1

Liczby zespolone

Definicja

Liczbą zespoloną nazywamy uporządowaną parę liczb

rzeczywistych, tj.

z = (x, y)

. Zbiór wszystkich liczb zespolonych

oznaczamy:

C

, zatem

C = { z = (x, y) : x, y ∈ R }

Działania na liczbach zespolonych

Niech

z

1

= (x

1

, y

1

)

i

z

2

= (x

2

, y

2

)

.

• Równość liczb zespolonych

z

1

= z

2

⇐⇒

x

1

= x

2

∧

y

1

= y

2

2

• Dodawanie liczb zespolonych

z

1

+ z

2

= ( x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

)

• Mnożenie liczb zespolonych

z

1

· z

2

= ( x

1

· x

2

− y

1

· y

2

, x

1

· y

2

+ x

2

· y

1

)

Zbiór liczb rzeczywistych

Liczby zespolone postaci

(x, 0)

mają własności:

(x

1

, 0) + (x

2

, 0) = ( x

1

+ x

2

, 0 )

(x

1

, 0) · (x

2

, 0) = ( x

1

· x

2

, 0 )

Przyjmiemy więc, że

(x, 0) = x

a zbiór wszytkich liczb zespolonych

postaci

(x, 0)

utożsamimy ze zbiorem liczb rzeczywistych

R

.

3

Mamy zatem

R ⊂ C

Zbiór liczb urojonych

Liczby zespolone postaci

(0, y)

nazywamy liczbami urojonymi.

Liczbę

(0, 1)

nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem

i

. Mamy wówczas

(0, y) = (0, 1) · (y, 0) = iy

.

Fakt

i

2

= −1

Postać algebraiczna liczby zespolonej

4

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy,

x, y ∈ R

Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postacią

algebraiczną.

• Liczbę

x

nazywamy częścią rzeczywistą (realis) liczby zespolonej

z

, co zapisujemy:

x = Re z

• Liczbę

y

nazywamy częścią urojoną (imaginalis) liczby zespolonej

z

, co zapisujemy:

y = Im z

5

Uwaga

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w

postaci algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie

i mnożenie wielomianów zmiennej

i

, z uwzględnieniem faktu

i

2

=

−1

.

Przykład

Oblicz:

a)

(2 − 3i) + 5(1 + 2i)

b)

(1 − i)(4 + 2i) − (1 + i)i

19

Sprzężenie liczby zespolonej

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej

z = x + iy

, gdzie

x, y ∈ R

, nazywamy liczbę

z

określoną wzorem:

z = x − iy.

6

Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii

względem osi

Re z

.

Fakt

(Własności sprzężenia liczb zespolonych)

•

(z) = z

•

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

•

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

•

z

1

: z

2

= z

1

: z

2

,

z

2

6= 0

•

z + z = 2 Re z

•

z − z = 2i Im z

Uwaga

Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną

z = x + iy

należy

dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę sprzężoną

z = x − iy

.

Przykład

Oblicz:

7

a)

(2−3i)+5(1+2i)

1−i

b)

2+i

4+2i

−

1+i

i

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Definicja Modułem liczby zespolonej

z = x+iy

, gdzie

x, y ∈ R

,

nazywamy liczbę rzeczywistą

|z|

określoną wzorem:

|z| =

s

x

2

+ y

2

.

Przykład

Oblicz moduły liczb zespolonych:

a)

z = −i

b)

z = −1 + 3i

Fakt

(Własności modułu liczb zespolonych)

•

|z| = | − z| = |z|

8

•

|z|

2

= z · z

•

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|

•

|z

1

: z

2

| = z

1

| : |z

2

|,

z

2

6= 0

•

|z

1

+ z

2

| 6 |z

1

| + |z

2

|

•

| |z

1

| − |z

2

| | 6 |z

1

− z

2

|

•

|Re z| 6 |z|

•

|Im z| 6 |z|

Przykład

Oblicz moduły liczb zespolonych:

a)

(1 + 2i)(3 − 4i)

b)

(3−

√

3 i)

2

(

√

2+2i)

3

Definicja

Argumentem liczby zespolonej

z = x + iy

, gdzie

9

x, y ∈ R

, nazywamy liczbę rzeczywistą

ϕ

, spełniającą warunki:

cos ϕ =

x

|z|

,

sin ϕ =

y

|z|

.

Uwaga

Każda liczba zespolona

z 6= 0

ma nieskończenie wiele

argumentów postaci:

arg z = ϕ + 2kπ.

Definicja

Argumentem głównym liczby zespolonej

z

nazywamy

ten spośród jej argumentów, który należy do przedziału

(−π, π]

.

Argument ten oznaczamy symbolem

Arg z

.

Przykład

Oblicz argumenty główne liczb zespolonych:

a)

z = −i

10

b)

z =

√

3 − i

Fakt

(Własności argumentu liczb zespolonych)

•

arg( z

1

· z

2

) = arg z

1

+ arg z

2

•

arg( z

n

) = n arg z

•

arg( z

1

: z

2

) = arg z

1

− arg z

2

,

z

2

6= 0

Przykład

Oblicz argumenty główne liczb zespolonych:

a)

(1 + i)i

4

b)

(1−

√

3 i)

2

(2+2i)

3

z = x + iy = |z| cos ϕ + i |z| sin ϕ = |z| ( cos ϕ + i sin ϕ )

ϕ = Arg z

11

Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postacią

trygonometryczną.

Przykład

Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

a)

z = −i

b)

z = 3

c)

z = −2 + 2i

d)

z =

√

3 − i

Działania na liczbach zespolonych

w postaci trygonometrycznej

Niech

z

1

= |z

1

| ( cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

)

i

z

2

= |z

2

| ( cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

)

.

•

z

1

· z

2

= |z

1

| · |z

2

| ( cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

) )

•

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

( cos(ϕ

1

− ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

− ϕ

2

) ) ,

z

2

6= 0

12

Fakt

(Wzór Moivre’a) Niech

z = |z| ( cos ϕ + i sin ϕ )

. Wówczas

z

n

= |z|

n

( cos(n ϕ) + i sin(n ϕ) ).

Przykład

Zapisz w postaci algebraicznej liczby zespolone:

a)

z = (1 − i)

2007

b)

z =

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Definicja Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej

z

nazywamy

każdą liczbę zespoloną

w

, która spełnia warunek

w

n

= z.

13

Przykład

Zauważmy, że:

a)

√

4 = ±2

, bo

2

2

= 4

i

(−2)

2

= 4

b)

√

−4 = ±2i

, bo

(2i)

2

= −4

i

(−2i)

2

= −4

Fakt

Niech

z = |z| ( cos ϕ + i sin ϕ ) 6= 0

. Wówczas

n

√

z =

n

s

|z| ( cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie

k = 0, 1, . . . , n − 1

.

Przykład

Oblicz:

a)

4

√

1

b)

3

√

−i

c)

4

s

8

√

3 − 8i

Przykład

(Inne sposoby obliczania pierwiastków)

a)

√

−9

14

b)

√

−3 + 4i

Wielomiany zespolone

Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych

Wielomianem zespolonym stopnia n nazywamy funkcję postaci:

W (z) = a

n

z

n

+ a

n−1

z

n−1

+ . . . + a

1

z + a

0

,

gdzie

z ∈ C

i

a

k

∈ C

dla

k = 0, 1, . . . , n

.

Twierdzenie

Każdy wielomian zespolony stopnia n ma dokładnie

n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).

Przykład

W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równania:

a)

z

4

− (1 + i)

4

= 0

b)

z

2

− (2 + i)z − 1 + 7i = 0

c)

z

4

− 30z

2

+ 289 = 0

15

d)

z

3

= (iz + 1)

3

Twierdzenie

Niech

W (z) = a

n

z

n

+ a

n−1

z

n−1

+ . . . + a

1

z + a

0

,

będzie wielomianem zespolonym o współczynnikach rzeczywistych,

tj.

a

k

∈ R

dla

k = 0, 1, . . . , n

.

Wówczas liczba zespolona

z

0 jest pierwiastkiem wielomianu

W (z)

wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zespolona

z

0

jest pierwiastkiem

wielomianu

W (z)

.

Przykład

Wiedząc, że

z

1

= −1 + i

jest pierwiastiem wielomianu

W (z) = z

4

+ 2z

3

+ 5z

2

+ 6z + 6,

znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.