CAŁKA PODWÓJNA 1

1. Określić obszar normalny ograniczony liniami:

(a)

x

y

,

x

y

,

x

2

1

0

2

1

(b)

5

1

3

2

3

1

x

,

x

,

x

y

,

x

y

(c)

x

y

,

x

y

,

x

2

1

2

2

2

1

(d)

x

y

,

x

y

,

y

2

2

2

0

3

2

(e)

2

2

2

0

2

1

x

y

,

x

y

,

y

(f)

x

y

3

,

)

2

(

4

1

x

y

,

0

y

(g)

1

y

,

x

y

1

,

1

x

y

2. Obliczyć za pomocą całki podwójnej pole obszaru ograniczonego liniami:

(a)

2

y

x

y

3

2

,

x

y

2

1

(b)

1

x

,

1

x

2

x

y

,

2

2

x

y

(c)

)

18

4

(

2

9

1

x

y

)

36

2

(

2

9

1

x

y

(d)

1

y

,

1

2x

y

,

3

5

3

2

x

y

3. Obliczyć całki

(a)

D

xydxdy

y

x

)

(

, gdzie D jest ograniczony liniami:

b

y

y

a

x

x

,

0

,

,

0

, gdzie

0

b

,

a

.

(b)

D

dxdy

x

y

, gdzie D jest ograniczony liniami:

6

,

2

,

,

1

3

y

y

e

x

x

.

(c)

D

dxdy

y

x

)

cos(

, gdzie D jest ograniczony liniami:

2

,

0

,

,

0

y

y

x

x

(d)

D

dxdy

y

x

2

10

1

,

gdzie D jest ograniczony liniami:

3

0

0

2

x

,

x

,

y

,

x

y

.

(e)

D

dxdy

y

x

)

1

2

(

,

gdzie D jest wnętrzem trójkąta o wierzchołkach

)

5

,

5

(

),

3

,

5

(

),

1

,

1

(

C

B

A

.

(f)

D

dxdy

y

x

)

2

(

, gdzie D jest ograniczony liniami:

1

,

,

2

1

y

x

y

x

y

.

(g)

D

dxdy

x

)

1

(

2

, gdzie D jest ograniczony liniami::

1

,

,

2

1

2

1

y

x

y

x

y

(h)

D

dxdy

y

x

)

1

(

2

,

gdzie D jest ograniczony liniami:

y

,

x

y

1

2

.

4. Zamienić kolejność całkowania w całce iteracyjnej.

(a)

2

0

0

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

(

b)

1

1

2

2

1

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

(

c)

1

1

1

2

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

(d)

2

0

0

4

2

)

,

(

x

dx

y

x

f

dy

(e)

y

dx

y

x

f

dy

3

0

2

0

)

,

(

(f)

2

4

3

1

)

,

(

y

dx

y

x

f

dy

(g)

x

dy

y

x

f

dx

0

1

1

)

,

(

Odpowiedzi.

1 (a) względem zm. x:

x

y

x

x

2

1

2

0

2

1

(b) względem zm. x:

3

2

5

1

3

1

x

y

x

x

(c) względem zm. x:

2

2

1

2

2

1

5

2

x

y

x

x

(d) względem zm. x:

2

1

D

D

D

x

y

x

x

D

3

2

1

2

2

2

1

0

:

x

y

x

D

3

2

2

2

0

3

1

:

względem zm. y:

)

y

(

x

y

y

0

:

E

2

1

2

1

2

2

3

(e) względem zm. x:

2

1

D

D

D

2

2

2

1

0

:

2

1

1

x

y

x

x

D

0

2

4

1

:

2

1

2

y

x

x

D

względem zm. y:

4

2

1

0

y

x

y

y

2

-

:

E

2

1

(f) względem zm. x:

2

1

D

D

D

)

2

(

0

2

2

:

4

1

1

x

y

x

D

x

y

x

D

3

0

3

2

:

2

względem zm. y:

y

x

y

y

-

E

3

2

4

3

2

:

(g) względem zm. x:

2

1

D

D

D

1

1

1

0

:

1

y

x

x

D

1

1

2

1

:

2

y

x

x

D

względem zm. y:

1

1

1

0

:

y

x

y

y

E

2. (a) 7

(b)

3

8

(c) 8

(d) 2

3 (a)

)

b

a

(

b

a

2

2

6

1

(b) 48

(c) -2

(d)

)

64

10

5

22

11

(

3

2

(e)

3

136

(f)

3

4

(g) 4

(h)

5

12

4 (a)

2

0

2

)

,

(

y

dx

y

x

f

dy

(b)

1

2

1

2

1

)

,

(

y

dx

y

x

f

dy

(

c)

y

y

dx

y

x

f

dy

)

,

(

1

0

(d)

0

2

4

0

2

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

(e)

x

dy

y

x

f

dx

2

0

2

0

)

,

(

(f)

3

3

2

1

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

(g)

]

)

,

(

)

,

(

[

1

1

1

0

y

y

dx

y

x

f

dx

y

x

f

dy