Mechanika i Budowa Maszyn I semestr

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki

– 1 –

1. ALGEBRA LINIOWA



Definicja iloczynu kartezjańskiego



Definicja macierzy



Działania na macierzach (mnożenie przez stałą, dodawanie, odejmowanie, mnożenie dwóch macierzy,
transponowanie)



Definicja wyznacznika



Własności wyznaczników



Metody obliczania wyznaczników

o Metoda Sarrusa
o

Rozwinięcie Laplace’a



Definicja macierzy odwrotnej



Wyznaczanie macierzy odwrotnej (z definicji, metodą eliminacji Gaussa)



Definicja rzędu macierzy



Własności rzędów macierzy



Twierdzenie Cramera



Twierdzenie Kroneckera-Capelliego



Jednorodny układ równań liniowych



Metoda eliminacji Gaussa



Metody rozwiązywania liniowych układów równań ( w szczególności układu równań

1

1









n

n

n

n

b

x

A

)



Zagadnienie własne (wektory i wartości własne)

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI

3

R

WEKTORY



Współrzędne wektora o początku w punkcie





A

A

A

z

y

x

A

,

,



i końcu w punkcie





B

B

B

z

y

x

B

,

,



.



Długość wektora



Działania na wektorach

o dodawanie
o

mnożenie przez skalar (liczbę)

o

mnożenie skalarne

o

mnożenie wektorowe

o iloczyn mieszany trzech wektorów



Definicja iloczynu skalarnego dwóch wektorów



Definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów



Warunek równoległości i prostopadłości wektorów



Wzór na pole równoległoboku/trójkąta zbudowanego na dwóch nierównoległych wektorach
(+wyprowadzenie)



Wzór na objętość równoległościanu/czworościanu zbudowanego na trzech niewspółpłaszczyznowych
wektorach (+wyprowadzenie)



Kąt zawarty pomiędzy dwoma wektorami

PŁASZCZYZNA



Wyprowadzenie równania płaszczyzny w postaci ogólnej o danym wektorze normalnym i przechodzącej
przez dany punkt



Wyprowadzenie równania trójpunktowego płaszczyzny



Kąt zawarty między płaszczyznami nierównoległymi



Warunek prostopadłości i równoległości płaszczyzn



Odległość punktu od płaszczyzny

PROSTA



Wyprowadzenie równania prostej w postaci kanonicznej i parametrycznej o danym wektorze kierunkowym i
przechodzącej przez dany punkt



Równanie krawędziowe prostej



Kąt zawarty między prostymi nierównoległymi



Warunek prostopadłości i równoległości prostych



Warunek przecinania się prostych

Mechanika i Budowa Maszyn I semestr

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki

– 2 –



Odległość punktu od prostej



Możliwe położenia dwóch prostych w przestrzeni

PROSTA I PŁASZCZYZNA



Kąt przecięcia płaszczyzny prostą



Wyznaczanie punktu przebicia płaszczyzny prostą



Odległość prostej od płaszczyzny równoległej do niej



Warunek prostopadłości prostej i płaszczyzny



Warunek równoległości prostej i płaszczyzny

3. CIĄGI LICZBOWE



Definicja ciągu liczbowego



Monotoniczność ciągu



Definicja granicy ciągu



Własności granic skończonych



Twierdzenie o trzech ciągach



Definicja liczby Eulera i jej wartość



Symbole nieoznaczone

4. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ



Definicja funkcji



Postaci funkcji



Odwzorowanie „na”, odwzorowanie „w”



Definicja funkcji różnowartościowej, monotonicznej, odwrotnej, złożonej



Funkcje cyklometryczne



Definicja granicy funkcji (w punkcie, lewostronna, prawostronna, niewłaściwa, w nieskończoności)



Definicja ciągłości funkcji



Asymptoty funkcji



Twierdzenie de’Hospitala



Definicja pochodnej funkcji i interpretacja geometryczna (wyprowadzenie z definicji pochodnej funkcji

2

x

y



,

x

y

ln



,

x

y

sin



,

x

y



)



Własności pochodnych funkcji



Wzór na pochodną sumy, różnicy, ilorazu i iloczynu dwóch funkcji ( + wyprowadzenie z definicji)



Definicja różniczki zupełnej funkcji i interpretacja geometryczna



Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej (wyprowadzenie pochodnej funkcji

x

e

y



,

x

y

arctg



,

x

y

sin

arc



,

x

y

arccos



)



Pochodna funkcji w postaci parametrycznej



Pochodna logarytmiczna



Pochodne funkcji wyższych rzędów



Pochodna funkcji złożonej



Zastosowania pochodnych



Krzywizna i promień krzywizny



Ekstrema funkcji (warunek konieczny i wystarczający)



Monotoniczność funkcji



Punkty przegięcia funkcji (warunek konieczny i wystarczający)



Wklęsłość i wypukłość funkcji

5. CAŁKA NIEOZNACZONA



Definicja całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej



Własności całek nieoznaczonych



Całkowanie przez podstawienie ( + wyprowadzenie wzoru)

o Podstawienie uniwersalne (dla funkcji trygonometrycznych)



Całkowanie przez części ( + wyprowadzenie wzoru)

Mechanika i Budowa Maszyn I semestr

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki

– 3 –

6. CAŁKA OZNACZONA



Definicja całki oznaczonej



Własności całek oznaczonych



Całkowanie przez podstawienie



Całkowanie przez części



Interpretacja geometryczna całki oznaczonej



Definicja obszaru normalnego względem osi

OX



Definicja obszaru normalnego względem osi

OY



Zastosowania całki oznaczonej

o

pole obszaru płaskiego, gdy funkcja jest w postaci:

 jawnej

)

(x

f

y



 parametrycznej











)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

 we współrzędnych biegunowych

)

(



r

r



o

długość łuku krzywej płaskiej, gdy funkcja jest w postaci:

 jawnej

)

(x

f

y



 parametrycznej











)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

 we współrzędnych biegunowych

)

(



r

r



o

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej względem osi

OX

i OY

o

Objętość bryły obrotowej względem osi

OX

i OY