Pojęcia wstępne
Kinematyka zajmuje się ruchem ciał bez badania przyczyn tego ruchu.
Ruchem ciała nazywamy zjawisko polegające na zmianie w czasie poło\
enia tego
ciała względem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome.
Wykład IV
W zagadnieniach technicznych za nieruchome ciało przyjmujemy Ziemię i
względem niej badamy ruch ciał.
Z ciałem nieruchomym wią\
emy układ współrzędnych, który nazywamy układem
odniesienia.
Kinematyka punktu materialnego
Ruch jest zjawiskiem względnym i zale\
y od przyjętego układu odniesienia.
Badanie ruchu polega na badaniu zmiany w czasie poło\
enia ciała w przyjętym
układzie odniesienia.
Czas traktujemy jako pojęcie pierwotne.
2
Pojęcie toru punktu
KINEMATYKA
z
Punktu
Tor punktu
A
Torem punktu
Ruch prostoliniowy
(trajektorią) nazywamy
miejsce geometryczne
Ruch krzywoliniowy
chwilowych poło\
eń
Bryły sztywnej
z
punktu y
O
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
x
Ruch płaski
Ruch kulisty
y
x
Ruch ogólny
3 4
Równania ruchu punktu Równania ruchu punktu
Oznaczmy przez x, y, z współrzędne punktu A
Równania ruchu są więc zarazem równaniami
poruszającego się względem przyjętego układu
parametrycznymi toru punktu. Rugując z nich
odniesienia. Współrzędne te zale\
ą od czasu, czyli
parametr t otrzymujemy równanie toru.
są funkcjami zmiennej t.
z = f3(t)
y = f2(t)
x = f1(t)
f(x, y, z) = 0
Równania te nazywamy kinematycznymi
równaniami ruchu lub skończonymi równaniami
ruchu.
5 6
1
Ruch punktu na płaszczyz
nie Promień wektor
z
y
A
tor punktu
x A
f(x,y)=0
r
Ruch punktu mo\
na
y
y
O
opisać za pomocą
promienia wodzącego r
O
x
Równania ruchu punktu w układzie kartezjańskim
r = r(t)
A
x
x = f1(t) y = f2(t)
r = x(t)i + y(t)j + z(t)k
7 8
Współrzędne sferyczne
Współrzędne sferyczne
W układzie sferycznym za
Transformacja współrzędnych sferycznych do układu
z
współrzędne punktu przyjmujemy:
kartezjańskiego
A
" długość promienia wodzącego r
" kąt pomiędzy płaszczyzną zx i
x = r �"cos(�)�"cos(�)
płaszczyzną OzA
r
" kąt pomiędzy płaszczyzną xy i
y
�
promieniem wodzącym r.
O y = r �" sin(�)�"cos(�)
�
r = f1(t)
z = r �" sin(�)
� = f2(t)
A
x
� = f3(t)
9 10
Współrzędne biegunowe Współrzędne walcowe
z
W układzie walcowym za
W układzie biegunowym jako
y współrzędne punktu przyjmujemy: A
współrzędne punktu przyjmujemy:
" współrzędna kartezjańska z
x A
" długość promienia wodzącego r
" długość promienia wodzącego r
" kąt biegunowy
" kąt pomiędzy płaszczyzną xz i
y
z y
r
promieniem wodzącym r.
r = f1(t) O
�
�
O
x
� = f2(t) r
z = f1(t)
Transformacja układu współrzędnych r = f2(t)
A
x
� = f3(t)
x = r �"cos(�) y = r �" sin(�)
11 12
2
Współrzędna naturalna
Współrzędne walcowe
z
Transformacja współrzędnych walcowych do układu Je\
eli dany jest tor punktu
(równanie toru ruchu punktu)
kartezjańskiego
A
to poło\
enie punktu w
A
O
przestrzeni mo\
emy określić
x = r �"cos(�)
S(t)
przez podanie współrzędnej
s(t) mierzonej wzdłu\
toru
y
od pewnego nieruchomego
y = r �" sin(�)
O
punktu Ao
z = z
S = f(t) t2 2 2 2
dx dy dz
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
S = ą + + dt
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x
+"
dt dt dt
�ł łł �ł łł �ł łł
t1
13 14
Opis ruchu punktu za pomocą promienia wektora Opis ruchu punktu
z z
Niech poło\
enie punktu A jest Poło\
enie punktu A w chwili t+"t
A A
O
określone za pomocą promienia określamy za pomocą promienia
wektora r poprowadzonego z wektora rA, poprowadzonego równie\

r(t)=r
A
O
nieruchomego punktu O. z nieruchomego punktu O.
"
r
rA(t)
A
y y
r(t+"t)=rA
rA = rA0 + "r
rA = rA(t) O
O
r(t + "t) = r(t) + "r
x x
15 16
Prędkość punktu materialnego Prędkość punktu
Wektor prędkości
z
dr
punktu w danej
� =
A
chwili jest równy
dt
pochodnej wektora
�
promienia wodzącego
rA(t)
względem czasu.
� = �xi + �y j + �zk
y
O
Wektor prędkości �
Składowe prędkości są równe pochodnym względem czasu
punktu le\
y na stycznej
odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.
do toru i ma kierunek
ruchu punktu A.
"r dr
&
� = lim"t0 = = r
dy dz
dx
x
& &
�y = = y �z = = z
"t dt &
�x = = x
dt
dt
dt
17 18
3
Składowe prędkości w układzie kartezjańskim
Wyra\
enie prędkości za pomocą współrzędnej naturalnej
z
�
A
�z �
z
�
A
y
�y
O
�x
O
y
Prędkością � punktu A nazywamy wektor, którego wartość
�
�
�
bezwzględna równa jest wartości bezwzględnej pochodnej drogi
x
punktu A względem czasu, skierowany wzdłu\
stycznej do toru
rozpatrywanego punktu, w tę stronę, w którą w danej chwili
x � = �x2 + �y2 + �z 2
punkt się porusza.
19 20
Wektor prędkości Prędkość w biegunowym układzie współrzędnych
W układzie biegunowym prędkość
y
�
rozkładamy na dwie składowe:
" prędkość promieniowa �r �r
"S dS dS
� = lim = � = � " prędkość obwodowa ��
��
A
"t 0
"t dt dt
r
dr
�
�r =
O
gdzie: wersor wektora prędkości o kierunku stycznym x
� dt
do toru
d�
� = �r +��
�� = r
dt
2 2
� = �r +��
21 22
Hodograf
Przyspieszenie punktu materialnego
z Przyspieszenie punktu równe
z
b(t) jest pochodnej geometrycznej
b(t2) b(t+"t)
b(t1)
wektora prędkości punktu
A
względem czasu.
rA(t)
�
y
Wektor przyspieszenia jest
O
styczny do hodografu prędkości
a
y
i zwrócony w stronę środka
O
krzywizny toru punktu.
b=b(t)
x
Jako początek wektora
przyspieszenia przyjmuje się
Krzywą będącą miejscem geometrycznym końców wektora b(t) 2
punkt, którego przyspieszenie
d� d r
wykreślonych z jednego punktu nazywamy hodografem funkcji &&
wyznaczamy.
a = = = r
x
wektorowej b(t)
dt dt2
23 24
4
Przyspieszenie w biegunowym układzie
Przyspieszenie punktu
współrzędnych
W układzie biegunowym
2
y
d� d r
przyspieszenie rozkładamy na a
a = =
dwie składowe:
dt dt2
ar
" przyspieszenie promieniowe ar
a�
A
" przyspieszenie obwodowe a�
r
a = axi + ay j + azk
2
2
�
d r d�
O
ar = - r�ł �ł
�ł �ł
Składowe przyspieszenia są równe drugim pochodnym względem x
dt2 dt
�ł łł
czasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.
a = ar + a�
2
d � d� dr
2 2 2
a� = r + 2
d x d y d z
&& &&
&& ay = = y az = = z dt2 dt dt
ax = = x 2 2
a = ar + a�
dt2 dt2 dt2
25 26
Przyspieszenie w naturalnym układzie współrzędnych
Naturalny układ współrzędnych
Układ trzech osi: stycznej zwróconej w stroną ruchu, normalnej
Wektor przyspieszenia punktu le\
y w płaszczyz
nie ściśle
głównej zwróconej w stronę środka krzywizny toru i binormalnej
stycznej do toru.
zwróconej tak aby te osie w podanej kolejności tworzyły układ
prawy nazywamy naturalnym układem współrzędnych
a = at�0 + ann0
binormalna
b0
Niezale\
nie od kształtu toru, przyspieszenie punktu w układzie
naturalnym ma tylko dwie wzajemnie prostopadłe składowe:
Płaszczyzna
�0
ściśle styczna styczną i normalną. Składowa binormalna jest równa zero.
n0
n
styczna
a = at + a
2 2
Opisany układ jest układem
a = (at) +(an)
ruchomym związanym z
normalna główna
poruszającym się punktem. 27 28
Przyspieszenie w naturalnym układzie
Podział ruchów punktu materialnego
współrzędnych
Przyspieszenie styczne powoduje zmianę modułu wektora
prędkości. Przyspieszenie styczna ma kierunek wektora
prędkości
Ze względu na przyspieszenie normalne mo\
emy
d�
wyró\
nić
&
at = = �
dt
" ruch prostoliniowy an=0
Przyspieszenie normalne powoduje zmianę kierunku wektora
" ruch krzywoliniowy an`"0
`"
`"
`"
prędkości i jest skierowane w stronę środka krzywizny toru
2
Gdzie: �  prędkość punktu, � - promień
�
krzywizny toru
an =
�
29 30
5
Podział ruchów punktu materialnego Podział ruchów punktu materialnego
Podział ze względu na przyspieszenie styczne
ruch jednostajnie zmienny: S
ruch jednostajny: at = const
at = 0
S
" ruch jednostajnie
at > 0 So
d�
przyspieszony
at = = 0
t
So
dt v
" ruch jednostajnie opóz
niony
� = �o = const at < 0
t
vo
v
dS
� = = �o t
� = at �"t +�o a
dt
vo
t
a =const
dS = �odt
at �" t2
t
S = +�ot + So t
S = �ot + So
31 2 32
Podział ruchów punktu materialnego
ruch niejednostajnie zmienny:
at = at (t)
� =
+"atdt
s =
+"�dt
33
6