METODY OBLICZENIOWE

Interpolacja funkcji

Interpolacja wielomianem

PolynomialInterpolation

(dane_x, dane_y, zmienna/wartość, opcje

1

)

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Spline

(dane_x, dane_y, zmienna/wartość, opcje

2

)

Uwaga: Komendy dostępne z pakietu

CurveFitting

Oznaczenia:

dane_x

, dane_y – listy lub wektory odpowiednich współrzędnych.

zmienna

/ wartość – nazwa zmiennej niezależnej w wielomianie interpolacyjnym lub jej

wartość.

opcje

1

– dodatkowy argument (wyrażenie postaci form=Lagrange lub form=Newton)

pozwalający określić formę wielomianu interpolacyjnego. Domyślnie wielomian
przedstawiany jest w postaci standardowej.

opcje

2

– dodatkowy argument (wyrażenie postaci degree = n ) pozwalający zadać stopień n

wielomianów przedziałami zmiennych. Domyślnie komenda używa wielomianów
stopnia trzeciego.

Zadania

1. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny przechodzący przez punkty: (0,2), (1,4), (2,1), (3,-3),

(4,-2), (5,0), (6,2), (7,1), następnie wyznaczyć wartość tego wielomianu w punkcie x = 6.5.

2. Wyznaczyć funkcje sklejane trzeciego stopnia przechodzące przez punkty dane w zadaniu

1. Obliczyć wartość otrzymanej funkcji interpolacyjnej w punkcie x = 6.5.

3. Wykreślić wielomian interpolacyjny z zadania 1, funkcję interpolacyjną z zadania 2 oraz

punkty interpolacji w jednym układzie współrzędnych.

4. Wyznaczyć funkcje sklejane drugiego i piątego stopnia przechodzące przez punkty dane w

zadaniu 1. Wykreślić te krzywe wraz z punktami interpolacji w jednym układzie
współrzędnych.

5. Wykorzystując punkty z zadania 1 wyznaczyć wielomiany składowe L

i

(x) wzoru

interpolacyjnego Lagrange’a

1

( )

,

1,...,

n

j

i

j

i

j

j i

x

x

L x

i

n

x

x

=
≠

−

=

=

−

∏

gdzie n oznacza liczbę punktów, a x

k

są pierwszymi współrzędnymi tych punktów.

6. Wykazać, że wielomiany składowe wzoru interpolacyjnego Lagrange’a spełniają warunek

delty Kroneckera

1,

(

)

0,

i

j

i j

i

j

L x

i

j

δ

=



=

=



≠



Zadanie rozwiązać budując macierz o elementach

(

)

i j

i

j

M

L x

=

.

7. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny przechodzący przez punkty dane w zadaniu 1

wykorzystując wielomiany składowe Lagrange’a z zadania 5. Wielomian interpolacyjny
dany jest wzorem

1

( )

( )

n

i

i

i

w x

y L x

=

=

∑

gdzie n oznacza liczbę punktów, a y

i

są drugimi współrzędnymi punktów.