Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

Macierze i wyznaczniki - zadania domowe

Zadanie 1. Dane s¡ macierze

A =





1 2 3
2 0 3

−2 3 1





, B =







3 1 3
0 2 1

−2 2 1

1 7 2







, C =





1

3

5 0

−2

5

4 1

−1 −1 −3 2





, D =





3 3 2
1 2 1
0 4 5





.

Wykona¢ (o ile to mo»liwe) poni»sze dziaªania:

1. (3A + D) + (2B − C

T

)

,

2. C + B

T

− I

,

3. D − 2A + 3I ,

4. A − 2D

T

− 3A

T

,

5. A · B ,

6. B · A,

7. B · C + A · D,

8. A · D

T

− B

T

· C

T

,

9. (D · A)

T

− A

T

· D

T

,

10. A

3

+ D · C · B

.

Zadanie 2. Dana jest macierz A =







−1

1 2

2

1

3 1

1

−1 −3 1 −1

3

6 1

2







.

1. Wyznaczy¢ minor M

21

i M

12

.

2. Wyznaczy¢ minor powstaªy przez usuni¦cie pierwszego i trzeciego wiersza oraz drugiej

i trzeciej kolumny.

3. Wyznaczy¢ dopeªnienia algebraiczne A

14

i A

33

.

4. Obliczy¢ wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cia Laplace'a wedªug dowolnie wybranego wier-

sza lub kolumny.

5. Wykona¢ kolejno nast¦puj¡ce czynno±ci:

•

zamieni¢ pierwsz¡ z ostatni¡ kolumn¡,

•

zamieni¢ pierwszy z drugim wierszem,

•

doda¢ czwart¡ kolumn¦ do trzeciej kolumny,

•

odj¡¢ podwojony pierwszy wiersz od czwartego wiersza,

•

odj¡¢ pierwszy wiersz od trzeciego wiersza,

•

transponowa¢ macierz,

1

•

zastosowa¢ rozwini¦cie wedªug pierwszego wiersza.

Porówna¢ otrzymane wyniki w punktach 4 i 5.

Zadanie 3. Obliczy¢ wyznaczniki

1)








2

3

7

3

2 −1

2 −2

2








,

2)








−2

1

4

7 −2

3

1

4 −2








,

3)










3

3

2

2

1 −3

5

5

−1

2

2

2

1

2 −3 −3










4)










2 3 3 −2
3 1 2

2

−1 2 4

3

−2 1 3

4










,

5)












2

2

1

0 2

−4

1

2

2 1

2 −1

3

1 2

3

2

5

0 1

2

3 −1 −1 2












,

6)












2 −2 1 2

1

4 −4 2 4

2

1 −1 3 1

2

1

2 5 0 −1

3 −3 2 4

1












,

7)














2

2

0 0

1

0

0 −4

1 1 −1

2

0

0 −1 3

0

1

0

0

0 3

1

2

0

0

0 0

5

0

0

0

0 0

0 −1














,

8)














1 2 3 0

1 −1

0 1 1 2 −1

2

1 1 1 3

0

1

−1 1 2 0

1

2

2 1 1 1

3

0

−2 2 1 0 −1 −1














,

9)






i

5

−2 7 + 2i






,

10)








1

ε

ε

2

ε

2

1

ε

ε

ε

2

1








, gdzie ε =

1
2

− i

√

3

2

,

11)








cos α

sin α cos β

sin α sin β

− sin α cos α cos β cos α sin β

0

− sin β

cos β








.

Zadanie 4. Korzystaj¡c z denicji znale¹¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:

1) A =

 1 2

0 1



,

2) B =





1 0 2
2 1 0
0 0 1





.

Zadanie 5. Korzystaj¡c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale¹¢ (o ile istnieje)

macierz odwrotn¡ do macierzy:

1) A =





1

2 1

2

1 3

−1 3 2





,

2) A =





1 1 1
2 1 0
0

i

i





,

3) A =





1 1 1
2 1 0
0

i

i





,

4) B =







1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 2 1
0 1 0 1







.

Zadanie 6. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe





1 1 1
2 1 0
0 1 1





· X + 2





2 0

1

0 1

1

−2 1 −1





=





−1

0 0

1 −1 2
1

0 1





.

Zadanie 7. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy:

2

1) A =





2

1

2

1 −3 −1
3 −2

1





,

2) B =





1

2

3

2

3

4

1 −2 −3





,

3) C =







1 1 −1 2
3 2

1 1

4 3

0 3

5 4 −1 5







,

4) D =







1

2

3

5

4 −2

1

1

2

3

3 −1

−1 −2 −3 −5 −4

2

2

3

5

8

7 −3







,

5) E =









1

2

1 −1

2

1

1

2

1

1

−1 −2 −1

1 −2

−1 −1 −2 −1 −1

2

3

3

0

3









,

5) F =







1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 2
0 0 0 1 1 1







.

1 Ukªady równa« liniowych

Zadanie 8. Rozwi¡za¢ ukªady równa« liniowych

1)







x + y + z = 1
x − y − z = 0
x − y + z = 0

2)







x + y + z = 1
x − y − 2z = 2
2x − z = 3

,

3)







x + y − z = 0
x − y + z = 2
x + y + z = 6

,

4)

 x + y + z = 1

x − y + z = 0 ,

5)







x − y + z = 0
2x + 2z = 1
x + y + z = 1

,

6)







x − y + z = 0
2x + 2z = 1
x + y + z = 1

,

7)















2x + y − z = 0
x + y + 2z = 1
x − y + z = 1
x − 2y − 2z = −1

,

8)















2x − 3y + z = 1
x + y + z = 2
3x − 2y + 2z = 3
4x − y + 3z = 5

,

7)















x + 2y + z − t = 2
3x − y − z + 2t = 1
4x + y + t = 3
2x − y − z − t = 2

,

8)















x + y + z + 2t = 1
−x − 2y + z − t = 0
2x + 3y − z + t = 2
3x − y + z − 2t = −1

.

3