1

1

Mechanika ogólna

Mechanika ogólna

Wykład nr 2

Wykład nr 2

Wypadkowa dowolnego układu sił.

Wypadkowa dowolnego układu sił.

Równowaga.

Równowaga.

Rodzaje sił i obciążeń.

Rodzaje sił i obciążeń.

Rodzaje ustrojów prętowych.

Rodzaje ustrojów prętowych.

Wyznaczanie reakcji.

Wyznaczanie reakcji.

Wypadkowa układu sił

Wypadkowa układu sił

równoległych

równoległych

n

n

Przyłożenie układu

Przyłożenie układu

zerowego (układ sił

zerowego (układ sił

równoważących się,

równoważących się,

np. dwie siły o

np. dwie siły o

takiej samej mierze,

takiej samej mierze,

linii działania i

linii działania i

przeciwnych

przeciwnych

zwrotach) nie

zwrotach) nie

wpływa na stan

wpływa na stan

równowagi ciała.

równowagi ciała.

W

P

1

P

2

Z

Z

Z

Z

W

2

W

1

W

1

W

2

P

2

P

1

P

1

P

2

2

2

Moment siły

Moment siły

(1)

(1)

n

n

Moment siły względem punktu

Moment siły względem punktu –– iloczyn

iloczyn

wektorowy promienia wodzącego, czyli

wektorowy promienia wodzącego, czyli

wektora łączącego omawiany punkt i punkt

wektora łączącego omawiany punkt i punkt

przyłożenia siły, oraz wektora siły:

przyłożenia siły, oraz wektora siły:

P

r

M

´

=

P

O

a

sin

P

r

M

P

O

×

=

a

sin

×

=

^

r

r

P

r

M

P

O

×

=

^

3

3

O

P

r

r

┴

a

a

Moment siły

Moment siły

(2)

(2)

n

n

Moment siły względem prostej

Moment siły względem prostej --
Momentem względem prostej

Momentem względem prostej

nazywamy iloczyn wektorowy

nazywamy iloczyn wektorowy
promienia wodzącego, czyli wektora

promienia wodzącego, czyli wektora
łączącego punkt prostej najbliższy

łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,

kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
i wektora siły:

i wektora siły:

M

M

ll

=

=rr

×× PP

4

4

Para sił

Para sił

n

n

Parę sił

Parę sił stanowią dwie siły o równoległych

stanowią dwie siły o równoległych

liniach działania, o przeciwnych zwrotach,

liniach działania, o przeciwnych zwrotach,

zaś o tych samych miarach.

zaś o tych samych miarach.

n

n

Ramię pary sił

Ramię pary sił –– odległość pomiędzy

odległość pomiędzy

kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.

kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.

P

P

P

=

=

2

1

Pa

M

=

P

1

P

2

a

5

5

Dowolny płaski układ sił

Dowolny płaski układ sił

(1)

(1)

n

n

Redukcja do siły wypadkowej

Redukcja do siły wypadkowej

przyłożonej w biegunie redukcji i

przyłożonej w biegunie redukcji i

wypadkowego momentu względem

wypadkowego momentu względem

tego bieguna.

tego bieguna.

n

n

Siły składowe mogą zostać

Siły składowe mogą zostać

przeniesione do bieguna redukcji,

przeniesione do bieguna redukcji,

pod warunkiem przyłożenie

pod warunkiem przyłożenie

momentu od tych sił względem

momentu od tych sił względem

bieguna redukcji.

bieguna redukcji.

6

6

Dowolny płaski układ sił

Dowolny płaski układ sił

(2)

(2)

n

n

Wypadkową siłę wyznacza się dla układu

Wypadkową siłę wyznacza się dla układu

zbieżnego przyłożonego w biegunie

zbieżnego przyłożonego w biegunie

redukcji.

redukcji.

n

n

Wypadkowy moment jest równy sumie

Wypadkowy moment jest równy sumie

momentów od sił składowych.

momentów od sił składowych.

1

n

i

i

=

=

å

W

P

1

1

n

n

o

i

i

io

i

i

=

=

=

´ =

å

å

M

r P

M

7

7

Przykład

Przykład

(1)

(1)

x

y

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

a

3

a

2

P

1x

P

1y

P

1

a

1

(x ,y )

1

1

(x ,y )

3

3

(x ,y )

2

2

0

8

8

Przykład

Przykład

(2)

(2)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

a

1

a

3

a

2

P

1

M

P1

0

0

1

1

1

1

1

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

-

=

9

9

Przykład

Przykład

(3)

(3)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

a

1

a

3

a

2

M

P2

0

0

P

2

2

2

2

2

2

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

-

=

10

10

Przykład

Przykład

(4)

(4)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

a

1

a

3

a

2

M

P3

0

0

P

3

3

3

3

3

3

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

-

=

11

11

Przykład

Przykład

(5)

(5)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

a

1

a

3

a

2

M

0

0

W

3

0

2

0

1

0

0

P

P

P

M

M

M

M

+

+

=

12

12

Dowolny płaski układ sił

Dowolny płaski układ sił

(3)

(3)

n

n

Wypadkowy moment może zostać

Wypadkowy moment może zostać
przedstawiony jako:

przedstawiony jako:

–– wektor momentu;

wektor momentu;

–– para sił;

para sił;

–– moment od siły wypadkowej przyłożonej

moment od siły wypadkowej przyłożonej

nie w biegunie redukcji, a na linii

nie w biegunie redukcji, a na linii

działania wyznaczonej w taki sposób, że

działania wyznaczonej w taki sposób, że
moment od siły wypadkowej równy jest

moment od siły wypadkowej równy jest

momentowi od sił składowych.

momentowi od sił składowych.

13

13

Moment od wypadkowej

Moment od wypadkowej

x

y

W

y

M

0

0

W

a

W

W

x

x

0

y

0

0

0

0

x

W

y

W

M

y

x

+

-

=

x

y

W

M

x

W

y

0

0

0

-

=

x

W

M

x

y

0

0

0

tg

-

=

a

14

14

Uogólnienie w przestrzeni

Uogólnienie w przestrzeni

n

n

Układ sił

Układ sił zbieżnych

zbieżnych –– redukcja do siły

redukcja do siły

wypadkowej przyłożonej w punkcie

wypadkowej przyłożonej w punkcie

zbieżności.

zbieżności.

n

n

Dowolny

Dowolny przestrzenny układ sił

przestrzenny układ sił ––

redukcja do wypadkowej siły i

redukcja do wypadkowej siły i
wypadkowego momentu.

wypadkowego momentu.

15

15

16

16

Stan równowagi

Stan równowagi

n

n

Równowaga statyczna

Równowaga statyczna
Punkt materialny (ciało sztywne) jest

Punkt materialny (ciało sztywne) jest
w równowadze, jeżeli pod wpływem

w równowadze, jeżeli pod wpływem

układu sił, nie porusza się on lub

układu sił, nie porusza się on lub
porusza się ruchem jednostajnym

porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Taki układ sił nazywa

prostoliniowym. Taki układ sił nazywa
się zrównoważonym lub

się zrównoważonym lub
równoważnym zeru.

równoważnym zeru.

17

17

Oswobodzenie z więzów

Oswobodzenie z więzów

n

n

Ciało nieswobodne można myślowo

Ciało nieswobodne można myślowo
oswobodzić z więzów, zastępując ich

oswobodzić z więzów, zastępując ich

działanie reakcjami.

działanie reakcjami.

n

n

Ciało oswobodzone z więzów można

Ciało oswobodzone z więzów można
traktować jako swobodne pod

traktować jako swobodne pod
działaniem sił czynnych (obciążeń) i

działaniem sił czynnych (obciążeń) i
biernych (reakcji).

biernych (reakcji).

18

18

Rodzaje sił w mechanice

Rodzaje sił w mechanice

n

n

W mechanice wyróżnia się następujące

W mechanice wyróżnia się następujące
rodzaje sił:

rodzaje sił:

–– siły zewnętrzne

siły zewnętrzne -- obciążenie

obciążenie

pochodzące od innych ciał;

pochodzące od innych ciał;

–– reakcje

reakcje -- siły zewnętrzne wynikające ze

siły zewnętrzne wynikające ze

sposobu zamocowania konstrukcji;

sposobu zamocowania konstrukcji;

–– siły wewnętrzne

siły wewnętrzne -- wzajemne

wzajemne

oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.

oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.

19

19

Więzy

Więzy –

– nacisk

nacisk

(1)

(1)

n

n

Powierzchnia płaska na płaszczyźnie:

Powierzchnia płaska na płaszczyźnie:

–– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;

reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;

n

n

Przekrój kołowy na płaszczyźnie:

Przekrój kołowy na płaszczyźnie:

–– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku

reakcja prostopadła do płaszczyzny styku
(stycznej w punkcie styczności);

(stycznej w punkcie styczności);

G

R

G

G

G

R

20

20

Więzy

Więzy –

– nacisk

nacisk

(2)

(2)

n

n

Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:

Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:

–– reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w

reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w

punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki

punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki

okręgów);

okręgów);

n

n

Punkt na płaszczyźnie:

Punkt na płaszczyźnie:

–– reakcja prostopadła do płaszczyzny.

reakcja prostopadła do płaszczyzny.

G

A

B

C

Q

G

A

B

C

Q

R

A

R

B

R

C

R

A

Q

R

C

R

D

R

D

G

R

B

21

21

Równowaga dwóch sił

Równowaga dwóch sił

n

n

Układ dwóch sił pozostaje w

Układ dwóch sił pozostaje w

równowadze, jeżeli siły te leżą na

równowadze, jeżeli siły te leżą na

jednej prostej, mają przeciwne zwroty

jednej prostej, mają przeciwne zwroty

i takie same miary.

i takie same miary.

G

R

=

G

R

-

=

G

G

R

22

22

Równowaga trzech sił

Równowaga trzech sił

n

n

Układ trzech sił jest zrównoważony,

Układ trzech sił jest zrównoważony,

jeżeli siły te tworzą płaski układ sił,

jeżeli siły te tworzą płaski układ sił,

przecinają się w jednym punkcie, zaś

przecinają się w jednym punkcie, zaś

wielobok sznurowy zbudowany z tych

wielobok sznurowy zbudowany z tych

sił jest zamknięty.

sił jest zamknięty.

G

A

B

R

B

G

R

A

R

B

R

A

G

23

23

Równania równowagi

Równania równowagi
punktu materialnego

punktu materialnego

n

n

II zasada dynamiki Newtona:

II zasada dynamiki Newtona:

n

n

Jeżeli punkt materialny jest w stanie

Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:

równowagi statycznej, to:

P

a

= m

a

P

=

Þ

=

0

0

24

24

Równania równowagi ciała

Równania równowagi ciała
sztywnego (siły zbieżne)

sztywnego (siły zbieżne)

n

n

II zasada dynamiki Newtona:

II zasada dynamiki Newtona:

n

n

Jeżeli punkt materialny jest w stanie

Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:

równowagi statycznej, to:

P

P

P

P

P

a

1

2

3

4

n

+

+

+

+.......

= m

a

P

=

Þ

=

å

0

0

i

i=1

n

25

25

Układ sił zbieżnych

Układ sił zbieżnych

n

n

Układ sił, przyłożonych do ciała

Układ sił, przyłożonych do ciała

sztywnego, których kierunki działania

sztywnego, których kierunki działania

przecinają się w jednym punkcie

przecinają się w jednym punkcie.

.

Układ takich sił jest w równowadze,

Układ takich sił jest w równowadze,

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

tworzą wielobok zamknięty.

tworzą wielobok zamknięty.

W

P

P

P

P

P

P

=

=

å

1

2

3

4

n

i=1

n

+

+

+

+.......

=

i

0

26

26

Płaski układ sił zbieżnych

Płaski układ sił zbieżnych

n

n

Układ sił, przyłożonych do ciała

Układ sił, przyłożonych do ciała

sztywnego, których kierunki działania

sztywnego, których kierunki działania

leżą w jednej płaszczyźnie

leżą w jednej płaszczyźnie i i

przecinają się w jednym punkcie.

przecinają się w jednym punkcie.

Układ takich sił jest w równowadze,

Układ takich sił jest w równowadze,

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

tworzą wielobok zamknięty.

tworzą wielobok zamknięty.

W

P

P

P

P

P

P

=

=

å

1

2

3

4

n

i=1

n

+

+

+

+.......

=

i

0

27

27

Równania równowagi

Równania równowagi

układu sił zbieżnych

układu sił zbieżnych

n

n

Aby siły zbieżne były w równowadze,

Aby siły zbieżne były w równowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu

sumy rzutów tych sił na osie układu

współrzędnych muszą być równe zeru.

współrzędnych muszą być równe zeru.

.

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

å

å

å

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

P

P

P

28

28

Równania równowagi

Równania równowagi
płaskiego układu sił zbieżnych

płaskiego układu sił zbieżnych

n

n

Aby siły zbieżne, leżące w jednej

Aby siły zbieżne, leżące w jednej
płaszczyźnie, były w równowadze,

płaszczyźnie, były w równowadze,

sumy rzutów tych sił na osie układu

sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru.

współrzędnych muszą być równe zeru.

.

0

;

0

1

1

=

=

å

å

=

=

n

i

iy

n

i

ix

P

P

29

29

Warunki równowagi układu

Warunki równowagi układu
zbieżnego (podsumowanie)

zbieżnego (podsumowanie)

Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.

Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.

zamyka się wielobok sznurowy sił

zamyka się wielobok sznurowy sił

(graficznie), a sumy rzutów sił układu na

(graficznie), a sumy rzutów sił układu na

osie układu współrzędnych muszą być

osie układu współrzędnych muszą być

równe zeru (analitycznie).

równe zeru (analitycznie).

n

n

Przestrzenny układ sił

Przestrzenny układ sił

n

n

Płaski układ sił

Płaski układ sił

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

å

å

å

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

P

P

P

;

0

;

0

1

1

=

=

å

å

=

=

n

i

iy

n

i

ix

P

P

30

30

Równania równowagi ciała

Równania równowagi ciała
sztywnego (dowolny układ sił)

sztywnego (dowolny układ sił)

n

n

Jeżeli ciało sztywne jest w stanie

Jeżeli ciało sztywne jest w stanie
równowagi statycznej,

równowagi statycznej, to dodatkowo:

to dodatkowo:

å

å

å

=

=

=

´

-

=

´

=

´

=

n

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

o

m

m

1

1

1

)

(

r

a

a

r

P

r

M

0

0

o

= Þ

=

a

M

31

31

Warunki równowagi

Warunki równowagi

dowolnego układu sił

dowolnego układu sił

(1)

(1)

n

n

Płaski układ sił

Płaski układ sił

lub

lub

lub

lub

l

C

B

A

M

M

M

n

i

iC

n

i

iB

n

i

iA

Ï

=

=

=

å

å

å

=

=

=

,

,

0

;

0

;

0

1

1

1

1

1

1

0;

0;

0

n

n

n

ix

iA

iB

i

i

i

P

M

M

AB

x

=

=

=

=

=

=

^

å

å

å

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

å

å

å

=

=

=

n

i

iO

n

i

iy

n

i

ix

M

P

P

32

32

Warunki równowagi

Warunki równowagi

dowolnego układu sił

dowolnego układu sił

(2)

(2)

n

n

Przestrzenny układ sił

Przestrzenny układ sił

0

;

0

;

0

0

;

0

;

0

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

å

å

å

å

å

å

=

=

=

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

M

M

M

P

P

P

33

33

Przykład

Przykład

(dwa układy zbieżne)

(dwa układy zbieżne)

(1)

(1)

G

A

B

C

Q

r

R

a

b

a

b

d

R

d-R

R

+r

R-r

y

1

y

2

(

) (

)

2

2

2

r

R

r

R

y

-

-

+

=

r

R

y

+

=

2

sin

b

r

R

r

R

+

-

=

b

cos

(

)

2

2

1

R

d

R

y

-

-

=

R

y

1

sin

=

a

R

r

d

-

=

a

cos

34

34

Przykład

Przykład

(dwa układy zbieżne)

(dwa układy zbieżne)

(2)

(2)

å

=

-

=

0

cos

C

D

R

R

X

b

å

=

-

=

0

sin

Q

R

Y

D

b

å

=

-

-

=

0

cos

cos

b

a

D

B

A

R

R

R

X

å

=

-

-

=

0

sin

sin

b

a

D

A

R

G

R

Y

Q

Q

R

C

R

D

R

D

R

C

b

b

R

B

G

R

A

R

D

G

R

A

R

D

R

B

a

a

b

35

35

Przykład

Przykład

(układ niezbieżny)

(układ niezbieżny)

å

=

-

-

=

0

cos

C

B

A

R

R

R

X

a

å

=

-

-

=

0

sin

G

Q

R

Y

A

a

(

)

å

=

-

×

-

×

=

0

2

1

r

R

Q

y

R

M

C

o

G

A

B

C

Q

r

R

R

A

R

B

R

C

a

b

R

d-R

R

+r

R-r

y

1

y

2

b

a

O

1

O

2

36

36

Równowaga par sił

Równowaga par sił

n

n

Aby układ par sił, działających w

Aby układ par sił, działających w
jednej płaszczyźnie na ciało sztywne,

jednej płaszczyźnie na ciało sztywne,

znajdował się w równowadze, suma

znajdował się w równowadze, suma
momentów tych par musi być równa

momentów tych par musi być równa
zero.

zero.

0

1

=

å

=

n

i

i

M

P

1

a

1

P

1

P

2

a

2

P

2

P

3

a

3

P

3