Rozdział 12
Ruch własny gwiazd
12.1
Streszczenie
Ruchy własne gwiazd po raz pierwszy zauwa˙zył E. Halley w XVIII stuleciu. S ˛
a to niewielkie
przemieszczenia k ˛
atowe gwiazd na sferze niebieskiej, najcz˛e´sciej poni˙zej
0:
00
1
/rok. O przestrzen-
nym ruchu gwiazd zakłada si˛e, ˙ze przebiega po prostej ze stał ˛
a szybko´sci ˛
a. Pr˛edko´s´c przestrzenn ˛
a
opisujemy z pomoc ˛
a składowej radialnej (wyznaczanej w oparciu o efekt Dopplera) oraz skład-
owej tangencjalnej (obserwowanej metodami astrometrycznymi). Roczny ruch własny gwiazdy
definiuje si˛e jako jej całkowite k ˛
atowe przemieszczenie na sferze niebieskiej, które miało miejsce
w interwale jednego roku. Zało˙zenie stało´sci przestrzennego wektora pr˛edko´sci gwiazdy nie
poci ˛
aga stało´sci w czasie składowych ruchu własnego
;
Æ
. Warto´sci te ulegaj ˛
a zmianie w miar˛e
przemieszczania si˛e gwiazdy na sferze niebieskiej, s ˛
a to tzw. zmiany wewn˛etrzne. Zmianom ulega
tak˙ze roczny ruch własny
, tempo tych zmian nosi nazw˛e przyspieszenia perspektywicznego.
Warto´sci
;
Æ
s ˛
a okre´slone wzgl˛edem konkretnego układu odniesienia, dlatego podczas zmiany
układu koniecznym jest uwzgl˛ednienie wpływu precesji L-S na te składowe.
Współcze´snie ruchy własne wyznaczane s ˛
a metodami astrometrii fotograficznej lub za pomoc ˛
a
ró˙znych wariantów astrometrii CDD. W katalogu Tycho 2 podane s ˛
a ruchy własne dla ponad
2:5
miliona gwiazd.
Słowa kluczowe: ruch własny, zmiany składowych
;
Æ
: wewn˛etrzne i precesyjne.
154
Ruch własny gwiazd
Rysunek 12.1: Fotografie gwiazdy podwójnej
61C
y
g
wykonane w ró˙znych epokach. Barycen-
trum układu dwóch orbituj ˛
acych gwiazd przemieszcza si˛e ruchem własnym około
5:
00
2
rocznie.
Przemieszczenie to łatwo zauwa˙zy´c na tle gwiazd o niewielkim ruchu własnym.
12.2
Wst˛ep
Istniej ˛
a przekazy [17] ´swiadcz ˛
ace, ˙ze astronom chi´nski I. Sin ˙zyj ˛
acy w latach AD 683–727,
porównuj ˛
ac wykonane przez siebie obserwacje wzgl˛ednych poło˙ze´n gwiazd z gwiazdozbioru
Strzelca z obserwacjami swych poprzedników, sformułował hipotez˛e o zmianie z czasem k ˛
a-
towych odległo´sci pomi˛edzy gwiazdami.
W Europie ruchy własne gwiazd po raz pierwszy zauwa˙zył E. Halley. W roku 1718 Halley
porównał współczesne mu poło˙zenia Syriusza, Procjona i Arktura z ich poło˙zeniami podanymi w
Almage´scie Ptolemeusza. W roku 1742 Bradley sformułował przypuszczenie, ˙ze ruchy gwiazd
odzwierciedlaj ˛
a ruch Sło ´nca w przestrzeni. Trzydzie´sci trzy lata pó´zniej Mayer opublikował pier-
wszy katalog zawieraj ˛
acy ruchy własne ponad stu gwiazd. Nast˛epne katalogi opracowane przez
Argelandera, Bessel’a pozwoliły na wyci ˛
agni˛ecie wniosku, ˙ze istniej ˛
a składowe ruchu własnego
gwiazd wynikaj ˛
ace wył ˛
acznie z ich ruchów w przestrzeni.
Ze wzrostem dokładno´sci pomiarów astrometrycznych okazało si˛e, ˙ze ruchy własne gwiazd
s ˛
a bardzo małe, ich wielko´s´c rzadko przekracza 0
:
00
1/rok. Np. najbli˙zsza Sło ´nca gwiazda
Cen-
taura ma ruch własny 3
:
00
682/rok,
Małej Nied´zwiedzicy ma ruch własny 1
:
00
242/rok, ruch ruczny
gwiazdy 61 Łab˛edzia wynosi 5
:
00
234/rok, natomiast gwiazdy
Liry osi ˛
aga 0
:
00
343/rok. Najwi˛ekszy
ruch własny wykazuje gwiazda Barnarda, wynosi on 10
:
00
27rok. Jest to słaba gwiazda o jasno´sci
9:7
m
.
Pocz ˛
atkowo ruchy własne wyznaczano w trakcie kompilacji (zestawiania) absolutnych wiz-
ualnych katalogów pozycyjnych w katalogi zbiorcze zwane fundamentalnymi. Na masowe wyz-
naczenie ruchów własnych trzeba było poczeka´c do momentu opanowania metod wzgl˛ednych
wyznaczania poło˙ze´n ciał niebieskich (fotografia, CCD). W czasach współczesnych znane s ˛
a
ruchy własne ponad
2:5
miliona gwiazd.
1
Znajomo´s´c ruchów własnych gwiazd wa˙zna jest z dwóch powodów:
astronomiczny układ odniesienia oparty jest na obserwacjach gwiazd, zatem istotn ˛
a jest
znajomo´s´c k ˛
atowych przesuni˛e´c w czasie tych reperów,
do badania kinematyki układów gwiazdowych w celu okre´slenia przestrzennych pr˛edko´sci
gwiazd, obok składowych pr˛edko´sci radialnych i paralaks, konieczn ˛
a jest znajomo´s´c abso-
lutnych ruchów własnych a tak˙ze składowych pr˛edko´sci Sło ´nca.
1
Tak ˛
a liczbe gwiazd zawiera katalog poło˙ze´ni ruchów własnych gwiazd Tycho 2.
12.3 Poj˛ecia podstawowe, definicje
155
Obok znajomo´sci tempa zmian współrz˛ednych, równie istotna jest informacja wzgl˛edem jakiego
układu odniesienia okre´slono ruchy własne gwiazd. Powi ˛
azanie systemu ruchów własnych z iner-
cjalnym układem odniesienia nazywane jest absolutyzacj ˛
a ruchów własnych.
12.3
Poj˛ecia podstawowe, definicje
Ruchami własnymi gwiazd nazywamy ich widome przemieszczenia na sferze niebieskiej, które
zaszły w trakcie roku. Wyznaczane s ˛
a poprzez porównanie poło˙ze´n danej gwiazdy pochodz ˛
acych
z ró˙znych epok obserwacji, po uwzgl˛ednieniu w poło˙zeniach zmian precesyjnych.
Przy wyznaczaniu ruchów własnych niemal zawsze zakłada si˛e, ˙ze w przestrzeni gwiazdy
poruszaj ˛
a si˛e prostoliniowo. Oznacza to, ˙ze rzuty gwiazd na sferze niebieskiej przemieszczaj ˛
a
si˛e po kołach wielkich. Odst˛epstwa od tego zało˙zenia s ˛
a rzadkim zjawiskiem, a to z powodu
ogromnych odległo´sci gwiazd od Układu Słonecznego. Dokładno´s´c pomiarów ruchów własnych
jest na tyle niska, ˙ze najcz˛e´sciej uniemo˙zliwia wykrycie odst˛epstw od prostoliniowo´sci. Jest tak
we wszystkich przypadkach poza tymi, w których mamy do czynienia z wyj ˛
atkowo du˙zymi zmi-
anami poło˙ze´n gwiazd.
2
Ruch własny nie jest rezultatem przemieszczania si˛e samej gwiazdy w
przestrzeni. Odzwierciedla on równie˙z ruch Układu Słonecznego objawiaj ˛
acy si˛e poprzez rozb-
ieganie i skupianie si˛e gwiazd w kierunku apeksu i antyapeksu ruchu Sło ´nca. Zmiany poło˙ze´n
gwiazdy okresowej natury, b˛ed ˛
ace efektem np. paralaksy rocznej nie s ˛
a wł ˛
aczane do jej ruchu
własnego.
Załó˙zmy, ˙ze dysponujemy układem odniesienia o pocz ˛
atku w centrum Sło ´nca. Wzgl˛edem
takiego układu b˛edziemy analizowali ruchy indywidualnych gwiazd. Niech gwiazda ma pr˛edko´s´c
V
a jej poło˙zenie okre´slone jest za pomoc ˛
a wersora
s
(kierunek
S
X
na rysunku 12.2). Pr˛edko´s´c
V mo˙zemy rozdzieli´c na składow ˛
a radialn ˛
a
V
r
i pr˛edko´s´c transwersaln ˛
a
V
T
V
=
V
r
s
+
V
T
(12.1)
Ze znanych zale˙zno´sci mamy (patrz [?])
V
r
=
V
s
V
T
=
s
(V
s)
(12.2)
Składowa radialna mo˙ze by´c zmierzona za po´srednictwem zjawiska przesuni˛ecia Dopplera w
widmie gwiazdy. Składowa transwersalna natomiast, nie mo˙ze by´c wyznaczona bezpo´srednio.
Kierunek tej składowej jest ustalony w oparciu o pomiary pozycyjnego przesuni˛ecia gwiazdy,
czyli jej ruchu własnego
_
s
. Natomiast jej długo´s´c mo˙zna wyznaczy´c tylko wówczas gdy znana
jest odległo´s´c gwiazdy od Sło ´nca.
Na rysunku 12.2 litera
X
oznacza poło˙zenie gwiazdy, z upływem czasu poło˙zenie to, wprawdzie
bardzo powoli ale ulega zmianie. Skala czasowa tych zmian jest rz˛edu okresu rotacji Galaktyki
(
2
10
8
lat). Dlatego w interwałach czasu wyra´znie krótszych, zupełnie uzasadnionym jest za-
ło˙zenie o stało´sci wektora pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca. Przy takim zało˙zeniu trajektoria
gwiazdy reprezentowana jest przez prost ˛
a
AX
, a para zmiennych
;
r
pełni rol˛e współrz˛ednych
biegunowych gwiazdy wzgl˛edem bieguna (Sło ´nca) i linii pocz ˛
atkowej
S
A
.
Przyjmijmy, ˙ze odległo´s´c
r
mierzona jest w kilometrach, k ˛
at
w radianach natomiast czas
t
w latach. Pr˛edko´s´c tradycyjnie okre´slana jest w
k
m=s
. W takich jednostkach składowe pr˛edko´sci
maj ˛
a posta´c
V
r
=
V
sin
=
1
n
dr
dt
(12.3)
V
T
=
V
os
=
1
n
r
d
dt
(12.4)
2
Odst˛epstwo od jednostajnego ruchu w przestrzeni odkryto jedynie u kilkudziesi˛eciu fundamentalnych gwiazd.
156
Ruch własny gwiazd
θ
S
θ
V
V
T
V
r
V
X
A
S
θ
Rysunek 12.2: Ruch gwiazdy
X
wzgl˛edem Sło ´nca
S
. Gwiazda porusza si˛e po prostej
AX
ze stała
pr˛edko´sci ˛
a
V
. Obserwator wyznacza składowe: radialn ˛
a
V
r
i tangencjaln ˛
a
V
T
tej pr˛edko´sci.
gdzie — skoro
t
ma by´c w latach zwrotnikowych, a pr˛edko´s´c w km/s — liczba sekund w roku
n
=
24
3600
365:2224
.
Roczny
ruch własny
gwiazdy definiuje si˛e jako całkowite k ˛
atowe przemieszczenie gwiazdy
na sferze niebieskiej odniesionej do nieruchomego równika i równonocy, które miało miejsce w
interwale jednego roku. Tradycyjnie
mierzone jest w sekundach łuku na rok i w tych jednostkach
ruch własny okre´slony jest formuł ˛
a
=
d
dt
s
1
00
(12.5)
któr ˛
a łatwo otrzyma´c z jej odpowiednika w radianach.
za pomoc ˛
a paralaksy rocznej odległo´s´c
r
do gwiazdy mo˙zemy wyrazi´c jako
r
=
1
[p ℄
gdzie
wyst˛epuje w sekundach łuku. Przechodz ˛
ac do jednostek astronomicznych, a nast˛epnie do
kilometrów, b˛edziemy mieli
r
=
1
206265
[AU
℄
=
1
sin
1
00
1:496108
10
8
[k
m℄
St ˛
ad
r
w kilometrach b˛edzie
r
=
a
1
s
1
00
(12.6)
gdzie
a
jest jednostk ˛
a astronomiczn ˛
a w km (
a
=
1:496108
10
8
km).
Mamy wi˛ec now ˛
a posta´c równania (12.4)
V
T
=
a
n
(12.7)
a po podstawieniu warto´sci liczbowych
V
T
=
4:74
[k
m=sek
℄
(12.8)
Roczny ruch własny gwiazdy
rozkładany jest na składowe
;
Æ
w rektascensji i deklinacji, od-
powiednio. Składowe te reprezentuj ˛
a roczne tempo zmiany rektascensji i deklinacji gwiazdy. Na
rysunku 12.3 zaznaczono dwa poło˙zenia
X
i
X
0
gwiazdy odpowiadaj ˛
ace momentom czasu ró˙zni ˛
a-
cym si˛e o
dt
. Czyli
X
X
0
=
dt
. Je˙zeli
P
, b˛edzie północnym biegunem niebieskim, wówczas
k ˛
at
P
X
X
0
=
jest k ˛
atem pozycyjnym ruchu własnego. K ˛
at ten mierzony jest w kierunku ze-
garowym i przyjmuje warto´sci z przedziału
[0;
360
Æ
℄
. Małe koło o biegunie w
P
, przechodz ˛
ace
12.4 Zmiany składowych ruchu własnego
157
φ
µ
δ
α
δ
δ
φ
’
dt
d
d
cos
90−
X
X’
U
P
V
X
X’
U
Rysunek 12.3: Składowe ruchu własnego w rektascensji i deklinacji.
przez
X
przecina koło wielkie
P
X
0
w punkcie
U
. Je˙zeli (
;
Æ
) s ˛
a równikowymi współrz˛ednymi
gwiazdy
X
, natomiast (
+
d ;
Æ
+
dÆ
) s ˛
a współrz˛ednymi gwiazdy
X
0
, łatwo przekona´c si˛e, ˙ze
U
X
=
d
os
Æ
U
X
0
=
dÆ
Traktuj ˛
ac mały trójk ˛
at
U
X
X
0
jako płaski, w pierwszym przybli˙zeniu mo˙zna przyj ˛
a´c, ˙ze
d
os
Æ
=
dt
sin
dÆ
=
dt
os
Poniewa˙z z definicji, składowe ruchu własnego
s ˛
a pochodnymi
d =dt
oraz
dÆ
=dt
a zatem mo-
˙zemy je otrzyma´c dziel ˛
ac obie strony równania powy˙zej przez
dt
. W praktyce składow ˛
a
poda-
jemy w sekundach czasu na rok, składow ˛
a
Æ
w sekundach łuku na rok
=
1
15
sin
se
Æ
Æ
=
os
(12.9)
Zało˙zenie o stało´sci wektora pr˛edko´sci gwiazdy jak dot ˛
ad nie było nam potrzebne. Skorzystamy z
niego w trakcie dedukcji tempa zmian składowych
i
Æ
. Jedn ˛
a z konsekwencji prostoliniowego
ruchu gwiazdy jest to, ˙ze projekcja centralna trajektorii gwiazdy na sfer˛e jest fragmentem koła
wielkiego. (Trajektoria ruchu gwiazdy wraz ze Sło ´ncem definiuj ˛
a płaszczyzn˛e, która przecina
sfer˛e wzdłu˙z koła wielkiego). Warto te˙z zapami˛eta´c, ˙ze stało´s´c w czasie wektora pr˛edko´sci
V
gwiazdy
nie
poci ˛
aga stało´sci składowych
;
Æ
.
Niech punkt
V
z rysunku 12.3 b˛edzie punktem na sferze wyznaczonym przez kierunek wektora
pr˛edko´sci gwiazdy. Punkt ten le˙zy oczywi´scie na kole wielkim
X
X
0
. Oznaczmy k ˛
at
P
X
0
V
przez
0
, jest to k ˛
at pozycyjny ruchu własnego gwiazdy w momencie
t
+
dt
, mamy oczywisty zwi ˛
azek
0
=
P
X
0
V
=
+
d
(12.10)
12.4
Zmiany składowych ruchu własnego
Składowe (
;
Æ
) ruchu własnego s ˛
a pierwszymi pochodnymi współrz˛ednych równikowych gwiazd.
Je´sli jeste´smy zainteresowani zmianami współrz˛ednych poło˙zenia gwiazdy w interwale
t
okre´slonych
jako (
t;
Æ
t
), to jest to rownowa˙zne rozwini˛eciu wyra˙ze´n
( (t);
Æ
(t))
w szeregi Taylora i ob-
ci˛eciu szeregów na wyrazach pierwszego rz˛edu. Dla gwiazd bliskich o du˙zym ruchu własnym nie
jest to wystarczaj ˛
ace i dlatego nale˙zy doł ˛
aczy´c przynajmniej wyrazy rz˛edu drugiego. Te za´s okre´s-
lone s ˛
a poprzez pochodne z
i
Æ
. Wyprowadzimy wyra˙zenia na te pochodne przyjmuj ˛
ac, ˙ze
158
Ruch własny gwiazd
równik i punkt równonocy s ˛
a nieruchome (co oznacza, ˙ze chwilwo wył ˛
aczamy z rozwa˙za´n zmiany
precesyjne), czyli rozpatrujemy zmiany w
i
Æ
, które s ˛
a wył ˛
acznie efektem ruchu gwiazdy na
sferze niebieskiej. O zmianach tych mówimy jako o wewn˛etrznych zmianach składowych ruchu
własnego.
Obliczaj ˛
ac pochodne równa´n (12.9) dostaniemy
d
dt
=
1
15
d
dt
sin
se
Æ
+
1
15
os
se
Æ
d
dt
+
1
15
sin
se
Æ
tan
Æ
dÆ
dt
d
Æ
dt
=
d
dt
os
sin
d
dt
(12.11)
Pochodne z
i
Æ
s ˛
a wyra˙zone w mierze kołowej, o pozostałych wielko´sciach zakłada si˛e, ˙ze s ˛
a w
jednostkach praktycznych. Pami˛etaj ˛
ac o definicji
dÆ
dt
=
Æ
sin
1
00
(12.12)
a tak˙ze dokonuj ˛
ac w równaniu (12.11) stosownych podstawie´n lewych stron równa´n (12.9) dostaniemy
d
dt
=
1
15
d
dt
sin
se
Æ
+
1
15
Æ
se
Æ
d
dt
+
Æ
tan
Æ
sin
1
00
d
Æ
dt
=
d
dt
os
15
os
Æ
d
dt
(12.13)
Aby móc wykorzysta´c te wzory, trzeba dysponowa´c tempem zmian k ˛
ata pozycyjnego
oraz
pochodnymi k ˛
atowego ruchu własnego
. Oznaczaj ˛
ac przez (
0
;
Æ
0
) współrz˛edne punktu
X
0
(patrz
12.3), mo˙zemy zidentyfikowa´c k ˛
aty trójk ˛
ata
P
X
X
0
jako:
P
X
=
90
o
Æ
;
P
X
0
=
90
o
Æ
0
;
P
X
X
0
=
;
P
X
0
X
=
180
o
0
A wówczas z twierdzenia sinusów mamy
os
Æ
sin
=
os
Æ
0
sin
0
co oznacza, ˙ze w trakcie przemieszczania si˛e gwiazdy wzdłu˙z koła wielkiego
X
X
0
V
, wielko´s´c
os
Æ
sin
jest zachowana, czyli:
d
dt
( os
Æ
sin
)
=
0
st ˛
ad, obliczaj ˛
ac t ˛
a pochodn ˛
a dostaniemy
d
dt
=
tan
tan
Æ
dÆ
dt
za pomoc ˛
a równa´n (12.9)
d
dt
=
15
sin
Æ
os
dÆ
dt
i znowu wykorzystuj ˛
ac (??), bior ˛
ac jeszcze (??), ostatecznie mamy
d
dt
=
15
sin
Æ
sin
1
00
(12.14)
Tempo zmian
nazywane bywa
przyspieszeniem perspektywicznym
. Otrzymamy je
ró˙zniczkuj ˛
ac obie strony równania (12.4)
V
sin
d
dt
=
1
n
dr
dt
d
dt
+
r
n
d
2
dt
2
12.5 Ruch własny, podej´scie wektorowe
159
Pochodne k ˛
ata
mo˙zna wyeliminowa´c za pomoc ˛
a równania (??) i jego pierwszej pochodnej,
mianowicie
V
sin
sin
1
00
=
1
n
dr
dt
sin
1
00
+
r
n
d
dt
sin
1
00
Dalszych uproszcze´n mo˙zna dokona´c za pomoc ˛
a równania (??), w efekcie otrzymamy
d
dt
=
2nV
r
r
Podstawiaj ˛
ac za odległo´s´c
r
praw ˛
a stron˛e równania (??), przyspieszenie perspektywiczne b˛edzie
równe
d
dt
=
2n
a
V
r
sin
1
00
(12.15)
a po podstawieniu stałych liczbowych
d
dt
=
0:422V
r
sin
1
00
(12.16)
Z pochodnymi k ˛
ata pozycyjnego i ruchu własnego mo˙zemy teraz powróci´c do równa´n (12.13)
d
dt
=
0:422
15
V
r
sin
1
00
sin
se
Æ
+
1
15
Æ
se
Æ
15
sin
Æ
sin
1
00
+
+
Æ
tan
Æ
sin
1
00
d
Æ
dt
=
0:422V
r
sin
1
00
os
15
os
Æ
15
sin
Æ
sin
1
00
a robi ˛
ac u˙zytek z równa´n (12.9) wewn˛etrzne zmiany ruchu własnego otrzymaj ˛
a posta´c
d
dt
=
0:422V
r
sin
1
00
+
2
Æ
tan
Æ
sin
1
00
d
Æ
dt
=
0:422V
r
Æ
sin
1
00
225
2
sin
Æ
os
Æ
sin
1
00
(12.17)
gdzie, składowa
wyra˙zona jest w
[sek
=r
ok
℄
, składowa
Æ
w
[
00
=r
ok
℄
, paralaksa
w sekundach
k ˛
atowych, a pr˛edko´s´c radialna
V
r
w
[k
m=s℄
.
Pochodne (12.17) s ˛
a wymagane jedynie w przypadkach szczególnie du˙zego ruchu własnego.
Sytuacje takie maj ˛
a miejsce dla gwiazd bliskich i szybkich. W takich wypadkach wyra˙zenia
(12.17) umo˙zliwiaj ˛
a obliczenie przemieszczenia gwiazdy z du˙z ˛
a precyzj ˛
a. Przyjmijmy przykład-
owo, ˙ze gwiazda ma współrz˛edne (
;
Æ
) a składowe jej ruchu własnego (
;
Æ
) znane s ˛
a w pewnej
epoce pocz ˛
atkowej. Po czasie
t
lat pó´zniejszym, współrz˛edne gwiazdy wynosz ˛
a (
0
;
Æ
0
), i zgodnie
z naszymi wywodami obliczymy je za pomoc ˛
a formuł
0
=
+
h
+
1
2
t
d
dt
i
t
Æ
0
=
Æ
+
h
Æ
+
1
2
t
d
Æ
dt
i
t
(12.18)
Równanie (12.18) jest wystarczaj ˛
aco dokładne dla niemal wszystkich gwiazd w interwale czasu
rz˛edu 100 lat lub mniej. Drugie pochodne ruchu własnego potrzebne s ˛
a jedynie w przypadkach
"patologicznych".
12.5
Ruch własny, podej´scie wektorowe
Przedstawiona analiza wymagała zało˙zenia stało´sci pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca. Zało˙ze-
nie to ma wa˙zn ˛
a konsekwencj˛e gdy˙z pozwala na dokładne rozwi ˛
azanie problemu zmiany poło˙ze-
nia gwiazdy. Wykorzystamy je jeszcze raz poszukuj ˛
ac rozwi ˛
azania w formali´zmie wektorowym.
160
Ruch własny gwiazd
Przypu´s´cmy, ˙ze
s
=
(x;
y
;
z
)
jest wektorem jednostkowym kierunku gwiazdy, wówczas ruch
własny
(wektor!) mo˙zemy okre´sli´c jako zmiany tego kierunku, czyli
=
_
s
=
d
dt
( os
os
Æ
;
sin
os
Æ
;
sin
Æ
)
(12.19)
Trzy składowe wektora
mo˙zemy łatwo wyrazi´c za pomoc ˛
a
i
Æ
. Pozostaj ˛
ac przy jednostkach
praktycznych, składowe te w sekundach łuku wynosz ˛
a
x
=
15
sin
os
Æ
os
sin
Æ
Æ
y
=
15
os
os
Æ
sin
sin
Æ
Æ
z
=
os
Æ
Æ
(12.20)
Wektor pr˛edko´sci transwersalnej wi ˛
a˙ze si˛e z
poprzez wektorowy odpowiednik równania (12.7)
V
T
=
a
n
(12.21)
A zatem pełny wektor pr˛edko´sci przestrzennej gwiazdy ma posta´c
V
=
V
r
s
+
a
n
(12.22)
Pr˛edko´s´c (??) mo˙zemy wykorzysta´c do obliczenia bie˙z ˛
acego poło˙zenia gwiazdy. Je´sli
r
b˛edzie
pocz ˛
atkowym wektorem poło˙zenia gwiazdy, tj.
r
=
r
s
, natomiast
r
0
b˛edzie wektorem poło˙zenia
po upływie
t
lat, to poniewa˙z
V
jest wektorem stałym mo˙zemy napisa´c
r
0
=
r
s
+
V nt
gdzie
n
oznacza współczynnik zamany jednostek czasu. za pomoc ˛
a równa´n (12.6), (12.22) b˛edziemy
mieli
r
0
=
a
1
s
1
00
s
+
V
r
snt
+
n
a
n
t
r
0
=
a
1
s
1
00
s
+
V
r
nt
a
s
1
00
s
+
1
s
1
00
t
po podstawieniach
k
=
a
s
1
00
s
=
s
1
+
V
r
nt
a
s
1
00
+
t
sin
1
00
mamy w postaci skompresowanej
r
0
=
k
s
(12.23)
s
jest wektorem bliskim jednostkowemu, po podstawieniu warto´sci liczbowych za
a
i
n
mamy
s
=
s
1
+
V
r
t
4:74
sin
1
00
+
t
sin
1
00
(12.24)
Po normalizacji wektora
s
do jedno´sci, b˛edziemy dysponowali jednostkowym wektorem kie-
runku gwiazdy na now ˛
a epok˛e.
12.6 Zmiany precesyjne ruchu własnego
161
12.6
Zmiany precesyjne ruchu własnego
Wewn˛etrzne zmiany składowych ruchu własnego powodowane s ˛
a przez dwie wzajemne powi ˛
azane
przyczyny:
zmiany
z powodu przy´spieszenia perspektywicznego,
zmiany zale˙zne od tego jak
rozkłada si˛e na składowe w miar˛e przemieszczania si˛e gwiazdy
po sferze.
Musimy jednak pami˛eta´c, ˙ze trakcie w˛edrówki gwiazdy po sferze układ odniesienia był trak-
towany jako nieruchomy. Czyli
;
Æ
;
;
Æ
wszystkie były okre´slone wzgl˛edem nieruchomego
równika i równonocy. Nie brali´smy w rachub˛e ˙zadnych wpływów precesyjnych.
Nadszedł wi˛ec moment by wreszcie i tym si˛e zaj ˛
a´c. Szcz˛e´sliwie problem jest analogiczny do
problemu wpływu precesji na współrz˛edne gwiazd, bowiem pytamy w jaki sposób przetransfor-
mowa´c składowe ruchu własnego z jednej epoki do drugiej.
Niech
0
b˛edzie wektorem ruchu własnego o składowych zdefiniowanych wzgl˛edem równika
i równonocy z epoki
t
0
. Wektor
jest tym samym wektorem ale o składowych okre´slonych
wzgl˛edem równika i równonocy z epoki
t
. W celu przej´scia od epoki
t
0
do epoki
t
, analogicznie
jak to było dla wersora poło˙zenia gwiazd, mo˙zemy stosowa´c znan ˛
a transformacj˛e obrotu
=
P
0
(12.25)
gdzie
P
jest precesyjn ˛
a macierz ˛
a obrotu wi ˛
a˙z ˛
ac ˛
a obie epoki. Wektory
0
;
maj ˛
a składowe okre´s-
lone za pomoc ˛
a równa´n (12.20), natomiast nowe warto´sci składowych
;
Æ
otrzymamy z rów-
na´n odwrotnych do (12.20)
=
1
15
(1
z
2
)
1
(x
y
y
x
)
Æ
=
(1
z
2
)
1=2
z
)
(12.26)
gdzie
x;
y
;
z
s ˛
a składowymi wersora poło˙zenia gwiazdy w epoce
t
.
Powy˙zsze podej´scie rozwi ˛
azuje postawiony problem w pełni. Ale gdyby´smy skusili si˛e na
rachunki r˛eczne warto mie´c na podor˛edziu formuły nie wymagaj ˛
ace a˙z tylu oblicze´n. Dlatego
rzu´cmy okiem
3
na równania (12.11). S ˛
a to pochodne z równa´n definiuj ˛
acych składowe ruchu
własnego. Pochodne te nic nie ”wiedz ˛
a” o przyczynie zmian składowych
;
Æ
. A zatem mo˙zna
je wykorzysta´c równie˙z wtedy gdy zmiany spowodowała precesja. Musimy jedynie podstawi´c
wła´sciwe wyra˙zenia na pochodne wyst˛epuj ˛
ace w prawych stronach równa´n (12.11). Np. gdy
interesuje nas precesja to pochodna
d
dt
=
0
(12.27)
gdy˙z precesja nie mo˙ze wpłyn ˛
a´c na warto´s´c k ˛
atowego ruchu własnego
.
Deklinacja gwiazdy zmienia si˛e wskutek precesji dlatego pochodna deklinacji po czasie jest ró˙zna
od zera. I tu, szcz˛e´sliwie, mo˙zemy si˛egn ˛
a´c do wykładu, w którym była mowa o precesji L-S i
odszuka´c w nim tej oto formuły
dÆ
dt
=
n
os
sin
1
00
(12.28)
gdzie precesyjna stała
n
=
sin
"
, natomiast
jest stał ˛
a precesji rocznej, obie stałe wyra˙zone
s ˛
a w sekundach łuku. Pozostaje do oszacowania tempo zmian precesyjnych k ˛
ata pozycyjnego
. Na rysunku 12.4, punkty
P
i
P
0
oznaczaj ˛
a dwa poło˙zenia biegunów ´swiata odpowiadaj ˛
ace
epokom odległym o interwał
dt
. W momencie wyj´sciowym gwiazda znajdowała si˛e w miejscu
X
3
Posiadacze jednej lub dwóch szklanych protez ocznych niechaj zbyt dosłownie tej zach˛ety nie bior ˛
a.
162
Ruch własny gwiazd
φ
µ
ε
α
γ
d
ψ
dt
X
P
V
K
P’
K
P’
P
X
Rysunek 12.4: Precesyjne zmiany k ˛
ata pozycyjnego
. Biegun
P
pod wpływem precesji
L
-
S
przemie´scił si˛e w poło˙zeniie
P
0
.
a jej ruch własny przebiegał wzdłu˙z koła wielkiego
X
V
. Na rysunku 12.4 widzimy, ˙ze przyrost
k ˛
ata pozycyjnego, spowodowany precesj ˛
a za okres
dt
wynosi
d
=
P
0
X
P
. Niech
;
Æ
i
0
;
Æ
0
b˛ed ˛
a współrz˛ednymi gwiazdy okre´slonymi wzgl˛edem biegunów
P
i
P
0
oraz odpowiadaj ˛
acych im
równonocy, odpowiednio. K ˛
at
P
0
X
=
90
o
Æ
0
, natomiast długo´s´c łuku
P
P
0
wynosi
P
P
0
=
dt
sin
"
=
ndt
Jest to łuk koła małego, po którym przemieszcza si˛e biegun ´swiata w trakcie ruchu precesyjnego
wokół bieguna ekliptyki
K
. Dalej w trójk ˛
acie
K
P
P
0
mamy, ˙ze k ˛
at
K
P
P
0
=
90
o
, natomi-
est k ˛
at sferyczny
P
0
P
X
=
, czylijest to k ˛
at równy rektascensji gwiazdy w momencie epoki
pocz ˛
atkowej. Ignoruj ˛
ac ró˙znic˛e pomi˛edzy łukiem koła małego i koła wielkiego ł ˛
acz ˛
acego
P
i
P
0
,
ze wzoru sinusów dostaniemy:
sin
d
os
Æ
0
=
sin
(ndt)
sin
Przechodz ˛
ac do granicy,
dt
d ˛
a˙zy do zera, zatem mo˙zemy napisa´c:
d
dt
=
n
sin
se
Æ
sin
1
00
(12.29)
Podstawiaj ˛
ac prawe strony równa´n (??), (??) i (??) za pochodne w równaniach (12.11), szybko´sci
precesyjnych zmian składowych
;
u
Æ
okre´slone b˛ed ˛
a formułami
d
dt
=
n
os
tan
Æ
+
Æ
15
sin
se
2
Æ
sin
1
00
d
Æ
dt
=
15n
sin
sin
1
00
(12.30)
w których
poda´c nale˙zy w sekundach czasowych,
Æ
oraz
n
w sekundach k ˛
atowych.
Powy˙zsze wyprowadzenie dotyczyło jedynie precesji L-S. Jest ono w zupełno´sci wystarczaj ˛
ace,
bowiem precesja planetarna powoduje jedynie zmiany w poło˙zeniu bieguna ekliptyki K. Czyli
deklinacja gwiazdy oraz k ˛
at pozycyjny kierunku ruchu własnego nie zmieniaj ˛
a si˛e w rezultacie tej
precesji.
Gdy wymagana jest znajomo´s´c składowych ruchu własnego gwiazdy na pewn ˛
a epok˛e
t
koniecznym
jest uwzgl˛ednienie obu zmian: wewn˛etrznych i precesyjnych. Całkowite zmiany mo˙zemy zatem
policzy´c sumuj ˛
ac prawe strony równa´n (12.17) i (12.30).
Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze stała precesyjna
n
wyst˛epuj ˛
aca w równaniach (12.30) wynosi około
20
00
, jest wi˛ec znacznie wi˛eksza od typowego ruchu własnego gwiazd. Oznacza to, ˙ze je´sli za-
chodzi konieczno´s´c uwzgl˛ednienia obu wpływów, wpływ precesji b˛edzie bardziej znacz ˛
acy. Dlat-
ego w przypadku długich interwałów czasu po˙z ˛
adanym jest ulepszenie dokładno´sci formuł 12.30,
co mo˙zna uzyska´c podstawiaj ˛
ac w nich warto´s´c stałej
n
na ´srodkowy moment wchodz ˛
acego w
gr˛e interwału czasu. Jednak w takich przypadkach wła´sciwszym jest zastosowanie podej´scia wek-
torowego.
12.7 Wyznaczanie ruchów własnych
163
12.7
Wyznaczanie ruchów własnych
Historycznie ruchy własne wyznaczano najpierw przez porównanie wizualnych poło˙ze´n gwiazdy
z dwóch ró˙znych epok
t
1
;
t
2
. Epoki te powinny by´c mo˙zliwie od siebie odległe, a to oznacza, ˙ze
najcz˛e´sciej ruch własny wyprowadzany był z obserwacji wykonanych na ró˙znych instrumentach,
czyli porównywano współrz˛edne gwiazd wzi˛ete z ró˙znych katalogów zestawionych w ró˙znych
obserwatoriach.
Przed porównaniem współrz˛edne gwiazd, poprzez uwzgl˛ednienie precesji, sprowadzono do
identycznego układu odniesienia. Je´sli było to mo˙zliwe uwzgl˛edniano systematyczne ró˙znice
mi˛edzy katalogami. Po czym, dla ka˙zdej gwiazdy, jej składowe rocznego ruchu własnego obliczano
za pomoc ˛
a równa´n:
=
2
1
t
2
t
1
Æ
=
Æ
2
Æ
1
t
2
t
1
Otrzymane tak ˛
a drog ˛
a ruchy własne miały charakter przybli˙zony i okre´slone były w systemie
katalogu, do którego sprowadzono wszystkie obserwacje.
Dokładne wyznaczenie ruchów własnych
W tzw. dokładnych sposobach wyznaczania ruchów własnych gwiazd wyprowadza si˛e je za po-
moc ˛
a wielu katalogów o epokach obserwacyjnych oddalonych o mo˙zliwie długi interwał czasu.
Podej´scie to zmniejsza wpływ na rezultaty zarówno niepewno´sci przypadkowych jak i systematy-
cznych.
Niech zatem na epoki obserwacyjne
t
1
;
t
2
;
;
t
n
dane b˛ed ˛
a współrz˛edne gwiazd w formie
katalogów
K
1
;
K
2
;
;
K
n
zestawionych na równonoce
T
1
;
T
2
;
;
T
n
. Przed przyst ˛
apieniem
do wła´sciwego zadania, poszczególne katalogi, uwzgl˛edniaj ˛
ac precesj˛e za interwał
T
i
T
0
,
sprowadzi´c trzeba do wspólnej równonocy odpowiadaj ˛
acej momentowi
T
0
. Ponadto wszystkim
katalogom nale˙zy przypisa´c stosowne wagi.
Chcemy wyznnaczy´c na epok˛e
T
0
nieznane waro´sci współrz˛ednej
0
gwiazdy i składow ˛
a jej
ruchu własnego
.
Dla ka˙zdej gwiazdy b˛edziemy mieli do dyspozycji
n
uzyskanych z obserwacji warto´sci rektas-
censji
1
;
;
n
, odpowiadaj ˛
acych epokom obserwacyjnym
t
1
;
;
t
n
. Wszystkie współrz˛edne
s ˛
a ju˙z okre´slone w tym samym układzie odniesienia z epoki
T
0
. Współrz˛edne
1
;
;
n
ró˙zni ˛
a
si˛e o niewielkie warto´sci, przyczyn ˛
a ró˙znic s ˛
a ruch własny i niepewno´sci pomiarowe.
Zatem dla ka˙zdej gwiazdy mo˙zemy napisa´c nast˛epuj ˛
acy zestaw równa´n warunkowych, w zasadzie
identyczny z wyra˙zeniami (12.18)
i
=
0
+
(t
i
t
0
)
+
d
dt
(t
i
t
0
)
2
2
i
=
1;
n
Rozwi ˛
azanie dwóch takich układów równa´n metod ˛
a najmniejszych kwadratów (jeden dla rektas-
censji, drugi dla deklinacji, dla ka˙zdej gwiazdy osobno), daje wszystkie niewiadome
0
;
Æ
0
;
;
Æ
;
d
=dt;
d
Æ
=dt
– czyli współrz˛edne gwiazdy, składowe ruchu własnego oraz wewn˛etrzne zmiany składowych
ruchu własnego.
Przedstawiona metoda daje dobre rezultaty dla wszystkich gwiazd oprócz tych, które znajduj ˛
a
si˛e w okolicach podbiegunowych. W takich przypadkach w równaniach obserwacyjnych musimy
wprowadzi´c wyrazy wy˙zszych rz˛edów.
Fotograficzna metoda wyznaczenia ruchów własnych
Współcze´snie ruchy własne niemal wył ˛
acznie wyznacza si˛e metodami astrometrii fotograficznej
lub ró˙znych wariantów astrometrii CDD. Mamy tu na my´sli masowe wyznaczanie ruchów włas-
nych gwiazd słabych. Sposób fotograficzny z natury rzeczy pozwala na bezpo´srednie wyznaczenie
164
Ruch własny gwiazd
jedynie wzgl˛ednych ruchów gwiazd, tzn. badamy ruchy pewnej wybranej grupy gwiazd wzgl˛edem
innej grupy gwiazd, równie˙z b˛ed ˛
acych w ruchu, tyle ˙ze niewielkim, co pozwala na traktowanie ich
jako nieruchomych. Obie grupy gwiazd powinny zajmowa´c niewielki obszar sfery ograniczony
do pola widzenia pojedynczej lub kilku cz˛e´sciowo pokrywaj ˛
acych si˛e klisz.
Przy takim podej´sciu naturalnym jest pytanie o standaryzacj˛e rezultatów tj. o sprowadzenie
obliczonych wzgl˛ednych ruchów gwiazd do okre´slonego układu odniesienia np. do systemu kat-
alogu fundamentalnego. Jest to zadanie trudniejsze od samego wyznaczania wzgl˛ednych ruchów
własnych. Mo˙zna je rozpatrywa´c za pomoc ˛
a tzw. gwiazd kontrolnych, czyli takich, których ruchy
własne s ˛
a znane w dwóch systemach, obserwowanym i drugim przyj˛etym jako standardowy.
Niech dane b˛ed ˛
a dwie klisze P1 , P2 , na których w dwóch ró˙znych epokach
t1;
t2
sfo-
tografowano ten sam fragment sfery niebieskiej. Na obu kliszach identyfikujemy i mierzymy
poło˙zenie wielu gwiazd a w´sród nich wybieramy te, których ruchy własne chcemy wyznaczy´c.
Oznaczmy je jako
S
s
, gdzie
s
=
1;
2;
;
M
. Dalej wbieramy
N
gwiazd odniesienia
4
S
r
, gdzie
r
=
1;
2;
;
N
oraz
K
tzw. gwiazd kontrolnych
S
k
,
k
=
1;
2;
:::K
. Dla wygody nazwijmy
gwiazdy typu
S
s
gwiazdami badanymi, natomiast gwiazdy odniesienia b˛edziemy traktowali jako
nieruchome. Gwiazdy kontrolne
S
k
s ˛
a to takie obiekty, o których ruchach własnych posiadamy
dodatkowe informacje, ich ruchy znamy w jakim´s systemie — układzie odniesienia. W charak-
terze obiektów badanych, oporowych i kontrolnych mog ˛
a wyst˛epowa´c tak˙ze galaktyki.
Oznaczmy przez
(x;
y
)
współrz˛edne mierzone gwiazd na kliszy P1 , oznaczmy przez
(x
0
;
y
0
)
współrz˛edne mierzone z kliszy P2 . Umówimy si˛e jeszcze, ˙ze na obu kliszach współrz˛edne zostały
sprowadzone do centroidu systemu gwiazd oporowych, tzn. ich warto´sci podane s ˛
a wzgl˛edem
punktów o współrz˛ednych:
x
r
=
1
N
P
N
r
=1
x
r
;
y
r
=
1
N
P
N
r
=1
y
r
x
0
r
=
1
N
P
N
r
=1
x
0
r
;
y
0
r
=
1
N
P
N
r
=1
y
0
r
(12.31)
Natomiast ró˙znic˛e
(t2
t1)
wyrazimy w latach i oznaczymy przez
.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie ruchów własnych gwiazd
S
s
przy danym wyborze gwiazd
S
r
. Rozwi ˛
azanie problemu opiera si˛e o ogólne zasady astrometrycznej redukcji fotografii pola
gwiazdowego, z t ˛
a ró˙znic ˛
a, ˙ze zamiast współrz˛ednych tangencjalnych
;
, do których normalnie
dopasowujemy współrz˛edne mierzone, tym razem bierzemy współrz˛edne mierzone np. z kliszy
P1.
Model dopasowania dobierany jest w zale˙zno´sci od konkretnej sytuacji obserwacyjnej. Je´sli
płyty P1 i P2 otrzymano na tym samym narz˛edziu, w tym samym miejscu, w podobnych warunk-
ach, ponadto centra optyczne obu płyt s ˛
a sobie bliskie, wówczas w pełni wystarczaj ˛
acym okazuje
si˛e by´c model liniowy. W takim przypadku stałe kliszy wyznaczamy metod ˛
a najmniejszych
kwadratów z równa´n obserwacyjnych postaci:
1
+
a
1
x
0
r
+
b
1
y
0
r
=
x
r
2
+
a
2
x
0
r
+
b
2
y
0
r
=
y
r
(12.32)
Za pomoc ˛
a wyznaczonych współczynników
a
1
;
b
1
;
mo˙zemy obliczy´c współrz˛edne gwiazd
badanych
S
s
na epok˛e
t
2
, w systemie współrz˛ednych kliszy P1, mianowicie:
x
(2)
s
=
1
+
a
1
x
0
s
+
b
1
y
0
s
y
(2)
s
=
2
+
a
2
x
0
s
+
b
2
y
0
s
(12.33)
Porównuj ˛
ac współrz˛edne zmierzone badanych gwiazd – dla symetrii oznaczymy je jako
x
(1)
s
;
y
(1)
s
– z obliczonymi z równania (12.33) znajdujemy przemieszczenie obrazów gwiazd na kliszy P1 w
interwale
. St ˛
ad, poszukiwany ruch własny gwiazd obliczymy jako:
sx
=
x
(2)
s
x
(1)
s
M
x
sy
=
y
(2)
s
y
(1)
s
M
y
(12.34)
4
Cz˛esto gwiazdy te nazywane s ˛
a gwiazdami oporowymi.
12.8 Zadanka na ´cwiczenia
165
gdzie
M
x
;
M
y
s ˛
a skalami odwzorowania na kliszy P1 w kierunkach osi X i Y. Obliczone z formuł
(12.34)
sx
;
sy
powinny by´c w sekundach na rok.
Je˙zeli osie układów współrz˛ednych mierzonych na płycie P1 zorientowano w sposób standar-
dowy, tzn. tak jak zorientowane s ˛
a osie układu
(
;
)
5
wówczas przej´scia od pary
x
;
y
do pary
;
Æ
mo˙zemy dokona´c za pomoc ˛
a wzorów
=
1
15
se
Æ
h
x
+
x
x
T
f
0
tan
Æ
y
i
Æ
=
y
x
x
T
f
0
tan
Æ
x
(12.35)
gdzie
x
T
jest współrz˛edn ˛
a mierzon ˛
a centrum optycznego. Wyra˙zenie
(x
x
T
)=f
0
jest odległo´sci ˛
a
badanej gwizady od centralnego południka płyty, wyra˙zon ˛
a w jednostkach ogniskowej teleskopu
f
0
.
Przedstawiona metodyka wyznaczania ruchów własnych nie jest jedyn ˛
a jak ˛
a mamy do dys-
pozycji. Np. zamiast równa´n obserwacyjnych postaci (12.32) mo˙zna było wzi ˛
a´c równania:
+
ax
+
by
=
x
(2)
x
(1)
(12.36)
w których po prawej stronie mamy ró˙znic˛e współrz˛ednych gwiazd z płyty P2 i P1, natomiast
po lewej mamy współrz˛edne mierzone gwiazd z płyty P2 b ˛
ad´z P1. Podej´scie to bywa cz˛esto
stosowane gdy obie płyty umieszczane s ˛
a w płytomierzu jednocze´snie, tak by stykały si˛e emul-
sjami co oznnacza, ˙ze jedn ˛
a z klisz eksponowano przez podło˙ze szklane. W przypadku równa´n
(12.36) nie bardzo jest jednak wiadomym w jakim systemie kliszy (P1 czy P2) wyznaczane s ˛
a
residua gwiazd oporowych, a w konsekwencji i poszukiwane ruchy własne.
12.8
Zadanka na ´cwiczenia
1. Poka˙z, ˙ze zało˙zenie o stało´sci pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca, poci ˛
aga by pr˛edko´s´c
radialna, w sensie algebraicznym zawsze wzrastała Poka˙z tak˙ze, ˙ze w jednostkach prakty-
cznych szybko´s´c zmiany pr˛edko´sci radialnej dana jest formuł ˛
a:
dV
r
dt
=
4:74
2
sin
1:
00
2. Oto nast˛epuj ˛
ace dane dla gwiazdy Barnard’a, na epok˛e 1950.0:
=
17
h
55
m
40
s
Æ
=
4
o
33
0
=
10
00
:25
=
356
o
V
r
=
108[k
m==sek
℄
=
0
00
:546
Wyznacz epok˛e, dla której pr˛edko´s´c radialna gwiazdy b˛edzie równała si˛e zeru. Dla tej epoki
policz poło˙zenie gwiazdy (wzgl˛edem układu 1950.0), jej ruch własny oraz paralaks˛e.
3. Poło˙zenie gwiazdy okre´sla wektor (
x
0
;
y
0
;
z
0
), w układzie odniesienia z epoki standard-
owej. Poka˙z, ˙ze po zaniedbaniu przyspieszenia perspektywicznego, w epoce o
t
pó´zniejszej,
składowe wektora poło˙zenia tej gwiazdy dane s ˛
a formułami
x
=
x
0
+
x
t
1
2
(t)
2
x
0
y
=
y
0
+
y
t
1
2
(t)
2
y
0
z
=
z
0
+
z
t
1
2
(t)
2
z
0
5
O´s
wzdłu˙z równole˙znika w kierunku narastania rektascensji, o´s
wzdłu˙z koła deklinacyjnego ku biegunowi północ-
nemu sfery.
166
Ruch własny gwiazd
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
12 Ruch cząstki naladowanej w polu elektrycznym 13 Ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym
wykad 12, Ruch wędrówkowy ludności
12 SPIN I WŁASNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU
12 ruch obrotowy
12 Ruch obrotowy
12 Ruch falowy
12. Ruch wydawniczy po 1989 roku, Literaturoznawstwo, życie literackie po '89
12 Ruch drgajacy
materiay na egzamin ustny - prowadzenie zajec, 12.Ruch pojazdów w kolumnie, Zmiana kierunku lub pasa
12 Ruch naładowanej cząstki w polu elektrycznym
12 Akrecja na gwiazdy neutronowe i galaktyczne czarne dziury
12 - Ruch falowy, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, FIZA
12 Ruch krucjatowy
więcej podobnych podstron