Analiza - Całki nieoznaczone

Zadanie 1. Obliczyć całki nieoznaczone:

1)

Z

(5x

2

− 6x + 3 −

2

x

+

5

x

2

) dx

2)

Z

x(

√

x − x

2

3

√

x)

4

√

x

dx

3)

Z

tg

2

x dx

Zadanie 2. Korzystając z twierdzeń o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez pod-
stawienie obliczyć całki nieoznaczone:

1)

Z

x sin xdx

2)

Z

xe

x

dx

3)

Z

ln xdx

4)

Z

x

3

e

x

dx

5)

Z

e

x

sin xdx

6)

Z

1

x + 5

dx

7)

Z

ln

2

x

x

dx

8)

Z

tg x dx

9)

Z

xe

−x

2

dx

10)

Z

arc tg x

1 + x

2

dx

11)

Z

x

3

1 + x

8

dx

12)

Z

3

√

tg x + 3

cos

2

x

dx

13)

Z

e

1
x

x

2

dx

14)

Z

sin

3

x cos xdx 15)

Z

dx

x · ln x · ln(ln x)

16)

Z

sin(ln x)dx

17)

Z

x

cos

2

x

dx 18)

Z

arc tg xdx

19)

Z

tgx

1 + tg

4

x

·

1

cos

2

x

dx 20)

Z

dx

e

x

+ e

−x

Zadanie 3. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:

1)

Z

2x + 3

(x − 2)(x + 5)

dx

2)

Z

3x + 1

x

5

+ 2x

3

+ x

dx

3)

Z

dx

6x

3

− 7x

2

− 3x

4)

Z

dx

x

3

+ x

5)

Z

x + 1

x

4

+ x

2

+ 4

dx

6)

Z

dx

(1 + x

2

)

3

7)

Z

dx

x

6

+ 3x

4

− 4

8)

Z

x

5

+ x

4

− 8

x

3

− 4x

dx

9)

Z

dx

(x

2

+ 2x + 10)

3

Podstawienia Eulera – dotyczą całek postaci

Z

F (x,

√

ax

2

+ bx + c)dx,

gdzie F (x, z) jest wyrażeniem wymiernym zmiennych x, z.

Pierwsze podstawienie Eulera (dla a > 0):

√

ax

2

+ bx + c = ±

√

ax + y

x =

y

2

− c

b ∓ 2

√

ay

!

.

Drugie podstawienie Eulera (dla c > 0):

√

ax

2

+ bx + c = ±

√

c + xy

x =

b ∓ 2

√

cy

y

2

− a

!

.

Trzecie podstawienie Eulera (stosowane, gdy wielomian ax

2

+ bx + c ma dwa różne

pierwiastki rzeczywiste α, β):

√

ax

2

+ bx + c = (x − α)y

x =

aβ − αy

2

a − y

2

!

.

1

2

Zadanie 4. Stosując podstawienia Eulera lub inne metody obliczyć całki:

1)

Z

dx

x

√

x

2

+ 4x − 4

2)

Z

dx

(2x − 3)

√

4x − x

2

3)

Z

dx

x

2

(x +

√

1 + x

2

)

4)

Z

√

1 + x

2

2 + x

2

dx

5)

Z

x − 1

x

2

√

2x

2

− 2x + 1

6)

Z

dx

(x

2

+ x + 1)

√

x

2

+ x − 1

Zadanie 5. Obliczyć całki z funkcji niewymiernych:

1)

Z

dx

(1 +

4

√

x)

3

√

x

,

2)

Z

xdx

q

1 +

3

√

x

2

3)

Z

3

s

x + 1

x − 1

·

dx

x + 1

Całki z funkcji trygonometrycznych postaci

Z

F (sin x, cos x)dx,

gdzie F jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, można sprowadzać do całek z funkcji
wymiernych, stosując uniwersalne podstawienie:

tg

x

2

= y.

Wówczas

sin x =

2 tg

x
2

1 + tg

2 x

2

=

2y

1 + y

2

,

cos x =

1 − tg

2 x

2

1 + tg

2 x

2

=

1 − y

2

1 + y

2

,

dx

dy

=

2

1 + y

2

.

Dodajmy jednak, że w niektórych sytuacjach można użyć prostszego podstawienia (np. w
Zadaniu 6.2 poniżej można podstawić tg x = y). Podane powyżej uniwersalne podstawie-
nie należy więc stosować wtedy, gdy zawiodą prostsze metody.

Zadanie 6. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:

1)

Z

1 + sin x

sin x(1 + cos x)

dx

2)

Z

sin

4

x

cos

6

x

dx

3)

Z

cos

4

xdx

4)

Z

sin

3

x

cos

4

x

dx

5)

Z

dx

sin x cos x

6)

Z

dx

tg

8

x

7)

Z

tg

5

xdx

8)

Z

2 − sin x

2 + cos x

dx

Koncept, wybór i kod: W.R.