zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany

background image

Dyskretne zmienne losowe

,...}

,

{

:

2

1

x

x

S

X

)

(

)

(

}

)

(

:

({

i

i

i

x

p

x

X

P

x

s

X

S

s

P

,...,

2

,

1

),

(

:

i

x

p

x

p

i

i

- funkcja

prawdopodobie

ństwa dyskretnej zmiennej losowej X

,...}

2

,

1

),

(

,

{(

i

x

p

x

i

i

- rozk

ład prawdopodobieństwa

dyskretnej zmiennej losowej X

)

,

(

),

(

)

(



x

x

X

P

x

F

, - dystrybuanta zmiennej

losowej X

background image

Dla dyskretnej zmiennej losowej

)

(

)

(

:

i

x

x

i

x

p

x

F

i

.

D.

x

x

i

i

i

x

X

P

x

X

P

x

F

:

})

{

(

)

(

)

(

=

x

x

i

x

x

i

i

i

i

i

x

p

x

X

P

:

:

)

(

)

(

background image

W

łasności dystrybuanty

)

(

)

(

x

X

P

x

F

:

1

)

(

0

x

F

,

)

,

(



x

funkcja niemalej

ąca

funkcja prawostronnie ci

ągła

)

(

)

(

)

(

x

X

P

x

F

x

F

0

)

(

lim



x

F

x

1

)

(

lim

x

F

x

background image

Prawdopodobieństwa zdarzeń a wartości

dystrybuanty

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P

)

(

)

(

)

(

)

(

a

p

a

F

b

F

b

X

a

P

)

(

)

(

)

(

)

(

b

p

a

F

b

F

b

X

a

P

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

b

p

a

p

a

F

b

F

b

X

a

P

background image

D.

]

,

(

]

,

(

]

,

(

b

a

a

b





)

(

)

(

)

(

b

X

a

P

a

X

P

b

X

P

)

(b

F

=

)

(a

F

+

)

(

b

X

a

P

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P

}

{

]

,

(

]

,

[

a

b

a

b

a

)

(

)

(

)

(

a

X

P

b

X

a

P

b

X

a

P

=

).

(

)

(

)

(

a

p

a

F

b

F

background image

Definicja.

Wartością średnią

(

oczekiwaną) dyskretnej zmiennej

losowej X

o funkcji prawdopodobieństwa

)

(

p

nazywamy liczbę

1

)

(

i

i

i

X

x

p

x

gdzie

,...

,

2

1

x

x

oznaczają wszystkie wartości X.

Notacja:

X

lub

E(X).

background image

Przykłady

.

X = liczb

a orłów w trzech rzutach monetą symetryczną.

X

=

2

3

8

12

8

1

3

8

3

2

8

3

1

8

1

0

N

– elementowa populacja zawiera elementy o możliwych

(ró

żnych) wartościach cechy liczbowej

,

,...,

2

,

1

,

k

i

x

i

i

n

=

liczba elementów o warto

ści cechy

i

x

. Niech X = warto

ść

cechy losowo wybranego elementu. Wówczas cz

ęstość

elementów o warto

ści cechy

i

x

:

N

n

x

X

P

x

p

i

i

i

)

(

)

(

k

i

i

i

k

i

i

i

X

N

n

x

x

p

x

1

1

)

(

background image

Wygrana na loterii jest zmienn

ą losową X o

dystrybuancie:




1

75

,

0

5

,

0

0

)

(x

F

dla

.

200

,

200

100

,

100

0

,

0

x

x

x

x

5

,

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(

F

F

X

P

X

P

X

P

)

100

(

)

100

(

)

100

(

X

P

X

P

X

P

25

,

0

5

,

0

75

,

0

)

100

(

)

100

(

F

F

background image

)

200

(

)

200

(

)

200

(

X

P

X

P

X

P

25

,

0

75

,

0

1

)

200

(

)

200

(

F

F

.

75

25

,

0

200

25

,

0

100

5

,

0

0

X

.

Twierdzenie.

1

)

(

).

(

)

(

i

i

i

X

f

x

p

x

f

background image

Twierdzenie.

1

)

(

).

(

)

(

i

i

i

X

f

x

p

x

f

D.

Je

śli f jest różnowartościowa, to wzór wynika z definicji

warto

ści średniej dla zmiennej

)

( X

f

Y

:

)

(

))

(

(

i

i

x

p

x

f

Y

P

.

W ogólnym przypadku trzeba wykorzysta

ć własności

prawdopodobie

ństwa.

background image

Przyk

łady.

,

)

(

b

ax

x

f

b

aX

X

f

Y

)

(

,

1

)

(

)

(

i

X

i

i

b

aX

b

a

x

p

b

ax

.

Wykonujemy niezale

żne rzuty monetą symetryczną aż do

momentu wyrzucenia or

ła. Niech X oznacza liczbę

wykonanych rzutów,

1

2

X

Y

.

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

)

(

2

i

i

i

i

i

i

i

X

P

.

Warto

ść średnia nie istnieje.

background image

Definicja.

Wariancj

ą

dyskretnej zmiennej losowej o funkcji

prawdopodobie

ństwa

)

(

p

nazywamy wielko

ść

1

2

2

)

(

)

(

i

i

X

i

X

x

p

x

.

Odchylenie standardowe:

X

=

2

X

Uwaga.

2

2

)

(

X

X

X

E

Interpretacja:

wariancja - miara rozproszenia warto

ści

zmiennej losowej wzgl

ędem wartości średniej.

background image

Twierdzenie.

2

2

2

X

X

X

2

2

2

X

b

aX

a

D.

2

2

2

2

X

i

X

i

X

i

x

x

x

oraz

1

1

)

(

i

i

x

p

1

1

1

2

2

2

)

(

)

(

2

)

(

i

i

i

i

X

i

i

X

i

i

X

x

p

x

p

x

x

p

x

 

2

2

2

2

X

X

X

=

2

2

X

X

background image

2

2

))

(

(

b

a

b

aX

E

X

b

aX

=

1

2

2

)

(

)]

(

[

)]

(

[

i

i

X

i

X

x

p

x

a

X

a

E

=

2

2

X

a

Uwaga

. Bezpo

średnio z twierdzenia

2

2

2

X

aX

a

,

2

2

X

b

X

,

X

b

aX

a

.

background image

Definicja.

Niech

,...}

2

,

1

{

k

.

Momentem zwyk

łym rzędu k

zmiennej losowej X

nazywamy

k

X

k

m

.

Momentem centralnym rz

ędu

k

zmiennej losowej X

nazywamy

k

X

X

k

)

(

=

k

X

X

E

)

(

.

W szczególno

ści:

X

m

1

,

2

2

X

.

background image

Przykłady rozkładów dyskretnych

Rozkład dwupunktowy

Zmienna losowa X

ma rozkład dwupunktowy, jeśli

,

)

(

1

p

x

X

P

q

x

X

P

)

(

2

,

,

1

p

q

1

0

p

.

Funkcja prawdopodobieństwa:

x

1

x

2

x

p(x) p q

background image

Rozk

ład zero – jedynkowy

( rozk

ład Bernoulli’ego z

prawdopodobie

ństwem sukcesu p )

,

)

1

(

p

X

P

p

X

P

1

)

0

(

= q

p

p

p

X

1

)

1

(

0

2

2

2

2

)

1

(

0

1

p

p

p

X

2

p

p

=

p x q.

background image

Rozk

ład jednostajny na k punktach

: rozk

ład

zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobie

ństwa:

k

x

X

P

x

X

P

x

X

P

k

/

1

)

(

...

)

(

)

(

2

1

.

k

i

i

X

k

x

1

1

=

k

i

i

x

k

1

1

,

k

i

X

i

X

k

x

1

2

2

1

)

(

=

k

i

X

i

x

k

1

2

)

(

1

.

Przyk

ład

: X = liczba oczek w rzucie kostk

ą sześcienną.

background image

Zadanie.

Zmienne losowe X i Y maj

ą rozkłady

jednostajne na zbiorach punktów { - 1, 0, 1 } oraz
{- 2, 0, 2 }. Obliczy

ć wartości średnie i wariancje zmiennych

X i Y.

0

3

1

1

3

1

0

3

1

1

X

,

0

Y

.

3

2

3

1

)

0

1

(

3

1

)

0

0

(

3

1

)

0

1

(

2

2

2

2

X

3

8

3

1

)

0

2

(

3

1

)

0

0

(

3

1

)

0

2

(

2

2

2

2

Y

2

2

X

Y

background image

Rozkład dwumianowy

Wykonujemy n

niezależnych jednakowych doświadczeń

Bernoulli’ego z prawdopodobieństwem sukcesu p ( w
każdym doświadczeniu możliwy sukces z prawdopodo -
bieństwem p lub porażka z prawdopodobieństwem
1

p).

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej

X

będącej liczbą sukcesów:

k

n

k

p

p

k

n

p

n

k

b

k

X

P

)

1

(

)

,

;

(

)

(

, k = 0,1,...,n.

np

X

,

)

1

(

2

p

np

X

.

background image

Uzasadnienie:

}}

1

,

0

{

:

)

,...,

(

{

1

i

n

x

x

x

s

S

,

)

(

1

1

)

1

(

})

({

n

i

i

n

i

i

x

n

x

p

p

s

P

,

n

i

k

n

k

i

p

p

k

n

k

x

S

s

P

k

X

P

1

)

1

(

})

:

({

)

(

.

Notacja

: X ~Bin(n, p).

Przykłady:

liczba elementów wadliwych spośród n

wylosowanych z dużej partii towaru o wadliwości p,
liczba trafień do celu na zawodach sportowych w n próbach

background image

Przyk

ład.

Urz

ądzenie składa się z 14 identycznych

pracuj

ących niezależnie podzespołów. Ulegnie ono awarii,

je

śli co najmniej 3 podzespoły będą niesprawne.

Prawdopodobie

ństwo awarii podzespołu wynosi 0,1.

Znale

źć prawdopodobieństwo awarii urządzenia.

~

X

Bin( 14,0.1),

)

3

(

1

)

3

(

X

P

X

P

.

)

2

(

)

1

(

)

0

(

)

3

(

X

P

X

P

X

P

X

P

=

)

1

.

0

,

14

;

2

(

)

1

.

0

,

14

;

1

(

)

1

.

0

,

14

;

0

(

b

b

b

0,229 + 0,356 + 0,257 = 0,842

178

,

0

842

,

0

1

)

3

(

X

P

background image

Rozkład Poissona

Definicja

. Zmienna losowa X ma

rozkład Poissona z

parametrem

,

0

,

jeśli

!

)

;

(

)

(

k

e

k

p

k

X

P

k

, k = 0,1,2,...

Notacja:

)

(

~

P

X

Przykłady

: liczba klientów w systemie masowej obsługi,

liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną,
liczba awarii sieci informatycznej w określonym przedziale
czasu,

background image

Twierdzenie.

X

,

2

X

.

Własności rozkładu Poissona;



Niech

n

,

,

0

n

p

p

.

0

np

Wówczas dla ustalonego k, przy

n

)

,

(

)

,

;

(

k

p

p

n

k

b

.

background image

k

n

k

p

p

k

n

k

n

p

n

k

b

)

1

(

)!

(

!

!

)

,

;

(

 

k

n

k

n

n

k

k

n

n

n

1

!

)

1

)...(

1

(

e

k

n

n

k

n

k

n

n

n

k

k

n

k

k

!

)

1

(

)

1

(

!

)

1

(

...

)

1

(

,

gdy

n

, bo

e

n

n

)

1

(

.

background image

Je

śli

)

(

~

P

X

dla du

żego

, to rozk

ład

standaryzowanej zmiennej

/

)

(

X

jest w przybli

żeniu

normalny, tzn.

)

(

)

/

)

((

z

z

X

P

,

dla dowolnego z. Zatem

dystrybuanta zmiennej losowej X

jest bliska dystrybuancie

zmiennej losowej o

rozk

ładzie

)

,

(

N

, a funkcje prawdopodobie

ństwa są

bliskie g

ęstościom, co ilustruje rysunek:

background image

10
2
5
20

0

10

20

30

40

50

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Funkcje prawdopodobieństw rozkładów Poissona


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
zmienne losowe ciagle id 591438 Nieznany
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
Matematyka dyskretna 3 id 28329 Nieznany
matematyka dyskretna w id 28343 Nieznany
modzel dyskretna id 780277 Nieznany
zmienne losowe gestosci typu ci Nieznany
zmienne losowe dyskretne, Socjologia
Dyskretna2010 id 146232 Nieznany
Matematyka Dyskretna 2 id 28328 Nieznany
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
Pomiary napiec zmiennych id 374 Nieznany

więcej podobnych podstron