1

Wykład V

Krzywe drugiego stopnia

Okrąg

Elipsa

Hiperbola

Parabola

2

Okrąg

Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny
XOY odległych o r (r>0) od ustalonego punktu S(a,b). Punkt
S(a,b) nazywamy środkiem okręgu, natomiast r - promieniem.

Współrzędne punktów okręgu spełniają równość:

(

)

(

)

2

2

2

r

b

y

a

x

=

−

+

−

S(a,b)

r

P(x,y)

3

Elipsa

Elipsą

nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,

których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F

1

i F

2

,

nazywanych ogniskami elipsy, jest stałą i wynosi 2a.

Współrzędne punktów
elipsy spełniają równość:

F

2

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

b

a

F

1

P(x,y)

4

Ogniska elipsy

mają współrzędne F

1

(-c,0) i F

2

(c,0) , gdzie

c

2

=a

2

-b

2

.

Elipsa

posiada 4 wierzchołki:

A

1

, A

2

, B

1

, B

2

, które spełniają:

|A

1

A

2

|=2a, |B

1

B

2

|=2b.

A

1

(-a,0)

A

2

(a,0)

B

1

(0,-b)

B

2

(0,b)

Odcinek |A

1

A

2

|=2a nazywa

się

dużą osią,

natomiast

odcinek |B

1

B

2

|=2b

małą osią

.

Elipsa

posiada:

mimośród

, który jest stosunkiem |F

1

F

2

| do |A

1

A

2

|, czyli e=2c/2a=c/a

dwie kierownice: x=±a/e =±a

2

/c

c

a

x

2

−

=

c

a

x

2

=

Jeżeli środkiem elipsy jest dowolny punkt S(x

0

,y

0

), wówczas równanie

elipsy ma postać:

b

a

P(

x

,

y

)

F

1

(-

c

,0) S(0,0)

F

2

(

c

,0)

(

)

(

)

1

2

2

0

2

2

0

=

−

+

−

b

y

y

a

x

x

Ponadto, wierzchołki, ogniska i kierownice nale

ż

y przesun

ąć

o wektor

v

=[x

0

,y

0

].

5

Hiperbola

Hiperbolą

nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny,

których moduł różnicy odległości od dwóch ustalonych
punktów F

1

i F

2

, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stałą i

wynosi 2a.

Współrzędne punktów
hiperboli spełniają równość:

F

2

1

2

2

2

2

=

−

b

y

a

x

F

1

b

a

a

b

P(

x

,

y

)

6

Ogniska hiperboli

mają współrzędne F

1

(-c,0) i F

2

(c,0) ,

gdzie c

2

=a

2

+b

2

.

Hiperbola

posiada 2 wierzchołki: A

1

i A

2

, które spełniaj

ą

: |A

1

A

2

|=2a.

Odcinek |A

1

A

2

|=2a nazywa si

ę

osią rzeczywistą

natomiast odcinek

|B

1

B

2

|=2b

osią urojoną

.

Hiperbola

posiada (identycznie jak elipsa)

mimośród

, który jest stosunkiem |F

1

F

2

| do |A

1

A

2

|, czyli e=2c/2a=c/a

dwie kierownice:

x=±a

/e =±a

2

/c

Je

ż

eli

ś

rodkiem hiperboli jest dowolny punkt S(x

0

,y

0

), wówczas

równanie hiperboli ma posta

ć

:

(

)

(

)

1

2

2

0

2

2

0

=

−

−

−

b

y

y

a

x

x

Ponadto, wierzchołki, ogniska i kierownice nale

ż

y przesun

ąć

o wektor

v

=[x

0

,y

0

].

7

Parabola

Parabolą

nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny

równo oddalonych od prostej nazywanej kierownicą paraboli i
od ustalonego punktu F, nazywanego ogniskiem paraboli.

Współrzędne punktów
paraboli spełniają równość:

F

px

y

2

2

=

P(

x

,

y

)

8

Parabola

posiada wierzchołek w początku układu.

Mimośród

paraboli jest równy jedności.

Jeżeli wierzchołek paraboli jest w punkcie O(x

0

,y

0

),

wówczas równanie paraboli ma postać:

(

)

(

)

0

2

0

2

x

x

p

y

y

−

=

−

Parabola

posiada jedno ognisko w punkcie

oraz jedną kierownicę













0

,

2

F

p

2

p

x

−

=

Ponadto, podobnie jak w przypadku elipsy i hiperboli wierzchołek,
ognisko i kierownic

ę

nale

ż

y przesun

ąć

o wektor

v

=[x

0

,y

0

].

9

Ogólne równanie linii stopnia drugiego

0

2

2

2

33

23

13

2

22

12

2

11

=

+

+

+

+

+

a

y

a

x

a

y

a

xy

a

x

a

33

23

13

23

22

12

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

W =

Ogólne równanie linii stopnia drugiego możemy zapisać w
postaci

Kształt linii opisanej powyższym równaniem zależy od
dwóch wyznaczników:

Charakterystyka krzywych:

22

12

12

11

a

a

a

a

w =

proste przecinające się

hiperbola

w<

0

proste równoległe

parabola

w=

0

punkt

jeśli a

11

W<0

elipsa

jeśli a

11

W>0

zb. pusty

w>

0

W=

0

W

≠

0

10

W celu określenia krzywej drugiego stopnia możemy
równanie opisujące krzywą doprowadzić do postaci
kanonicznej.

0

2

2

2

33

23

13

2

22

12

2

11

=

+

+

+

+

+

a

y

a

x

a

y

a

xy

a

x

a

Jeżeli w równaniu

wyraz a

12

=0 (brak obrotu krzywej),

czyli

0

2

2

33

23

13

2

22

2

11

=

+

+

+

+

a

y

a

x

a

y

a

x

a

Wówczas grupujemy wyrazy z x i y

(

) (

)

0

2

2

33

23

2

22

13

2

11

=

+

+

+

+

a

y

a

y

a

x

a

x

a

Wył

ą

czamy przed nawias odpowiednio a

11

i a

22

, a wyra

ż

enie w nawiasie

zwijamy do kwadratu:

0

2

2

33

22

23

2

22

11

13

2

11

=

+













+

+













+

a

y

a

a

y

a

x

a

a

x

a

0

2

22

23

22

2

11

13

11

33

2

22

23

22

2

11

13

11

=













−













−

+













+

+













+

a

a

a

a

a

a

a

a

a

y

a

a

a

x

a

11

Przykłady:

Jakie krzywe przedstawiają poniższe równania:
a) x

2

+y

2

+4x+6y-12=0

b) x

2

+2y

2

-2x+8y+9=0

c) y

2

-4y+6x-2=0

Rozwiązania:

a)

0

12

6

4

2

2

=

−

+

+

+

y

x

y

x

(

) (

)

0

12

6

4

2

2

=

−

+

+

+

y

y

x

x

(

)

(

)

0

12

9

3

4

2

2

2

=

−

−

+

+

−

+

y

x

(

)

(

)

25

3

2

2

2

=

+

+

+

y

x

Ostatecznie otrzymaliśmy, że równanie opisuje

okrąg

o

ś

rodku w punkcie S(-2,-3) i promieniu r=5.

0

9

4

12

12

3

2

3

1

0

2

0

1

1

11

<

−

−

−

=

−

=

W

a

0

1

1

0

0

1

>

=

=

w

12

b)

0

9

8

2

2

2

2

=

+

+

−

+

y

x

y

x

(

) (

)

0

9

4

2

2

2

2

=

+

+

+

−

y

y

x

x

(

)

(

)

0

9

8

2

2

1

1

2

2

=

+

−

+

+

−

−

y

x

(

)

(

)

0

2

2

1

2

2

=

+

+

−

y

x

Równanie opisuje

punkt

S(1,-2).

a)

0

2

6

4

2

=

−

+

−

x

y

y

(

)

2

6

4

2

+

−

=

−

x

y

y

Równanie opisuje

parabolę

o wierzchołku w

punkcie O(1,2) i parametrze p=-3.

(

)

2

6

4

2

2

+

−

=

−

−

x

y

(

)

(

)

1

6

2

2

−

−

=

−

x

y

0

16

2

18

9

4

1

4

2

0

1

0

1

=

−

−

=

−

−

=

W

0

2

2

0

0

1

>

=

=

w

0

9

9

2

3

2

1

0

3

0

0

≠

−

=

−

−

=

W

0

1

0

0

0

=

=

w

F

(-3/2,2)

O(1,2)