Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych

231

17. STATECZNOŚĆ OSIOWO ŚCISKANYCH PRĘTÓW PROSTYCH
17.1. Stateczność pręta w zakresie liniowo sprężystym.

Jednym z podstawowych założeń przyjętych na początku naszych rozważań było to, że
analizowane przez nas konstrukcje znajdują się w równowadze trwałej (inaczej statecznej) ale
jak dotąd, prócz prostych objaśnień, nie zostały sformułowane żadne analityczne warunki
gwarantujące taką równowagę lub jak powiemy w języku inżynierskim gwarantujące
stateczność konstrukcji. Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle ważnym
i skomplikowanym - i co więcej - stanowi jedną z przyczyn wystąpienia stanu granicznego
nośności. Konieczność uwzględnienia utraty stateczności w analizie mechanicznej
zachowania się konstrukcji dobitnie obrazuje następujące zadanie

1

, w którym należy

wyznaczyć dopuszczalną wysokość stalowego pręta prostego o polu przekroju poprzecznego
A

= 1cm

2

, obciążonego tylko ciężarem własnym

γ

= 78.50 kN/m

3

, wykonanego ze stali o

wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu

215

=

c

R

MPa.

Warunek stanu granicznego nośności związanego jedynie z nie przekroczeniem
wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu, daje niżej wyznaczoną, dopuszczalną wysokość
pręta

m

*

.

*

.

*

R

l

R

A

A

l

c

c

3

3

6

10

739

2

10

5

78

10

215

=

=

≤

→

≤

γ

γ

.

Jest rzeczą oczywistą, że nie ma możliwości realizacji konstrukcji o tych wymiarach z
zachowaniem jej prostoliniowego kształtu (jak to jest założone w wykonanych obliczeniach) i
w języku inżynierskim powiemy, że konstrukcja taka musi utracić swoją stateczność.
Zajmiemy się teraz podaniem analitycznych warunków zapewnienia równowagi statecznej dla
bardzo prostej konstrukcji, jaką jest osiowo ściskany pręt pryzmatyczny, wykonany z
materiału o własnościach fizycznych określonych prawem Hooke’a.
Zaczniemy od prostego „ideowego” objaśnienia trzech postaci równowagi w jakich
konstrukcja może się znajdować.
Jeżeli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego położenia równowagi ruch ciała jest
taki, że wychylenia jego punktów nie są większe tych początkowych to taką równowagę
nazywamy stateczną (trwałą).

W przeciwnym przypadku równowaga
jest niestateczna (nietrwała, chwiejna).
Można jeszcze wyróżnić szczególne
położenie

równowagi

zwane

równowagą obojętna w której punkty
ciała

pozostają

w

położeniu

po

wychyleniu. Opisaną sytuację można
zobrazować traktując konstrukcję jako
ciężką kulkę w różnych warunkach
podparcia

znajdującą

się

w

potencjalnym polu sił (rys. 17.1).

Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze
chwiejnej III maksimum. W stanie równowagi obojętnej II wartość energii potencjalnej przy
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.

1

Przykład wzięty z książki S.Piechnik. Wytrzymałość Materiałów dla Wydziałów Budowlanych. PWN 1972.

I

III

II

Rys. 17.1

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych

232

17.2. Siła krytyczna

Zagadnienie utraty stateczności ściskanego osiowo pręta pryzmatycznego rozwiążemy w
sposób podany przez L.Eulera w 1744 r.

Rozważmy, pokazany na rys. 17.2, ściskany osiowo siłą P pręt przegubowo podparty na obu
końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga E i nadajmy mu

Rys. 17.2

jakimś impulsem poprzecznym dowolnie małe początkowe ugięcie w płaszczyźnie
najmniejszej sztywności zginania. Jeżeli po usunięciu przyczyny ugięcia powróci on do swej
początkowej prostoliniowej postaci, oznacza to, że znajduje się w równowadze statecznej.
Powtarzając rozumowanie wraz ze zwiększaniem wartości siły P dojdziemy do sytuacji, w
której pręt po usunięciu przyczyny początkowego ugięcia pozostanie krzywoliniowy (nie
powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy)

.

Oznacza to, że tym razem pręt znajduje

się w stanie równowagi obojętnej, a siłę, przy której to nastąpiło nazywać będziemy siłą
krytyczną

kr

P

. Tak więc:

siła krytyczna to siła przy której osiowo ściskany pręt znajduje się w stanie równowagi
obojętnej.
Wyliczmy tę siłę krytyczną. Równanie momentów w zakrzywionym pręcie przy obciążeniu
siłą krytyczną ma postać:

( )

( )

x

w

P

x

M

kr

=

,

(17.1)

a równanie różniczkowe jego ugiętej osi przyjmuje formę:

( )

( )

min

EJ

x

M

dx

x

w

d

−

=

2

2

,

(17.2)

z której otrzymujemy równanie różniczkowe wiążące ugięcie z siłą krytyczną:

( )

( )

0

2

2

=

+

x

w

EJ

P

dx

x

w

d

min

kr

.

(17.3)

Przyjmując oznaczenie:

min

kr

EJ

P

k

=

2

,

(17.4)

zapiszemy je w postaci:

( )

( )

0

2

2

2

=

+

x

w

k

dx

x

w

d

,

(17.5)

którego rozwi

ą

zaniem jest funkcja:

( )

kx

B

kx

A

x

w

cos

sin

+

=

.

(17.6)

Stałe całkowania A oraz B wyznaczymy z kinematycznych warunków brzegowych:

J

y

= J

min

Y

w(x)

P

kr

w

l

Z

X

P

kr

Z

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

233

( )

0

0

=

w

oraz

( )

0

=

l

w

.

(17.7)

Pierwszy warunek daje

0

=

B

, natomiast drugi zale

ż

no

ść

kl

A

sin

0

=

, z której przy zało

ż

eniu

ż

e

0

≠

A

(rozwa

ż

amy pr

ę

t zakrzywiony, wi

ę

c równocze

ś

nie nie mo

ż

e by

ć

0

=

B

i

0

=

A

),

dostajemy:

,....

3

,

2

,

1

,

0

sin

=

=

→

=

n

l

n

k

kl

π

Korzystaj

ą

c z (17.4), dla kolejnych liczb naturalnych otrzymujemy:

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

sin

,

,

1

2

min

2

1

,

=

=

=

,

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

2

sin

,

4

,

2

2

min

2

2

,

=

=

=

,

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

3

sin

,

9

,

3

2

min

2

1

,

=

=

=

,

.............,
co dowodzi,

ż

e ka

ż

dej warto

ś

ci siły krytycznej odpowiada inna forma deformacji pr

ę

ta, albo -

inaczej - inna posta

ć

wyboczonego pr

ę

ta, ale wszystkie s

ą

sinusoidami.

Jest rzecz

ą

oczywist

ą

,

ż

e za sił

ę

krytyczn

ą

uznamy t

ę

najmniejsz

ą

, odpowiadaj

ą

c

ą

1

=

n

. W

tym miejscu warto zwróci

ć

uwag

ę

,

ż

e impuls poprzeczny wywołuj

ą

cy to wst

ę

pne

zakrzywienie potrzebny jest tylko w rozwa

ż

aniach teoretycznych. W rzeczywisto

ś

ci

odst

ę

pstwa od idealnych zało

ż

e

ń

, np. idealnej prostoliniowo

ś

ci pr

ę

ta, osiowo

ś

ci przyło

ż

enia

siły czy jednorodno

ś

ci materiału, same zawsze spowoduj

ą

wyboczenie pr

ę

ta.

Wyniki analizy pr

ę

tów o innych warunkach podparcia pozwalaj

ą

napisa

ć

jednolity wzór na

sił

ę

krytyczn

ą

, nazywan

ą

sił

ą

krytyczn

ą

Eulera, w postaci:

2

min

2

w

E

kr

l

EJ

P

π

=

,

(17.8)

gdzie:

l

l

w

α

=

,

(17.9)

nazywamy długo

ś

ci

ą

wyboczeniow

ą

.

Warto

ś

ci współczynnika długo

ś

ci wyboczeniowej

α zale

ż

nego od warunków podparcia

podano na rys. 17.3.

Rys. 17.3

l

l/2

l/2

l/3

l/3

l/3

α

= 1

α

= 2

l

α

=0.7

α

= 0.5

α

= 1

α

= 2

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

234

17.3. Naprężenia krytyczne

Zakres wa

ż

no

ś

ci wzoru Eulera na sił

ę

krytyczn

ą

jest ograniczony własno

ś

ciami fizycznymi

materiału

ś

ciskanego pr

ę

ta. Poniewa

ż

materiał analizowanego przez nas pr

ę

ta był z zało

ż

enia

materiałem liniowo spr

ęż

ystym to napr

ęż

enia normalne w pr

ę

cie nie mog

ą

przekracza

ć

H

R

-

granicy stosowalno

ś

ci prawa Hooke’a (granicy proporcjonalno

ś

ci).

W celu wyznaczenia zakresu stosowalno

ś

ci wzoru (17.8) dokonamy jego przekształcenia.

Wpierw podzielimy obustronnie przez pole przekroju poprzecznego A

2

min

2

w

E

kr

l

A

EJ

A

P

π

=

,

a nast

ę

pnie, definiuj

ą

c poj

ę

cie napr

ęż

enia krytycznego:

A

P

kr

kr

=

σ

,

(17.10)

i smukło

ś

ci pr

ę

ta:

min

i

l

w

=

λ

,

(17.11)

gdzie:

A

/

J

i

min

min

=

- jest minimalnym promieniem bezwładno

ś

ci przekroju

poprzecznego, mo

ż

emy otrzyma

ć

zale

ż

no

ść

:

2

2

λ

π

σ

E

E

kr

=

(17.12)

w której:

A

P

E

kr

E

kr

=

σ

oznacza napr

ęż

enie krytyczne Eulera.

Na wykresie zale

ż

no

ś

ci

kr

σ

od

λ (rys. 17.4), wykresem funkcji

( )

λ

σ

E

kr

jest hiperbola, której

zakres wa

ż

no

ś

ci jest ograniczony od góry, na osi rz

ę

dnych, warto

ś

ci

ą

H

R

. Odpowiadaj

ą

c

ą

tej warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

krytycznych

kr

σ

, smukło

ść

nazwiemy smukło

ś

ci

ą

graniczn

ą

i

wyznaczymy z warunku:

H

gr

gr

H

R

E

E

R

π

λ

λ

π

=

→

=

2

2

.

(17.13)

kr

σ

e

R

H

R

λ

gr

λ

hiperbola Eulera

prosta Tetmajera-Jasi

ń

skiego

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

235

Rys. 17.4

Zatem wzór Eulera jest wa

ż

ny dla smukło

ś

ci

gr

λ

λ

≥

i napr

ęż

enia krytyczne s

ą

opisane

wówczas przez hiperbol

ę

Eulera, a pr

ę

t pracuje w zakresie linio spr

ęż

ystym.

W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy, jednak cz

ę

sto, analizowa

ć

utrat

ę

stateczno

ś

ci

równie

ż

w zakresie nieliniowo spr

ęż

ystym i spr

ęż

ysto plastycznym, dla których smukło

ść

spełnia nierówno

ść

gr

λ

λ

<

≤

0

.

W stanach poza liniowo spr

ęż

ystych posługiwa

ć

si

ę

b

ę

dziemy zale

ż

no

ś

ciami ustalonymi

empirycznie, z których najbardziej znanymi s

ą

, prosta Tetmajera-Jasi

ń

skiego okre

ś

lona

wzorem:

λ

σ

b

a

J

T

kr

−

=

−

,

(17.14)

oraz parabola Johnsona-Ostenfelda zdefiniowana równaniem:

2

λ

σ

B

A

O

J

kr

−

=

−

.

(17.15)

W obu powy

ż

szych zale

ż

no

ś

ciach a,

b, A

oraz B to stałe materiałowe.

Aproksymacja krzywej teoretycznej prost

ą

Tetmajera-Jasi

ń

skiego (patrz rys. 17.4) zakłada,

ż

e

dla pr

ę

tów ,których smukło

ść

0

→

λ

(pr

ę

tów kr

ę

pych) stan graniczny no

ś

no

ś

ci osi

ą

gany jest

przez uplastycznienie a nie poprzez utrat

ę

stateczno

ś

ci i st

ą

d stałe a i b we wzorze

wyznaczone s

ą

z warunków :

e

J

T

kr

R

=

−

σ

dla

e

R

a

=

→

= 0

λ

,

H

J

T

kr

R

=

−

σ

dla

E

R

R

R

R

R

b

b

a

R

H

H

e

gr

H

e

gr

H

gr

π

λ

λ

λ

λ

−

=

−

=

→

−

=

→

=

,

gdzie: R

e

- wyra

ź

na granica plastyczno

ś

ci. Zatem ostatecznie napr

ęż

enie krytyczne według

Tetmajera-Jasi

ń

skiego mo

ż

na zapisa

ć

w postaci wzoru:

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

−

−

=

−

.

(17.16)

17.4. Wymiarowanie osiowo ściskanych prętów z uwzględnieniem utraty stateczności

Poprawnie zaprojektowany osiowo

ś

ciskany pr

ę

t winien spełnia

ć

równocze

ś

nie dwa,

niezale

ż

ne od siebie warunki stanu granicznego no

ś

no

ś

ci tzn. był wytrzymały i znajdował si

ę

w równowadze statecznej. Warunki te wymagaj

ą

aby siła obci

ąż

aj

ą

ca P spełniała

nierówno

ś

ci:

c

R

A

P

*

≤

i

kr

P

P

≤

,

gdzie: A to pole przekroju poprzecznego pr

ę

ta.

W praktyce in

ż

ynierskiej przy projektowaniu konstrukcji stalowych korzystamy z jednego

warunku, wyst

ę

puj

ą

cego w Polskich Normach Budowlanych, spełniaj

ą

cego równocze

ś

nie oba

te kryteria. Warunek ten mo

ż

na otrzyma

ć

wychodz

ą

c z nierówno

ś

ci zapewniaj

ą

cej

równowag

ę

stateczn

ą

:

( )

A

P

P

P

kr

kr

λ

σ

≤

→

≤

.

(17.17)

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

236

Uto

ż

samiaj

ą

c na wykresie zale

ż

no

ś

ci

( )

λ

σ

kr

(rys. 17.4) wyra

ź

n

ą

granic

ę

plastyczno

ś

ci

e

R

z

wytrzymało

ś

ci

ą

obliczeniow

ą

przy

ś

ciskaniu

c

R

mo

ż

emy na mocy definicji napisa

ć

:

( )

( )

c

kr

R

λ

ϕ

λ

σ

=

by po wstawieniu do nierówno

ś

ci (17.17) dosta

ć

:

( )

c

R

A

P

≤

λ

ϕ

(17.18)

gdzie :

( )

( )

c

kr

R

λ

σ

λ

ϕ

=

współczynnik wyboczeniowy.

(17.19)

Współczynnik wyboczeniowy przyjmuje warto

ś

ci

( )

1

≤

λ

ϕ

, i fizycznie spełnia rol

ę

współczynnika redukcyjnego pola przekroju poprzecznego A

(czyli tym samym

współczynnika redukcyjnego no

ś

no

ś

ci obliczeniowej

pr

ę

ta), jest funkcj

ą

smukło

ś

ci oraz

stałych materiałowych i w przedziale

gr

λ

λ

≥

wynosi:

( )

2

2

λ

π

λ

ϕ

c

R

E

=

,

a przedziale

gr

λ

λ

<

≤

0

, przy zastosowaniu wzoru Tetmajera-Jasi

ń

skiego , przyjmuje posta

ć

:

( )

λ

π

λ

ϕ

E

R

R

R

R

H

c

H

c

−

−

= 1

.

Współczynniki wyboczeniowe, podane w formie tablic w Polskiej Normie PN-90/B-03200
dotycz

ą

cej oblicze

ń

statycznych i projektowania konstrukcji stalowych, uwzgl

ę

dniaj

ą

jeszcze

inne, dodatkowe niezwykle wa

ż

ne dla zagadnienia utraty stateczno

ś

ci parametry, takie jak

pocz

ą

tkowe zniekształcenia osi lub przekroju porzecznego pr

ę

tów (tzw. imperfekcje). St

ą

d

warto

ś

ci tych współczynników zale

ż

ne s

ą

od tzw. smukło

ś

ci wzgl

ę

dnej

p

λ

λ

λ

=

, gdzie

p

λ

jest smukło

ś

ci

ą

porównawcz

ą

:

c

p

R

E

15

.

1

π

λ

=

,

(17.20)

oraz od technologii wytwarzania (spawany, walcowany) i kształtu przekroju elementu.
Koncepcja współczynnika wyboczeniowego funkcjonuje równie

ż

przy wymiarowaniu pr

ę

tów

ś

ciskanych w konstrukcjach drewnianych.

17.5. Przykłady
Przykład 17.5.1.

Wyznaczy

ć

siły krytyczne dla

ś

ciskanych osiowo pr

ę

tów stalowych o

długo

ś

ci l = 1 m , wymiarach przekroju poprzecznego 3*6 cm podpartych jak na rysunkach,

je

ś

li

200

=

H

R

MPa,

215

=

e

R

MPa,

195

=

c

R

MPa,

205

=

E

GPa.

Rozwiązanie

l

P

kr

a

P

kr

l

c

P

kr

l

b

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

237

Przyjmujemy,

ż

e warunki podparcia w obu płaszczyznach s

ą

takie same, wi

ę

c wyboczenie

wyst

ą

pi w płaszczy

ź

nie minimalnej sztywno

ś

ci zginania i minimalny moment oraz promie

ń

bezwładno

ś

ci s

ą

równe:

50

.

13

12

3

*

6

3

min

=

=

J

cm

4

,

0

.

18

6

*

3

=

=

A

cm

2

,

866

.

0

0

.

18

5

.

13

min

min

=

=

=

A

J

i

cm.

Smukło

ść

graniczna:

6

.

100

10

*

200

10

*

205

6

9

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

Przypadek a

Smukło

ść

pr

ę

ta:

gr

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

946

.

230

866

.

0

0

.

100

*

2

min

Obowi

ą

zuje wzór Eulera:

285

.

68

2

10

*

5

.

13

*

10

*

205

2

8

9

2

2

min

2

=

=

=

−

π

π

w

E

kr

l

EJ

P

kN.

Przypadek b

Smukło

ść

pr

ę

ta

gr

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

473

.

115

866

.

0

0

.

100

min

Obowi

ą

zuje wzór Eulera:

141

.

273

1

10

*

5

.

13

*

10

*

205

2

8

9

2

2

min

2

=

=

=

−

π

π

w

E

kr

l

EJ

P

kN.

Przypadek c

Smukło

ść

pr

ę

ta

gr

w

i

l

λ

λ

<

=

=

=

737

.

57

866

.

0

0

.

100

*

5

.

0

min

Utrata stateczno

ś

ci wyst

ą

pi w zakresie poza liniowo spr

ęż

ystym i nie obowi

ą

zuje wzór

Eulera.
Przyjmuj

ą

c aproksymacj

ę

prost

ą

Tetmajera-Jasi

ń

skiego otrzymamy:

389

.

206

737

.

57

10

*

205

10

*

200

200

215

215

9

6

=

−

−

=

−

−

=

−

π

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

MPa

500

.

371

10

*

389

.

206

*

10

*

18

*

6

4

=

=

=

−

−

−

J

T

kr

J

T

kr

A

P

σ

kN.

Warunek wytrzymało

ś

ci we wszystkich trzech przypadkach daje dopuszczaln

ą

sił

ę

obci

ąż

aj

ą

c

ą

0

.

351

10

*

195

*

10

*

18

6

4

=

=

≤

−

c

R

A

P

kN.

Przykład 17.5.2.

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

dla

ś

ciskanego osiowo pr

ę

ta stalowego o

długo

ś

ci l = 1 m , wymiarach przekroju poprzecznego

6

3

×

=

× h

b

cm podpartego jak na

rysunku, je

ś

li

200

=

H

R

MPa,

215

=

e

R

MPa,

205

=

E

GPa.

b

h

Y

Z

Z

l

X

Y

P

kr

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

238

Rozwiązanie

W płaszczy

ź

nie (X, Z) pr

ę

t jest jednym ko

ń

cem zamocowany, a drugi koniec ma wolny,

natomiast w płaszczy

ź

nie (X, Y) oba ko

ń

ce pr

ę

ta s

ą

zamocowane.

0

.

18

6

*

3

=

=

A

cm

2

,

00

.

54

12

6

*

3

3

=

=

y

J

cm

4

,

73

.

1

0

.

18

0

.

54

=

=

=

A

J

i

y

y

cm,

50

.

13

12

3

*

6

3

=

=

z

J

cm

4

,

866

.

0

0

.

18

5

.

13

=

=

=

A

J

i

z

z

cm.

Smukło

ść

graniczna:

6

.

100

10

*

200

10

*

205

6

9

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

.

Wyboczenie w płaszczy

ź

nie (X, Z)

Smukło

ść

pr

ę

ta

gr

y

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

607

.

115

73

.

1

0

.

100

*

2

Obowi

ą

zuje wzór Eulera

141

.

273

2

10

*

0

.

54

*

10

*

205

2

8

9

2

2

2

=

=

=

−

π

π

w

y

E

kr

l

EJ

P

kN.

Wyboczenie w płaszczy

ź

nie (X, Y)

Smukło

ść

pr

ę

ta

gr

z

w

i

l

λ

λ

<

=

=

=

737

.

57

866

.

0

0

.

100

*

5

.

0

Utrata stateczno

ś

ci wyst

ą

pi w zakresie poza liniowo spr

ęż

ystym.

Przyjmuj

ą

c aproksymacj

ę

prost

ą

Tetmajera-Jasi

ń

skiego otrzymamy:

389

.

206

737

.

57

10

*

205

10

*

200

200

215

215

9

6

=

−

−

=

−

−

=

−

π

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

MPa,

500

.

371

10

*

389

.

206

*

10

*

18

*

6

4

=

=

=

−

−

−

J

T

kr

J

T

kr

A

P

σ

kN.

Siła krytyczna dla rozwa

ż

anego pr

ę

ta wynosi

141

.

273

=

kr

P

kN.

Przykład 17.5.3.

2

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej, pr

ę

ta

przegubowo podpartego obci

ąż

onego osiowo dwoma siłami

ś

ciskaj

ą

cymi jak na rysunku.

2

W pierwszym wydaniu podręcznika był błąd w rozwiązaniu tego przykładu.

J

y

= J

min

Y

Z

Z

X

P

2

l

2

l

P

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

239

Rozwiązanie

Reakcje w zdeformowanym pr

ę

cie w stanie równowagi oboj

ę

tnej wywołane poprzecznym

impulsem wyznaczone z warunków równowagi wynosz

ą

(patrz rys. wy

ż

ej):

∑

=

→

=

kr

B

P

H

X

2

0

,

∑

=

→

=

l

P

V

M

kr

B

A

δ

0

,

∑

=

→

=

l

P

V

M

kr

A

B

δ

0

.

Równania momentów zginaj

ą

cych , równania ró

ż

niczkowe osi wyboczonego pr

ę

ta oraz

ogólna posta

ć

ich rozwi

ą

zania w dwóch przedziałach charakterystycznym maj

ą

form

ę

:

2

0

1

l

x

≤

≤

2

0

2

l

x

≤

≤

( )

( )

1

1

1

1

1

x

P

x

w

P

x

M

kr

kr

δ

+

=

,

( )

( )

2

2

2

2

2

2

x

V

x

w

P

x

M

B

kr

−

=

( )

( )

( )

min

A

kr

min

EJ

x

V

x

w

P

EJ

x

M

dx

x

w

d

1

1

1

1

2

1

1

1

2

+

−

=

−

=

,

( )

( )

( )

min

B

kr

min

EJ

x

V

x

w

P

EJ

x

M

dx

x

w

d

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

−

=

−

=

,

( )

( )

1

1

1

2

1

2

1

1

1

2

x

EJ

V

x

w

k

dx

x

w

d

min

A

−

=

+

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

EJ

V

x

w

k

dx

x

w

d

min

B

=

+

( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

k

cos

B

x

k

sin

A

x

w

x

w

s

+

+

=

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

kx

cos

B

kx

sin

A

x

w

x

w

s

+

+

=

( )

1

1

1

x

P

V

x

w

kr

A

s

−

=

( )

2

2

2

2

x

P

V

x

w

kr

B

s

=

gdzie:

min

kr

EJ

P

k

=

2

1

,

min

kr

EJ

P

k

2

2

2

=

,

( )

1

1

x

w

s

i

( )

2

2

x

w

s

, całki szczególne równa

ń

niejednorodnych

a A

1

, B

1

, A

2

, i B

2

to

stałe całkowania , które nale

ż

y wyznaczy

ć

z kinematycznych warunków

brzegowych.

Kinematyczne warunki brzegowe w tym zadaniu opisuj

ą

zale

ż

no

ś

ci:

( )

0

0

0

1

1

1

=

→

=

B

w

/

( )

0

0

0

2

2

2

=

→

=

B

w

/

B

A

δ

V

A

w

1

(x

1

)

w

1

X

1

2

l

2

l

X

2

w

2

H

B

w

2

(x

2

)

P

kr

P

kr

V

B

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

240

i równania zdeformowanej osi pr

ę

ta w poszczególnych przedziałach s

ą

nast

ę

puj

ą

ce:

( )

1

1

1

1

1

1

x

k

sin

A

x

l

x

w

+

−

=

δ

,

( )

2

2

2

2

2

2

kx

sin

A

x

l

x

w

+

=

δ

.

Pozostałe dwie stałe wyznaczamy z warunków zszycia:

( )

( )

δ

=

=

2

2

3

2

1

l

w

l

w

/

,

( )

( )

2

2

4

2

1

l

w

l

w

/

'

'

−

=

.

Po wykorzystaniu dwóch pierwszych, trzeci warunek daje zale

ż

no

ś

ci:

(

)

(

)

2

1

4

3

2

1

2

3

2

2

1

1

l

k

sin

A

,

l

k

sin

A

δ

δ

=

=

,

(a)

a czwarty równanie:

(

)

(

)













+

−

=

+

−

2

2

2

2

2

2

1

1

1

l

k

cos

A

k

l

l

k

cos

A

k

l

δ

δ

,

które po wykorzystaniu (a) i relacji

1

2

2 k

k

=

oraz podstawieniu

2

1

l

k

=

µ

przyjmuje posta

ć

(

)

( )

0

2

1

3

2

1

2

2

3

=

−

+

µ

µ

µ

tg

tg

(b)

Numeryczne rozwi

ą

zanie równania (b) daje wynik:

2783

1.

=

µ

.

A poniewa

ż

:

4

2

2

1

2

l

k

=

µ

, to

2

2

2

2

2

2

1

5362

6

4

4

l

EJ

.

l

EJ

P

l

k

min

min

kr

=

=

→

=

µ

µ

.

Ten ostatni wynik mo

ż

emy zapisa

ć

w formie:

(

)

2

2

229

1

l

.

EJ

P

min

kr

π

=

,

zatem współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej

229

1.

=

α

.

Przykład 17.5.4.

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej

ś

ciskanego osiowo pr

ę

ta pryzmatycznego obci

ąż

onego jak na rysunku.

Rozwiązanie

Moment zginaj

ą

cy w wyboczonym pr

ę

cie wynosi:

J

y

= J

min

Y

Z

Z

X

P

l

w

(x)

X

P

kr

l

B

A

V

A

w

(x)

V

B

P

kr

M

B

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

241

( )

( )

x

V

x

w

P

x

M

A

kr

−

=

.

Reakcja pionowa V

A

jest konsekwencj

ą

utwierdzenia na podporze B w wyniku czego

wyst

ę

puje tam moment zginaj

ą

cy (moment utwierdzenia).

Zatem:

( )

( )

min

EJ

x

V

x

w

P

x

w

A

kr

−

−

=

′′

.

Kolejne ró

ż

niczkowania tego równania daj

ą

:

( )

( )

min

EJ

V

x

w

P

x

w

A

kr

−

′

−

=

′′

′

,

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

IV

′′

−

=

.

To równanie ró

ż

niczkowe czwartego rz

ę

du

zapiszemy w formie:

( )

( )

0

2

=

′′

+

x

w

k

x

w

IV

,

(a)

gdzie:

min

2

EJ

P

k

kr

=

.

Całk

ę

ogóln

ą

równania (a) mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:

( )

kx

C

kx

C

x

C

C

x

w

cos

sin

4

3

2

1

+

+

+

=

.

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:

1/

( )

4

1

4

1

0

0

0

C

C

C

C

w

−

=

→

=

+

→

=

,

2/

( )

0

0

0

4

=

→

=

′′

C

w

,

3/

( )

0

sin

0

3

2

=

+

→

=

kl

C

l

C

l

w

,

4/

( )

0

cos

0

3

2

=

+

→

=

′

kl

k

C

C

l

w

.

Pewnego obja

ś

nienia wymaga drugi kinematyczny warunek brzegowy. Jego sens fizyczny,

oznaczaj

ą

cy zerowanie si

ę

momentu zginaj

ą

cego w punkcie A (podpora przegubowo

przesuwna) staje si

ę

oczywisty, je

ś

li zauwa

ż

ymy,

ż

e:

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

−

=

Z dwóch ostatnich warunków otrzymujemy równanie:

kl

kl

tg

=

,

którego najmniejszy dodatni, ró

ż

ny od zera pierwiastek ma warto

ść

4934

.

4

=

kl

.

Tak wi

ę

c:

2

min

2

min

2

1906

.

20

4934

.

4

l

EJ

l

EJ

P

kr

=

=

,

lub inaczej:

(

)

(

)

2

min

2

2

min

2

7

.

0

*

6992

.

0

l

EJ

l

EJ

P

kr

π

π

≈

=

.

Współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej dla takiego pr

ę

ta wynosi

7

.

0

=

α

.

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

242

Przykład 17.5.5.

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej

ś

ciskanego osiowo pr

ę

ta pryzmatycznego obci

ąż

onego jak na rysunku.

Rozwiązanie

Moment zginaj

ą

cy w wyboczonym pr

ę

cie wynosi:

( )

( )

A

kr

M

x

w

P

x

M

−

=

.

St

ą

d równanie ró

ż

niczkowe osi wyboczonego pr

ę

ta ma posta

ć

:

( )

( )

min

EJ

x

w

P

M

x

w

kr

A

−

=

′′

Tak jak w poprzednim przykładzie, kolejne ró

ż

niczkowania tego równania daj

ą

:

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

′

−

=

′′

′

,

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

IV

′′

−

=

,

( )

( )

0

2

=

′′

+

x

w

k

x

w

IV

,

(a)

gdzie:

min

2

EJ

P

k

kr

=

.

Całk

ę

ogóln

ą

równania (a) mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:

( )

kx

C

kx

C

x

C

C

x

w

cos

sin

4

3

2

1

+

+

+

=

.

Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych, ale zanim je sformułujemy zwró

ć

my

uwag

ę

na zale

ż

no

ść

mi

ę

dzy trzeci

ą

pochodn

ą

ugi

ę

cia i sił

ą

poprzeczn

ą

. Wiemy ju

ż

,

ż

e:

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

−

=

,

wi

ę

c po obustronnym ró

ż

niczkowaniu otrzymamy:

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

′

−

=

′

,

ale

( )

( )

x

Q

x

M

=

′

, zatem

( )

( )

min

EJ

x

w

x

Q

′′

′

−

=

.

Indeks „min” przy momencie bezwładno

ś

ci w ogólnym przypadku zale

ż

no

ś

ci ró

ż

niczkowych

mi

ę

dzy momentem zginaj

ą

cym, sił

ą

poprzeczn

ą

i odpowiednimi pochodnymi funkcji ugi

ę

cia

winien by

ć

zast

ą

piony indeksem wskazuj

ą

cym o

ś

zginania.

Kinematyczne warunki brzegowe w tym pr

ę

cie maj

ą

posta

ć

:

J

y

= J

min

Y

Z

Z

X

P

l

B

A

w

(x)

X

P

kr

l

w

(x)

M

A

M

B

P

kr

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

243

1/

( )

0

0

0

4

1

=

+

→

=

C

C

w

,

2/

( )

3

2

3

2

0

0

0

kC

C

kC

C

w

−

=

→

=

+

→

=

′

,

3/

( )

0

sin

cos

0

4

3

2

=

−

+

→

=

′

kl

kC

kl

kC

C

l

w

,

4/

( )

0

sin

cos

0

4

3

3

3

=

+

−

→

=

′′

′

kl

C

k

kl

C

k

l

w

.

Czwarty kinematyczny warunek brzegowy mówi o zerowaniu si

ę

siły poprzecznej na

podporze B.

Podstawienie do warunku trzeciego,

3

2

kC

C

−

=

z warunku drugiego i

kl

kl

C

C

sin

cos

3

4

=

z

warunku czwartego daje zale

ż

no

ść

:

0

sin

3

=

kl

C

.

Stała całkowania

3

C

nie mo

ż

e by

ć

równa zeru bo wówczas zeruj

ą

si

ę

pozostałe stałe

całkowania i

( )

0

=

x

w

, co przeczy zało

ż

onej krzywoliniowej formie wyboczonego pr

ę

ta,

wi

ę

c:

,....

3

,

2

,

1

,

0

sin

=

=

→

=

n

l

n

k

kl

π

Najmniejszy pierwiastek tego równania daje sił

ę

krytyczn

ą

o warto

ś

ci:

2

min

2

l

EJ

P

kr

π

=

, z której wynika i

ż

współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej dla takiego pr

ę

ta

1

=

α

.

Przykład 17.5.6.

O jak

ą

warto

ść

T

∆ musi wzrosn

ąć

temperatura otoczenia obustronnie

zamocowanego pr

ę

ta stalowego, o długo

ś

ci l = 12 m i przekroju zło

ż

onego z dwóch

k

ą

towników równoramiennych 150*150*12, aby utracił on swoj

ą

stateczno

ść

. Stałe

materiałowe pr

ę

ta wynosz

ą

: moduł Younga E = 205 GPa, granica proporcjonalno

ś

ci R

H

= 200

MPa, współczynnik rozszerzalno

ś

ci cieplnej liniowej

C

T

o

/

10

*

12

6

−

=

ε

.

Siła krytyczna dla pr

ę

ta obustronnie zamocowanego pracuj

ą

cego w zakresie liniowo

spr

ęż

ystym ma warto

ść

:

2

min

2

w

E

kr

l

EJ

P

π

=

, gdzie:

l

l

w

5

.

0

=

Pod wpływem podniesienia temperatury o

T

∆ pr

ę

t podparty w sposób nieskr

ę

powany mo

ż

e

si

ę

wydłu

ż

y

ć

o

l

T

l

T

∆

ε

∆

=

. Poniewa

ż

pr

ę

t jest zamocowany to wydłu

ż

enie redukowane jest

do zera przez

ś

ciskaj

ą

c

ą

sił

ę

osiow

ą

P spełniaj

ą

c

ą

zale

ż

no

ść

:

l

EA

l

T

P

l

EA

l

P

T

∆

ε

∆

=

→

=

.

X

l = 12 m

Z

0

Z

0

Y

0

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

244

Z porównania obu tych sił otrzymamy krytyczn

ą

warto

ść

zmiany temperatury otoczenia, przy

której pr

ę

t utraci sw

ą

stateczno

ść

:

2

2

2

min

2

λ

ε

π

∆

π

∆

ε

T

w

T

T

l

EJ

l

EA

l

T

=

→

=

,

gdzie:

min

i

l

w

=

λ

.

Potrzebujemy wyliczy

ć

minimalny promie

ń

bezwładno

ś

ci przekroju.

Z tablic profili walcowanych odczytujemy dane dla jednego k

ą

townika

Z tablic profili walcowanych odczytujemy
dane dla jednego k

ą

townika

Pole przekroju: A = 34.9 cm

2

,

główne centralne momenty bezwładno

ś

ci:

1186

=

ξ

J

cm

4

,

305

=

η

J

cm

4

.

Główne centralne osie bezwładno

ś

ci przekroju tego pr

ę

ta to

jego osie symetrii. Momenty bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem tych osi

maj

ą

warto

ść

:

2372

1186

*

2

*

2

=

=

=

ξ

J

J

y

cm

4

,

(

)

[

]

=

+

=

2

2

*

15

.

4

2

A

J

J

z

η

(

)

[

]

261

.

3014

2

*

15

.

4

9

.

34

305

2

2

=

+

=

cm

4

.

Minimalny promie

ń

bezwładno

ś

ci:

829

.

5

8

.

69

2372

min

=

=

=

y

i

i

cm.

Smukło

ść

:

934

.

102

829

.

5

1200

*

5

.

0

min

=

=

i

l

w

λ

.

Poniewa

ż

do oblicze

ń

przyj

ę

to sił

ę

krytyczn

ą

Eulera, nale

ż

y sprawdzi

ć

czy smukło

ść

pr

ę

ta

jest wi

ę

ksza od smukło

ś

ci granicznej.

58

.

100

200

10

*

205

3

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

, zatem

gr

λ

λ

>

.

Zmiana temperatury otoczenia powoduj

ą

ca utrat

ę

stateczno

ś

ci rozwa

ż

anego pr

ę

ta wynosi:

62

.

77

934

.

102

*

10

*

12

2

6

2

2

2

=

=

=

−

π

λ

ε

π

∆

T

T

°C.

10.85

4.15

4.15

10.85

ξ

45

°

η

wymiary w cm

Y

Z

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

245

Je

ś

li zmienione zostan

ą

warunki podparcia pr

ę

ta z zamocowanych na przegubowe, to

wówczas jego smukło

ść

b

ę

dzie równa:

867

.

205

829

.

5

1200

*

1

min

=

=

=

i

l

w

λ

,

a krytyczna zmiana temperatury b

ę

dzie wynosi

ć

:

41

.

19

867

.

205

*

10

*

12

2

6

2

2

2

=

=

=

−

π

λ

ε

π

∆

T

T

°C.

17.6. Zastosowanie metody energetycznej przy wyznaczaniu siły krytycznej

Rozwi

ą

zanie zagadnienia utraty stateczno

ś

ci drog

ą

całkowania równania ró

ż

niczkowego

krzywoliniowej postaci pr

ę

ta w bardziej zło

ż

onych przypadkach obci

ąż

enia czy jego

geometrii, cz

ę

sto prowadzi do skomplikowanych równa

ń

ró

ż

niczkowych o zmiennych

współczynnikach, których rozwi

ą

zanie wymaga zło

ż

onych metod matematycznych i bywa

przyczyn

ą

braku zamkni

ę

tych rozwi

ą

za

ń

analitycznych.

W takich przypadkach ch

ę

tnie korzystamy z metod energetycznych, umo

ż

liwiaj

ą

cych szybkie

otrzymanie przybli

ż

onego rozwi

ą

zania. Dalej omówimy metod

ę

Timoshenki - Ritza

wyznaczania siły krytycznej wykorzystuj

ą

c

ą

twierdzenie o minimum całkowitej energii

potencjalnej układu. Twierdzenie to mówi,

ż

e: w poło

ż

eniu równowagi stałej całkowita

energia potencjalna układu

Π

zdefiniowana wzorem:

z

w

L

L

−

=

Π

,

(17.21)

gdzie:

z

L

- praca sił zewn

ę

trznych,

w

L

- praca sił wewn

ę

trznych, osi

ą

ga minimum.

We wspomnianej metodzie zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta odpowiadaj

ą

ce

kinematycznym i statycznym warunkom brzegowym:

( )

( )

x

f

C

x

w

m

n

m

m

∑

=

=

1

,

(17.22)

i dalej na podstawie zało

ż

onego równania odkształconej osi pr

ę

ta obliczamy prac

ę

sił

zewn

ę

trznych oraz prac

ę

sił wewn

ę

trznych , a nast

ę

pnie rozpisujemy układ równa

ń

0

=

∂

∂

m

C

Π

.

(17.23)

Otrzymany w ten sposób układ równa

ń

(17.23) jest układem równa

ń

liniowych jednorodnych

ze wzgl

ę

du na współczynniki

m

C

. Z przyrównania do zera wyznacznika tego układu

wyznaczamy przybli

ż

on

ą

warto

ść

siły krytycznej.

Uzyskana t

ą

metod

ą

siła krytyczna ma warto

ść

zawsze wi

ę

ksza od dokładnej, i tym bli

ż

sz

ą

dokładnej im bli

ż

sz

ą

rzeczywistej jest zało

ż

ona posta

ć

ugi

ę

tej osi pr

ę

ta w stanie

krzywoliniowej równowagi.
Je

ż

eli w miejsce sko

ń

czonego szeregu funkcji (17.22) przyjmiemy,

ż

e zdeformowan

ą

o

ś

opisuje jedna funkcja:

( )

( )

x

f

C

x

w

=

,

to w miejsce układu równa

ń

(17.23) otrzymujemy jedno równanie z którego wyznaczamy sił

ę

krytyczn

ą

prostym wzorem zawieraj

ą

cym pierwsz

ą

i drug

ą

pochodn

ą

funkcji

( )

x

f

. W celu

jego wyprowadzenia rozwa

ż

my pr

ę

t pokazany ni

ż

ej na rys.

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

246

Praca sił wewn

ę

trznych, która równa si

ę

energii spr

ęż

ystej układu, przy pomini

ę

ciu wpływu

sił podłu

ż

nych wynosi:

( )

dx

EJ

x

M

U

L

l

y

y

w

∫

=

=

0

2

2

.

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c, zwi

ą

zek ró

ż

niczkowy mi

ę

dzy momentem zginaj

ą

cym i drug

ą

pochodn

ą

linii

ugi

ę

cia

( )

x

w

EJ

M

''

y

y

−

=

, otrzymujemy:

( )

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

∫

=

=

=

=

l

''

y

l

''

y

l

y

y

w

dx

x

f

EJ

C

dx

x

w

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

0

2

2

0

2

0

2

2

2

2

.

Aby obliczy

ć

prac

ę

sił zewn

ę

trznych potrzebujemy wyznaczy

ć

poziome przemieszczenia u .

Wyliczymy je jako ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy długo

ś

ci

ą

pierwotn

ą

l a rzutem zdeformowanej osi pr

ę

ta

na o

ś

X.

Z rysunku pokazanego wy

ż

ej, łatwo obliczymy zale

ż

no

ść

mi

ę

dzy dowolnie małym odcinkiem

pr

ę

ta dx i dowolnie małym przemieszczenie jego ko

ń

ca du:

(

)

α

cos

dx

du

−

=

1

.

Poniewa

ż

k

ą

t

α

jest mały to:

( )

x

w

tg

sin

'

=

≈

≈

α

α

α

i kolejno przekształcenia daj

ą

:

(

)

( )

[

]

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

x

w

tg

tg

sin

cos

'

=













≈













≈

≈

=

−

α

α

α

α

α

St

ą

d całkowite przemieszczenie u wynosi:

(

)

( )

[

]

( )

[

]

dx

x

f

C

dx

x

w

dx

u

l

l

l

∫

∫

∫

=

=

−

=

0

2

'

2

0

2

'

0

2

2

1

cos

1

α

, i

i praca sił zewn

ę

trznych jest równa:

( )

[

]

dx

x

f

C

P

u

P

L

l

z

∫

=

=

0

2

'

2

2

.

Całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta jest równa:

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

−

=

=

−

=

Π

l

l

y

z

w

dx

x

f

C

P

dx

x

f

EJ

C

U

L

L

0

2

'

2

0

2

''

2

2

2

,

i przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem stałego współczynnika

C

daje równanie

w(x)

X

P

u

P

l

J

y

= J

min

Y

Z

α

dx

du

X

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

247

( )

[

]

( )

[

]

0

0

2

0

2

=

−

=

∫

∫

l

'

l

''

y

dx

x

f

PC

dx

x

f

EJ

C

C

d

d

Π

,

z którego otrzymujemy poszukiwany wzór na sił

ę

krytyczn

ą

:

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

=

l

l

''

min

kr

dx

x

'

f

dx

x

f

EJ

P

0

2

0

2

.

(17.24)

17.6.1. Przykłady

Przykład 17.6.1.1.

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej, pr

ę

ta

przegubowo podpartego obci

ąż

onego osiowo dwoma siłami

ś

ciskaj

ą

cymi jak na rysunku.

Zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta w postaci:

( )

l

x

sin

C

x

w

π

=

,

(a)

które spełnia kinematyczne warunki brzegowe - zerowanie si

ę

ugi

ę

cia na podporach oraz

statyczne warunki brzegowe - zerowanie si

ę

tam momentów zginaj

ą

cych.

Praca sił wewn

ę

trznych wynosi:

( )

( )

[

]

2

3

4

0

2

4

4

2

0

2

0

2

4

2

2

2

C

l

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

dx

x

w

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

y

l

y

l

''

y

l

y

y

w

π

π

π

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

Przemieszczenie punktu przyło

ż

enia siły na lewej podporze jest równe:

( )

[

]

l

C

dx

l

x

cos

l

C

dx

x

w

u

l

l

'

4

2

2

1

2

2

0

2

2

2

2

0

2

π

π

π

=

=

=

∫

∫

,

st

ą

d całkowita praca sił zewn

ę

trznych wynosi:

J

y

= J

min

Y

Z

Z

X

P

2

l

2

l

P

w

X

2

u

P

P

u

2

l

2

l

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

248

2

2

8

3

2

C

l

P

u

P

u

P

L

z

π

=

+

=

.

Całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta jest równa:

2

1

2

2

1

3

4

8

3

4

C

l

P

C

l

EJ

L

L

y

z

w

π

π

Π

−

=

−

=

, i przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem

współczynnika

C

daje równanie:

0

4

3

2

2

3

4

=

−

=

C

l

P

C

l

J

E

C

d

d

y

π

π

Π

,

z którego wyznaczamy poszukiwane warto

ś

ci siły krytycznej i współczynnika długo

ś

ci

wyboczeniowej

(

)

2

2

2

2

225

1

3

2

l

.

J

E

l

J

E

P

min

min

kr

π

π

=

=

.

Siła krytyczna dla tego pr

ę

ta otrzymana metod

ą

całkowania równania ró

ż

niczkowego (patrz

przykład 17.5.3) wyniosła

(

)

2

2

2

229

1

5362

6

l

.

EJ

l

EJ

.

P

min

min

kr

π

=

=

,

st

ą

d bł

ą

d rozwi

ą

zania metod

ą

energetyczn

ą

wynosi 0.67 %.

Policzmy ponownie to zadanie przy zało

ż

onym innym równaniu odkształconej osi pr

ę

ta.

Przyjmijmy teraz równanie w formie:

( )

(

)

x

l

x

l

C

x

w

−

=

2

,

(b)

które spełnia kinematyczne warunki brzegowe ale nie daje zerowania si

ę

momentów

zginaj

ą

cych na podporach bo:

( )

(

)

x

l

l

C

x

w

2

2

'

−

=

,

( )

2

''

2

l

C

x

w

−

=

, i druga pochodna jest ró

ż

na od zera. Zatem równanie (b)

jest „gorsze” od równania (a) i zobaczymy jaki to b

ę

dzie miało wpływ na warto

ść

siły

krytycznej.
Kolejno obliczamy:

moment zginaj

ą

cy:

( )

2

2

l

C

EJ

x

w

EJ

M

y

''

y

y

=

−

=

,

prac

ę

sił wewn

ę

trznych:

( )

2

3

0

2

4

0

2

2

2

2

C

l

EJ

dx

C

l

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

y

l

y

l

y

y

w

=

=

=

=

∫

∫

,

przemieszczenie lewej podpory:

( )

[

]

(

)

l

C

dx

x

l

l

C

dx

x

w

u

l

l

'

6

2

2

2

1

2

0

2

4

2

0

2

=

−

=

=

∫

∫

,

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

249

prac

ę

sił zewn

ę

trznych:

P

l

C

Pu

u

P

u

P

L

z

4

2

3

2

2

=

=

+

=

,

całkowit

ą

energi

ę

potencjaln

ą

pr

ę

ta:

P

l

C

C

l

EJ

L

L

y

z

w

4

2

2

2

3

−

=

−

=

Π

,

aby z zerowania si

ę

jej pochodnej:

0

8

3

=

−

−

=

C

l

P

C

l

J

E

C

d

d

y

Π

, wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

:

(

)

2

2

2

111

1

8

l

.

J

E

l

J

E

P

min

min

kr

π

=

=

.

Tym razem bł

ą

d rozwi

ą

zania metod

ą

energetyczn

ą

wynosi 18.30 %.

Przykład 17.6.1.2.

Wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

, pr

ę

ta przegubowo podpartego, o skokowo

zmiennym momencie bezwładno

ś

ci obci

ąż

onego osiowo dwoma siłami

ś

ciskaj

ą

cymi jak na

rysunku.

Zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta w postaci:

( )

l

x

sin

C

x

w

π

=

.

Równanie momentów zginaj

ą

cych przyjmuje form

ę

:

( )

l

x

sin

l

EJ

C

x

w

EJ

M

y

''

y

y

π

π

2

2

=

−

=

,

prac

ę

sił wewn

ę

trznych jest równa:

2

3

4

4

4

2

4

4

2

2

2

4

4

2

2

0

2

4

4

2

8

3

4

2

2

4

2

2

2

2

C

l

EJ

l

l

C

EJ

l

l

C

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

L

y

y

y

l

l

y

l

y

w

π

π

π

π

π

π

π

=

=

+

=

+

=

∫

∫

.

Przemieszczenia zewn

ę

trznych sił

ś

ciskaj

ą

cych jak i praca tych sił s

ą

takie same jak w

przykładzie 17.6.1.1.

2

2

8

3

2

C

l

P

u

P

u

P

L

z

π

=

+

=

.

St

ą

d całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta wynosi:

J

y

= J

min

Y

Z

Z

X

P

2

l

2

l

P

J

y

2J

y

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

250

2

2

2

3

4

8

3

8

3

C

l

P

C

l

EJ

L

L

y

z

w

π

π

Π

−

=

−

=

.

Z przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem stałego współczynnika

C

otrzymujemy:

2

2

l

J

E

P

min

kr

π

=

.

Przykład 17.6.1.3.

Wyznaczy

ć

krytyczn

ą

warto

ść

obci

ąż

enia pr

ę

ta

wspornikowego, jak na rysunku obok, o
przekroju

A

obci

ąż

onego

tylko

ci

ęż

arem

własnym

γ .

Mamy tutaj do czynienia z zagadnieniem utraty stateczno

ś

ci pr

ę

ta

ś

ciskanego osiowo

obci

ąż

eniem ci

ą

głym

A

q

γ

=

równomiernie rozło

ż

onym wzdłu

ż

jego osi.

Moment zginaj

ą

cy w dowolnym przekroju pr

ę

ta

przy zdeformowanej jego osi (patrz rys. obok)
wynosi:

( )

( )

( )

[

]

∫

−

=

l

x

y

d

x

w

q

x

M

ξ

ξ

η

, gdzie:

A

q

γ

=

.

Równanie ró

ż

niczkowe ugi

ę

tej osi pr

ę

ta ma posta

ć

:

( )

( )

( )

[

]

ξ

ξ

η

d

x

w

q

x

d

x

w

d

EJ

l

x

y

∫

−

=

2

2

.

Powy

ż

sze równanie ró

ż

niczkowe o zmiennych współczynnikach mo

ż

na rozwi

ą

za

ć

stosuj

ą

c

niesko

ń

czone szeregi otrzymuj

ą

c (patrz np. S.P.Timoshenko, R.Gere: Teoria stateczno

ś

ci

spr

ęż

ystej. Arkady, Warszawa 1963) w wyniku:

( )

(

)

2

min

2

2

min

122

.

1

837

.

7

l

EJ

l

EJ

ql

kr

π

=

=

.

(c)

Teraz przykład ten rozwi

ąż

emy stosuj

ą

c metod

ę

energetyczn

ą

.

Przyjmijmy lini

ę

ugi

ę

cia w postaci:

( )













−

=

l

x

cos

C

x

w

2

1

π

, która spełnia kinematyczne warunki brzegowe (zerowanie si

ę

ugi

ę

cia i

k

ą

ta ugi

ę

cia w utwierdzeniu).

Przy przyj

ę

tej formie linii ugi

ę

cia moment zginaj

ą

cy okre

ś

la zale

ż

no

ść

:

w(x)

l

X

x

ξ

l

( )

ξ

η

w

q

Y

Z

l

X

Z

J

y

= J

min

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

251

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

(

)

(

)

(

)

























−

−

−

=

=













−

−

−

























−

−

−

=

−

−













−

=

−













−

=

−

=

∫

∫

∫

l

x

sin

l

l

x

cos

x

l

C

q

l

x

cos

x

l

C

q

l

x

sin

l

x

l

C

q

x

w

q

l

sin

l

C

q

d

x

w

q

d

l

cos

C

q

d

x

w

q

x

M

l

x

l

x

l

x

l

x

l

x

y

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

π

π

π

π

π

π

ξ

ξ

π

π

ξ

ξ

ξ

ξ

π

ξ

ξ

η

st

ą

d praca sił wewn

ę

trznych (równa energii spr

ęż

ystej) wynosi:

( )













−

+

=

=

=

∫

3

2

3

2

2

0

2

32

9

6

1

2

2

π

π

y

l

y

y

w

EJ

l

q

C

dx

EJ

x

M

U

L

.

Praca wykonana przez ci

ą

gle rozło

ż

one obci

ąż

enie osiowe wynosi (patrz wyra

ż

enie na

pionowe przemieszczenie punktów osi pr

ę

ta wywołane zało

ż

on

ą

jej deformacj

ą

podane w

przykładzie 17.6.1.1.):

(

)

( )

[

]

(

)













−

=

−

=

−

=

∫

∫

2

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

4

1

8

2

8

2

1

π

π

π

π

C

q

dx

l

x

sin

x

l

C

l

q

dx

x

w

x

l

q

L

l

'

l

z

.

Otrzymanie powy

ż

sze wyniku wymaga wykonania do

ść

ż

mudnych całkowa

ń

.

Całkowita energia potencjalna zdeformowanego pr

ę

ta jest równa:













−

−













−

+

=

−

=

2

2

2

3

2

2

3

2

1

4

1

8

32

9

6

1

2

π

π

π

π

Π

C

q

C

EJ

l

q

L

L

y

z

w

.

Przyrównuj

ą

c do zera jej pochodn

ą

wzgl

ę

dem

C

otrzymujemy:

0

1

4

1

4

32

9

6

1

2

2

3

2

3

2

=













−

−













−

+

=

∂

∂

π

π

π

π

Π

C

q

C

EJ

l

q

C

y

.

St

ą

d krytyczna warto

ść

ci

ęż

aru pr

ę

ta wynosi:

( )

(

)

2

min

2

2

min

120

.

1

869

.

7

l

EJ

l

EJ

l

q

kr

π

=

=

.

(d)

Porównanie zale

ż

no

ś

ci (c) i (d) pokazuje,

ż

e bł

ą

d mi

ę

dzy rozwi

ą

zaniem otrzymanym drog

ą

całkowania równania ró

ż

niczkowego a metod

ą

energetyczn

ą

jest znikomy i wynosi około

0.41 %.
Policzmy krytyczna wysoko

ść

wspornikowego pr

ę

ta przyjmuj

ą

c,

ż

e wykonany został ze stali

o module Younga E = 205 GPa i ci

ęż

arze własnym

γ

= 78.50 kN/m

3

, a jego przekrój

poprzeczny jest kwadratowy o boku 1 cm. Aby j

ą

wyznaczy

ć

przekształcamy zale

ż

no

ść

(c)

otrzymuj

ą

c:

( )

γ

γ

2

3

3

3

2

837

7

837

7

837

7

837

7

min

kr

min

kr

min

kr

min

kr

i

E

.

l

A

EJ

.

l

q

EJ

.

l

l

EJ

.

l

q

=

→

=

→

=

→

=

.

Wstawienie warto

ś

ci stałych materiałowych i wymiarów przekroju daje:

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Stateczno

ść

osiowo

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych

252

546

.

5

12

*

10

*

50

.

78

10

*

10

*

205

*

837

.

7

3

4

9

3

=

→

=

−

kr

kr

l

l

m.

Przytoczony na pocz

ą

tku tego rozdziału warunek no

ś

no

ś

ci w postaci nie przekroczenia

wytrzymało

ś

ci obliczeniowej przy

ś

ciskaniu dał dopuszczaln

ą

wysoko

ść

takiego pr

ę

ta równ

ą

2.739*10

3

m. Pokazuje to, jak w tym przypadku decyduj

ą

ce znaczenie na no

ś

no

ść

konstrukcji

ma zjawisko utraty stateczno

ś

ci.