BUDOWNICTWO, SEMESTR II

Lista 7

Całki podwójne

1. Obliczyć podane całki iterowane:

a)

ln 4

Z

0

dx

ln 3

Z

0

e

x+y

dy

b)

ln 3

Z

0

dy

ln 4

Z

0

e

x+y

dx

c)

3

Z

1

dx

x+3

Z

x

(3y + 2x)dy

d)

4

Z

0

dy

y
2

Z

√

y

(3 + y + x)dx

2. Obliczyć podane całki podwójne po prostokątach:

a)

Z Z

D

xy

2

dxdy, D = [0, 1] × [−1, 1];

b)

Z Z

D

sin(x + y)dxdy, D = [−

π

4

,

π

4

] × [0,

π

4

];

c)

Z Z

D

e

x−y

dxdy, D = [−1, 1] × [−1, 1].

3. Zamienić całkę podwójną

Z Z

D

f (x, y)dxdy na całki iterowane, jeśli obszar D jest ograniczony

liniami:

a) y = 2x, y = 3 − x, y = 0;

b) (x − 1)

2

+ (y + 7)

2

= 9;

c) x = 1, y = x, y

2

= 9x.

4. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

a)

Z Z

D

(x + y)dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 2x, y = 3 − x, y = 0;

b)

Z Z

D

(x

2

− y + 3)dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 0, y = x, y = 2x − 4.

5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:

a)

Z Z

D

e

−(x

2

+y

2

)

dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

¬ 2;

b)

Z Z

D

xydxdy, gdzie D : x ­ 0, 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2;

c)

Z Z

D

(x + y)dxdy, gdzie D : y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ x.

BUDOWNICTWO, SEMESTR II

6. Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

− 2y = 0, z = x

2

+ y

2

, z = 0;

b) x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0;

c) x

2

+ y

2

+ z

2

= 4, x

2

+ y

2

= 1, z = 0;

d) 6 − z = x

2

+ y

2

, z =

√

x

2

+ y

2

;

e) y

2

= x, y

2

= 2x, x = 2, z = x

2

+ y

2

, z = 0, y ­ 0.

7. Obliczyć pola podanych płatów:

a) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

¬ 1;

b) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x

2

+ y

2

− Rx ¬ 0, z ­ 0;

c) z =

√

x

2

+ y

2

, 1 ¬ z ¬ 2.