Druga pochodna i wypukłość funkcji
Definicja: Pochodną pochodnej funkcji f (x) nazywamy drugą pochodną funkcji i
oznaczamy f
00
(x).
Twierdzenie: (Warunek wystarczający ist. ekstremum ) Niech f (x) będzie funkcją
dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu x
0
i niech f
0
(x
0
) = 0.
Jeżeli f
00
(x
0
) > 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x
0
minimum lokalne; jeżeli natomiast
f
00
(x
0
) < 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x
0
maksimum lokalne.
Definicja: Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy wypukłą jeśli nie-
równość
f (hx
1
+ (1 − h)x
2
) hf(x
1
) + (1 − h)f(x
2
)
zachodzi dla wszystkich wartości h ∈ [0, 1] i dla wszystkich punktów x
1
, x
2
∈ [a, b]
Definicja: Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy wklęsłą jeśli nie-
równość
f (hx
1
+ (1 − h)x
2
) ¬ hf(x
1
) + (1 − h)f(x
2
)
zachodzi dla wszystkich wartości h ∈ [0, 1] i dla wszystkich punktów x
1
, x
2
∈ [a, b].
Wypukłość funkcji jest własnością niezależną od jej monotoniczności.
Funkcja rosnąca wklęsła
Funkcja rosnąca wypukła
1
Funkcja malejąca wypukła
Funkcja malejąca wklęsła
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w każdym punkcie
przedziału (a, b), to funkcja y = f (x) jest wypukła w tym przedziale.
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest ujemna w każdym punkcie
przedziału (a, b), to funcja y = f (x) jest wklęsła w tym przedziale.
Definicja: Mówimy, że x
0
jest punktem przegięcia funkcji f (x) jeżeli istnieje taka
liczba dodatnia δ , że w przedziałach x ∈ (x
0
− δ, x
0
) i (x
0
, x
0
+ δ) funkcja ma różne
rodzaje wypukłości.
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) spełnia w punkcie x
0
warunki:
(1) f
00
(x
0
) = 0, (2) w otoczeniu punktu x
0
ma po obu stronach tego punktu różne
znaki, to punkt P
0
(x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia funkcji y = f (x).
0.1
Badanie funkcji (pełne)
Badania efunkcji obejmuje następujące czynności:
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2. Obliczyć pochodną.
3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
6. Obliczyć drugą pochodną.
7. Wyznaczyć miejsca zerowe drugiej pochodnej.
8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
10. Wyznaczyć asymptoty funkcji
Przykład: (ciąg dalszy)
Zbadać przebieg funkcji
f (x) =
x
2
x − 1
2
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
x ∈ D
f
⇐⇒ x − 1 6= 0 ⇐⇒ x 6= 1
D
f
= (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = R \ {1}
2. Obliczyć pochodną.
f
0
(x) =
x
2
− 2x
(x − 1)
2
3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
f
0
(x) = 0 ⇐⇒ x
2
− 2x = 0 ⇐⇒ x(x − 2) = 0
x
1
= 0
x
2
= 2
4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
f
0
(x) > 0 ⇐⇒
x
2
− 2x
(x − 1)
2
> 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x
2
− 2x > 0) ∧ (x − 1)
2
6= 0
x
2
− 2x jest funkcją kwadratową z najwyższym współczynnikiem dodatnim,
zatem f
0
(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞). Podobnie f
0
(x) < 0 dla x ∈
(0, 1) ∪(1, 2). Zatem, pochodna jest dodatnia w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Pochodna jest ujemna w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Funkcja f (x) jest malejąca w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
W punkcie x
1
= 0 funkcja ma maksimum lokalne o wartości f (0) = 0
W punkcie x
2
= 2 funkcja ma minimum lokalne o wartości f (2) = 8
6. Obliczyć drugą pochodną.
f
00
(x) =
(2x − 2)(x − 1)
2
− (x
2
− 2x)2(x − 1)
(x − 1)
4
=
[(2x − 2)(x − 1) − 2(x
2
− 2x)](x − 1)
(x − 1)
4
=
2x
2
− 2x − 2x + 2 − 2x
2
+ 4x
(x − 1)
3
=
2
(x − 1)
3
f
00
(x) =
2
(x − 1)
3
3
7. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
Brak miejsc zerowych.
8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
f
00
(x) > 0 ⇐⇒
2
(x − 1)
3
> 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x − 1) > 0 ⇐⇒ x > 1
Podobnie f
00
(x) < 0 dla x < 1.
Zatem, druga pochodna jest ujemna w przedziałe (−∞, 1).
Druga pochodna jest dodatnia w przedziałe (1, ∞).
9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
Funkcja jest wypukła w przedziałe (−∞, 1).
Funkcja jest wklęsła w przedziałe (1, ∞).
Funkcja wymierna f (x) =
x
1−x
2
4
0.2
Wyznaczanie ekstremum warunkowego.
Aby wyznaczyć największą wartość funkcji (jednej zmiennej) ciągłej w przedziale
domkniętym, należy wyznaczyć wszystkie maksima lokalne tej funkcji należące do
przedziału oraz obliczyć wartości funkcji na końcach przedziału i wybrać największą
z otrzymanych wartości.
Podobnie postępujemy, wyznaczając najmniejszą wartość funkcji w przedziale
domkniętym.
Przykład:
Wyznaczć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x
3
− 3x + 4 w przedziale
[−3, 2].
1. Ekstrema lokalne: D
f
= R
Pochodna:
f
0
(x) = 3x
2
− 3 = 3(x
2
− 1) = 3(x + 1)(x − 1)
Miejsca zerowe pochodnej x
1
= −1 oraz x
2
= 1.
Druga pochodna: f
00
(x) = 6x
f
00
(−1) = −6 < 0 więc funkcja f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x
1
= −1 o
wartości f (−1) = 6
f
00
(1) = 6 > 0 więc funkcja f (x) ma minimum lokalne w punkcie x
2
= 1 o wartości
f (1) = 2
Obliczamy wartości w punktach końcowych przedziału f (−3) = (−3)
3
−3(−3)+
4 = −27 + 9 + 4 = −14 f(2) = 2
3
− 3 · 2 + 4 = 8 − 6 + 4 = 6
Wartość najmniejsza jest równa f (−3) = −14 wartość największa jest równa
f (2) = 6.
0.3
Metody rachunku przybliżonego
Przybliżenie funkcji funkcją liniową
Jeśli f (x) ma pochodną w punkcie x
0
, to wykres funkcji f (x) ma styczną w punkcie
(x
0
, f (x
0
)), której współczynnik kierunkowy jest równy f
0
(x
0
). Równanie stycznej
do wykresu funkcji f (x) w punkcie (x
0
, f (x
0
)) jest postaci
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
Jeżeli funkcja f (x) jest wystarczająco regularna (np. pochodna tej funkcji jest ciągła)
w pewnym otoczeniu punktu x
0
, to można przyjąć, że przybliżona wartość funkcji
f (x) jest równa wartości funkcji liniowej y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
).
5
To oznacza, że
f (x) ≈ f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
lub równoważnie
f (x
0
+ h) ≈ f
0
(x
0
)h + f (x
0
)
dla h = x − x
0
∈ (−ε, ε), gdzie ε jest małą, dodatnią liczbą rzeczywistą.
f (x) ≈ f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
w pewnym otoczeniu punktu x
0
Przykład:
Obliczyć przybliżoną wartość
√
9, 5.
Odp. Przyjmujemy, że
f (x) =
√
x , x
0
= 9 i x − x
0
= h = 0, 5.
Ponadto f
0
(x) =
1
2
√
x
Stąd f (x
0
+ h) ≈ f
0
(x
0
)h + f (x
0
)
√
9.5 = f (9.5) ≈
1
2
√
9
0.5 +
√
9 = 3, 08333...
”Dokładna” wartość 3.0822... .
6
Wzór Taylora
Jeśli funkcja f (x) jest określona i n+1 - krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu
punktu x
0
, to
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ R
n
(x)
gdzie R
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
oraz ξ jest pewną liczbą pomiędzy x
0
i x.
Wielomian
W
n
(x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
nazywamy n-tym wielomianem Taylora funkcji f (x)
W notacji sigmowej mamy:
W
n
(x) =
n
X
i=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x − x
0
)
i
Tutaj, należy przyjąć, że f
(0)
(x
0
) = f (x
0
) i 0! = 1.
cos x ≈ 1 −
x
2
2!
w pewnym otoczeniu punktu x = 0
7
Szereg Taylora
Jeśli funkcja f (x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
i posiada pochodne
wszystkich rzędów w tym otoczeniu oraz lim
n→∞
R
n
(x) = 0, to
f (x) =
∞
X
i=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x − x
0
)
i
Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f (x)
Jeśli x
0
= 0 wtedy szereg Taylora
f (x) =
∞
X
i=0
f
(i)
(0)
i!
x
i
nazywamy szeregiem (lub rozwinięciem w szereg) Maclaurina.
Przykład: Wyznaczyć rozwinięcie Taylora funkcji
f (x) = e
x
gdy x
0
= 0 (tzn. rozwinięcie Maclaurina)
Wiadomo, że f
(i)
(x) = e
x
i f
(i)
(0) = e
0
= 1 dla wszystkich i = 0, 1, 2, . . . .
Ponadto
f (x) = f (0) +
f
0
(0)
1!
x + · · · +
f
(n)
(0)
n!
x
n
+ · · ·
Stąd
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+ · · · +
x
n
n!
+ · · · =
∞
X
i=0
x
i
i!
Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji:
f (x) =
1
1 + x
2
Jeśli funkcję zapiszemy w postaci
f (x) =
1
1 − (−x
2
)
można potraktować to wyrażenie jako sumę ciągu geometrycznego o ilorazie −x
2
.
Stąd
f (x) = 1 − x
2
+ x
4
− x
6
+ · · · + (−1)
n
x
2n
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i
dla x ∈ (−1, 1).
8
Rozwinięcia innych funkcji:
sin x =
x
1!
−
x
3
3!
+ · · · + (−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i+1
(2i + 1)!
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ · · · + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i
(2i)!
Rozwinięcie funkcji logarytmicznej w postaci : f (x) = ln(1 + x)
ln(1 + x) =
x
1
−
x
2
2
+
x
3
3
· · · + (−1)
n+1
x
n
n
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i+1
x
i
i
oraz w postaci f (x) = ln(1 − x)
ln(1 − x) = −(
x
1
+
x
2
2
+
x
3
3
· · · +
x
n
n
+ · · ·) = −
∞
X
i=0
x
i
i
Wielomian interpolacyjny Newtona
Zadanie interpolacyjne:
Dane są dwa ciągi liczb a
1
< a
2
< . . . < a
n
i
b
1
, b
2
, . . . , b
n
. Wyznaczyć wielomian f (x) stopnia mniejszego od n taki, że f (a
i
) = b
i
dla i = 1, . . . , n.
Wielomian spełniający te warunki nazywamy wielomianem interpolacyjnym.
Przy powyższych założeniach zadanie to zawsze ma rozwiązanie. Rozwiązanie
przedstawione w postaci:
f (x) = c
0
+ c
1
(x − a
1
) + · · · + c
n−1
(x − a
1
) . . . (x − a
n−1
)
nazywamy wielomianem interpolacyjnym Newtona
Przykład:
9
Wyznaczyć wielomian interpolacyjny dla danych:
a
i
-4 -2
0
2
4
b
i
5 -4 -3 -4 5
Wyznaczamy wielomian postaci
f (x) = c
0
+ c
1
(x − a
1
) + c
2
(x − a
1
)(x − a
2
) + . . . .
a
i
-4 -2
0
2
4
b
i
5 -4 -3 -4 5
Podstawiamy a
1
, . . . , a
5
z tabelki:
f (x) = c
0
+ c
1
(x + 4) + c
2
(x + 4)(x + 2) + c
3
(x + 4)(x + 2)x+
+c
4
(x + 4)(x + 2)x(x − 2).
f (x) = c
0
+ c
1
(x + 4) + c
2
(x + 4)(x + 2) + c
3
(x + 4)(x + 2)x+
Stosujemy teraz warunki, że f (a
i
) = b
i
f (−4) = 5
c
0
+ c
1
(−4 + 4)
|
{z
}
0
+c
2
(−4 + 4)
|
{z
}
0
(−4 + 2) + . . .=5
Stąd
c
0
= 5
f (−2) = −4
10
c
0
+ c
1
(−2 + 4) + c
2
(−2 + 4) (−2 + 2)
|
{z
}
0
+ . . . = −4
Stąd
c
0
+ 2c
1
= −4
f (0) = −3
itd. . . . .
Otrzymujemy układ równań:
c
0
=
5
c
0
+ 2c
1
= −4
c
0
+ 4c
1
+ 8c
2
= −3
c
0
+ 6c
1
+ 24c
2
+ 48c
3
= −4
c
0
+ 8c
1
+ 48c
2
+ 192c
3
+ 384c
4
=
5
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
c
0
= 5 , c
1
= −
9
2
, c
2
=
5
4
, c
3
= −
1
4
, c
4
=
1
16
Zatem
f (x) = 5 −
9
2
(x + 4) +
5
4
(x + 4)(x + 2) −
−
1
4
(x + 4)(x + 2)x +
1
16
(x + 4)(x + 2)x(x − 2) =
=
1
16
x
4
−
1
2
x
2
− 3.
11
Wielomian aproksymacyjny
f (x) =
1
16
x
4
−
1
2
x
2
− 3
Elastyczność funkcji
Przykład: : Funkcja popytu na pewne dobro wyraża się wzorem
q(p) = 8000 − 300p − 3p
2
.
1. Jaka jest wielkość popytu gdy cena p = 10 zł ?
2. O ile zmieni się popyt gdy cena wzrośnie o 0,3 zł ?
3. Obliczyć względny przyrost ceny i względną zmianę popytu.
4. Jak zmieni się popyt przy zmianie ceny o 1 %?
Odp.: 1. Wielkość popytu wynosi q(10) = 4700.
2. Zmiana popytu wynosi ∆q(10) = −108.
3. Względny przyrost ceny wynosi: 3 %. Względna zmiana popytu -2.3 %.
12
4. Wzrost ceny o 1 % powoduje zmianę popytu o -2,3/3 = -0,77 % (znak minus
oznacza spadek).
Definicja: Dana jest funkcja f (x) określona dla x > 0, przyjmująca tylko wartości
dodatnie i różniczkowalna w obszarze istnienia, oraz h - przyrost argumentu x. Iloraz
f (x + h) − f(x)
f (x)
nazywamy względnym przyrostem funkcji w punkcie x , natomiast iloraz
h
x
względnym przyrostem argumentu x. Granicę
lim
h→0
f (x + h) − f(x)
f (x)
,
h
x
= lim
h→0
x
f (x)
f (x + h) − f(x)
h
=
x
f (x)
f
0
(x)
stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego argumentu, gdy
h → 0 nazywamy elastycznością funkcji f(x) w punkcie x.
Definicja: Jeżeli q(p) oznacza funkcję popytu w zależności od ceny, to jej elastycz-
ność nazywamy elastycznością cenową popytu.
Przykład: (ciąg dalszy) Elastyczność cenowa powyższej funkcji popytu dla p = 10
wynosi
Eq(10) =
10
q(10)
q
0
(10) =
10 · (−60)
4700
= −0, 766
.
13
0.4
Funkcje wielu zmiennych
Oznaczmy R
n
= R × R × · · · × R
|
{z
}
n
. Niech D ⊆ R
n
. Jeśli każdemu elementowi
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ D przyporządkujemy dokładnie jeden element z należący do R,
to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru D w zbiór R. Odwzorowanie
takie nazywamy funkcją n-zmiennych.
(Zapis F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = z ∈ R.)
Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y) ∈ D i z = F (x, y)}.
Przykład 1. Obrazem geometrycznym funkcji F (x, y) określonej wzorem F (x, y) =
ax + by + c , gdzie a, b, c ∈ R jest płaszczyzna.
2. Obrazem geometrycznym funkcji
F (x, y) =
q
r
2
− x
2
− y
2
jest powierzchnia półkuli o promieniu r i środku w początku układu współrzędnych.
3. Funkcja Cobba-Douglasa F (x, y) = ax
α
y
β
. Dziedziną tej funkcji jest zbiór
D
F
= [0, ∞) × [0, ∞). Jeśli x = K i y = L oznaczają ilość użytych czynników pro-
dukcji (np. K-kapitał i L-praca), to F (x, y) wyraża wielkość produkcji w zależności
od nakładów. W ekonomii często przyjmuje się β = 1 − α.
Warstwicą (poziomicą) powierzchni o równaniu z = F (x, y), nazywamy rzut na
płaszczyznę Oxy linii, wzdłuż której płaszczyzna z = c (c jest pewną stałą) przecina
tę powierzchnię.
Uwaga: Jeżeli z = F (x, y) jest funkcją produkcji, która wyraża zależność poziomu
wyników od poniesionych nakładów, to poziomicę takiej funkcji nazywamy izokwan-
tą. Każdy punkt leżący na ustalonej izokwancie jest zestawem nakładów prowadzą-
cym do tego samego poziomu wyników.
Pochodne cząstkowe
Jeżeli obliczymy pochodną funkcji F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) względem zmiennej x
i
przyjmu-
jąc, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości, to otrzymaną funkcję nazywamy
pochodną cząstkową funkcji F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) względem zmiennej x
i
.
(Oznaczenia F
0
x
i
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
∂F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
∂x
i
, dla i = 1, 2, . . . , n)
(W przypadku dwóch zmiennych stosujemy również oznaczenia:
F
0
x
(x, y) =
∂F (x, y)
∂x
, F
0
y
(x, y) =
∂F (x, y)
∂y
)
Przykład:
14
Obliczyć pochodną cząstkową funkcji
F (x, y) = x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1.
F
0
x
(x, y) =
∂F (x, y)
∂x
= (x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1)
0
x
=
= 3x
2
+ 2y
2
+ 0 + 2 − 0 + 0 = 3x
2
+ 2y
2
+ 2
F
0
y
(x, y) =
∂F (x, y)
∂y
= (x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1)
0
y
=
= 0 + 2x · (2y) + 2y + 0 − 5 + 0 = 4xy + 2y − 5
Ilorazy różnicowe:
F
0
x
(x
0
, y
0
) = lim
h→0
F (x
0
+ h, y
0
) − F (x
0
, y
0
)
h
;
F
0
y
(x
0
, y
0
) = lim
h→0
F (x
0
, y
0
+ h) − F (x
0
, y
0
)
h
.
Dla funkcji produkcji F (K, L) pochodne cząstkowe
∂F (K, L)
∂K
∂F (K, L)
∂L
nazywamy krańcową produkcyjnością kapitału i krańcową wydajnością pracy
Zadanie: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 14x
2
+4y
2
+12xy −1991x−
1254y + 98889, 5
Obliczamy pochodne cząstkowe: f
0
x
(x, y) = 28x + 12y − 1991 i f
0
y
(x, y) = 8y + 12x −
1254. Wyznaczamy takie x, y, f
0
x
(x, y) = 0 i f
0
y
(x, y) = 0. rozwiązując układ równań:
(
28x + 12y = 1991
12x + 8y = 1254
Przy pomocy metody Cramera (zob. str. ??) otrzymujemy x = 11 i y = 140, 25
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe: f
00
xx
(x, y) = 28 i f
00
yy
(x, y) = 8. f
00
xy
(x, y) =
f
00
yx
(x, y) = 12. i wyznacznik
det
"
28 12
12
8
#
= 80 > 0.
Zatem rozważana funkcja ma ekstremum w punkcie [11 , 140, 25]. Ponieważ
f
00
xx
(11 , 140, 25) = 28 > 0, więc w punkcie [11 , 140, 25] istnieje (jedyne) minimum
lokalne tej funkcji.
15
Definicja: Otoczeniem punktu P (x
0
, y
0
) o promieniu δ na płaszczyźnie nazywamy
wnętrze koła K(x
0
, y
0
, δ) o środku w punkcie P i promieniu δ.
Definicja: Mówimy, że funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) maksimum lokal-
ne, jeżeli istnieje takie otoczenie K(x
0
, y
0
, δ) punktu P , że dla każdego (x, y) ∈
K(x
0
, y
0
, δ) zachodzi nierówność F (x, y) ¬ F (x
0
, y
0
).
Mówimy, że funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) minimum lokalne, jeżeli
istnieje takie otoczenie K(x
0
, y
0
, δ) punktu P , że dla każdego (x, y) ∈ K(x
0
, y
0
, δ)
zachodzi nierówność F (x, y) F (x
0
, y
0
).
Twierdzenie: (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne i ma w tym punkcie
pochodne cząstkowe I rzędu, to
∂F (x, y)
∂x
(x
0
, y
0
) = 0 ,
∂F (x, y)
∂y
(x
0
, y
0
) = 0.
Twierdzenie: (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu P (x
0
, y
0
) ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu, przy czym
F
0
x
(x
0
, y
0
) = 0
i
F
0
y
(x
0
, y
0
) = 0,
oraz
W (x
0
, y
0
) = det
"
F
00
xx
(x
0
, y
0
) F
00
xy
(x
0
, y
0
)
F
00
yx
(x
0
, y
0
) F
00
yy
(x
0
, y
0
)
#
> 0,
to funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne. Jeżeli F
00
xx
(x
0
, y
0
) < 0
to funkcja ma maksimum lokalne, a gdy F
00
xx
(x
0
, y
0
) > 0, to funkcja ma minimum
lokalne.
Jeśli W (x
0
, y
0
) < 0, to funkcja F (x, y) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
P (x
0
, y
0
).
(Jeśli drugie pochodne cząstkowe są ciągłe, to F
00
xy
(x
0
, y
0
) = F
00
yx
(x
0
, y
0
).)
Przykład:
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = 3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 2x − 6y + 3.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 6x − 2y + 2 oraz F
0
y
(x, y) = −2x + 6y − 6
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
16
lub równoważnie
(
6x − 2y = −2
−2x + 6y =
6
Rozwiązując metodą Cramera mamy:
det A =
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32
det B
x
=
−2 −2
6
6
= −12 + 12 = 0
det B
y
=
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32
x =
det B
x
det A
= 0
i
y =
det B
y
det A
= 1
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 6
F
00
xy
(x, y) = −2
F
00
yx
(x, y) = −2 F
00
yy
(x, y) = 6
i wyznacznik
W (0, 1) =
F
00
xx
(0, 1) F
00
xy
(0, 1)
F
00
yx
(0, 1) F
00
yy
(0, 1)
=
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32 > 0
Ponieważ W (0, 1) > 0 i F
00
xx
(0, 1) > 0 więc funkcja F (x, y) ma minimum lokalne w
punkcie P (0, 1).
Przykład: 2 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = x
2
+ 10xy + y
2
− 14x + 2y − 5.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 2x + 10y − 14 oraz F
0
y
(x, y) = 10x + 2y + 2
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
lub równoważnie
(
2x + 10y =
14
10x + 2y = −2
17
Rozwiązując metodą Cramera mamy:
det A =
2 10
10
2
= 4 − 100 = −96
det B
x
=
14 10
−2
2
= 28 + 20 = 48
det B
y
=
2
14
10 −2
= −4 − 140 = −144
x =
det B
x
det A
= −
1
2
i
y =
det B
y
det A
=
3
2
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 2
F
00
xy
(x, y) = 10
F
00
yx
(x, y) = 10 F
00
yy
(x, y) = 2
i wyznacznik
W (−
1
2
,
3
2
) =
F
00
xx
(−
1
2
,
3
2
) F
00
xy
(−
1
2
,
3
2
)
F
00
yx
(−
1
2
,
3
2
) F
00
yy
(−
1
2
,
3
2
)
=
2 10
10
2
= 4 − 100 = −96 < 0.
Ponieważ W (−
1
2
,
3
2
) < 0 więc funkcja F (x, y) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
(−
1
2
,
3
2
).
Przykład: 3 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = 2x
3
+ xy
2
+ 5x
2
+ y
2
.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 6x
2
+ y
2
+ 10x oraz F
0
y
(x, y) = 2xy + 2y
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
lub równoważnie
(
6x
2
+ y
2
+ 10x = 0
2xy + 2y = 0
Z drugiego równania mamy:
(2x + 2)y = 0
=⇒
y = 0 ∨ x = −1
Rozważmy dwa przypadki:
18
1. y = 0
Podstawiając do pierwszego równania mamy x = 0 lub x = −
5
3
.
2. x = −1.
W tym przypadku z pierwszego równania otrzymujemy y = 2 lub y = −2.
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 12x + 10 F
00
xy
(x, y) = 2y
F
00
yx
(x, y) = 2y
F
00
yy
(x, y) = 2x + 2
i wyznacznik
W (x, y) = det
"
F
00
xx
(x, y) F
00
xy
(x, y)
F
00
yx
(x, y) F
00
yy
(x, y)
#
=
= det
"
12x + 10
2y
2y 2x + 2
#
= 4(6x
2
+ 11x + 5 − y
2
)
Podstawiając wyliczone wyżej wartości mamy:
W (0, 0) = 20 > 0 i F
00
xx
(0, 0) = 10 > 0 tzn. w punkcie (0, 0) funkcja ma minimum
lokalne.
W (−
5
3
, 0) = −20 < 0 tzn. w punkcie (−
5
3
, 0) brak ekstremum.
W (−1, 2) = W (−1, −2) = −16 < 0 tzn. w punktach (−1, 2) oraz (−1, −2) brak
ekstremum.
Wyznaczanie ekstremum warunkowego dla funkcji dwóch zmiennych.
Załóżmy, że prostokąt P = [a
1
, a
2
] ×[b
1
, b
2
] jest zawarty w dziedzinie funkcji F (x, y).
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość tej funkcji dla (x, y) ∈ P .
Rozwiązanie:
1. Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne tej funkcji należące do P .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej F (x, b
1
) i F (x, b
2
) dla x ∈
(a
1
, a
2
).
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej F (a
1
, y) i F (a
2
, y) dla y ∈
(b
1
, b
2
).
4. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach wierzchołkowych prostokąta.
5. Wybrać największą i najmniejszą z wyliczonych wartości.
Przykład: Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
F (x, y) = 3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 2x − 6y + 3.
w prostokącie [0, 2] × [0, 3].
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji w zadanym prostokącie.
19
Funkcja ma minimum lokalne dla x
0
= 0 , y
0
= 1 o wartości F (0, 1) = 0
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji na bokach poziomych prostokąta tzn. ekstrema
dwóch funkcji:
F (x, 0) = 3x
2
+ 2x + 3
F (x, 3) = 3x
2
− 4x + 12
dla x ∈ [0, 2].
x
1
= −
1
3
y
1
= 0
F (−
1
3
, 0) =
8
3
x
2
=
2
3
y
2
= 3
F (
2
3
, 3) =
32
3
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji na bokach pionowych prostokąta tzn. ekstrema
dwóch funkcji:
F (0, y) = 3y
2
− 6y + 3
F (2, y) = 3y
2
− 10y + 19
dla y ∈ [0, 3].
x
3
= 0 y
3
= 1
F (0, 1) = 0
x
4
= 2 y
4
=
5
3
F (2,
5
3
) =
32
3
4. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach wierzchołkowych.
x
y
0
1
5
3
3
−
1
3
8
3
1
3
19
9
41
3
0
3
0
4
3
12
2
3
17
3
4
3
16
9
32
3
2
19 12
5
3
16
5. Wybrać największą i najmniejszą z wyliczonych wartości. Największą war-
tością funkcji w zadanym prostokącie jest 19, a najmniejszą wartością funkcji w
zadanym prostokącie jest 0.
20
Metoda najmniejszych kwadratów
Dane są pewne punkty [x
1
, y
1
], [x
2
, y
2
], . . . , [x
n
, y
n
]. Należy znaleźć prostą która prze-
biega możliwie najbliżej danych punktów.
Załóżmy, że poszukiwana prosta ma równanie y = ax + b. Zadanie będzie roz-
wiązane jeśli współczynniki a, b zostaną tak dobrane, aby wyrażenie
S(a, b) =
n
X
i=1
(y
i
− ax
i
− b)
2
=
(y
1
− ax
1
− b)
2
+ (y
2
− ax
2
− b)
2
+ · · · + (y
n
− ax
n
− b)
2
było jak najmniejsze.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie punktu [a, b], w którym funkcja S(a, b) przyj-
muje najmniejszą wartość. Obliczamy pochodne cząstkowe:
∂S
∂a
(a, b) = −2
n
X
i=1
x
i
(y
i
− ax
i
− b)
21
∂S
∂b
(a, b) = −2
n
X
i=1
(y
i
− ax
i
− b)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum są równości:
∂S
∂a
(a, b) = 0 ,
∂S
∂b
(a, b) = 0
Przyjmijmy oznaczenia:
X
1
=
n
X
i=1
x
i
, X
2
=
n
X
i=1
x
2
i
Y
1
=
n
X
i=1
y
i
, Y
2
=
n
X
i=1
y
2
i
Z =
n
X
i=1
x
i
y
i
.
Otrzymujemy układ równań:
(
aX
2
+ bX
1
= Z
aX
1
+ bn = Y
1
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
a =
nZ − X
1
Y
1
nX
2
− X
2
1
,
b =
X
2
Y
1
− ZX
1
nX
2
− X
2
1
Przykład:
Wyznaczyć funkcję liniową y = ax + b wyrażającą (przybliżoną) zależność po-
między wzrostem i wagą na podstawie następujących danych:
wzrost
waga
i
x
i
y
i
1
170
75
2
182
91
3
174
80
4
180
79
5
176
82
6
179
76
7
170
70
8
183
95
Obliczamy
X
1
=
8
X
i=1
x
i
=
170 + 182 + 174 + 180 + 176 + 179 + 170 + 183 = 1414.
22
Y
1
=
8
X
i=1
y
i
=
75 + 91 + 80 + 79 + 82 + 76 + 70 + 95 = 648.
X
2
=
8
X
i=1
x
2
i
=
170
2
+ 182
2
+ 174
2
+ 180
2
+ 176
2
+ 179
2
+ 170
2
+ 183
2
=
= 250106.
Y
2
=
8
X
i=1
y
2
i
=
75
2
+ 91
2
+ 80
2
+ 79
2
+ 82
2
+ 76
2
+ 70
2
+ 95
2
= 52972.
Z =
8
X
i=1
x
i
y
1
=
170 · 75 + 182 · 91 + 174 · 80 + 180 · 79 + 176 · 82+
179 · 76 + 170 · 70 + 183 · 95 = 114773.
Podstawiając do wzorów:
a =
nZ − X
1
Y
1
nX
2
− X
2
1
,
b =
X
2
Y
1
− ZX
1
nX
2
− X
2
1
a =
8 · 114773 − 1414 · 648
8 · 250106 − 1414
2
b =
250106 · 648 − 114773 · 1414
8 · 250106 − 1414
2
Stąd: a = 1, 3168
b = −151, 7452
Rozwiązaniem zadania jest prosta o równaniu y = 1, 3168x − 151, 7452
23
0.5
Całka oznaczona i nieoznaczona
Dana jest funkcja f (x). Funkcję F (x) taką, że F
0
(x) = f (x) nazywamy funkcją
pierwotną funkcji f (x). Poszukiwanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem.
Jest to operacja odwrotna do różniczkowania.
Przykład: Funkcją pierwotną funkcji f (x) = 2x + 3 jest każda z funkcji: F (x) =
x
2
+ 3x, F (x) = x
2
+ 3x + 1, F (x) = x
2
+ 3x + π itp.
Jeśli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to każda funkcja postaci F (x)+C,
gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną f (x). Zbiór wszystkich
funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy
Z
f (x)dx = F (x) + C.
Parametr C nazywamy stałą całkowania.
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji:
1.
Z
0dx = C
2.
Z
dx = x + C
3.
Z
x
a
dx =
1
a + 1
x
a+1
+ C (a 6= −1)
4.
Z
x
−1
dx = ln |x| + C
5.
Z
e
x
dx = e
x
+ C
6.
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
7.
Z
sin xdx = − cos x + C.
8.
Z
cos xdx = sin x + C.
9.
Z
1
cos
2
x
dx = tg x + C.
10.
Z
1
sin
2
x
dx = − ctg x + C.
Podstawowe wzory rachunku całkowego
1.
Z
F
0
(x)dx = F (x) + C
2. (
Z
f (x)dx)
0
= f (x) + C
3.
Z
(af (x) + bg(x))dx = a
Z
f (x)dx + b
Z
g(x)dx
4. Całkowanie przez podstawianie x = g(t)
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna, a funkcja g(x) ma ciągłą pochodną, to
Z
f (x)dx =
Z
f (g(t))g
0
(t)dt
24
5. Całkowanie przez części
Z
f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f
0
(x)g(x)dx
6.
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f(x)| + C
Przykłady:
1.
Z
(
4x
√
x + 2
3
√
x + 2x − 1
x
)dx =
Z
(4
√
x + 2x
−
2
3
+ 2 −
1
x
)dx =
4
Z
√
xdx + 2
Z
x
−
2
3
dx + 2
Z
dx −
Z
1
x
dx =
4
Z
x
1
2
dx + 2
Z
x
−
2
3
dx + 2
Z
dx −
Z
1
x
dx =
4
x
3
2
3
2
+ 2
x
1
3
1
3
+ 2x − ln |x| + C =
8
3
√
x
3
+ 6
3
√
x + 2x − ln |x| + C =
2.
Z
ln xdx =
Z
f
0
(x)g(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f (x)g
0
(x)dx =
x ln x −
R
x
1
x
dx = x ln x −
R
dx = x ln x − x + C =
x(ln x − 1) + C
W tych obliczeniach przyjmujemy
f (x) = x
f
0
(x) = 1
g(x) = ln x
g
0
(x) =
1
x
3. Obliczyć całkę
Z
x cos xdx.
Zastosujemy całkowanie przez części:
Z
x cos xdx =
Z
x(sin x)
0
dx =
x sin x −
Z
sin xdx = x sin x + cos x + C
4.
Z
tg xdx =
Z
sin x
cos x
dx
Stosujemy podstawienie: z = cos x.
Wtedy dz = sin xdx
Stąd,
Z
sin x
cos x
dx = −
Z
− sin x
cos x
dx =
25
−
Z
1
z
dz = ln |z| + C = ln | cos x| + C
Całka oznaczona
Całka oznaczona w odróżnieniu od całko nieoznaczonej jest pewną liczbą przypo-
rządkowaną danej funkcji. W przypadku funkcji dodatniej całka oznaczona oznacza
pole powierzchni zawartej między wykresem funkcji i osią Ox. Obliczmy przybliżoną
wartość pola pod wykresem funkcji:
Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b.
Pole i-tego prostokąta jest równe f (x
i
)(x
i+1
− x
i
).
Przybliżona wartość pola jest równa:
s
n
=
n−1
X
i=0
f (x
i
)(x
i+1
− x
i
) =
f (x
0
)(x
1
− x
0
) + f (x
1
)(x
2
− x
1
) + · · · + f(x
n−1
)(x
n
− x
n−1
).
26
Wyrażenie to nazywamy dolną sumą aproksymacyjną. Dokładność przybliżenia wzra-
sta gdy długości przedziałów częściowych dążą do zera.
Przykład:
Obliczamy pole pod wykresem funkcji y = x
2
w przedziale [0, 1].
Dzielimy ten przedział na n równych części. Długość jednej części jest równa
h =
1
n
. Punkty podziału tworzą ciąg:
x
0
= 0 = 0h , x
1
=
1
n
= h , x
2
=
2
n
= 2h
x
3
=
3
n
= 3h , . . . , x
n−1
=
n − 1
n
= (n − 1)h , x
n
= 1 = nh.
Tworzymy sumę aproksymacyjną
s
n
= 0
2
h + h
2
h + (2h)
2
h + (3h)
2
h + · · · + ((n − 1)h)
2
h =
s
n
= 0
2
h + h
2
h + (2h)
2
h + (3h)
2
h + · · · + ((n − 1)h)
2
h =
(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ · · · + (n − 1)
2
)h
3
(n − 1)n(2n − 1)
6
h
3
=
(n − 1)n(2n − 1)
6n
3
.
Dokładna wartość pola pod wykresem funkcji jest równa:
lim
n→∞
s
n
=
(n − 1)n(2n − 1)
6n
3
=
27
lim
n→∞
1
6
(1 −
1
n
)(2 −
1
n
) =
1
3
.
Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b.
Pole i-tego prostokąta jest równe f (x
i+1
)(x
i+1
− x
i
).
Przybliżona wartość pola pod wykresem funkcji jest równa:
S
n
=
n−1
X
i=0
f (x
i+1
)(x
i+1
− x
i
) =
f (x
1
)(x
1
− x
0
) + f (x
2
)(x
2
− x
1
) + · · · + f(x
n
)(x
n
− x
n−1
)
Wyrażenie to nazywamy górną sumą aproksymacyjną.
Definicja: Niech f (x) będzie funkcją zadaną na odcinku [a, b] i ograniczoną. Po-
dzielmy przedział [a, b] na n przedziałów częściowych punktami
a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . x
n−1
< x
n
= b.
28
Każdy przedział postaci [x
i−1
, x
i
] nazywamy i-tym przedziałem częściowym doko-
nanego podziału. Niech
M
i
oznacza kres górny
m
i
oznacza kres dolny
funkcji f (x) w i-tym przedziale częściowym [x
i−1
, x
i
].
Utwórzmy dolną sumę aproksymacyjną:
s
n
= m
1
(x
1
− x
0
) + m
2
(x
2
− x
1
) + · · · + m
n
(x
n
− x
n−1
)
i górną sumę aproksymacyjną:
S
n
= M
1
(x
1
− x
0
) + M
2
(x
2
− x
1
) + · · · + M
n
(x
n
− x
n−1
).
Kres górny dolnych sum aproksymacyjnych oznaczamy symbolem S i nazywamy
całką dolną.
Kres dolny górnych sum aproksymacyjnych oznaczamy symbolem S i nazywamy
całką górną.
Mówimy, że funkcja ograniczona w przedziale [a, b] jest całkowalna, jeśli całka
dolna jest równa całce górnej, tzn.
S = S.
Wspólną wartość tych kresów nazywamy całką oznaczoną (całką Riemanna)
funkcji f(x) w przedziale [a, b] i oznaczamy:
Z
b
a
f (x)dx.
Funkcja Dirichleta
29
D(x) =
(
1 gdy x jest liczba, wymierna,
0 gdy x jest liczba, niewymierna,
Całka dolna jest równa zero.
Całka górna jest równa 1(b − a).
Nie istnieje całka funkcji Dirichleta
Całka dolna jest równa 1(b − a).
Całka górna jest równa 2(b − a).
Nie istnieje całka funkcji y = D(x) + 1.
30
Twierdzenie: Funkcja ciągła w przedziale [a, b] jest całkowalna.
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Jeśli
F (x)
oznacza
funkcję
pierwotną
funkcji
f (x)
określonej i ciągłej w przedziale [a, b], to
Z
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Twierdzenie: Funkcja pierwotna funkcji f (x) jest równa
F (x) =
Z
x
x
0
f (t)dt
Twierdzenie: Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale [a, b], to
1.
Z
b
a
f (x)dx = −
Z
a
b
f (x)dx
2.
Z
b
a
f (x)dx =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx, dla c ∈ [a, b]
Przykłady: :
1. Obliczyć pole pod wykresem funkcji sin x w przedziale [0, π]
Z
π
0
sin xdx =
− cos x
π
0
= (− cos π) − (− cos 0) = 2
2. Obliczamy całkę:
Z
π/4
−π/4
tgxdx = [− ln | cos x|]
π/4
−π/4
=
− ln | cos(π/4)|) − (− ln |cos(−π/4)| =
31
(− ln |
√
2
2
|) − (− ln |
√
2
2
|) = 0.
3. Intensywność dostaw zboża do elewatora wyraża funkcja f (t) = −0, 01t
2
+ t +
200 (f (t) -ilość zboża dostarczona w dniu o numerze t). Całkowita wielkość dostaw
w 100-nym dniu skupu jest równa:
Z
100
0
(−0, 01t
2
+ t + 200)dt =
−
0, 01
3
t
3
+
1
2
t
2
+ 200t
100
0
= 21666, 67
Całki niewłaściwe
Załóżmy, że c ∈ [a, b]. Niech zbiór [a, b] \ {c} będzie zawarty w dziedzinie funkcji
f (x). Załóżmy również, że co najmniej jedna z granic jednostronnych lim
x→c
+
f (x)
lub lim
x→c
−
f (x) jest nieskończona. Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w każdym
przedziale [a, c − h] i [c + h, b] dla h > 0 i jeśli istnieją granice skończone
lim
h→0
+
Z
c−h
a
f (x)dx
lim
h→0
+
Z
b
c+h
f (x)dx,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [a, b].
Jeśli taka granica nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Często
obliczamy całki niewłaściwe gdy c = a lub c = b.
Przykłady: 1. Obliczamy całkę
Z
1
0
1
x
dx = lim
h→0
+
Z
1
h
1
x
dx =
lim
h→0
+
[ln x]
1
h
= lim
h→0
+
(ln 1 − ln h) = ∞
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
w przedziale [0, 1] jest rozbieżna.
2. Obliczamy całkę
Z
1
0
1
√
x
dx = lim
h→0
+
Z
1
h
1
√
x
dx =
lim
h→0
+
[2
√
x]
1
h
= lim
h→0
+
(2
√
1 − 2
√
h) = 2
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
√
x
w przedziale [0, 1] jest zbieżna.
32
Podobnie obliczamy całki niewłaściwe w nieskończoności. Jeśli funkcja f (x) jest
całkowalna w każdym przedziale [a, c] dla każdego c > a i jeśli istnieje granica
skończona
lim
c→∞
Z
c
a
f (x)dx
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [a, ∞] i ozna-
czamy
Z
∞
a
f (x)dx.
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w każdym przedziale [c, b] dla każdego c < b i
jeśli istnieje granica skończona
lim
c→∞
Z
b
c
f (x)dx
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [−∞, b] i ozna-
czamy
Z
b
−∞
f (x)dx.
Jeśli
te
granica
nie
istnieją,
to
mówimy,
że
całka
niewłaściwa jest rozbieżna
Przykłady: 1. Obliczamy całkę
Z
∞
1
1
x
dx = lim
c→∞
Z
c
1
1
x
dx =
lim
c→∞
[ln x]
c
1
= lim
c→∞
(ln c − ln 1) = ∞
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
w przedziale [1, ∞] jest rozbieżna.
2. Obliczamy całkę
Z
∞
1
1
x
2
dx = lim
c→∞
Z
c
1
1
x
2
dx =
lim
c→∞
[−
1
x
]
c
1
= lim
c→∞
(−
1
c
− (−
1
1
)) = 1
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
2
w przedziale [1, ∞] jest zbieżna.
33
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
bazy danych druga id 81754 Nieznany (2)
matematyka wzory id 284044 Nieznany
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
Matematyka lista1 id 283685 Nieznany
Matematyka 17 id 283105 Nieznany
Matematyka dyskretna prawd id 7 Nieznany
druga id 142797 Nieznany
mje 2009 matematyka 5SP e2 test Nieznany
12 Lipidy i pochodneid 13270 Nieznany
Madejowa Zasady sprawdzania wyp Nieznany
Pierwsza i Druga Apokalipsa Jak Nieznany
Antyutleniacze pochodzenia rosl Nieznany (2)
Matematyka dyskretna 3 id 28329 Nieznany
matematyka dyskretna w id 28343 Nieznany
matematyka model 1 id 766047 Nieznany
więcej podobnych podstron