1
5. Macierze skośnie symetryczne, prędkości w różnych układach
współrzędnych
5.1. Macierze skośnie symetryczne
Macierz kwadratowa S stopnia n jest macierzą skośnie symetryczną wtedy i tylko
wtedy, gdy:
0
=
+
T
S
S
(1)
Dla macierzy skośnie symetrycznej stopnia n o elementach s
ij
, i, j = 1, 2, ..., n równanie (1)
można zapisać w postaci
s
ij
+ s
ji
= 0, i, j = 1, 2, ..., n
(2)
Wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy skośnie symetrycznej są równe zeru
(s
ii
= 0), a elementy poza przekątną (i ≠ j) spełniają równość s
ij
= – s
ji
, co wynika z (2). Dalej
będziemy rozważać wyłącznie macierze skośnie symetryczne stopnia n = 3, których
wszystkie elementy są liczbami rzeczywistymi. Przykładem takiej macierzy skośnie
symetrycznej jest macierz
−
−
−
=
0
1
2
1
0
5
2
5
0
S
(3)
Macierz skośnie symetryczna stopnia n zawiera n niezależnych elementów. Przykładowa
macierz skośnie symetryczna zdefiniowana wzorem (3) ma trzy niezależne elementy.
Przyjmijmy wektor u = [u
x
, u
y
, u
z
]
T
, wówczas można zdefiniować funkcję skośnie
symetryczną S(u) w następujący sposób
−
−
−
=
0
0
0
)
(
x
y
x
z
y
z
u
u
u
u
u
u
u
S
(4)
2
Funkcja skośnie symetryczna przekształciła wektor R
3
w macierz R
3x3
. Istnieje także funkcja
odwrotna do funkcji S(u) przekształcająca macierz skośnie symetryczną w wektor.
Przekształcenie takie jest zapisywanie jako
3
3x3
R
R
),
(
→
⋅
=
S
u
inv
(5)
Macierzowe funkcje skośnie symetryczne, których argumentami są wersory mają następujące
postacie:
−
=
0
1
0
1
0
0
0
0
0
)
(i
S
,
−
=
0
0
1
0
0
0
1
0
0
)
(j
S
,
−
=
0
0
0
0
0
1
0
1
0
)
(k
S
(6)
Ważną własnością funkcji skośnie symetrycznych jest liniowość. Jeżeli u,v
∈
R
3
oraz
α
,
β
∈
R to z definicji (4) otrzymuje się
)
(
)
(
)
(
v
S
u
S
v
u
S
β
β
α
+
=
+
α
(7)
Inną ważną własnością tej funkcji jest relacja
v
u
v
u
S
×
=
)
(
(8)
którą łatwo wykazać z definicji iloczynu wektorowego. Dla dowolnie wybranych macierzy
obrotu R
∈
R
3x3
, RR
T
=
1, det(RR
T
) = 1 i wektorów u,v
∈
R
3
zachodzi związek
)
(
)
(
)
(
Rv
Ru
v
u
R
×
=
×
(9)
Dla każdej macierzy obrotu R
∈
R
3x3
, RR
T
=
1, det(RR
T
) = 1 i każdej funkcji macierzowej
S(u) zachodzi zależność
)
(
)
(
T
Ru
S
R
u
RS
=
(10)
3
Załóżmy teraz, że ortogonalna macierz obrotu R
∈
R
3x3
jest funkcją jednej zmiennej
θ
∈
R, zatem prawdziwa jest równość
1
=
)
(
)
(
T
θ
θ
R
R
(11)
Różniczkując obie strony powyższej zależności względem zmiennej
θ
, otrzymuje się
0
=
+
θ
θ
θ
θ
d
d
)
(
)
(
d
d
T
T
R
R
R
R
(12)
co na podstawie następujących własności operacji transponowania (A
T
)
T
= A, (AB)
T
=
B
T
A
T
można zapisać jako
0
=
+
T
T
T
)
(
d
d
)
(
d
d
θ
θ
θ
θ
R
R
R
R
(13)
co oznacza (patrz (1)), że
)
(
d
d
T
θ
θ
R
R
jest macierzą skośnie symetryczną zmiennej
θ
)
(
)
(
d
d
)
(
)
(
d
d
T
θ
θ
θ
θ
θ
θ
R
S
R
S
R
R
=
⇒
=
(14)
Przykład 1. Jeżeli R = R(
X,
θ
) jest podstawową macierzą obrotu to
)
(
0
1
0
1
0
0
0
0
0
)
cos(
)
sin(
0
)
sin(
)
cos(
0
0
0
1
)
sin(
)
cos(
0
)
cos(
)
sin(
0
0
0
0
)
(
d
d
T
i
S
R
R
S
=
−
=
−
−
−
−
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Stąd otrzymujemy
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
X
X
R
S
R
i
=
(15a)
4
W wyniku podobnych obliczeń:
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
Y
Y
R
S
R
j
=
,
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
Z
Z
R
S
R
k
=
(15b)
Niech macierz obrotu R(u,
θ
)
∈
R
3x3
będzie funkcją jednej zmiennej, którą jest kąt obrotu
θ
wokół ustalonej osi, zdefiniowanej przez wektor u, wówczas
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
u
R
u
S
u
R
=
(16)
Na wykładzie wyprowadzono wzory: (7), (8),
v
u
Rv
Ru
o
o
=
)
(
)
(
, (9), (10).
5.2. Prędkości w różnych układach współrzędnych
Dotychczas analizowaliśmy jedynie sytuacje statyczne, tzn. przyjmowaliśmy
założenie, że wzajemne położenia i orientacje kolejnych układów współrzędnych nie
zmieniają się w czasie. Obecnie zajmiemy się analizą prędkości poszczególnych punktów
opisanych w różnych układach współrzędnych. Rozważmy sytuację w której bieżący układ
współrzędnych wykonuje obrót z prędkością kątową
ω
= d
θ
/dt dookoła osi wyznaczonej
przez wektor u. Wówczas pochodna macierzy obrotu R(u,
θ
(t)) względem czasu przyjmuje
postać
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
d
d
d
)
,
(
d
d
))
(
,
(
d
θ
ω
ω
θ
θ
θ
θ
θ
u
R
u
S
u
R
u
S
u
R
u
R
=
=
=
t
t
t
(17)
gdzie:
Ω
u
S
=
−
−
−
=
−
−
−
=
0
0
0
0
0
0
)
(
x
y
x
z
y
z
x
y
x
z
y
z
u
u
u
u
u
u
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(18)
Ω
Ω
Ω
Ω
jest interpretowana jako skośnie symetryczna macierz prędkości kątowej ruchu
obrotowego układu bieżącego względem układu stałego. Macierz ta (jednoznacznie)
odpowiada prędkości kątowej
ω
ωω
ω
5
=
=
=
z
y
x
z
y
x
u
u
u
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Ω
S
)
(
inv
(19)
Z powyższego zapisu wynika, że kierunek wektora prędkości kątowej
ω
ωω
ω
pokrywa się z
kierunkiem osi obrotu, wyznaczonej przez wektor u (
ω
ωω
ω
=
ω
u). Na podstawie (17) i (18)
macierz prędkości kątowej
Ω
Ω
Ω
Ω
można zapisać jako
))
(
,
(
d
))
(
,
(
d
1
t
t
t
θ
θ
u
R
u
R
Ω
−
=
(20)
Ponieważ każdą macierz obrotu można zapisać w reprezentacji oś-kąt, to macierz prędkości
kątowej ruchu obrotowego można zdefiniować w następujący sposób
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
d
)
(
d
T
1
1
t
t
t
t
t
t
t
R
R
R
R
R
R
Ω
&
&
=
=
=
−
−
(21)
Na wykładzie przeprowadzono także analizę ruchu ciała sztywnego,
wyznaczając m.in.: macierz prędkości ruchu w układzie przestrzeni, prędkość liniową
punktu A związanego z ciałem (
0
v
0,A
i
1
v
0,A
) oraz prawo składania prędkości liniowych
i kątowych, patrz np. [2] str. 57 – 62.
Literatura:
[1] Craig J. J.: Wprowadzenie do robotyki. Mechanika i sterowanie, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1995
[2] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006
[3] Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1997
Informacja o prawach autorskich
O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze.
Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do wykładu „Podstawy Robotyki”.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
57jednoczesnosc zdarzen w roznych ukladach odniesienia
Badanie wytrzymałości powietrza napięciem przemiennymP Hz przy różnych układach elektrod v3
Badanie wytrzymałości powietrza napięciem przemiennymP Hz przy różnych układach elektrod protokół
Badanie wytrzymałości powietrza napięciem przemiennymP Hz przy różnych układach elektrod protokół (2
58dlugosc cial w roznych ukladach odniesienia
58dlugosc cial w roznych ukladach odniesienia
prezentacja Czas w różnych układach odniesienia
1 2 Prędkość fali akustycznej w różnych ośrodkach
Znajdz postac macierzy X układając odpowiednie równania
Regulacja prędkości kątowej silników indukcyjnych w układach kaskadowych – kaskada stałomomentowax
ekolospr2 gleba , Gleba jest to powierzchniowa, biologicznie czynna warstwa skorupy ziemskiej, powst
Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach
Środowisko programowe do wyznaczania macierzy odwrotnej do symetrycznej macierzy trójdiagonlanej(1)
Wykład 6 Zwarcia symetryczne równania macierzowe, zastępcze ródło napięcia systemu
Okreslenie wydatku za pomoca pomiaru rozkladu predkosci dla przeplywu osiowo symetrycznego[1]
1 2 Prędkość fali akustycznej w różnych ośrodkach
więcej podobnych podstron