Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 1
Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne punktu trafienia

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym

. Punkt

uznajemy za środek tarczy, zatem

)

,

(

Y

X

,

0

(

σ

N

)

2

)

0

,

0

(

2

2

Y

X

+

)

,

(

n

n

Y

X

jest odległością

od środka. Oddano

n

niezależnych strzałów . Oblicz wartość

oczekiwaną odległości od środka najlepszego ze strzałów, czyli

),...,

,

(

1

1

Y

X

(

)

2

2

2

1

2

1

,...,

min

n

n

Y

X

Y

X

E

+

+

.

(A)

n

2

πσ

(B)

n

1

2

2

⋅

πσ

(C)

n

2

2

πσ

(D)

n

2

2

σ

(E)

n

2

πσ

Wskazówka:

Zmienna losowa

(

)

2

2

2

1

2

1

,...,

min

n

n

Y

X

Y

X

+

+

( )

ma rozkład wykładniczy.

Można skorzystać z faktu, że

π

2

1

2

/

3

=

Γ

.

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 2
W urnie znajduje sie 10 kul Amarantowych, 10 kul Białych i 10 kul Czarnych.
Losujemy bez zwracania 12 kul. Niech

• oznacza liczbę wylosowanych kul Amarantowych,

A

• B oznacza liczbę wylosowanych kul Białych,
•

oznacza liczbę wylosowanych kul Czarnych.

C

Oblicz współczynnik korelacji zmiennych losowych i

A

B ,

)

,

(

B

A

corr

(A)

2

1

(B)

2

1

−

(C)

30

12

−

(D)

30

24

(E)

30

24

−

Wskazówka: Var

.

0

)

(

=

+

+

C

B

A

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 3
Wykonujemy 4 rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek
otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg

ściśle rosnący.

(A)

6

4

(B)

6

2

(C)













⋅

4

6

6

1

4

(D)

4

6

!

4

(E)

!

6

!

4

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 4

Dysponujemy danymi o liczbie szkód zgłoszonych przez klientów 1

w ciągu

lat. Niech

oznacza sumaryczną liczbę szkód dla klienta numer w ciągu lat.

Wiemy, że są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona. Mamy
też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szkód, czyli
wartości oczekiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni.

k

,...,

2

,

i

n

)

(

n

S

i

(

1

n

S

n

)

(

),...,

n

S

k

Weryfikujemy hipotezę statystyczną

:

0

H dla każdego

, zmienna losowa

ma rozkład Poissona z

parametrem

k

i

,...,

1

=

)

(

n

S

i

i

n

λ

.

Hipotetyczne intensywności

k

λ

λ

,...,

1

są danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi.

Używamy pewnej odmiany testu chi-kwadrat: obliczamy statystykę

.

)

)

(

(

1

2

2

∑

=

−

=

k

i

i

i

i

n

n

n

S

λ

λ

χ

Jaki jest rozkład graniczny tej statystyki

, jeśli

jest prawdziwa i

?

2

χ

0

H

∞

→

n

(A) rozkład

z

stopniami swobody

2

χ

1

−

k

(B) rozkład

z stopniami swobody

2

χ

k

(C) pewien rozkład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny

rozkładów

.

2

χ

(D) zdegenerowany rozkład prawdopodobieństwa, skupiony w punkcie 0

(E) rozkład

z stopniami swobody

2

χ

n

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 5
Rozważamy model

K obiektów obserwowanych przez T okresów czasu, gdzie

zarówno

K jak i T są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia:

• dla każdego

K

k

,...,

2

,

1

=

oraz

t

T

,...,

2

,

1

=

warunkowy rozkład zmiennej losowej

przy danej wartości zmiennej

k

t

X

,

k

µ

jest rozkładem normalnym o wartości

oczekiwanej i wariancji

(

)

2

,

σ

µ

k

;

• dla każdego

K

k

,...,

2

,

1

=

rozkład zmiennej losowej

k

µ

jest rozkładem

normalnym o wartości oczekiwanej i wariancji

(

)

2

,

a

µ

.

Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obiektowych i średniej ogólnej:

∑

=

=

T

t

k

t

k

X

T

X

1

,

1

,

,

oraz

K

k

,...,

2

,

1

=

∑

=

=

T

t

k

X

K

X

1

1

.

Międzyobiektową i wewnątrzobiektową sumę kwadratów odchyleń oznaczmy:

(

)

∑

=

−

=

K

k

k

X

X

1

2

SSB

,

(

)

∑∑

=

=

−

=

T

t

K

k

k

k

t

X

X

SSW

1

1

2

,

Wiadomo, że zmienne losowe

i

są niezależne,

SSB

SSW

{ } (

)













+

−

=

T

a

K

SSB

E

2

2

1

σ

,

{

}

(

)

2

1

σ

−

=

T

K

SSW

E

Dobierz stałą const tak, aby wartość oczekiwana wyrażenia:

SSB

SSW

⋅

const

wyniosła

2

2

2

σ

σ

+

T

a

.

(A)

(

)

1

3

−

−

=

T

TK

K

const

(B)

(

)

1

2

−

−

=

T

TK

K

const

(C)

(

)

1

1

−

−

=

T

TK

K

const

(D)

(

)(

)

1

1

2

−

+

−

=

T

K

T

K

const

(E)

(

)(

)

1

1

1

−

+

−

=

T

K

T

K

const

Uwaga (dopisana po egzaminie):
Wynik stanowi podstawę konstrukcji nieobciążonego estymatora współczynnika
credibility z, a dokładniej jego dopełnienia

(

)

z

−

1

. Wynik ten prowadzi do wniosku,

że na zwiększenie precyzji predykcji

k

µ

na drodze uwzględnienia danych o

pozostałych grupach (collateral data) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup
K wyniesie co najmniej 4.

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 6
Załóżmy, że

jest próbką z rozkładu normalnego

o nieznanej

wartości oczekiwanej i nieznanej wariancji, zaś

jest zmienną losową z tego

samego rozkładu, niezależną od próbki. Interpretujemy zmienną

jako kolejną

obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj
,,przedział ufności’’

4

1

,..., X

X

)

,

(

2

σ

µ

N

5

X

5

X

[

)]

,...,

(

),

,...,

(

[

]

,

4

1

4

1

X

X

U

X

X

L

U

L

=

oparty na próbce

taki, że

4

1

,..., X

X

{

}

95

.

0

)

,...,

(

)

,...,

(

Pr

4

1

5

4

1

=

≤

≤

X

X

U

X

X

X

L

,

przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczny, tzn.

X

U

L

=

+ )

(

2

1

. Używamy

tutaj oznaczeń:

.

)

(

3

1

,

4

1

4

1

2

2

4

1

∑

∑

=

=

−

=

=

i

i

i

i

X

X

S

X

X

(A)

S

X

L

⋅

−

=

558

.

3

,

S

X

⋅

+

=

558

.

3

U

(B)

S

X

L

⋅

−

=

591

.

1

,

S

X

⋅

+

=

591

.

1

U

(C)

S

X

L

⋅

−

=

182

.

3

,

S

X

⋅

+

=

182

.

3

U

(D)

S

X

L

⋅

−

=

104

.

3

,

S

X

⋅

+

=

104

.

3

U

(E)

S

X

L

⋅

−

=

558

.

0

,

S

X

⋅

+

=

558

.

0

U

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 7
Niech

będzie próbką z rozkładu normalnego

9

2

1

,...,

,

X

X

X

)

1

,

(

µ

N

o nieznanej

wartości oczekiwanej i znanej wariancji

. Rozpatrzmy zadanie testowania

hipotezy

1

2

=

σ

0

:

0

=

µ

H

przeciwko alternatywie

5

.

0

:

1

=

µ

H

. Należy zbudować taki test,

dla którego suma prawdobodobieństw błędów I i II rodzaju, oznaczanych
odpowiednio przez

α i

β

jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość

β

α

+ .

(A) 0.1000

(B) 0.2266

(C) 0.1336

(D) 0.0500

(E) 0.4533

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 8
Wektor losowy (

ma łączny rozkład prawdopodobieństwa dany następującą

tabelką:

)

,

Y

X

1

=

Y

2

=

Y

1

=

X

)

1

(

4

1

θ

−

θ

4

1

2

=

X

θ

4

3

)

1

(

4

3

θ

−

gdzie )

1

,

0

(

∈

θ

jest nieznanym parametrem. Na podstawie 25-elementowej próbki z

tego rozkładu, obliczono estymator największej wiarogodności

. Oblicz wariancję estymatora, Var

.

)

,

(

),...,

,

(

25

25

1

1

Y

X

Y

X

θ

ˆ

)

ˆ

(

θ

(A)

5

)

1

(

)

ˆ

(

θ

θ

θ

−

=

Var

(B)

20

3

)

ˆ

(

=

θ

Var

(C)

20

)

1

(

)

ˆ

(

θ

θ

θ

−

=

Var

(D)

25

)

1

(

)

ˆ

(

θ

θ

θ

−

=

Var

(E)

5

)

ˆ

(

θ

θ

=

Var

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 9
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym o gęstości

,...

,...,

1

n

X

X







>

=

−

.

0

;

0

)

(

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

e

x

f

x

α

α

Niech

będzie zmienną losową niezależną od

, o rozkładzie Poissona z

parametrem

N

,...

,...,

1

n

X

X

λ . Niech

{

}







=

>

=

.

0

0

;

0

,

,...,

min

1

N

gdy

N

gdy

X

X

Y

N

Oblicz przy założeniu, że .

)

|

(

y

Y

N

E

=

0

>

y

(A) 1

y

e

α

λ

−

+

(B) 1

y

e

λ

α

−

−

(C)

y

e

α

λ

−

(D) 1

y

e

α

λ

−

−

(E)

y

e

α

αλ

−

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

Zadanie 10

Rozważmy trzy zdarzenia losowe

w pewnej przestrzeni probabilistycznej

. Niech

2

1

,

,

C

C

E

Ω

2

1

,

,

C

C

E

′

′

′

oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiemy, że

• Zdarzenia

C

są niezależne i

2

1

,C

p

C

C

=

=

)

Pr(

)

2

1

Pr(

;

•

r

C

C

E

C

E

C

E

=

∩

=

=

)

|

Pr(

)

|

Pr(

)

|

Pr(

2

1

2

1

;

•

.

1

)

|

Pr(

2

1

=

′

∩

′

′

C

C

E

Oblicz

Pr(

.

)

|

1

E

C

(A)

p

−

2

1

(B) p

(C)

p

r

−

2

(D)

p

+

1

1

(E)

p

r

+

1

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.05.2003r

.

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko ...........................K L U C Z O D P O W I E D Z I...........................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 C

2 B

3 C

4 B

5 A

6 A

7 E

8 D

9 A

10 A

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.