Geometria figur płaskich

Podstawowe wzory

1. Momenty statyczne

•

względem osi Ox

1

n

x

i

i

i

A

S

ydA

A y

=

=

=

∑

∫

•

względem osi Oy

1

n

y

i

i

i

A

S

xdA

A x

=

=

=

∑

∫

A

i

– pole i-tego fragmentu przekroju

2. Środek ciężkości – punkt C

1

1

n

i

i

y

i

A

C

n

i

i

xdA

A x

S

x

A

A

A

=

=

=

=

=

∑

∫

∑

1

1

n

i

i

x

i

A

C

n

i

i

ydA

A y

S

y

A

A

A

=

=

=

=

=

∑

∫

∑

3. Moment bezwładności osiowy

2

x

A

I

y dA

=

∫

2

y

A

I

x dA

=

∫

4. Moment bezwładności odśrodkowy (moment dewiacji)

xy

xy

A

I

D

xydA

=

=

∫

5. Moment bezwładności biegunowy

(

)

2

2

2

2

2

0

x

y

A

A

A

A

I

r dA

x

y

dA

x dA

y dA I

I

=

=

+

=

+

= +

∫

∫

∫

∫

6. Wzory Steiner’a

2

2

0

2

0

0 0

O

C

C

x

x

C

y

y

C

xy

x y

C

C

I

I

Ar

I

I

Ay

I

I

Ax

I

I

Ax y

=

+

=

+

=

+

=

+

7. Obrócony układ współrzędnych Oξη

2

2

2

2

cos

sin

sin 2

sin

cos

sin 2

sin 2

cos 2

2

x

y

xy

x

y

xy

x

y

xy

O

x

y

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

const

ξ

η

ξη

ξ

η

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

−

=

+

+

−

=

+

= + = + =

8. Osie główne

0

0

2

2

0

0

0

2

2

0

0

0

2

2

1

0

tg2

arctg

2

cos

sin

sin 2

sin

cos

sin 2

g

g

g

g

xy

xy

x y

y

x

y

x

x

x

y

xy

y

x

y

xy

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

→

=

→

=

−

−

=

+

−

=

+

+