramo-

wymi, zmierz za pomocą śruby mikrometrycznej śred-
nicę drutu w dziesięciu różnych miejscach równomiernie
rozłożonych na całej jego długości. Wyniki wpisz do ta-
beli.

4. Opróżnij szalkę z odważników i wyzeruj czujnik mikro-

metryczny. Następnie obciążaj szalkę kolejnymi odważ-
nikami (nie przekraczając maksymalnego obciążenia)
notując w tabeli wielkość działającej siły i spowodowane
przez nią wydłużenie drutu. Kolejne pomiary wykonaj
dla malejącego obciążenia.

Rysunek 11-1: Układ pomiarowy.

Wariant do wykonania (określa prowadzący):
Wykonaj pomiary dla drutów:

dopasowanie

Stalowy 1:

Maksymalne obciążenie:

graficzne/regresja

Stalowy 2:

Maksymalne obciążenie:

graficzne/regresja

Mosiężny:

Maksymalne obciążenie:

graficzne/regresja

Miedziany:

Maksymalne obciążenie:

graficzne/regresja

podpis:

11-3

Wyniki pomiarów

Tabela 1a: Drut pierwszy

Rodzaj materiału:

Długość drutu [mm]

Średnica [mm]
Średnia średnica

Pole przekroju

[

]

u(d) =

[

]

[

]

u(S)=

[

]

Masa odważni-
ków [kg]
Siła [N]

Wydłużenie
F ↑ [mm]
Wydłużenie
F ↓ [mm]
Wydłużenie
względne
a (z dopasowania graficznego) =

[

]

[

]

a (z prostej regresji)=

[

]

u(E)=

[

]

[

]

tabl

[

]

Tabela 1b: Drut drugi

Rodzaj materiału:

Długość drutu [mm]

Średnica [mm]
Średnia średnica

Pole przekroju

[

]

u(d) =

[

]

[

]

u(S)=

[

]

Masa odważni-
ków [kg]
Siła [N]

Wydłużenie
F ↑ [mm]
Wydłużenie
F ↓ [mm]
Wydłużenie
względne
a (z dopasowania graficznego) =

[

]

[

]

a (z prostej regresji)=

[

]

u(E)=

[

]

[

]

tabl

[

]

11-4

Tabela 1c: Drut trzeci

Rodzaj materiału:

Długość drutu [mm]

Średnica [mm]
Średnia średnica

Pole przekroju

[

]

u(d) =

[

]

[

]

u(S)=

[

]

Masa odważni-
ków [kg]
Siła [N]

Wydłużenie
F ↑ [mm]
Wydłużenie
F ↓ [mm]
Wydłużenie
względne
a (z dopasowania graficznego) =

[

]

[

]

a (z prostej regresji)=

[

]

u(E)=

[

]

[

]

tabl

[

]

podpis

Opracowanie wyników pomiarów

1. Oblicz wartość średnią średnicy drutu oraz jej niepewność standardową jako odchylenie

standardowe średniej. Na tej podstawie wyznacz wartość pola przekroju drutu oraz jego
niepewność standardową (skorzystaj m. in. z prawa przenoszenia błędów). Wyniki wpisz
do tabeli.

2. Oblicz wydłużenia względne odpowiadające kolejnym wartościom siły rozciągającej, wy-

niki wpisz do tabeli, osobno dla siły rosnącej i malejącej.

3. Dla każdego obciążenia oblicz średnią wartość względnego wydłużenia, wyniki wpisz do

tabeli.

4. Przedstaw na załączonym wykresie zależność średniego względnego wydłużenia w funk-

cji przyłożonej siły rozciągającej. Uwaga: Wyniki pomiarów dla różnych drutów powinny
zostać przedstawione na wspólnym wykresie, przy użyciu różnych symboli (kolorów). W
tym celu należy najpierw wyznaczyć wszystkie wartości względnego wydłużenia, aby po-
prawnie dobrać jednostkę na osi.

5. Zaznacz na wykresie punkty które odbiegają od prostoliniowego przebiegu, w podsumo-

waniu wyjaśnij, skąd mogły się wziąć takie odchyłki.

6. Posługując się linijką dopasuj prostą do zaznaczonych punktów pomiarowych a następnie

wyznacz jej współczynnik nachylenia według wzoru a = ∆l/∆F Wartości ∆l i ∆F od-
czytaj z wykresu. Na tej podstawie wyznacz wartość modułu Younga. Wyniki wpisz do
tabeli.

11-5

7. Dopasuj prostą regresji do wyników według poleceń (i wskazówek) prowadzącego. Możesz

posłużyć się programem komputerowym dostępnym w laboratorium. W wyniku otrzy-
masz wartość współczynnika nachylenia prostej regresji oraz jego niepewność pomiarową.
Wyniki wpisz do tabeli.

8. Podaj wartość wyznaczonego modułu Younga (na podstawie wyników dopasowania w

punkcie 7) w ogólnie przyjętych jednostkach i porównaj ją z wartością tablicową dla da-
nego materiału (tablice są dostępne w laboratorium). Rozstrzygnij, czy otrzymany wynik
zgadza się (w granicach niepewności pomiarowej) z wartością tablicową.

Rysunek 11-2: Zależność względnego wydłużenia drutów od przyłożonej siły rozciągającej.

11-6

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

11-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 13: Współczynnik lepkości

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika lepkości gliceryny metodą Stokesa, zapoznanie się
z własnościami cieczy lepkiej.

Literatura

[1] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Zdefiniuj współczynnik lepkości, podaj odpowiednie wzory i jednostki.

Co to jest ciśnienie hydrostatyczne? Omów prawo Pascala na przykładzie
zasady działania prasy hydraulicznej.

Co to jest liczba Reynoldsa? Co oznaczają pojęcia „przepływ laminarny” i
„przepływ turbulentny”?

Opisz metodę wyznaczania współczynnika lepkości.

Podaj prawo wyporu Archimedesa. Wyjaśnij dlaczego niektóre ciała pływają
a inne toną.

Jakie siły działają na kulkę podczas opadania w cieczy lepkiej? Zapisz rów-
nanie ruchu kulki.

Objaśnij jakim ruchem porusza się kulka w początkowej fazie ruchu, a jakim
po upływie kilku chwil.

Jak można wyznaczyć gęstość cieczy, ciała stałego lub gazu?

Dlaczego umieszcza się balast na dnie statku? Dlaczego butelka częściowo
wypełniona wodą pływa w pozycji pionowej ?

Ocena z odpowiedzi:

13-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

13-2

Wprowadzenie

Pomiędzy dwiema zanurzonymi w cieczy płytkami o powierzchniach S znaj-
dującymi się w odległości d i poruszającymi się względem siebie z prędkością
v występuje siła oporu wprost proporcjonalna do S i v, a odwrotnie propor-
cjonalna do d :

F = η

Stałą η nazywamy współczynnikiem lepkości tej cieczy.
Dla przepływu laminarnego siła oporu jaką ciecz działa na poruszającą się
w niej kulkę (wzór Stokesa) wynosi:

= 6πηrv

gdzie r jest promieniem, a v prędkością poruszającej się kulki. Wzór ten
umożliwia wyznaczenie wartości współczynnika lepkości na podstawie
pomiarów parametrów charakteryzujących kulkę oraz jej ruch w cieczy
lepkiej. Ruch kulki opadającej w cieczy, po przebyciu przez nią pewnej (dość
krótkiej) drogi, staje się praktycznie ruchem jednostajnym, co zgodnie z II
zasadą dynamiki Newtona ma miejsce jedynie wówczas, gdy wszystkie siły
działające na kulkę równoważą się:

+ ~

= 0

gdzie F

oznacza siłę grawitacji, F

– siłę wyporu, a F

– siłę oporu lepkiego.

Uwzględniając zwroty sił otrzymujemy zależność

= F

− F

co pozwala na wyznaczenie współczynnika lepkości

η =

(m − V ρ)g

6πrv

gdzie m jest masą kulki, V jej objętością, a ρ gęstością gliceryny. W do-
świadczeniu będziemy posługiwali się wzorem różniącym się od powyższego
o czynnik (1 + 2, 4r/R)

−1

; jest to poprawka którą należy uwzględnić z po-

wodu skończonej średnicy R cylindra w którym porusza się kulka:

η =

(m − V ρ)g

6πrv

(1 + 2, 4r/R)

Układ pomiarowy składa się z ustawionej pionowo rury wypełnionej glice-
ryną, zamkniętej z jednego końca kranem, na który nałożony jest wężyk z
zaciskaczem. Na rurze znajdują się dwa znaczniki, które umożliwiają odczyt
zadanego położenia opadającej kulki. Schemat układu został przedstawiony
na rys.13-1.

Rysunek

13-1:

Układ pomiarowy.

13-3

Wykonanie ćwiczenia

1. Wybrane do pomiaru kulki należy dokładnie wytrzeć z resztek gliceryny a następnie roz-

łożyć na arkuszu bibuły, jednocześnie nadając każdej z nich numer. Po wykonaniu jakie-
gokolwiek pomiaru, użyta kulka powinna zawsze zostać wytarta i odłożona na miejsce.

2. Zmierz średnice wszystkich wybranych kulek za pomocą śruby mikrometrycznej. Wyniki

zapisz w Tabeli.

3. Zważ wszystkie kulki przy użyciu dostępnej wagi. Wyniki zapisz w Tabeli.

4. Ustaw na rurze dwa znaczniki w odległości około 80 cm tak, aby górny znacznik znajdował

się co najmniej 20 cm poniżej poziomu cieczy w rurze. Zanotuj odległość znaczników w
Tabeli.

5. Zmierz za pomocą suwmiarki średnicę wewnętrzną cylindra z gliceryną. Wynik wpisz do

Tabeli.

6. Każdą z kulek wrzuć do rury, a następnie zmierz za pomocą stopera czas, w którym bę-

dzie ona opadała pomiędzy znacznikami. Wynik zapisz w Tabeli 1. Zwróć uwagę aby kulki
opadały środkiem cylindra a nie blisko ścianek oraz aby nie było do nich doczepionych pę-
cherzyków powietrza (dlaczego?). Każdy pomiar, który nie spełnia powyższych wymogów
należy powtórzyć.

7. Wyciągnij kulkę z cylindra poprzez kran umieszczony na jego dolnym końcu natychmiast

(bezpośrednio) po zakończeniu pomiaru (nie wolno wrzucać następnej kulki, jeżeli po-
przednia nie została wyjęta!). Aby nie dopuścić do wylewania się gliceryny z cylindra
należy posłużyć się zaciskaczem umieszczonym na wężyku. Gliceryna powinna ściekać do
podstawionego pod wężykiem naczynia. Jeśli zachodzi potrzeba uzupełnienia gliceryny
w cylindrze, należy przelać ją ostrożnie z naczynia lejąc po ściankach cylindra tak, aby
wytworzyć jak najmniej pęcherzyków powietrza.

8. Po skończonych pomiarach należy zanotować temperaturę otoczenia, w której wykonywane

było doświadczenie.

Wariant do wykonania (określa prowadzący):

Wykonaj pomiary dla

podobnych kulek, po

dla każdej kulki

podpis:

13-4

Wyniki pomiarów

Tabela 1

Odległość znaczników:

[mm]

Średnica cylindra:

[mm]

Temperatura:

[

Numer

pomiaru

Numer

kulki

Średnica

kulki [mm]

Promień

kulki [

]

Objętość

kulki [

]

Masa

kulki

[g]

Czas spadku

kulki

[s]

Prędkość

kulki [

]

Współczynnik

lepkości [

]

η =

[

]

u(η) =

[

]

tabl

[

]

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

1. Oblicz promień r każdej z użytych w doświadczeniu kulek. Wyniki wpisz do Tabeli.

2. Oblicz objętość V każdej z użytych w doświadczeniu kulek. Wyniki wpisz do Tabeli.

3. Na podstawie zmierzonej drogi (odległości znaczników) oraz czasów oblicz prędkości każdej

z kulek w kolejnych spadkach. Wyniki wpisz do Tabeli.

4. Na podstawie wyznaczonych wartości oblicz współczynnik lepkości gliceryny dla każdego

przelotu kulki. Wyniki wpisz do Tabeli.

5. Oblicz wartość średnią współczynnika lepkości, według wzoru

η =

i=1

Wyniki wpisz do Tabeli.

6. Oblicz niepewność standardową (odchylenie standardowe średniej) współczynnika lepko-

ści, według wzoru

u(η) =

v
u
u
t

n
i=1

(η

− ¯

η)

n(n − 1)

Wyznaczone wartości wpisz do Tabeli.

7. Porównaj wyznaczoną wartość współczynnika lepkości z wartością tablicową i sprawdź,

czy w granicach niepewności pomiarowej są one równe.

13-5

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

13-6

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 25: Interferencja fal akustycznych. Prędkość dźwięku.

Cel ćwiczenia:
Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu oraz w niektórych wybranych gazach przy użyciu rury
Quinckego. Wyznaczenie wykładnika κ w równaniu adiabaty.

Literatura

[1] Halliday D., Resnick R., Fizyka, T.1, PWN, Warszawa 1994.

[2] Bobrowski Cz., Fizyka – krótki kurs, WNT, Warszawa 1993.

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Podaj definicję ruchu falowego (dla przypadku jednowymiarowego) i omów
wielkości fizyczne: amplitudę, fazę, przesunięcie fazowe, okres, częstotliwość,
długość fali, wektor falowy.

Czym różni się fala podłużna od poprzecznej? Podaj przykłady takich fal.

Omów zjawisko interferencji fal.

Omów cechy fizyczne dźwięku: wysokość, głośność, barwę. Jaki jest zakres
słyszalności (dla ucha ludzkiego) fal dźwiękowych?

W jakiej skali mierzymy natężenie (głośność) dźwięku? Co to jest decybel?

Od czego zależy prędkość dźwięku?

Opisz przemianę stanu gazu zachodzącą podczas rozchodzenia się w nim fali
dźwiękowej.

Ocena z odpowiedzi:

25-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

25-2

Wprowadzenie

Dwa nakładające się ciągi falowe o jednakowej długości fali λ i częstotliwości f tworzą falę
wypadkową, której amplituda zależy od amplitud fal składowych oraz różnicy przebytych przez
nie dróg. Przybiera ona wartość najmniejszą, gdy różnica tych dróg x

−x

wyraża się związkiem:

− x

= λ(n−

)

(n = 1, 2, 3, ...)

Kolejne minima amplitudy wypadkowej występują więc dla:

− x

λ;

− x

λ;

− x

λ;

. . .

− x

2n + 1

λ, . . .

Odstępy pomiędzy minimami są równe długości powstającej w rozpatrywanym miejscu wypad-
kowej fali; ich pomiar umożliwia więc wyznaczenie długości fali, a to – jeśli zna się częstotliwość
f – umożliwia z kolei obliczenie prędkości v fali ze związku

v = f λ.

(1)

To właśnie jest celem niniejszego ćwiczenia. Prędkość dźwięku rozchodzącego się w gazie do-
skonałym wyraża się wzorem:

v =

RT κ

(2)

w którym T oznacza temperaturę bezwzględną, R – uniwersalną stałą gazową, µ – masę molową
użytego gazu, zaś κ, będące stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu c

do ciepła

właściwego przy stałej objętości c

, jest wykładnikiem w równaniu adiabaty.

Układ pomiarowy

Rysunek 25-1: Rura Quinckego.

Rys.25-1 przedstawia rurę Quinckego, przy pomocy której można mierzyć prędkość dźwięku w
gazach wykorzystując zjawisko interferencji fal dźwiękowych. Fala dźwiękowa rozdziela się na
dwie części, biegnące w każdej z dwóch rur wygiętych w kształcie litery „U”. Jedna z tych rur
ma długość zmienną, regulowaną przez wysuwanie ruchomego jej fragmentu (jak w puzonie).

25-3

Przy pomocy pompy próżniowej można odpompować z układu pomiarowego powietrze, które
następnie można zastąpić wybranym gazem. Natężenie dźwięku rejestrowane jest za pomocą
mikrofonu, podłączonego do słuchawek oraz – niezależnie – do oscyloskopu.

Wykonanie ćwiczenia

A Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu.

1. Otwórz kran K2 w celu usunięcia ewentualnych resztek gazu poprzednio użytego i zapo-

wietrzenia układu. W czasie przeprowadzania pomiarów kran K2 powinien być przez cały
czas otwarty, by ciśnienie w zmieniającej się objętości rury było stale równe zewnętrznemu;

2. Znajdź na korpusie generatora gałkę potencjometru regulacji amplitudy drgań i skręć ją

do pozycji „zero”, a następnie włącz jego zasilanie ( 220 V);

3. W międzyczasie odczytaj na termometrze ściennym – i zanotuj w tabeli – temperaturę

powietrza w sali;

4. Gałką potencjometru dobierz głośność dźwięku w słuchawkach (nie za dużą – męczy słuch

już po niedługim czasie);

5. Ustaw na wyskalowanej tarczy generatora – na próbę – różne częstotliwości drgań i dla

każdej z nich „przeszukując” całą skalę przesuwu ruchomego fragmentu rury (przez obrót
korbką), znajdź taką częstotliwość generowanych fal, dla której na całej długości przesu-
wu występują: tylko 2 minima głośności, a następnie taką, dla której jest ich 5; będą to:
najniższa i najwyższa z używanych następnie do pomiaru wartości. Częstotliwość genero-
wanych drgań odczytuje się na wyskalowanej tarczy obrotowej generatora, posługując się
dodatkowo położonym niżej od niej przełącznikiem zakresów „mnożnika”. Na przykład,
częstotliwość 2000 Hz może być ustawiona albo tak:
20 Hz (na tarczy) x 100 (mnożnik) = 2000 Hz – albo tak:
200 Hz (na tarczy) x 10 (mnożnik) = 2000 Hz;

6. Dla każdej przyjętej do pomiaru częstotliwości drgań (najlepiej wykonać pomiary dla czę-

stotliwości tak dobranych, by przy nich występowało: 2, 3, 4 i 5 minimów) cały dostępny
przesuw ruchomej rury musi być przeszukany 3-krotnie, czyli położenie ai każdego mini-
mum głośności musi być 3-krotnie odczytane na skali i za każdym razem z osobna zapisane
w Tabeli 1 z wynikami pomiarów – z wykorzystaniem trzech kolejnych wierszy tabeli: po
jednym wierszu na jeden przesuw od końca do końca skali. Odległości pomiędzy sąsiedni-
mi minimami powinny wypaść – przy ustalonej częstotliwości – mniej więcej (w granicach
niepewności pomiarowej) jednakowe; warto je na bieżąco w trakcie pomiarów sprawdzać,
by uniknąć opuszczenia któregoś minimum przez nieuwagę (wtedy odnośna wartość odle-
głości pomiędzy minimami wypada mniej więcej dwukrotnie większa od pozostałych).

B Pomiar prędkości dźwięku w gazie innym niż powietrze.

1. Czynności wstępne, obejmujące napełnienie rury Quinckego wybranym gazem:

a) wysuń ruchomy fragment rury do końca – do oporu. Zamknij kran K2, pozostawiając
kran K1 otwarty,
b) śledząc wskazania manometru, odpompuj rurę przy użyciu pompy próżniowej,
c) zamknij kran K1, wyłącz pompę,
d) balonik z gazem otrzymany od dyżurującego technika nasuń na kran K2, po czym
otwórz ten kran, wpuszczając gaz do rury. Kran K2 w czasie wykonywania pomiarów po-
winien być przez cały czas otwarty, by umożliwić kompensowanie ciśnienia w rurach przy
zmianach ich objętości,

2. Wykonaj pomiary – tak, jak w punktach od 2 do 6 dla powietrza,

25-4

3. Czynności końcowe:

Zdejmij z kranu balonik z gazem i oddaj dyżurującemu technikowi, wnętrze rur (po za-
mknięciu kranu K2) odpompuj i po wyłączeniu pompy zapowietrz rury przez jego otwarcie.

Wariant do wykonania (określa prowadzący):

Wykonaj pomiary opisane w punktach

podpis:

Wyniki pomiarów

Tabela 1

Często-

Położenie kolejnych

Różnica położeń

Długość

Prędkość

tliwość

minimów

kolejnych minimów

fali

dźwięku

drgań

[mm]

∆

= a

i+1

− a

[mm]

śr

[mm]

[m/s]

∆

f [Hz]

Temperatura [

◦

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

1. Dla każdego wiersza Tabeli 1 z zamieszczonych w nim wyników pomiarów oblicz:

a) różnice ∆

= a

i+1

− a

położeń sąsiadujących ze sobą minimów;

b) średnią wartość długości fali λ

śr

= 2

n−1
i=1

∆

n − 1

, gdzie n – liczba znalezionych minimów;

stąd (n − 1) jest liczbą odległości pomiędzy nimi. (Dwójka w tym wzorze bierze się stąd,
że różnica dróg przebytych przez fale biegnące w jednej i w drugiej rurze jest dwukrotnie
większa niż przesunięcie ruchomej części rury wzdłuż skali.);

25-5

c) prędkość dźwięku v

(z równania (1));

2. Ze wszystkich N uzyskanych wartości v

oblicz wartość średnią v

śr

i jej odchylenie stan-

dardowe (u(v)):

u(v) =

v
u
u
u
u
u
t

k=1

− v

śr

)

N (N − 1)

;

3. Następnie z (2) oblicz wartość prędkości dźwięku w temperaturze 0

◦

= v

śr

= . . . . . . . . . ;

Porównaj tak „zredukowaną do temperatury 0

◦

C” wartość v

z wartością tablicową; uzy-

skane wyniki wpisz do Tabeli 2;

4. Oblicz ze związku (2) wartość wykładnika adiabaty κ = c

. Za masę molową gazu

należy przyjąć wartość tablicową, a dla powietrza (mieszaniny gazów) µ obliczyć ze wzoru:

µ =

gdzie µ

i oznaczają masy molowe głównych składników powietrza, zaś w

– „wagi” wyni-

kające z jego składu procentowego; dla azotu: w

= 0,78, tlenu: w

= 0,21, argonu: w

= 0,01.

Uzyskany wynik wpisz do Tabeli 2.

Tabela 2

Średnia prędkość v

śr

w temperaturze pomiaru i jej odchylenie standar-

dowe u(v)
Obliczona prędkość dźwięku w temperaturze 0

◦

Tablicowa wartość prędkości dźwięku w temperaturze 0

◦

Wykładnik κ w równaniu adiabaty (wartość teoretyczna dla powietrza
1.4)

25-6

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

25-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 32: Mostek Wheatstone’a

Cel ćwiczenia:
Praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie zależności określających opór zastępczy
dla połączeń szeregowych, równoległych oraz mieszanych.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

[3] Ostachowicz J., Statystyka, OEN AGH 1998.

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Omów prawa Kirchhoffa.

Wyprowadź wzory na opór zastępczy dla połączenia szeregowego i równole-
głego dwóch oporników R

i R

Co to jest opór właściwy i przewodność właściwa? Od czego zależy opór
danego odcinka drutu przewodzącego?

Omów zależność oporności elektrycznej metali od temperatury.

Narysuj schemat układu dla mostka Wheatstone’a i wyprowadź wzór na
wartość nieznanego oporu dla mostka zrównoważonego.

Omów prawo Ohma w wersji mikroskopowej i makroskopowej.

Udowodnij, że opór zastępczy dwóch oporników połączonych równolegle jest
mniejszy od oporu mniejszego z nich.

Zdefiniuj i omów pojęcia natężenia prądu elektrycznego oraz ładunku. Podaj
definicje odpowiadających im jednostek.

Zdefiniuj i omów pojęcia napięcia oraz oporu elektrycznego. Podaj definicje
odpowiadających im jednostek.

Ocena z odpowiedzi:

32-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

32-2

Rysunek 32-1: Mostek Wheatstone’a (schemat).

Wprowadzenie

Węzłem nazywamy dowolny punkt obwodu w którym spotykają się co najmniej 3 doprowa-
dzenia.
Oczkiem nazywamy dowolną zamkniętą drogę wzdłuż sieci połączeń obwodu.
Zgodnie z I prawem Kirchhoffa suma prądów (wpływających i wypływających) z dowolnego
węzła jest równa 0.
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma spadków napięć wzdłuż dowolnego oczka jest równa
sumie sił elektromotorycznych.

Na podstawie I i II prawa Kirchhoffa można wyznaczyć wszystkie wartości prądów i napięć
w obwodzie mostka Wheatstone’a. Jego szczególnym przypadkiem jest mostek zrównoważony,
w którym przez środkową gałąź nie płynie żaden prąd. Dla mostka zrównoważonego można
wyprowadzić zależność:

⇒

Jeżeli gałąź R

− R

zastąpimy odcinkiem drutu o długości l (patrz rysunek) wówczas pod-

stawiając R

= ρa/S oraz R

= ρ(l

−a)/S (ρ jest oporem właściwym drutu, S polem jego

przekroju, a – długością odcinka zaznaczonego na rysunku) otrzymujemy

= R

(l−a)

co pozwala na łatwe wyznaczenie nieznanego oporu z pomiaru położenia suwaka (długości a).

Układ pomiarowy
Układ pomiarowy jest przedstawiony na rysunku. Pomiędzy punktami AC rozpięty jest drut
oporowy o danej długości. R

jest tutaj opornikiem wzorcowym, a R

nieznanym oporem, któ-

rego wartość chcemy wyznaczyć. Zrównoważenie mostka polega na takim ustawieniu punktu
D, dla zadanej wartości R

, aby przez galwanometr G nie płynął prąd.

32-3

Wykonanie ćwiczenia

Sprawdzenie praw Kirchhoffa

1. Połącz obwód elektryczny według schematu przedstawionego na rysunku i po sprawdzeniu

przez prowadzącego włącz zasilanie.

2. Wykonaj pomiary wszystkich nieznanych oporów wskazanych przez prowadzącego, za każ-

dym razem zmieniając nastawy na oporniku wzorcowym. Wyniki wpisz do Tabeli 1.

3. Wykonaj analogiczne pomiary dla równoległego, szeregowego i mieszanego połączenia wy-

branych oporników. Wyniki wpisz do Tabeli 1.

Wariant do wykonania (określa prowadzący):

Wykonaj pomiary dla oporników

, powtórz

razy

, powtórz

razy

, powtórz

razy

, powtórz

razy

, powtórz

razy

równolegle z

powtórz

razy

równolegle z

powtórz

razy

Połączenie mieszane:

P1 powtórz

razy

P2 powtórz

razy

podpis:

32-4

Wyniki pomiarów

Tabela 1

Długość drutu l:

[cm]

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R

[

]

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R

[

]

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R

[

]

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R

[

]

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R

[

]

32-5

Połączenie szeregowe:

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R)=

[

]

obl

[

]

u(R

obl

[

]

Połączenie równoległe:

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R)=

[

]

obl

[

]

u(R

obl

[

]

Połączenie mieszane:

Opór wzorcowy [Ω]

[cm]

[

]

[

]

u(R)=

[

]

obl

[

]

u(R

obl

[

]

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

Wyznaczanie oporu nieznanego (wyniki pomiarów należy wpisać do Tabeli):

1. Wyznacz wartości nieznanych oporów na podstawie wzoru (1)

2. Oblicz wartość średnią dla każdego nieznanego oporu oraz jej niepewność pomiarową.

3. Przeprowadź analogiczne obliczenia dla połączenia szeregowego i równoległego.

4. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia szeregowego korzystając ze wzoru

= R

+ R

Oszacuj niepewność wyznaczenia R

na podstawie prawa przenoszenia niepewności po-

miarowych.

5. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia równoległego korzystając ze wzoru

Oszacuj niepewność wyznaczenia R

na podstawie prawa przenoszenia niepewności po-

miarowych.

32-6

6. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia mieszanego i oszacuj jego niepewność z

prawa przenoszenia niepewności pomiarowych. W załącznikach zapisz zastosowane wzory.

7. Porównaj opory zmierzone w połączeniach równoległym, szeregowym i mieszanym, z

analogicznymi oporami zastępczymi wyznaczonymi na podstawie odpowiednich wzorów.
Sprawdź, czy są one równe w granicach niepewności pomiarowych. Wynik porównania
zapisz we wnioskach.

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

32-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 33: Kondensatory

Cel ćwiczenia:
Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia
stałej elektrycznej ε

(przenikalności dielektrycznej próżni) i przenikalności względnych ε

róż-

nych materiałów.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Prawo Gaussa i prawo Coulomba.

Pojemność elektryczna i jej jednostki.

Wpływ dielektryka na ładunki i pole elektryczne w kondensatorze – opis
jakościowy zjawiska.

Pojemność kondensatora płaskiego – wyprowadzenie wzoru i poczynione
przybliżenia.

Zdefiniuj pole jednorodne. W jakim kondensatorze (płaskim, cylindrycznym)
można wytworzyć jednorodne pole elektryczne?

Wyprowadź wzory na połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów.

Jaka będzie pojemność kondensatora płaskiego, którego elektrody o po-
wierzchni S rozdzielają dwie warstwy dielektryka o grubościach d

i d

oraz

przenikalnościach ε

i ε

Z wartości ε

obliczamy prędkość światła c przy użyciu wzoru (5). Jeżeli

niepewność względna pomiaru dla ε

wynosi u

(ε

), to niepewność względna

dla prędkości światła u

Ocena z odpowiedzi:

33-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

33-2

Wprowadzenie

–

ładunek elektryczny,

–

napięcie,

–

pojemność,

–

przenikalność dielektryczna,

–

średnica okładki kondensatora (rys. 33-1),

–

powierzchnia okładki kondensatora,

–

średnica przekładki (rys.33-1),

–

powierzchnia przekładki,

–

odległość między okładkami,

(Cd)

extr

–

ekstrapolowana wartość iloczynu Cd (rys.33-3),

–

promień zewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego (rys.33-2),

–

promień wewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego,

–

długość kondensatora cylindrycznego,

–

prędkość światła w próżni,

= 8, 854 · 10

−12

F/m

–

stała elektryczna (dawniej: przenikalność elektryczna próżni),

= 4π · 10

−7

Vs/(Am)

–

stała magnetyczna (dawniej: przenikalność magnetyczna próżni),

Uwaga: Zgodnie z niedawnymi decyzjami ISO (International Organisation for Standardization)
oraz IEC (International Electrotechnical Commission) wprowadzono terminy stała magne-
tyczna i stała elektryczna (ang. magnetic constant, electric constant) jako podstawowe na-
zwy stałych ε

i µ

. Tradycyjne terminy „przenikalność magnetyczna próżni” i „przenikalność

elektryczna próżni” pozostają nazwami pomocniczymi. Nowe nazwy lepiej odzwierciedlają sens
fizyczny symboli ε

i µ

– nie mają one nic wspólnego z fizycznymi własnościami próżni, zo-

stały wprowadzone do równań elektromagnetyzmu po to, aby uzyskać wygodną dla człowieka
wielkość jednostki prądu (1 A) i jednostek pochodnych (1 V, 1 Ω ).

Schemat układu pomiarowego

Rysunek 33-1: Kondensator płaski z zaznaczonym polem elektrycznym.

Rysunek 33-2: Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny.

33-3

Definicja pojemności elektrycznej

C =

(1)

Pojemność kondensatora płaskiego

C =

(2)

Pojemność kondensatora powietrznego z trzema przekładkami, (pokazanego na rysunku)

C =

(S − 3S

)

+ 3

(3)

gdzie

S = πD

/4,

= πD

Wzór końcowy na stałą elektryczną (wynik przekształcenia wzoru 3)

(Cd)

extr

+ 3(ε

−1)D

(4)

Związek stałej elektrycznej i magnetycznej z prędkością światła w próżni

c =

√

(5)

Pojemność kondensatora cylindrycznego

C =

2πε

(6)

Wykonanie ćwiczenia

1. Włącz miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Nastaw zakres 200

pF. Jeżeli wskazania miernika różnią się od zera więcej niż 0,2 pF wtedy przyrząd należy
wyzerować. Zerowanie wykonaj dla miernika z dołączonymi przewodami zakończonymi
„krokodylkami”.

2. Zestaw kondensator z płyt (ustawiaj dokładnie jedną nad drugą) i trzech pojedynczych

izolacyjnych przekładek. Wyniki pomiarów d

, d

i C oraz obliczone wartości d i Cd

zanotuj w tabeli 1.
Uwaga: krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast ich grubości różnią
się ze względu na fluktuacje grubości płyty pleksiglasowej, z której zostały wytoczone.
Dlatego mierzymy (śrubą mikrometryczną) indywidualne grubości krążków d

, d

i do dalszych obliczeń bierzemy wartość średnią. Podczas pomiaru wartości C odsunąć
ręce od układu, gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost
pojemności!

3. Pomiar pojemności powtórz dla wzrastającej liczby 2,3,4,5... przekładek w każdym z trzech

słupków krążków (rys. 1). Nie mierz grubości pojedynczych krążków, lecz całych słupków,
użytych do budowy kondensatora.

4. Na zakończenie powtórz pomiar dla kondensatora z pojedynczymi przekładkami.

5. Zmierz pojemności kondensatorów zestawionych z okładek metalowych rozdzielonych pły-

tami wykonanymi z różnych dielektryków.

6. Zmierz pozostałe wymiary geometryczne potrzebne dla obliczenia ε

i µ

7. Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierz jego pojemność i niezbędne wymiary geome-

tryczne.

33-4

Wyniki pomiarów

Pomiar 1: Kondensator płaski – wyznaczenie ε

Pomiar pojemności kondensatora w funkcji odległości elektrod.

Tabela 1

Liczba

d = (d

+ d

)/3

przekładek

[mm]

[pF]

[mm·pF]

Średnica kondensatora D = ....... ...

Średnica przekładki D

= ....... ...

Pomiar 2: Kondensator płaski z dielektrykami.

Tabela 2

Materiał

d [mm]

C [nF]

Średnica zewnętrzna 2R – ............. ....

Średnica wewnętrzna 2r – ............. ....

Długość l – ............. ....

podpis:

Opracowanie wyników

Pomiar 1: Kondensator płaski – wyznaczenie ε

1. Wykonaj wykres iloczynu Cd w funkcji odległości okładek d.

2. Przez punkty eksperymentalne przeprowadź gładką krzywą. Odczytaj z wykresu wartość

ekstrapolowaną do d = 0:

33-5

(Cd)

extr

= .................. ..............

Uwaga: zależność iloczynu Cd od grubości d jest dla naszego eksperymentu nieliniowa. Dlatego nie można

stosować ekstrapolacji liniowej. Metoda graficzna polega na poprowadzeniu gładkiej krzywej (niekoniecz-

nie przechodzącej przez wszystkie punkty) i przedłużeniu jej aż do przecięcia z osią pionową. Metoda ana-

lityczna może polegać na przeprowadzeniu przez punkty wielomianu stopnia drugiego (y = a

x+a

)

lub trzeciego (y = a

+ a

x + a

+ a

). Wyraz stały a

wielomianu jest wartością (Cd)

extr

. Opcję

dopasowania wielomianu posiada większość programów do obróbki danych pomiarowych.

3. wartość stałej elektrycznej wynosi

= .................. ..............

4. prędkość światła

c = .................. ..............

Rysunek 33-3: Przedstawienie wyników pomiaru 1 w formie wykresu Cd = f (d) i ekstrapolacja tej
zależności do d =0 w celu eliminacji wpływu pola rozproszonego.

33-6

Pomiar 2: Kondensator płaski – pomiar ε

dielektryków.

1. oblicz wartości przenikalności elektrycznej badanych materiałów.

2. Porównaj z wartościami tabelarycznymi (wpisz do tabeli wartości tabelaryczne jakie uda-

ło Ci się znaleźć, podając źródło danych)

.......................................................................................................................

Tabela 3

Materiał

Wartość zmierzona ε

Wartość tabelaryczna ε

Pomiar 3: Kondensator cylindryczny

Oblicz przenikalność dielektryczną izolacji kabla (polietylen) i wpisz również do tabeli 3.

Ocena niepewności dla pomiaru 1

Niepewność ε

zależy w pierwszym rzędzie od niepewności pomiarów dla „idealnego” płaskiego

kondensatora powietrznego: powierzchni S i odległości d okładek, oraz pojemności C. Pomijamy
przyczynki do niepewności pochodzące od procedury ekstrapolacji i związane z poprawką na
obecność przekładek (składnik 3(ε

−1)D

2
p

we wzorze (4). Obliczenia wykonujemy dla wartości

d i C odpowiadających kondensatorowi z najmniejszą odległością okładek, gdyż dwukrotnie
wykonany pomiar dla tej konfiguracji ma największy wpływ na wartość ekstrapolowaną iloczynu
Cd, a zatem na wyznaczoną wartość ε

1. ocena niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio:

Grubość przekładki (pomiar mikrometrem) u(d) = ............. ....

Średnica kondensatora (pomiar przymiarem mm) u(D) = ............. ....

Niepewność maksymalna pomiaru pojemności jest, dla używanego miernika MIC-4070D,
określona przez producenta jako

∆C = 0,05% zakres ( .......... ..... ) + 0,5% wartość mierzona (........ .....) = ............ ....

Zamieniamy ją na niepewność standardową

u(C) =

∆C

√

= ..........

.....

33-7

2. obliczenie niepewności stałej elektrycznej

W związku z poczynionymi uproszczeniami punktem wyjścia jest wzór

do którego stosujemy prawo przenoszenia niepewności względnej. Otrzymujemy

(ε

) =

(d) + [2u

(D)]

czyli

u(ε

)

v
u
u
t

u(C)

u(d)

u(D)

Tabela 4

Wielkość

Wartość

Niepewność

Niepewność względna

Waga

(x)

mierzona

u(x)

(x) = u(x)/x[%]

[%]

D[mm]

d[mm]

C[pF]

Złożona niepewność względna (suma geometryczna liczb z ostatniej kolumny tabeli):
u

c,r

(ε

) = ........... [%]

Niepewność złożona: u

(ε

) = ε

c,r

(ε

) .......... ......

Niepewność rozszerzona dla wartości współczynnika rozszerzenia k = 3,

U (ε

) = ku(ε

) = ............................ ......

Odpowiedz na pytania:

1. czy uzyskana wartość stałej elektrycznej jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzo-

nej, z wartością tabelaryczną?

2. pomiar której wielkości wnosi największy przyczynek do niepewności ε

Wnioski

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

33-8

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 35: Elektroliza

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie stałej Faradaya oraz równoważnika elektrochemicznego miedzi
metodą elektrolizy.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Jakie są różnice w opisie przewodnictwa elektrycznego metali i elektrolitów?

Podaj prawa elektrolizy Faradaya.

Jaką masę substancji wydzieli podczas przepływu przez elektrolit prąd o
natężeniu 1 ampera w czasie jednej sekundy? Podaj nazwę tej wielkości.

Wyjaśnij na przykłach pojęcia: gramoatom (masa molowa), gramorówno-
ważnik, wartościowość, kation, anion, katoda, anoda.

Zdefiniuj pojęcia: 1 amper, 1 wolt i 1 kulomb. Wyraź te jednostki za pomocą
jednostek podstawowych układu SI.

W jaki sposób (szeregowo czy równolegle) należy włączyć amperomierz do
obwodu? Dlaczego?

Ile atomów miedzi osadzi się na elektrodzie po przepłynięciu przez elektrolit
ładunku elektrycznego równego stałej Faradaya?

Ładunek elektryczny Q jest iloczynem natężenia prądu I oraz czasu t:
Q = It. Korzystając z prawa przenoszenia niepewności oszacuj niepewność
wyznaczenia ładunku z pomiarów I i t.

Ocena z odpowiedzi:

35-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

35-2

Wprowadzenie

)

– masa katody przed (po) elektrolizą (-ie)

m = m

− m

– masa miedzi wydzielonej na katodzie podczas elektrolizy

)

– masa anod przed (po) elektrolizą (-ie)

M = M

− M

– zmiana masy anod podczas elektrolizy

– równoważnik elektrochemiczny miedzi (0,3294 mg/C )

– natężenie prądu

– czas

– ładunek elektryczny

– masa molowa miedzi (63,58 g)

– wartościowość jonów miedzi (+2)

– stała Faradaya (96500 C)

– ładunek elementarny (1,60206 · 10

−19

– liczba Avogadro (6,0245 · 10

(g/mol))

Układ pomiarowy

W tym ćwiczeniu elektrody są wykonane z miedzi a elektrolitem jest wodny roztwór siarczanu

Rysunek 35-1: Schemat obwodu elektrycznego.

miedziowego CuSO

Użyteczne wzory

Ładunek elektryczny (Q), który przepłynął przez elektrolit jest równy iloczynowi natężenia
prądu (I) i czasu trwania elektrolizy (t).

Q = It

Pierwsze prawo elektrolizy (Faradaya) mówi, że masa substancji osadzonej na katodzie jest
równa iloczynowi równoważnika elektrochemicznego tej substancji, natężenia prądu i czasu
trwania elektrolizy.

m = kIt

Drugie prawo Faradaya mówi, że ten sam ładunek elektryczny przepływający przez różne elek-
trolity wydziela na elektrodach równoważniki chemiczne substancji. Tak więc 1 kulomb wydzieli
masę równą

F w

[g]

Oba prawa elektrolizy Faradaya można zapisać jednym wzorem

m =

F w

Stała Faradaya jest iloczynem ładunku elementarnego i liczby Avogadro.

F = eN

35-3

Znając wartość równoważnika elektrochemicznego miedzi można łatwo obliczyć stałą Faradaya.

F =

Wykonanie ćwiczenia

1. Połącz obwód zgodnie z podanym schematem. Należy zwrócić uwagę na biegunowość

(polaryzację) połączeń, np. zacisk ”+” zasilacza winien być połączony z gniazdem ”+”
amperomierza. Początkowo należy ustawić amperomierz na największy zakres, a dopiero
po ustaleniu wartości natężenia prądu podczas trwania elektrolizy zmniejszyć zakres. W
ten sposób zmniejsza się ryzyko uszkodzenia przyrządu oraz minimalizuje niepewność
pomiarową.

2. Oczyść (przy użyciu papieru ściernego) katodę i zważ ją na wadze elektronicznej. Przed

ważeniem należy usunąć z płytki kurz, przez przemycie wodą destylowaną, i starannie ją
osuszyć.

3. Jeżeli prowadzący zaleci ważenie anod (pozostałych elektrod) należy wykonać pomiar ich

masy w analogiczny sposób jak dla katody.

4. Umocuj katodę i anody w uchwycie i następnie zanurz elektrody w elektrolicie.

5. Po sprawdzeniu obwodu przez prowadzącego zajęcia i podaniu czasu trwania elektrolizy

(zazwyczaj 30 minut) oraz wartości natężenia prądu (prąd stały o natężeniu około 0,5
A) włącz zasilacz i równocześnie uruchom stoper. Przy pomocy opornicy suwakowej ustal
zadaną wartość natężenia prądu.

6. Podczas trwania elektrolizy kontroluj i ewentualnie koryguj (za pomocą opornicy suwako-

wej) natężenie płynącego przez elektrolit prądu.

7. Po upływie zadanego czasu elektrolizy wyłącz zasilacz, wyjmij elektrody z woltametru i

wymontuj katodę. Celem usunięcia ewentualnego osadu delikatnie przepłucz ją denatura-
tem, a następnie starannie wysusz przy użyciu suszarki. Podczas tych czynności należy
unikać dotykania powierzchni katody, na której osadziła się miedź, ponieważ może ona
zostać łatwo starta z elektrody.

8. Zważ katodę.

9. Jeżeli w tym ćwiczeniu ważone były anody to również należy je zważyć po zakończeniu

elektrolizy.

Wersja do wykonania
Wykonaj ćwiczenie dla zadanego czasu elektrolizy równego t = ................. minut.

i natężenia prądu wynoszącego I = ................. A.

Wyniki pomiarów

Tabela 1: Pomiar masy katod i anod
W tabeli zapisz wyniki pomiarów mas elektrod.

[ g ]

35-4

Klasa amperomierza – .............

Używany zakres amperomierza – ............. ....

podpis:

Opracowanie wyników

Oblicz masę miedzi wydzielonej podczas elektrolizy na katodzie

m = ................... ......

Oblicz zmianę masy anod podczas elektrolizy

M = ................... ......

Oblicz (korzystając z I prawa elektrolizy) wartość współczynnika elektrochemicznego miedzi

k = ............................. ......

Korzystając z otrzymanej wartości współczynnika k oblicz stałą Faradaya

F = .......................... ........

Posługując się wyznaczoną doświadczalnie stałą Faradaya oblicz wielkość ładunku elementar-
nego

e = ............................ ......

Obliczanie niepewności pomiarowej

Uwaga: Zastanów się, jaką należy przyjąć wartość niepewności pomiaru masy katody (i ewentualnie
anod). Na wielkość tej niepewności może mieć wpływ przemywanie elektrod denaturatem. Niepewność
ta może być również spowodowana zanieczyszczeniem elektrolitu i niedokładnym wysuszeniem elek-
trod. Biorąc pod uwagę te czynniki, z jaką dokładnością (ile miejsc znaczących) należy podać masę
osadzonej podczas elektrolizy miedzi?

m = ............................ .....

Niepewność pomiaru masy miedzi wydzielonej podczas elektrolizy przyjmuję jako

u(m) = .......................... .....

Oblicz niepewność wartości ładunku elektrycznego, który przepłynął przez elektrolit. W tym celu ob-
licz niepewność pomiaru natężenia prądu wiedząc, że jest ona równa

u(I) = (klasa amperomierza · zakres) / 100 = .......................... .....

u(Q) = .......................... .....

Oszacuj niepewność pomiaru czasu. W zależności od oceny wielkości tej niepewności można:

35-5

1. uwzględniać ją w dalszych obliczeniach albo też

2. uznać, że ze względu na małą wartość niepewności pomiaru czasu (niepewność procentowa równa

......%) jest ona zaniedbywalnie mała w porównaniu z np. niepewnością pomiaru masy i pominąć
ją w dalszych obliczeniach.

Korzystając z prawa przenoszenia niepewności

u(k) =

∂k

∂m

[u(m)]

∂k

∂I

[u(I)]

∂k

[u(t)]

oblicz niepewność otrzymanego doświadczalnie równoważnika elektrochemicznego miedzi k.

Uwaga: Jeżeli w obliczeniach nie jest uwzględniana niepewność pomiaru czasu, należy dokonać we
wzorach odpowiednich uproszczeń.

u(k) =

(. . .)

[u(m)]

+ (. . .)

[u(I)]

−m

[u(t)]

u(k) = ...............................

Oblicz niepewność wyznaczenia stałej Faradaya

u(F ) =

u(k)

u(F ) = .......................... .....

Oblicz niepewność wyznaczenia ładunku elementarnego

u(e) =

u(F )

u(e) = .......................... .....

Uzyskane wyniki zestaw w tabeli.

wartość

wartość wyzna-

niepewność

tablicowa

czona w ekspe-

różnica

niepewność

względna [%]

rymencie

k [

]

F [

]

e [

]

Uwaga: Jeżeli podczas wykonywania ćwiczenia ważone były anody należy obliczyć zmianę masy anod.
Można przyjąć, że niepewność pomiaru masy anod u(M ) jest równa co do wartości niepewności u(m).
Proszę porównać zmianę masy anod ze zmianą masy katody. Czy wielkości te są równe w granicach
niepewności? Czy na podstawie uzyskanych wyników pomiarowych można sformułować prawo zacho-
wania masy?

35-6

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

35-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych

Cel ćwiczenia:
Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków

2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

Zdefiniuj pojęcia: indukcji magnetycznej, natężenia pola magnetycznego, strumie-
nia pola magnetycznego.

Podaj prawo Amp`

ere’a. Na jego podstawie oblicz indukcję pola magnetycznego

wokół prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd elektryczny o natęże-
niu I.

Zdefiniuj następujące jednostki: amper, tesla, weber.

Podaj prawo Biota-Savarta oraz oblicz natężenie pola magnetycznego w środku
kołowego przewodnika o promieniu R, w którym płynie prąd o natężeniu I.

Jak przebiegają linie pola magnetycznego wokół magnesu sztabkowego oraz Ziemi?
Co to są bieguny magnetyczne i gdzie one się znajdują?

Wyjaśnij, dlaczego przed uruchomieniem ćwiczenia igła magnetyczna busoli winna
znajdować się w płaszczyźnie wyznaczonej przez zwoje cewki a nie prostopadle do
niej.

Podaj różnicę pomiędzy polami wytwarzanymi przez cewkę, w której N zwojów
jest ułożonych blisko siebie (zaniedbujemy długość cewki) oraz nieskończenie długi
solenoid, w którym na jednostkę jego długości przypada n zwojów.

W ćwiczeniu zwoje przewodnika, w którym płynie prąd, nawinięte są na obej-
mę wykonaną z mosiądzu. Dlaczego użyto tego rodzaj materiału do wykonania
obejmy?

W jaki sposób uwzględniana jest niepewność pomiaru średnicy cewki w oblicze-
niach składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego? Omów prawo przeno-
szenia niepewności pomiarowych.

Ocena z odpowiedzi:

41-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

41-2

Wprowadzenie

– indukcja magnetyczna, B = µ

– natężenie pola magnetycznego

– natężenie prądu elektrycznego

– średnica cewki

tesla [T]

– jednostka indukcji magnetycznej, 1 T = 1 Wb/m

weber [Wb]

– jednostka strumienia pola magnetycznego, 1 Wb = 1 V s

radian [rad]

– miara łukowa kąta, 1 rad = 57,29578

◦

= (360/2π)

◦

= 4π · 10

−7

Wb/(Am)

– przenikalność magnetyczna próżni

Prawo Biota-Savarta
Prąd o natężeniu I płynący przez element przewodnika o długości dl wytwarza w punkcie odległym o
r od tego elementu pole magnetyczne o indukcji równej

dB =

4π

dl × r

Prawo Ampere’a
Wokół przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I, powstaje pole magnetyczne o indukcji
spełniającej zależność

B · dl = µI

Indukcja pola magnetycznego Bc wewnątrz cewki o n zwojach, promieniu R, w której płynie prąd
o natężeniu I wynosi

Bc =

Składowa pozioma indukcji magnetycznej ziemskiego pola magnetycznego w Krakowie wynosi 21µT.

Układ pomiarowy

Rysunek 41-1: Schemat układu pomiarowego.

Składową poziomą indukcji magnetycznej ziemskiego pola magnetycznego obliczamy ze wzoru (por.
rys.41-2):

B =

tg α

2R tg α

(1)

Wykonanie ćwiczenia

W pomiarach ziemskiego pola magnetycznego istotną rzeczą jest zminimalizowanie wpływu innych,
zaburzających pomiar, pól magnetycznych. W tym celu należy umieścić cewkę ze znajdującą się we-
wnątrz niej busolą możliwie daleko od przewodników z prądem oraz materiałów ferromagnetycznych

41-3

Rysunek 41-2: Pola magnetyczne w cewce, przez którą płynie prąd.

(jak np. elementy żelazne). Następnie należy wypoziomować busolę i ustawić ją w taki sposób, aby igła
magnetyczna znajdowała się w płaszczyźnie wyznaczonej przez zwoje cewki (busola jest zamocowana
obrotowo).
Przed zestawieniem obwodu należy starannie zapoznać się z budową przełącznika zmiany kierunku
płynącego przez obwód prądu. Po sprawdzeniu obwodu przez prowadzącego zajęcia można przystąpić
do dalszego wykonywania ćwiczenia.
Wariant do wykonania (określa prowadzący zajęcia):

Wykonaj pomiary dla :

ilości zwojów cewki: ....... i ...... i ......

oraz kątów wychylenia igły magnetycznej od położenia zerowego: ....... i ....... i ....... i ....... i ....... i ..... .

podpis:

Wyniki pomiarów

– kolejny numer pomiaru,

– kąt wychylenia igły magnetycznej w lewo,

– kąt wychylenia igły magnetycznej w prawo,

– średni kąt wychylenie igły magnetycznej,

I[A]

– natężenie prądu płynącego przez cewkę,

– ilość zwojów cewki,

[µT]

– obliczona składowa pozioma indukcji magnetycznej Ziemi.

41-4

Tabela 1: Wyniki pomiarów

− ¯

B =

klasa amperomierza – . . . . . . . . .

średnica cewki – . . . . . . . . .

. . . . . .

niepewność pomiaru średnicy cewki – . . . . . . . . .

. . . . . .

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

1. Dla każdego pomiaru oblicz składową poziomą ziemskiego pola magnetycznego B

2. Jako wartość składowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego przyjmij ¯

B – średnią

arytmetyczną z wielkości B

Obliczanie niepewności pomiarowych

Oblicz niepewność pomiaru typu A (dla serii pomiarów) pomiaru składowej poziomej ziemskiego pola
magnetycznego (odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru S(B) oraz niepewność standardową
typu A, µ

(B)). W poniższych wzorach N jest liczbą wykonanych pomiarów.

S(B) =

N
i=1

− ¯

N − 1

= . . . . . .

. . .

(B) =

S(B)

√

= . . . . . .

. . .

41-5

Praktycznie wszystkie uzyskane wartości B

powinny zawierać się w przedziale ( ¯

B−3S(B), ¯

B+3S(B)).

Jeżeli jakiś wynik nie leży w tym przedziale, to można podejrzewać, że pomiar ten został źle wykonany
lub jego wynik źle opracowany. Przeanalizuj pod tym kątem tabelę z wynikami pomiarów i sformułuj
odpowiednie wnioski.

Oblicz niepewność złożoną pomiaru: u

(B) pomiaru składowej poziomej ziemskiego pola magnetycz-

nego (związaną z dokładnością użytych w ćwiczeniu przyrządów pomiarowych).
Obliczona powyżej niepewność typu A uświadamia nam, że rozrzut mierzonej wielkości może być
dość znaczny. Wielkość ta – w określonym punkcie kuli ziemskiej i przy stałej konfiguracji stanowiska
pomiarowego! – jest jednak stałą! Dlatego warto jest prześledzić ilościowo czynniki odpowiedzialne za
taki stan rzeczy.

W wykonywanym ćwiczeniu mierzonymi wielkościami są:

– średnica cewki 2R,
– natężenie prądu I
– kąt wychylenia igły magnetycznej od położenia zerowego .

Przyjmuję, że pomiary tych wielkości są obciążone niepewnościami pomiarowymi wynoszącymi odpo-
wiednio:

u(2R) = .....................

......

u(I) = .....................

......

u(α) =.....................

◦

= ..................... rad

W związku ze skończoną dokładnością wykonywanych pomiarów obliczamy niepewność pomiaru skła-
dowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego. W tym celu należy zastosować wzór na
obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich.
Obliczając pochodne cząstkowe wzoru (1) względem zmiennych I, R oraz α otrzymuje się następujące
wyrażenia

∂B

∂I

2R tg α

∂B

∂R

= ..................

∂B

∂α

−nµ

2R sin

Zasadniczo niepewność pomiaru należałoby liczyć dla każdego zestawu zmiennych pomiarowych (R,
I,α). Tym niemniej, w celu uproszczenia obliczeń, dopuszcza się obliczenie niepewności dla wybranego
zbioru danych pomiarowych (R, I,α) i przyjęcie go jako miary dokładności metody

Tak obliczona niepewność standardowa u

(B) nie powinna różnić się drastycznie od obliczonej w

poprzednim punkcie wielkości S(B) (estymatora odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru).
Jeżeli różnice przekraczają 200-300 % to oznacza, że niepewności pomiarowe: u(2R), u(I), u(α) nie
zostały poprawnie obliczone (oszacowane). Podczas obliczeń warto też zwrócić uwagę na to, która z
tych trzech niepewności wnosi najistotniejszy przyczynek do u

(B).

Ostatecznie wyznaczona składowa ziemskiego pola magnetycznego B, niepewność standardowa typu
A i niepewność złożona u

√

N wynoszą

B =

. . . . . . . . .

. . .

(B) =

. . . . . . . . .

. . .

(B)/

√

N =

. . . . . . . . .

. . .

tablicowe

. . . . . . . . .

. . .

Jeżeli do obliczeń używasz komputera i arkusza obliczeniowego (np. EXCEL) to „zaprogramowanie” obliczeń umożli-

wi Ci wykonanie obliczeń dla wszystkich pomiarów. Niepewność pomiarową u

(B) oblicz wtedy jako średnią z wszystkich

n obliczonych wartości.

41-6

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

41-7

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 51: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika załamania światła dla szkła i pleksiglasu metodą pomiaru
grubości pozornej za pomocą mikroskopu.

Literatura

[1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków

2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

Prawo odbicia.

Bezwzględny i względny współczynnik załamania ośrodka. Prawo załamania.

Przeanalizuj bieg promieni w przezroczystej płytce płasko-równoległej, podaj za-
leżność między jej prawdziwą grubością d, grubością pozorną i współczynnikiem
załamania n.

Budowa mikroskopu – bieg promieni w mikroskopie. Od czego zależy powiększenie
obrazu widzianego w mikroskopie?

Ośrodki dyspersyjne. Zależność współczynnika załamania od długości fali.

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Zależność kąta granicznego od współ-
czynnika załamania.

Równanie soczewki. Zależność ogniskowej od promieni krzywizny soczewki.

Analiza obrazów obserwowanych przy użyciu soczewki.

Ocena z odpowiedzi:

51-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

51-2

Wprowadzenie

Na granicy dwóch ośrodków światło ulega załamaniu. Z prawa załamania wiemy, że:

sin α

sin β

= n

gdzie

– kąt padania,

– kąt załamania,

– prędkość światła w ośrodku 1,

– prędkość światła w ośrodku 2.

Rysunek 51-1: Pozorne zmniejszenie grubości płytki przezroczystej.

Stosunek prędkości światła w ośrodku pierwszym do prędkości światła w ośrodku drugim nosi nazwę
względnego współczynnika załamania (ośrodka „2” względem ośrodka „1”): n

= ν

/ν

. Współczynnik

załamania danej substancji względem próżni, nazywa się bezwzględnym współczynnikiem załamania.
Jest on praktycznie równy współczynnikowi mierzonemu względem powietrza.
Rozpatrzmy bieg promienia w przezroczystej płytce równoległościennej o grubości d oświetlonej od
dołu (rys. 1). Wiemy, że promień „I” przechodzi przez płytkę bez załamania na jej powierzchni.
Promień „II”, tworzący kąt α z normalną do powierzchni, po wejściu do płytki (punkt O) załamuje
się i tworzy z normalną kąt β . Pada on na granicę płytka – powietrze (punkt B) pod kątem β do
normalnej; po wyjściu z płytki tworzy z normalną kąt α . Jak widać na rysunku przedłużenie promienia
II przecina promień I w punkcie O

. Punkt O

jest obrazem pozornym punktu O. Załamanie światła

w płytce powoduje występowanie złudzenia optycznego. Pozorna grubość płytki h wyznaczona metodą
optyczną jest mniejsza od grubości rzeczywistej d. Jeżeli kąt α jest bardzo mały, to zachodzi zależność:
sin α ∼

= tg α i podobnie sin β ∼

= tg β. Można zatem napisać:

sinα ∼

= tgα =

|AB|

sinβ ∼

= tgβ =

|AB|

czyli

n =

sinα

sinβ

W obranej metodzie wyznaczania współczynnika załamania światła jest wykorzystywana właściwość
mikroskopu, polegająca na tym, że posiada on wąski przedział głębi ostrości i znaczne powiększenie.
Dzięki temu można łatwo i dokładnie zmierzyć grubość pozorną h.

Układ pomiarowy

W skład układu pomiarowego wchodzą:

– mikroskop wyposażony w czujnik mikrometryczny i nasadkę krzyżową,
– śruba mikrometryczna,
– zestaw płytek szklanych i z pleksiglasu, różnej grubości,
– zestaw filtrów z podanymi długościami fali.

51-3

Rysunek 51-2: Schemat budowy mikroskopu: a) mikroskop i jego elementy: 1 – kondensor, 2 – obiektyw,
3 – okular, 4 – lusterko lub lampka oświetleniowa, 5 – czujnik mikrometryczny, którego stopka spoczywa
na ruchomej części mikroskopu, 6 – nasadka krzyżowa XY mocująca z pokrętłami do przesuwu płytki,
7a – pokrętło służące do przesuwu stolika ruchem zgrubnym, 7b – pokrętło służące do przesuwu stolika
ruchem dokładnym; b) zasada powstawania obrazu (A”) przedmiotu (A).

Do charakterystycznych cech mikroskopu zaliczamy powiększenie i zdolność rozdzielczą. Powiększenie
z pewnym przybliżeniem można wyznaczyć ze wzoru:

p =

gdzie:
l – odległość między obiektywem a okularem,
d – odległość dobrego widzenia,
f

– ogniskowa obiektywu,

– ogniskowa okularu.

51-4

Wykonanie ćwiczenia

1. Zapoznaj się z budową mikroskopu.

2. Na obu powierzchniach badanej płytki wykonaj ślady atramentem lub rysy.

3. Zmierz grubość d płytki za pomocą śruby mikrometrycznej.

4. Wyreguluj położenie lampy mikroskopowej (lusterka) tak aby światło padało na obiektyw.

5. Ustaw badaną płytkę na stoliku mikroskopu w uchwycie i dobierz ostrość tak by uzyskać kontra-

stowy obraz. Regulując położenie stolika pokrętłem 7a zaobserwuj górny i dolny ślad zaznaczony
na płytce.

6. Pokrętłem 7b przesuń stolik mikroskopu do momentu uzyskania ostrego obrazu śladu na górnej

powierzchni płytki.

7. Odczytaj położenie wskazówki czujnika a

8. Przesuń stolik mikroskopu do położenia, w którym widoczny jest ślad na dolnej powierzchni

płytki (pokrętłem 7b).

9. Ponownie odczytaj położenie wskazówki czujnika a

10. Odczyty zanotuj w tabeli 1, 2 lub 3.

11. Dla badanej płytki wykonaj czynności od 4 do 9, zakładając na lampę mikroskopową dostępne

filtry o podanej długości fali.

12. Wyniki zanotuj w tabeli 4.

Wariant do wykonania (określa prowadzący zajęcia):

1. Wykonaj pomiary

krotnie dla każdej płytki według punktów 2 – 10 dla

płytek

szklanych i dla

płytek z pleksiglasu.

2. Wykonaj pomiary

krotnie dla płytki

według punktów 2 – 12.

podpis:

51-5

Wyniki pomiarów

Tabela 1

materiał
grubość

wskazanie czujnika

grubość

współczynnik

rzeczywista

pozorna

załamania

lp.

h = a

− a

n =

[mm]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

wartość średnia

Tabela 2

materiał
grubość

wskazanie czujnika

grubość

współczynnik

rzeczywista

pozorna

załamania

lp.

h = a

− a

n =

[mm]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

wartość średnia

51-6

Tabela 3

materiał
grubość

wskazanie czujnika

grubość

współczynnik

rzeczywista

pozorna

załamania

lp.

h = a

− a

n =

[mm]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

wartość średnia

Tabela 4: Badanie zależności n(λ)

materiał

grubość rzeczywista z tabeli

długość fali

wskazanie czujnika

grubość

współczynnik

wartość

pozorna

załamania

średnia

h = a

− a

n =

[mm]

2
3
1

III

2
3
1

2
3

podpis:

51-7

Opracowanie wyników pomiarów

1. Oblicz wartość średnią współczynnika załamania ¯

n dla każdej badanej płytki.

2. Oszacuj niepewność standardową typu B wyznaczenia grubości płytki rzeczywistej i pozornej

(przykład 4 ćw. „0”).

3. Oszacuj względną niepewność całkowitą współczynnika załamania z prawa przenoszenia niepew-

ności, korzystając ze wzoru:

u(n)

u(d)

u(h)

= ...............

4. Oblicz:

u(n) = .................

5. Zapisz otrzymane wartości współczynnika załamania wraz z obliczonymi niepewnościami i po-

równaj je z wartościami tablicowymi.

rodzaj materiału

n, u(n)

tab

6. Wykonaj wykres zależności współczynnika załamania od długości fali dla jednej płytki i zaznacz

na wykresie niepewność u(n).

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

51-8

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 53: Soczewki

Cel ćwiczenia:
Wyznaczenie ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiającej i rozpraszającej) oraz
ogniskowej soczewki rozpraszającej metodą bezpośrednią i metodą Bessela. Badanie wad soczewki
skupiającej.

Literatura

[1] Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, Tom 4, PWN, Warszawa 1983.

[2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków

2002 (ew. wydania wcześniejsze).

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

Rodzaje soczewek i definicje ogniska i ogniskowej, zależność ogniskowej od pro-
mieni krzywizny.

Równanie soczewki. Definicja dioptrii.

Przeprowadź konstrukcję obrazów dla soczewki skupiającej i rozpraszającej (za-
kładając, że są to soczewki cienkie).

Od czego zależy zdolność skupiająca soczewki?

Przedstaw metody pomiaru ogniskowej: a) bezpośrednią, b) Bessela.

Omów wady soczewek.

Wyjaśnij występowanie wad wzroku zwanych dalekowzrocznością i krótkowzrocz-
nością, w jaki sposób można je usunąć.

Podaj przyrządy, w których wykorzystywane są soczewki i opisz jeden z nich.
(Podaj praktyczne zastosowanie soczewek).

Ocena z odpowiedzi:

53-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

53-2

Wprowadzenie

Soczewka ustawiona na drodze wiązki światła zmienia jej zbieżność na skutek występującego zjawiska
załamania światła. Na poniższym rysunku (rys.53-1) pokazano konstrukcję obrazów dla dwóch typów
soczewek.

Rysunek 53-1: Przykład konstrukcji obrazów dla soczewek cienkich: a) soczewki skupiającej, b) so-
czewki rozpraszającej.

Odległość f ogniska F od środka optycznego soczewki, zwana jest ogniskową i jest określona wzorem:

− 1

(1)

gdzie:

– współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka,

– współczynnik załamania ośrodka,

, R

– promienie krzywizn sfer ograniczających bryłę soczewki.

Równanie soczewki w postaci:

(2)

podaje zależność między ogniskową f oraz odległością x przedmiotu od soczewki i obrazu y. Zależności
(1) i (2) są jednak słuszne dla soczewek cienkich, to znaczy takich, w których odległość powierzchni
ograniczających jest bardzo mała w porównaniu z promieniami krzywizn tych powierzchni. Powięk-
szeniem soczewki p nazywamy stosunek wysokości otrzymanego obrazu (h

) do wysokości przedmiotu

(h) (rys.53-1):

p =

h‘

(3)

Łącząc ze sobą dwie cienkie soczewki o zdolnościach skupiających D

i D

otrzymujemy układ, którego

zdolność skupiająca jest sumą zdolności skupiających tych soczewek i wynosi:

D = D

+ D

lub

(4)

Jeżeli soczewki tworzą układ i są ustawione w odległości s, to ogniskowa układu wyraża się wzorem:

−

(5)

Dokładniejszą metodą pomiaru ogniskowej f soczewki, względnie układu soczewek jest metoda podana
przez Bessela. W metodzie tej korzysta się z faktu, że przy odległości przedmiotu od ekranu l większej
od 4f , istnieją dwa położenia soczewki x

i x

, przy których na ekranie uzyskać można ostry obraz

przedmiotu (powiększony A i pomniejszony B). Zależność tę można opisać wzorem:

f =

− d

(6)

gdzie d = x

− x

53-3

Obrazy stworzone przez soczewkę są zniekształcone przez wady. Do nich należą na przykład:
Aberracja sferyczna (rys. 53-2), która polega tym, że poszczególne obszary soczewki znajdujące się
w różnych odległościach od osi głównej mają różne ogniskowe. Odległość między ogniskami leżącymi na
osi głównej nazywamy aberracją sferyczną podłużną soczewki ∆S . Natomiast gdy w ognisku soczewki
dla promieni dalekich od osi ustawimy ekran prostopadle do osi, wtedy pozostałe promienie dadzą na
płaszczyźnie ekranu, ustawionej prostopadle do osi krążek o promieniu R.
Promień ten jest miarą aberracji poprzecznej.

Rysunek 53-2: Aberracja sferyczna; ∆S – miara aberracji sferycznej podłużnej.

Aberracja chromatyczna (rys.53-3) wiąże się z faktem, że własności załamujące ośrodka zależą od
długości fali, ponieważ zależy od niej współczynnik załamania. Zależność ta ujawnia się wtedy, gdy na
soczewkę pada światło białe. Dla każdej długości fali jest inna wartość ogniskowej, co jest przyczyną
powstawania barwnych obwódek zmniejszających ostrość obrazu.

Rysunek 53-3: Aberracja chromatyczna; ∆S

– miara aberracji chromatycznej podłużnej.

Wskutek astygmatyzmu (rys.53-4) obraz punktu położonego poza główną osią optyczną soczewki, nie
jest punktem, lecz na ogół stanowi dwa wzajemnie prostopadłe odcinki leżące w różnych płaszczyznach.

Układ pomiarowy to ława optyczna, zestaw soczewek skupiających i rozpraszającej, źródło światła
w obudowie z tarczą obrotową i przesłoną, w której wmontowane są filtry i przedmiot (w kształcie
krzyża), zestaw przesłon oraz soczewka ze skalą kątową.

UWAGA: ćwiczenie należy wykonywać w zaciemnionym pomieszczeniu (do odczytu wskazań wyko-
rzystać latarkę).

53-4

Rysunek 53-4: Astygmatyzm.

Rysunek 53-5: Ława optyczna.

Wykonanie ćwiczenia

1. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej (metodą bezpośrednią) – tabela 1:

(a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot (oświetlony krzyż), soczewkę i ekran. Dobierz tak

położenie soczewki, aby na ekranie uzyskać ostry obraz krzyża.

(b) Odczytaj na skali ławy optycznej odległość: x – przedmiotu od soczewki, y – obrazu (ekranu)

od soczewki.

powiększone, jak i pomniejszone.

(d) Dla każdego pomiaru oblicz ze wzoru (2) ogniskową soczewki skupiającej; oblicz wartość

śednią i obliczone wartości zanotuj w tabeli 1.

2. Wyznaczanie ogniskowej układu soczewek i ogniskowej soczewki rozpraszającej (me-

todą bezpośrednią) – tabela 2:

(a) Ustaw na ławie optycznej wcześniej zbadaną soczewkę skupiającą i obok soczewkę rozpra-

szającą o nieznanej ogniskowej. Z otrzymanym w ten sposób układem postępuj zgodnie z
punktami b, c i d zachowując tę samą odległość między soczewkami. Dla układu soczewek
x = (x

+ x

)/2, gdzie: x – odległość przedmiotu od układu soczewek, x

– odległość przed-

miotu od soczewki nr 1, x

– odległość przedmiotu od soczewki nr 2, y – odległość obrazu

od środka układu soczewek.

(b) Oblicz ze wzoru (2) ogniskową układu soczewek.

(d) Pomiar powtórz 6-10 razy; oblicz wartości średnie: ogniskowej układu i ogniskowej soczewki

rozpraszającej.

3. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej (lub układu soczewek) metodą Bes-

sela – tabela 3:

(a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot, soczewkę (lub układ soczewek) oraz ekran.

(b) Dla 6–10 różnych wartości l(l > 4f )znajdź dwa położenia x

i x

, dla których powstają

dwa obrazy: powiększony i pomniejszony.

53-5

soczewek); oblicz wartość średnią.

4. Wyznaczanie aberracji sferycznej podłużnej – tabela 4:

(a) Ustaw na ławie optycznej soczewkę o dużej średnicy z przesłoną zasłaniającą środek so-

czewki.

(b) Postępując zgodnie z punktem b, c i d punktu 1, oblicz ogniskową f

soczewki dla promieni

brzegowych.

części. Oblicz ogniskową f

dla promieni środkowych (centralnych).

(d) Pomiar wykonaj 5 razy; oblicz wartości średnie: ¯

oraz ¯

. Oblicz aberrację sferyczną

podłużną ∆S = ¯

− ¯

. Wyniki zanotuj w tabeli 4.

5. Wyznaczanie aberracji chromatycznej podłużnej – tabela 5:

(a) Przesłoń lampę filtrem czerwonym.

(b) Ustaw na ławie optycznej soczewkę skupiającą (badaną lub dużą z przesłoną zasłaniającą

jej brzegową, cienką część).

(d) Powtórz pomiary dla tej samej soczewki zasłaniając lampę filtrem fioletowym.

(e) Pomiar wykonaj 5 razy; oblicz wartości średnie: ¯

oraz ¯

f iol

. Oblicz aberrację chroma-

tyczną podłużną ∆S

= ¯

− ¯

f iol

. Wyniki zanotuj w tabeli 5.

6. Wyznaczanie astygmatyzmu soczewki (równoleżnikowego, południkowego i pełnego)

– tabela 6:

(a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot (oświetlony krzyż), ekran i dużą soczewkę z przesłoną

ustawioną jak wyżej.

(b) Płaszczyzna soczewki powinna być prostopadła do źródła światła, wskaźnik soczewki po-

winien pokrywać się z zerem na tarczy przy uchwycie.

(d) Odczytaj na skali ławy odległość soczewki od przedmiotu x

(e) Pomiary powtórz pięciokrotnie, dla różnych odległości l (odległości przedmiotu od ekranu).

(f) Oblicz średnią odległość soczewki od przedmiotu

(g) Obróć soczewkę o kąt ϕ = 10

◦

w stosunku do poprzedniego i przesuń soczewkę w pozycję

widocznego na ekranie ostrego obrazu równoleżnikowego x

. Następnie przesuń soczewkę w

pozycję ostrego obrazu południkowego x

(h) Pomiary dla każdej z tych pozycji powtórz kilkakrotnie.

(i) Wykonaj pomiary dla kątów 20

◦

i 30

◦

Wykonaj następujące warianty ćwiczenia:..............................................................

podpis:

53-6

Wyniki pomiarów

Tabela 1: Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej

y = l − x

Lp.

[m]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

śr

[m]

Tabela 2: Wyniki pomiarów dla układu soczewek

Ogniskowa soczewki skupiającej f

śr

dla obrazów

lp.

powiększonych

pomniejszonych

[m]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ogniskowa układu soczewek f

[m]

ogniskowa soczewki rozpraszającej f

[m]

53-7

Tabela 3: Wyznaczanie ogniskowej soczewki (lub układu soczewek) metodą Bessela.

ład

cze

Lp.

d = x

− x

[m]

1
2
3
4
5
6
7
8
9

średnia ogniskowa ¯

1
2
3
4
5
6
7
8
9

średnia ogniskowa f

1
2
3
4
5
6
7
8
9

średnia ogniskowa ¯

53-8

Tabela 4: Wyznaczanie aberracji sferycznej podłużnej

śro

ego

lp.

[m]

1
2
3
4
5

średnia ogniskowa dla promieni brzegowych ¯

1
2
3
4
5

średnia ogniskowa dla promieni środkowych ¯

aberacja sferyczna podłużna ∆S = ¯

− ¯

Tabela 5: Wyznaczanie aberracji chromatycznej podłużnej

fiol

erw

one

lp.

[m]

1
2
3
4
5

średnia ogniskowa dla promieni czerwonych ¯

1
2
3
4
5

średnia ogniskowa dla promieni fioletowych ¯

f iol

aberacja chromatyczna podłużna ∆S = ¯

− ¯

f iol

53-9

Tabela 6: Wyznaczanie astygmatyzmu soczewki

◦

Lp.

1
2
3
4
5

wartość

średnia

Astygmatyzm

równoleżnikowy

południkowy

pełny

− ¯

◦

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

1. W przypadku wykonywania kilkukrotnych pomiarów ogniskowej soczewki (układu soczewek) f

gdzie i = 1, 2, ... , n oblicz wartość średnią ¯

f i jej niepewność standardową ze wzoru:

u(f ) =

v
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

f )

n(n − 1)

2. Dla wybranego punktu ćwiczenia wykonaj obliczenia niepewności złożonej ogniskowej soczewki

(lub układu) u(f ) (ze wzoru nr 9, ćwiczenia „0”).

53-10

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

53-11

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 96: Dozymetria promieniowania gamma

Cel ćwiczenia:
Zapoznanie się z podstawami dozymetrii promieniowania jonizującego. Porównanie własności absorp-
cyjnych promieniowania gamma różnych materiałów.

Literatura

[1] Bobrowski Cz.: Fizyka, krótki kurs, Warszawa, WNT 1993.

[2] Zieliński W.(red): Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Kraków, SU 1577 AGH 1999.

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

Przedstaw i omów prawo rozpadu promieniotwórczego.

Rozpad β. Jakie znasz rodzaje rozpadu β, jakie jądro powstaje w wyniku każdego
z nich (wyjaśnij na przykładzie

137

Cs)?

Zdefiniuj pojęcie dawki, równoważnika mocy dawki i podaj ich jednostki.

Zdefiniuj pojęcie aktywności źródła promieniowania i podaj jednostki.

Przedstaw prawo absorpcji promieniowania γ w materii – co to jest współczynnik
absorpcji.

Naturalne tło promieniotwórcze – omów przyczyny występowania naturalnego tła
promieniotwórczego.

Do czego służy dozymetr?

Jakie znasz rodzaje promieniowania jonizującego. Zaproponuj jakie osłony (ma-
teriał oraz grubość) powinno się stosować w celu ochrony człowieka przed tym
promieniowaniem

Ocena z odpowiedzi:

96-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

96-2

Wprowadzenie

W celu ilościowego rozważenia biologicznych skutków oddziaływania promieniowania jonizującego na
organizm ludzki, a także umożliwienia ich porównywania wprowadzono takie wielkości charaktery-
styczne jak: dawka, równoważnik mocy dawki

. Dawka pochłonięta jest to energia zaabsorbowana

przez jednostkę masy napromieniowanej substancji. Jednostką dawki jest grej [Gy], która odpowiada
energii 1 J zaabsorbowanej przez masę 1 kg: 1Gy = 1 J/kg.

Parametrem, który uwzględnia rodzaj promieniowania absorbowanego w organizmie, jest równoważnik
dawki mierzony w siewertach. 1 siewert (1 Sv) jest to dawka absorbowana dowolnego rodzaju promie-
niowania jonizującego, która wywołuje identyczny skutek biologiczny jak dawka absorbowana 1 Gy
promieniowania X lub γ. Równoważnik mocy dawki promieniowania X (γ) w zależności od aktywności
źródła można określić za pomocą poniższego wzoru, przy założeniu, że źródło promieniowania jest
punktowe.

(r + r

)

gdzie:

(1)

D/t

– równoważnik mocy dawki (wyrażony w µSv/h)

– aktywność źródła w bekerelach

– odległość mierzona od punktowego źródła promieniowania w metrach

– tzw. odległość zerowa

r + r

– odległość rzeczywista źródło-dozymetr

– czas w godzinach

– stała charakterystyczna dla danego izotopu promieniotwórczego uwzględniająca
również konieczność ujednolicenia jednostek.

Prawo absorpcji promieniowania γ dane jest równaniem

I = I

−µx

gdzie:

(2)

– współczynnik absorpcji [cm

−1

]

– grubość absorbenta [cm].

Można wzór (2) podać również w postaci

I = I

−(µ/ρ)M

gdzie:

(3)

µ/ρ – masowy współczynnik absorpcji [cm

/g], ρ gęstość materiału [g/cm

]

– masa powierzchniowa [g/cm

W powyższym ćwiczeniu przyjmij za I

– wartość równoważnika mocy dawki (D/t) wyznaczoną bez

absorbenta, natomiast za I – wartość D/t wyznaczoną dla absorbenta o grubości x. Na rys.96-2 przed-
stawiono masowe współczynniki absorpcji promieniowania γ dla aluminium, miedzi i ołowiu.

Źródła promieniowania γ używane w ćwiczeniu 96:

Izotop

Czas połowicznego

Główne energie

zaniku

promieniowania γ
81 keV

133

10,5 lat

303 keV
365 keV

5,3 lat

1173 keV
1333 keV

137

30 lat

662 keV

W roku 1995 wprowadzono nową, nieco zmodyfikowaną terminologię dozymetrycznych wielkości charakterystycznych.

W opracowaniu nie uwzględniono tych zmian ze względu na to, że dostępna dla studentów literatura używa terminologii
tradycyjnej.

96-3

Układ pomiarowy

Dozymetr wykorzystywany w ćwiczeniu to dawkomierz mikroprocesorowy PM-1203 przeznaczony mię-
dzy innymi do pomiaru mocy równoważnika dawki w µSv/h . Jako detektor promieniowania zastoso-
wano licznik Geigera-M¨

ullera. Na rys.96-1 przedstawiono płytę czołową dawkomierza oraz usytuowanie

licznika Geigera-M¨

ullera. Łączna gęstość powierzchniowa ścianki nad objętością czynną licznika wy-

nosi 1 g/cm

. Pracą wyświetlacza jak i układu zasilania oraz modułem zegara steruje mikroprocesor.

Czas pomiaru ustawia się automatycznie, i tak np. dla pomiaru tła naturalnego wynosi 36 s.

Rysunek 96-1: Dawkomierz PM 1203.

Uruchomienie dozymetru : przycisk „mode” (1) służy do wyboru rodzaju pracy np. odczytu mocy
dawki.
2 – wskaźnik do odczytu mocy dawki
3 – znak pracy przyrządu w trybie „dawkomierz” .
Na rys.96-3 zamieszczono schemat komory pomiarowej.

Rysunek 96-2: Masowe współczynniki absorpcji promieniowania γ.

96-4

Rysunek 96-3: Schemat komory pomiarowej.

Wykonanie ćwiczenia

Pomiar mocy równoważnika dawki

1. Uruchom dozymetr w obecności prowadzącego zajęcia. Jako wynik każdorazowego pomiaru za-

pisz maksymalną wartość odczytaną na wyświetlaczu w ciągu czterdziestu sekund pomiaru.

2. Wyznacz tło promieniowania 10-ciokrotnie, a wyniki wpisz do tabeli 1.

3. Wskazane źródło promieniowania umieść w obecności prowadzącego zajęcia w komorze pomia-

rowej (rys.96-3).

4. Wykonaj pomiary zależności równoważnika mocy dawki od odległości źródło-dozymetr. Odle-

głość zmieniaj w sposób narastający, a następnie malejący, jak zaznaczono w tabeli 2 (wyniki
wpisz do tabeli 2).

5. W celu porównania własności absorpcyjnych różnych materiałów wyznacz (dla materiałów wska-

zanych przez prowadzącego) równoważnik mocy dawki wyznaczany dla zmienianej grubości ab-
sorbenta zmienianej (np.) od około 1 mm do około 4 mm.

Absorbent powinien być umieszczony między źródłem a dozymetrem. Każdorazowo zmierz gru-
bość absorbenta trzykrotnie, a wyniki pomiarów wpisz do tabeli 3.

6. Wykonaj pomiary opisane w punkcie 4 dla innych źródeł promieniowania wskazanych przez

prowadzącego.

7. Wykonaj pomiar równoważnika mocy dawki w pracowni w pobliżu kilku stanowisk, w których

stosowane są źródła promieniotwórcze.

96-5

Wariant do wykonania (określa prowadzący ):

Wykonaj pomiary opisane w punktach ........., ............, ..........,
dla następujących źródeł promieniowania ............., .............. i absorbentów ..............., ................ .

podpis:

Wyniki pomiarów

Tabela 1: Pomiar tła

Nr.

Tło
[.......]

Tabela 2: Moc równoważnika dawki dla źródła ........... [........]

Odległość

Numer pomiaru

Odległość

Numer pomiaru

[cm]

0,5

1,5

2,5

1,5

0,5

96-6

Tabela 3: Moc dawki dla absorbenta .........., źródła promieniowania ................ i odległości
........ cm

Moc dawki bez absorbenta

Moc dawki z absorbentem

Grubość

absorbenta [cm]

........

Moc dawki z absorbentem

Grubość

absorbenta [cm]

........

odległość............... absorbent, .............. źródło ...........

Moc dawki bez absorbenta

Moc dawki z absorbentem

Grubość

absorbenta [cm]

........

Moc dawki z absorbentem

Grubość

absorbenta [cm]

........

podpis:

96-7

Opracowanie wyników pomiarów

Po wyznaczeniu średniego tła (z dziesięciu pomiarów), które wynosi ........................., wpisz do ta-
beli 4 średnie wartości równoważnika mocy dawki wyznaczone na podstawie danych pomiarowych
zamieszczonych w tabeli 2. Określ niepewność pomiaru równoważnika mocy dawki jako niepewność
standardową typu A:

u(D/t) =

v
u
u
u
u
t

i=1

− ¯

n(n − 1)

gdzie

a ≡ D/t

n – ilość pomiarów
a

– kolejny pomiar D/t

a – wartość średnia

Wykonaj wykres zależności równoważnika mocy dawki od zmierzonej odległości (r) źródło – dozymetr
na podstawie danych z tabeli 4. Na wykresie nanieś odpowiednie wartości i ich niepewności standar-
dowe – za niepewność pomiaru odległości przyjmij ∆r = 0, 2 cm.

Tabela 4: Średnie wartości równoważnika mocy dawki dla źródła .............

Średni równoważnik mocy

Niepewność

dawki

dawki D/t po odjęciu tła

standardowa
u(D/t)

Odl.[cm]

0,5

1,5

2,5

Wyznacz wartość linowego współczynnika absorpcji. Umieść, opracowane następująco, wyniki z tabe-
li 3 w tabeli 5(oraz w tabeli 6).

96-8

Rysunek 96-4: Zależność mocy równoważnika dawki od odległości dla źródła . . . . . . . . . .

Tabela 5: Średni równoważnik mocy dawki w zależności od grubości absorbenta .........

Średni równoważnik mocy dawki

Grubość absorbenta – wartość

w [µSv/h] po odjęciu tła

średnia [cm]

Powyższe dane wykorzystaj do wyznaczenia współczynnika absorpcji µ na podstawie wzoru 2 za I
podstawiając średni równoważnik mocy dawki, a za x grubość absorbenta. Skorzystaj z programu
„regresja eksponencjalna”, za x przyjmij grubość absorbenta, a za y wartość średniego równoważnika
mocy dawki.

Wyznacz: µ = ......................

Oblicz: µ/ρ = ........................

Porównaj uzyskane wyniki z prezentowanymi na rys.96-2.

96-9

Zauważ, że µ można również wyznaczyć korzystając z programu „regresja linowa” (za x przyjmij gru-
bość absorbenta a za y logarytm naturalny wartości średniej równoważnika mocy dawki według wzoru
2). Nachylenie uzyskanej prostej regresji pozwoli na wyznaczenie µ.
Załącz uzyskany wykres do sprawozdania (pkt. 5). Niepewność oceny liniowego współczynnika absorp-
cji określ korzystając z niepewności standardowej określenia współczynnika w wykładniku potęgowym
funkcji exp.

u(µ) =......................

u(µ/ρ)= ......................

Tabela 6: Średni równoważnik mocy dawki w zależności od grubości absorbenta .........

Średni równoważnik mocy dawki

Grubość absorbenta – wartość

w [µSv/h] po odjęciu tła

średnia [cm]

Powyższe dane wykorzystaj do wyznaczenia współczynnika absorpcji µ na podstawie wzoru 2, podsta-
wiając w nim za I średni równoważnik mocy dawki, a za x grubość absorbenta. Skorzystaj z programu
„regresja eksponencjalna”, za x przyjmij grubość absorbenta, a za y wartość średniego równoważnika
mocy dawki.

Wyznacz: µ = ......................

Oblicz: µ/ρ = ........................, ∆µ = ......................

Porównaj uzyskane wyniki z prezentowanymi na rys. 2.

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

96-10

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 121: Termometr oporowy i termopara

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika temperaturowego oporu platyny oraz pomiar charakte-
rystyk termopary miedź-konstantan.

Literatura

[1] Massalski J., Fizyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1975.

[2] Halliday D., Resnick R., Fizyka, Tom 1. PWN (rok wydania dowolny).

[3] A. Zięba (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej, cz. 1, SU1608, AGH,

Kraków 1999.

Zagadnienia do opracowania

Ocena i podpis

1. Wymień zjawiska fizyczne wykorzystywane do pomiaru temperatury.

2. Opisz zjawiska Seebecka oraz Peltiera.

3. Omów prawa przepływu prądu elektrycznego.

4. Omów skale temperatur.

5. Uzasadnij celowość szeregowego łączenia termopar.

6. Podaj sposób pomiaru siły elektromotorycznej.

7. Dlaczego do opracowania danych pomiarowych w niniejszym ćwiczeniu stosujemy

metodę regresji ?

Ocena z odpowiedzi:

121-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

121-2

Rysunek 121-1: Typowa zależność oporności elektrycznej metalu od temperatury.

Wprowadzenie

Opór elektryczny metali
Opór elektryczny metalu jest wynikiem rozpraszania elektronów na atomach sieci krystalicznej. We-
dług kwantowej teorii przewodnictwa w doskonale periodycznym układzie atomów fala elektronowa
nie ulegałaby rozproszeniu i dlatego oporność doskonałego kryształu w temperaturze 0 K powinna
zmaleć do 0. W realnych kryształach za rozpraszanie elektronów odpowiedzialne są dwa mechanizmy:

• zderzenia z fononami czyli kwantami drgań cieplnych sieci. Ze wzrostem temperatury rośnie

energia drgań sieci, przybywa fononów i wzrasta prawdopodobieństwo zderzenia z nimi. W dość
szerokim zakresie temperatur opór elektryczny metalu rośnie liniowo z temperaturą;

• zderzenia z defektami sieci krystalicznej lub atomami domieszek. Mechanizm powyższy tłuma-

czy występowanie niezależnej od temperatury oporności resztkowej, R

reszt

, metalu. Oporność

resztkowa przybiera szczególnie duże wartości w stopach.

Zależność oporności metalu od temperatury, w zakresie temperatur pokojowych, można wyrazić wzo-
rem

R(t) ≈ R

(1 + α t).

(1)

gdzie t – temperatura w

◦

C, α – temperaturowy współczynnik oporu, a R

– opór w temperaturze

zera

◦

C. Dla większości czystych metali α ≈ 1/273

◦

−1

. W dokładniejszych pomiarach wprowadza

się więcej członów do szeregu potęgowego

R(t) ≈ R

(1 + α t + β t

(2)

Do konstrukcji termometrów nadają się metale o dużym współczynniku temperaturowym oporu, wyso-
kiej temperaturze topnienia, wysokiej czystości, odporności na korozję, nie wykazujące strukturalnych
i magnetycznych przejść fazowych, łatwe w obróbce. W praktyce powszechnie stosuje się trzy metale,
których zakresy użytkowania, punkty topnienia i współczynniki temperaturowe pokazano na rys.121-
2. Czujnik winien cechować się stałością własności elektrycznych i mechanicznych. Przykłady różnych
konstrukcji czujników pokazano na rys.121-3. Zamknięcie czujnika w osłonie poprawia jego stabilność
ale pogarsza dynamikę odpowiedzi. Szybkość reakcji typowych czujników leży w zakresie 0,1–10 s,
jednak możliwe jest wykonanie czujnika o stałej czasowej rzędu milisekund.
Platynowe termometry oporowe pozwalają na uzyskanie dokładności pomiarów rzędu 0, 01 K w sto-
sunku do punktów skali IPTS ( International Practical Temperature Scale). Wartości oporu czujników
są raczej małe (20 ÷ 500 Ω ). Przewody doprowadzające mają również skończone opory, zależne od
temperatury, a więc mogą stanowić źródło błędów. Przy użyciu specjalnych mostków i przy zachowa-
niu specjalnych środków ostrożności można, dla czujników o oporze 100 Ω, wykrywać zmiany oporu 1
µΩ.

121-3

Rysunek 121-2: Dane o materiałach zwykle stosowanych w termometrach oporowych.

Rysunek 121-3: Różne postacie metalowych czujników termoelementów oporowych.

Napięcie termoelektryczne
W układzie dwóch różnych przewodników 1 i 2, połączonych jak na rys.121-5a, powstaje napięcie ter-
moelektryczne (napięcie Seebecka) o wartości proporcjonalnej do różnicy temperatur spoin T

i T

Napięcie to traktujemy jako różnicę dwóch napięć kontaktowych pojawiających się na stykach metali
w spoinach A i B. Napięcia kontaktowe spowodowane są różnymi wartościami energii Fermiego metali
przed ich połączeniem. Wartość napięcia kontaktowego zależy, chociaż stosunkowo słabo, od tempera-
tury. Pomiar napięć kontaktowych, których typowa wielkość wynosi 10

−6

–10

−5

V/K, wymaga użycia

czułych woltomierzy cyfrowych oraz eliminacji szkodliwego wpływu dodatkowych złącz powstających
na stykach przewodów obwodu pomiarowego. W obwodzie pokazanym na rys.121-5b wpływ dodat-
kowego przewodnika (3 – jednego lub więcej) na pomiar siły termoelektrycznej przewodników 1 i 2
można wyeliminować zapewniając równość temperatur w złączach B i B’. W pomiarach bardzo do-
kładnych, (rozdzielczość rzędu nanowoltów), napięcie termoelektryczne musi być mierzone bez poboru
prądu, metodą kompensacyjną. Eliminuje się wówczas błąd wynikający z efektu Peltiera powodującego
ogrzewanie się lub chłodzenie spoiny pomiarowej pod wpływem przepływającego prądu.
Wzrost czułości pomiaru można uzyskać przez szeregowe połączenie kilku termopar w obwód, tak
aby wszystkie złącza odniesienia były utrzymywane w temperaturze otoczenia (lub 0

◦

C), a wszystkie

złącza pomiarowe w temperaturze badanej. Zespół taki, nazywany termostosem, pozwala mierzyć

121-4

Rysunek 121-4: Układ pomiarowy do cechowania termometru oporowego i termopary.

krótkoczasowe zmiany temperatury rzędu kilku µK.
Charakterystyki termopary podaje się w postaci tabeli lub aproksymuje wzorami o postaci zależnej
od przyjętego zakresu temperatur i wymaganej dokładności

(t) ≈ a t + b t

(3)

lub

(t) ≈ a t + b t

+ c t

(4)

Zaletami termopar są: niskie koszty, duży zakres mierzonych temperatur (∼ 0K — 2500K), małe wy-
miary, krótki czas reakcji. Własności najczęściej stosowanych termopar pokazano na rys.121-6 i 121-7.

Układ pomiarowy ćwiczenia

Istotnymi elementami układu pomiarowego są:

1. Termometr platynowy – ma postać spirali oporowej wykonanej z bardzo cienkiego dru-

tu platynowego umieszczonej w szczelnie zamkniętej ceramicznej rurce. Kontakt elektrycz-
ny ze spiralą i odpowiednią wytrzymałość mechaniczną zapewniają końcówki połączeniowe
wykonane z grubszego, srebrzonego drutu, (wariant (c) z rys.121-3).

2. Termopara wykonana jest ze spojonych drutów: miedzianego i konstantanowego o małej

średnicy (0,2 mm). Konstantan to stop o składzie: 60%Cu + 40%Ni. Stosowanie drutów o
małej średnicy zapobiega odprowadzeniu ciepła z obiektu którego temperatura jest mie-
rzona oraz zwiększa szybkość reakcji termopary na zmiany temperatury. Dla zabezpiecze-
nia przed uszkodzeniem złącza pomiarowe i odniesienia umieszczono w rurkach szklanych
połączonych rurką z polietylenu.

3. Łaźnia laboratoryjna Używana w ćwiczeniu łaźnia laboratoryjna typu MLL 1147 po-

zwala na utrzymywanie stałej temperatury kąpieli wodnej w zakresie 20

◦

C do 100

◦

C z

dokładnością ±1,5

◦

C. Sygnalizacja optyczna łaźni obejmuje:

–

grzanie wody – dolna czerwona lampka,

–

osiągnięcie temperatury zadanej – lampka zielona,

–

przekroczenie temperatury zadanej – gaśnie lampka zielona a zapala się
górna czerwona,

–

kontrolę ilości wody w zbiorniku – świecenie się lampki żółtej wskazuje na
za małą ilość wody w zbiorniku.

121-5

Rysunek 121-5: Obwody elektryczne zawierające: a) przewodniki wykonane z dwóch różnych metali;
b) przewodniki wykonane z trzech różnych metali;.

Rysunek 121-6: Zakresy zastosowań popularnych termoelementów.

Rysunek 121-7: Orientacyjne krzywe cechowania dla różnych termopar. (Oznaczenia jak na rys.121-6).

Wykonanie ćwiczenia

Zestaw układ pomiarowy pokazany na rys.121-4. Złącze termopary odniesienia winno znajdować
się w stałej temperaturze 0

◦

C w otoczeniu topniejących kawałków lodu.

Uwaga! W przypadku mieszaniny dużej ilości wody i małej lodu, lód pływa po powierzchni.

121-6

Temperatura wody na dnie naczynia – przy braku odpowiedniego mieszania – może wówczas
wzrosnąć do kilku stopni powyżej zera.

1. Zmierz wartości napięcia termoelektrycznego E termopary i oporności R opornika platy-

nowego w ustalonej temperaturze początkowej (pokojowej).

2. Zwiększaj stopniowo nastawę regulatora temperatury łaźni wodnej, co 5

◦

C, w zakresie

od temperatury otoczenia do 95

◦

C. Po każdorazowym ustaleniu się temperatury odczytaj

wskazania woltomierza i omomierza. Wyniki wpisz do tabeli 1.

Wyniki pomiarów

Tabela 1. Zestawienie wyników pomiarów oraz obliczeń pomocniczych

Temperatura

Oporność

Napięcie

E/t

(t) ≈ at + bt

Lp.

t [

◦

platyny

termoelektryczne

[mV/

◦

[mV]

R [Ω]

E [mV]

podpis:

Opracowanie wyników pomiarów

1. Wykonaj wykres R(t) dla opornika platynowego, (rys.121-8).

2. Wyznacz prostą regresji a następnie wartość i odchylenie standardowe temperaturowego

współczynnika oporu platyny.

3. W oparciu o dane doświadczalne oblicz i nanieś na rys.121-9 wartości stosunku E/t dla

poszczególnych temperatur. Do punktów na wykresie dopasuj w sposób graficzny linię
prostą. Z wykresu określ wartości współczynnika nachylenia i rzędną początkową prostej,
będące odpowiednio współczynnikami a i b wzoru (3) dla badanej termopary.

4. Wykonaj wykresy E(t) oraz E

(t) dla badanej termopary (rys.121-10).

Obliczone wartości temperaturowego współczynnika oporności i jego odchylenie standardowe
wynoszą

α = . . . . . . . . . . . . . . .

= . . . . . . . . . . . . . . ..

121-7

orn

oś

ć,

[Ω]

Temperatura, [

Rysunek 121-8: Zależność oporności rezystora platynowego od temperatury.

[mV/C]

Temperatura, [

Rysunek 121-9: Zależność oporności stosunku E/t od temperatury.

Wyznaczone graficznie współczynniki równania (2) wynoszą

a = . . . . . . . . . . . . . . .

b = . . . . . . . . . . . . . . ..

121-8

[mV]

Temperatura, [

Rysunek 121-10: Porównanie charakterystyk termopary: E – doświadczalna, E

– obliczona ze wzo-

ru (3).

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

121-9

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 123: Półprzewodnikowe złącze p-n

Cel ćwiczenia:
Zapoznanie się z własnościami warstwowych złącz półprzewodnikowych p-n. Wyznaczanie cha-
rakterystyk stałoprądowych dla diod germanowych, krzemowych i stabilizujących.

Literatura

[1] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH,

Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze).

[2] Bobrowski Cz.,Fizyka – krótki kurs. Warszawa, WNT 1995

Zagadnienia do opracowania

Ocena i

podpis

Klasyfikacja ciał stałych ze względu na przewodnictwo elektryczne

Różnice między półprzewodnikami samoistnymi i domieszkowymi.

Zasada działania warstwowego złącza p-n.

Charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego złącza p-n.

Rodzaje nośników ładunku w przewodnikach i półprzewodnikach.

Sposoby wykorzystania własności złącz p-n oraz rodzaje elementów (przy-
rządów) półprzewodnikowych.

Opisz zjawisko Zenera oraz jego wykorzystanie w przyrządach półprzewod-
nikowych.

Ocena z odpowiedzi:

123-1

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr

podpis:

123-2

Wprowadzenie

Równanie prądowo-napięciowe złącza p-n (model dyfuzyjny Shockleya).

I = I

exp

− 1

(1)

gdzie:

–

natężenie prądu złącza,

–

napięcie polaryzacji zewnętrznej złącza,

–

teoretyczny prąd nasycenia złącza, jego natężenie zależy od rodzaju pół-
przewodnika, jego parametrów technologicznych i konstrukcyjnych,

kT /e

–

potencjał termiczny złącza (∼ 26 mV, dla T = 300 K).

Powyższe równanie określa zależność natężenia prądu od zmian zewnętrznego napięcia steru-
jącego, czyli określa tzw. statyczną charakterystykę prądowo-napięciową dla idealnego złącza
p-n. Polaryzując złącze w kierunku przewodzenia napięciem U > 0, 1 V możemy w powyż-
szym wzorze pominąć jedynkę i otrzymamy czystą zależność wykładniczą. Polaryzując złącze
w kierunku zaporowym, zwiększamy szerokość bariery potencjału złącza, co powoduje znacz-
ne obniżenie składowej dyfuzyjnej prądu. Wypadkowy prąd przy takiej polaryzacji, dla napięć
U < −0, 1 V, osiąga nasycenie i jest równy prądowi nasycenia I

. Natężenie prądu zaporowego

dla krzemowych złącz rzeczywistych znacznie odbiegają od wartości dla złącza idealnego. W
tych przyrządach o natężeniu prądu zaporowego dominują zjawiska powierzchniowe i upływności
złącza. Charakterystyka prądowo-napięciowa złącza jest silnie nieliniowa. Złącze ma własność
jednokierunkowego przewodzenia. Ma bardzo dużą oporność przy polaryzacji zaporowej oraz
małą przy polaryzacji w kierunku przewodzenia. Taką cechę złącza wykorzystuje się w diodach
półprzewodnikowych , stosowanych powszechnie w energetyce i elektronice w celach prostow-
niczych.

Układ pomiarowy
W ćwiczeniu mierzy się prąd płynący przez diodę w funkcji przyłożonego napięcia. Do pomia-
ru natężenia prądu służy wielozakresowy przyrząd uniwersalny o dużej czułości typu V-640,
lub równoważny o czułości prądowej co najmniej 1 nA. Pomiar napięcia odbywa się przy uży-
ciu dowolnego woltomierza cyfrowego. Schemat układu płyty ćwiczeniowej przedstawiono na
rysunku123-1. Dołączamy do niej zasilacz stabilizowany oraz wymienione wyżej przyrządy po-
miarowe. Na płycie ćwiczeniowej znajduje się przełącznik polaryzacji złącza, przełącznik rodza-
ju badanej diody oraz 10-cio obrotowy potencjometr umożliwiający płynną i precyzyjną zmianę
wartości napięcia oraz natężenia prądu złącza.

Wykonanie ćwiczenia

1. Zestaw układ pomiarowy według rysunku123-1. Prowadzący ćwiczenia sprawdza układ

przed włączeniem zasilania. Przyrząd uniwersalny V-640 używany jest jako amperomierz
dla pomiaru dużego natężenia prądu w kierunku przewodzenia oraz dla pomiaru bardzo
małych natężeń, na zakresach nA dla kierunku zaporowego. Aby uchronić przyrząd przed
zniszczeniem należy przed każdym pomiarem ustawić go na największy zakres pomiarowy
i następnie dobrać, w trakcie pomiaru, optymalny zakres pracy przyrządu. Przyrząd V-640
posiada przyciski ”+” i ”-” umożliwiające zmianę polaryzacji. Przyrząd należy wyzerować
dla każdego używanego zakresu pomiarowego.

123-3

2. Wykonaj pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla polaryzacji w kierunku prze-

wodzenia i w kierunku zaporowym dla jednego z poniżej podanych wariantów:

(a) diody germanowej i krzemowej

(b) diody germanowej, krzemowej i Zenera

Wykonaj pomiary dla wariantu .....................

podpis:

Rysunek 123-1: Schemat płyty ćwiczeniowej.

1. Charakterystyki przy polaryzacji w kierunku przewodzenia: mierzymy napięcie na po-

szczególnych diodach dla wartości natężenia prądów określonych w tabeli 1.

2. Charakterystyki przy polaryzacji zaporowej dla diody germanowej i krzemowej: mierzymy

natężenie prądu przy ustalonych napięciach polaryzacji zaporowej określonych w tabeli 2.

3. Charakterystyki dla diody Zenera w kierunku zaporowym: mierzymy napięcie przy wy-

muszonym natężeniu prądu wstecznego dla wartości określonych w tabeli 2.

4. W przypadku diody ”DX”: przy pomiarach dla kierunku zaporowego, po osiągnięciu na-

tężenia prądu I

> 100 µA należy przejść na pomiar napięcia przy ustawianym natężeniu

prądu, czyli tak jak dla diody Zenera.

123-4

Wyniki pomiarów

Tabela 1: Pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla kierunku przewodzenia

Napięcie U [V]; diody:

[mA]

germanowa

krzemowa

Zenera

dioda ”DX”

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

1,0

2,0

3,0

5,0

7,0

10,0

podpis:

Tabela 2. Pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla kierunku zaporowego

Natężenie prądu zaporowego diod:

Napięcie zaporowe diod:

[V]

germanowa

krzemowa

dioda ”DX”

[mA]

Zenera

dioda ”DX”

[µA]

[nA]

[......]

[V]

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

1,0

1,5

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

10,0
U

[V]

123-5

Opracowanie wyników pomiarów

1. Narysuj wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych, log(I) = f (U ), dla wszystkich

zmierzonych diod dla polaryzacji przewodzenia na jednym wspólnym polu rysunkowym
nr.123-2.

2. Narysuj wykresy I = f (U ) przy polaryzacji zaporowej dla diody germanowej, krzemowej

i diody ”DX”. Wszystkie wykresy wykonaj na polu rysunkowym nr.123-3a.

3. Dla diody Zenera i ewentualnie diody ”DX” wykonaj wykresy na polu rysunkowym nr.123-

3b.

4. Określ napięcie stabilizowane U

diody Zenera. Wartość tego napięcia dla diod małej i

średniej mocy ustalamy umownie dla natężenia prądu zaporowego diody I

= 5 mA.

Otrzymane wyniki wpisz w dolnej części tabeli nr 2.

5. Oblicz współczynnik Z stabilizacji napięcia dla diod Zenera. Współczynnik ten jest okre-

ślony jako iloraz Z = R/r, oporności statycznej diody, R = U

dla I

= 5 mA,

do oporności dynamicznej, r = ∆U/∆I. Przyrosty ∆U i ∆I powinny być określone w
bezpośrednim otoczeniu I

6. W przypadku realizowania wariantu ”C” ćwiczenia, określ na podstawie wyznaczonych

charakterystyk rodzaj badanej diody ”DX”.
Z

Otrzymane wyniki zestaw w tabeli nr 2.

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena za opracowanie wyników:

ocena

podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

123-6

Rysunek 123-2: Wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych diod polaryzowalności w kierunku
przewodzenia.

123-7

Rysunek 123-3: Wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych diod polaryzowalności w kierunku
zaporowym: a)dla diody germanowej i krzemowej, b)dla diody Zenera.

123-8

Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie

Ocena

z odpowiedzi

z opracowania

Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryj-
nych

Wahadło fizyczne

Wahadło matematyczne

Swobodne spadanie

Moduł Younga

Współczynnik lepkości

Interferencja fal akustycznych

Mostek Wheatstone’a

Kondensatory

Elektroliza

Busola stycznych

Współczynnik załamania dla ciał stałych

Soczewki

Dozymetria promieniowania γ

121

Termometr oporowy i termopara

123

Półprzewodnikowe złącze p-n

Zaliczenie pracowni

ocena

podpis