Przykład do zadania 5.9:
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi xy = 1, y = x, y = 2x, (x, y ­ 0).

• pole obszaru D to |D| =

Z Z

D

dxdy

• szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:

x

−1

= x

x

2

= 1, x ­ 0

x = 1

,

x

−1

= 2x

x

2

=

1
2

, x ­ 0

x =

√

2

2

,

x = 2x
x = 0

• rysunek

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

y

x

y=x

−1

y=2x

y=x

1

1/2

1/2

0

• D = D

1

∪ D

2

, gdzie D

1

=

n

(x, y) : 0 ¬ x ¬

√

2

2

, x ¬ y ¬ 2x

o

,

D

2

=

n

(x, y) :

√

2

2

¬ x ¬ 1, x ¬ y ¬ x

−1

o

• Stąd |D| =

Z Z

D

dxdy =

Z Z

D

1

dxdy +

Z Z

D

2

dxdy =

√

2

2

Z

0

dx

2x

Z

x

dy +

1

Z

√

2

2

dx

x

−1

Z

x

dy =

=

√

2

2

Z

0

(2x − x)dx +

1

Z

√

2

2

(x

−1

− x)dx =






x

2

2







√

2

2

0

+





ln |x| −

x

2

2







1

√

2

2

=

1

4

− ln

√

2

2

−

1

2

+

1

4

= ln

√

2 > 0

1

Przykłady do zadania 5.10:
Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:

(a) bryła V ograniczona przez z =

1

√

x

2

+ y

2

, z = 0, x

2

+ y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 9

• Uwaga: dwa ostatnie równania określają tu powierzchnie boczne walców, a nie okręgi

• rysunek

−2

0

2

−3

−2

−1

0

1

2

3

0

0.5

1

1.5

y

z

x

r=1

r=3

z=1/(x

2

+y

2

)

1/2

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y

x

1

3

D

• V =

(

(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ¬ z ¬

1

√

x

2

+ y

2

)

,

gdzie D = {(x, y) : 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 9}

• Objętość bryły V to |V | =

Z Z

D

1

√

x

2

+ y

2

− 0

!

dxdy

• Zastosujemy współrzędne biegunowe.

Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 1 ¬ ρ ¬ 3}

• |V | =

Z Z

D

dxdy

√

x

2

+ y

2

=

Z Z

∆

1

√

ρ

2

ρ dρdϕ =

2π

Z

0

dϕ

3

Z

1

dρ =





2π

Z

0

dϕ





·





3

Z

1

dρ





=

= 2π · 2 = 4π > 0

2

(b) bryła V ograniczona przez z = e

y−x

, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0

• rysunek

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

z

z=e

y−x

1

1

1

y

x+y=1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

y=1−x

1

1

0

x

y

D

• V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ¬ z ¬ e

y−x

},

gdzie D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x}

• Objętość bryły V to |V | =

Z Z

D



e

y−x

− 0



dxdy =

1

Z

0

dx

1−x

Z

0

e

y−x

dy =

1

Z

0





e

y−x







y=1−x

y=0





dx =

=

1

Z

0



e

1−2x

− e

−x



dx =





−

e

1−2x

2

+ e

−x







x=1

x=0

= −

e

−1

2

+ e

−1

+

e

2

− 1 =

1

2e

+

e

2

− 1 > 0

3

Przykłady do zadania 5.11:
Obliczyć pola podanych płatów:

(a) płat Σ to fragment wykresu funkcji f (x, y) =

√

x

2

+ y

2

dla (x, y) ∈ D, gdzie D = {(x, y) :

x

2

+ y

2

¬ 2x}

• Uwaga: Σ to fragment bocznej powierzchni stożka wycięty walcem (x − 1)

2

+ y

2

¬ 2x

• rysunek

−3

−2

−1

0

1

2

−3

−2

−1

0

1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

z

y

x

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

(1,0)

2

0

D

• Σ

n

(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f (x, y) =

√

x

2

+ y

2

o

,

gdzie D = {(x, y) : (x − 1)

2

+ y

2

¬ 1}

• pole płata Σ to |Σ| =

Z Z

D

v
u
u
t

1 +

∂f

∂x

!

2

(x, y) +

∂f

∂y

!

2

(x, y) dxdy

•

∂f

∂x

=

2x

2

√

x

2

+ y

2

,

∂f
∂y

=

y

√

x

2

+ y

2

– ciągłe na D

• 1 +

∂f

∂x

!

2

(x, y) +

∂f

∂y

!

2

(x, y) = 1 +

x

√

x

2

+ y

2

!

2

+

y

√

x

2

+ y

2

!

2

= 2

• |Σ| =

Z Z

D

√

2 dxdy =

√

2 |D| =

√

2 · π · 1

2

= π

√

2 > 0,

bo D to koło o promieniu 1.

4

(b) płat Σ to fragment wykresu funkcji f (x, y) =

√

16 − x

2

− y

2

pomiędzy płaszczyznami z = 1 i

z = 2

• 1 ¬

√

16 − x

2

− y

2

¬ 2 ⇐⇒ 15 ­ x

2

+ y

2

­ 12,

zatem Σ to fragment powierzchni sfery dla (x, y) ∈ D, gdzie D = {(x, y) : 12 ¬ x

2

+ y

2

¬

15},

Σ

n

(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f (x, y) =

√

16 − x

2

− y

2

o

• rysunek

−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

z

y

x

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

12

1/2

15

1/2

• pole płata Σ to |Σ| =

Z Z

D

v
u
u
t

1 +

∂f

∂x

!

2

(x, y) +

∂f

∂y

!

2

(x, y) dxdy

•

∂f

∂x

=

−2x

2

√

16 − x

2

− y

2

,

∂f
∂y

=

−y

√

16 − x

2

− y

2

– ciągłe na D

• 1+

∂f

∂x

!

2

(x, y)+

∂f

∂y

!

2

(x, y) = 1+

−x

√

16 − x

2

− y

2

!

2

+

−y

√

16 − x

2

− y

2

!

2

=

16

16 − x

2

− y

2

• |Σ| =

Z Z

D

4

√

16 − x

2

− y

2

dxdy

• Zastosujemy współrzędne biegunowe.

Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π,

√

12 ¬ ρ ¬

√

15}

• |Σ| =

Z Z

D

4

√

16 − x

2

− y

2

dxdy =

Z Z

∆

4

√

16 − ρ

2

ρ dρdϕ =

2π

Z

0

dϕ

√

15

Z

√

12

4

√

16 − ρ

2

ρ dρ =

=

2π

R

0

dϕ

!

·

√

15

R

√

12

−2

√

16 − ρ

2

(−2ρ)dρ

!

= 2π ·





−2 · 2

√

16 − ρ

2







√

15

√

12

= −8π(1 − 2) = 8π > 0

5

Przykłady do zadania 5.12:
Obliczyć masy podanych obszarów D o wskazanych gęstościach powierzchniowych σ(x, y):

(a) D - obszar ograniczony krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2; σ(x, y) = xy

• Uwaga: dla (x, y) ∈ D funkcja σ(x, y) ­ 0

• M =

Z Z

D

σ(x, y) dxdy =

Z Z

D

xy dxdy

• D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2 − x}

• rysunek

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y

x

2

2

0

x+y=2

• M =

Z Z

D

xy dxdy =

2

Z

0

dx

2−x

Z

0

xy dy =

2

Z

0

x





y

2

2







y=2−x

y=0

dx =

2

Z

0

x ·

(2 − x)

2

2

dx =

=

1

2

2

Z

0

(4x − 4x

2

+ x

3

)dx =





x

2

−

2x

3

3

+

x

4

8







2

0

= 4 −

16

3

+ 2 =

2

3

> 0.

6

(b) D - obszar ograniczony krzywymi x

2

+ y

2

= 4, y = 1, (y ­ 1); σ(x, y) =

1

(x

2

+ y

2

)

2

• Uwaga: funkcja σ(x, y) ­ 0

• M =

Z Z

D

σ(x, y) dxdy =

Z Z

D

1

(x

2

+ y

2

)

2

dxdy

• D = {(x, y) : y ­ 1, x

2

+ y

2

¬ 4}

• rysunek

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y

x

y=1

x

2

+y

2

=4

2

• Zastosujemy współrzędne biegunowe.

Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) :

π

6

¬ ϕ ¬

5π

6

,

1

sin ϕ

¬ ρ ¬ 2}, gdyż

y = 1 = 2 sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π] ⇐⇒ ϕ =

π

6

∨

5π

6

;

1 ¬ y ⇐⇒ 1 ¬ ρ sin ϕ ⇐⇒

1

sin ϕ

¬ ρ

• M =

Z Z

D

1

(x

2

+ y

2

)

2

dxdy =

Z Z

∆

1

ρ

4

ρ dρdϕ =

5π

6

Z

π

6

dϕ

2

Z

1

sin ϕ

ρ

−3

dρ =

=

5π

6

Z

π

6





−

1

2

ρ

−2







ρ=2

ρ=

1

sin ϕ

dϕ =

5π

6

Z

π

6



−

1

8

+

1

2

sin

2

ϕ



dϕ =

1

4

5π

6

Z

π

6



−

1

2

+ 1 − cos(2ϕ)



dϕ =

=

1

4





1

2

ϕ −

1

2

sin(2ϕ)







5π

6

π

6

=

1

4



5π

12

−

1

2

sin



5π

3



−

π

12

+

1

2

sin



π

3



=

=

π

12

+

1

8

·

√

3

2

· 2 =

π

12

+

√

3

8

> 0

7