Zadania z geometrii

Z

ESTAW

2

1. Sprawd´z, czy R

n

wyposa˙zona w form˛e kwadratow ˛

a q jest przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a, je´sli:

(a) n = 2, q([x

1

, x

2

]

T

) = x

2

1

+ x

1

x

2

+ x

2

2

;

(b) n = 3, q([x

1

, x

2

, x

3

]

T

) = 99x

2

1

− 12x

1

x

2

+ 48x

1

x

3

+ 130x

2

2

− 60x

2

x

3

+ 71x

2

3

;

(c) n = 4, q([x

1

, x

2

, x

3

, x

4

]

T

) = x

2

1

+ 4x

2

2

+ 8x

2

3

− x

2

4

− 4x

1

x

2

+ 6x

1

x

3

− 12x

2

x

3

+ 2x

3

x

4

;

(d) n = 3, q([x

1

, x

2

, x

3

]

T

) = x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ x

1

x

3

;

(e) n = 5, q([x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

]

T

) = x

2

1

+ 4x

2

2

+ 8x

2

3

− x

2

4

− 4x

1

x

2

+ 6x

1

x

3

− 12x

2

x

3

+ 2x

3

x

4

+ x

2

x

5

− x

4

x

5

.

2. Dla jakiego a ∈ R przestrze´n R

n

wyposa˙zona w form˛e kwadratow ˛

a q jest przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a, je´sli:

(a) n = 2, q([x

1

, x

2

]

T

) = ax

2

1

− 2x

1

x

2

+ ax

2

2

,

(b) n = 3, q([x

1

, x

2

, x

3

]

T

) = x

2

1

+ 2ax

1

x

2

+ 2x

1

x

3

+ 3x

2

2

− 4x

2

x

3

+ 3x

2

3

,

(c) n = 4, q([x

1

, x

2

, x

3

, x

4

]

T

) = x

2

1

+ 2ax

1

x

2

+ 2x

1

x

3

− 2x

1

x

4

− 4x

2

x

3

− 2x

3

x

4

− x

2

3

+ 2x

2

4

,

(d) n = 3, q([x

1

, x

2

, x

3

]) = ax

2

1

− 2x

1

x

2

+ ax

2

2

− 2x

2

x

3

+ x

2

3

?

3. Wyka˙z nast˛epuj ˛

ace własno´sci normy euklidesowej:

(a) α ⊥ β ⇐⇒ k α + β k = k α − β k;

(b) (α + β) ⊥ (α − β) ⇐⇒ k α k = k β k;

(c) k α + β k

2

+ k α − β k

2

= 2(k α k

2

+ k β k

2

);

4. W przestrzeni euklidesowej(R

4

, ξ), gdzie q

ξ

([x

1

, x

2

, x

3

, x

4

]

T

) = 2x

2

1

+ 2x

1

x

2

+ x

2

2

+ 2x

2

3

+ x

2

4

ka˙zdy z wektorów

[1, 1, 1, 1]

T

, [1, 0, 0, 0]

T

przedstaw jako sum˛e wektora równoległego i wektora prostopadłego do podprzestrzeni:

(a) U = lin([1, 0, 1, 1]

T

),

(b) U = lin([1, 1, −2, 0]

T

, [0, 1, 1, −2]

T

),

(c) U = Sol(X

1

+ 2X

2

+ X

3

+ X

4

= 0).

5. W przestrzeni ortogonalnej (R

3

, ξ), forma normy wyra˙za si˛e wzorem: q

ξ

([x

1

, x

2

, x

3

]

T

) = x

2

1

− 2x

1

x

2

+ 3x

2

2

+ x

2

3

.

(a) Sprawd´z, ˙ze mamy do czynienia z przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a.

(b) Znajd´z obraz wektora [1, 0, 1]

T

w rzucie prostopadłym na podprzestrze´n U = lin([1, −1, 0]

T

, [0, 1, 2]

T

) oraz

znajd´z obraz tego wektora w symetrii prostopadłej wzgl˛edem podprzestrzeni U .

(c) Znajd´z macierz symetrii prostopadłej wzgl˛edem płaszczyzny W = Sol(X

1

− X

2

+ X

3

= 0) w bazie jednostko-

wej.

(d) Znajd´z wzory okre´slaj ˛

ace rzut prostopadły na podprzestrze´n L i symetri˛e prostopadł ˛

a wzgl˛edem podprzestrze-

ni L, je´sli L = lin([1, 1, 0]

T

).

6. W przestrzeni euklidesowej R

3

ze zwykłym iloczynem skalarnym

(a) znajd´z wzory okre´slaj ˛

ace symetri˛e prostopadł ˛

a wzl˛edem podprzestrzeni W oraz rzut prostopadły na podprze-

strze´n W , je´sli W = Sol(X + 3Y − Z = 0),

(b) znajd´z macierz symetrii τ

γ

w bazie jednostkowej, gdzie γ = [1, 0, 1]

T

,

(c) znajd´z macierz rzutu prostopadłego na podprzestrze´n (Sol(2X +Y − Z = 0))

⊥

w bazie jednostkowej.

7. W przestrzeni R

3

ze zwykłym iloczynem skalarnym dane s ˛

a podprzestrzenie lin([1, 2, 1]

T

, [−1, 0, 1]

T

),

lin([1, 3, −2]

T

, [1, −2, 3]

T

). Podaj macierze wzgl˛edem bazy kanonicznej dwóch ró˙znych symetrii τ

γ

1

, τ

γ

2

przepro-

wadzaj ˛

acych jedn ˛

a z tych podprzestrzeni na drug ˛

a.

8. W przestrzeni R

4

ze zwykłym iloczynem skalarnym dane s ˛

a wektory α = [−9, 6, 2, 0]

T

, β = [2, −1, 0, 2]

T

. Wyznacz

baz˛e, uzupełnienie ortogonalne i równanie ogólne hiperpodprzestrzeni U takiej, ˙ze symetria prostopadła wzgl˛edem

U

przekształca lin(α) na lin(β).

9. W przestrzeni ortogonalnej (R

3

, ξ), ze zwykłym iloczynem skalarnym, znajd´z wektor γ taki, ˙ze:

(a) τ

γ

([1, 2, 1]) = [2, 1, 1],

(b) τ

γ

([1, 2, 1]) = −[2, 1, 1],

(c) τ

γ

(lin(ε

1

)) = lin(ε

3

).

1

Ile jest takich wektorów?

10. Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R istnieje symetria wzgl˛edem hiperpodprzestrzeni przestrzeni euklidesowej R

4

(ze zwykłym iloczynem skalarnym) przekształcaj ˛

aca wektor [1, a, a, 1] na wektor [2, 0, 0, 2] ? Znajd´z wzór okre´sla-

j ˛

acy t˛e symetri˛e.

11. W przestrzeni euklidesowej R

3

ze zwykłym iloczynem skalarnym znajd´z macierz, w bazie jednostkowej, izometrii

τ

α

◦ τ

β

◦ τ

γ

, gdzie α = [1, 1, 0], β = [1, 0, 1], γ = [0, 1, 1]. Znajd´z wzór okre´slaj ˛

acy t ˛

a izometri˛e.

12. Przedstaw jako zło˙zenie symetrii wzgl˛edem hiperpodprzestrzeni endomorfizm przestrzeni R

3

ze zwykłym iloczy-

nem skalarnym, maj ˛

acy macierz w bazie kanonicznej:

(a)





0

1

0

1

0

0

0

0

−1





,

(b)

1
3





2

1

2

−1

−2

2

2

−2

−1





.

13. Przedstaw jako zło˙zenie symetrii wzgl˛edem hiperpodprzestrzeni endomorfizm przestrzeni R

4

ze zwykłym iloczy-

nem skalarnym, maj ˛

acy macierz w bazie kanonicznej:

(a)







0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0







,

(b)







0

−1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

1

0







.

14. W przestrzeni euklidesowej (R

3

[X ], ξ) z funkcjonałem dwuliniowym ξ(a

0

+ a

1

X

+ a

2

X

2

+ a

3

X

3

, b

0

+ b

1

X

+ b

2

X

2

+

b

3

X

3

) = ∑

3
i

=0

a

i

b

i

dany jest endomorfizm ψ okre´slony wzorem ψ( f (X )) = f (−X ). Sprawd´z, ˙ze ψ jest izometri ˛

a

oraz przedstaw ψ jako zło˙zenie symetrii wzgl˛edem hiperpodprzestrzeni.

15. Jak zmieni si˛e wyznacznik Grama g

ξ

(α

1

, . . . , α

k

) je´sli:

(a) zamienimy miejscami wetory α

i

oraz α

j

(i 6= j);

(b) wektor α

i

pomno˙zymy przez liczb˛e t;

(c) do wektora α

i

dodamy wektor α

j

(i 6= j).

16. W przestrzeni euklidesowej R

4

ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz 4-wymiarow ˛

a miar˛e równoległo´scianu

rozpi˛etego na wektorach:

(a) [1, −1, 1, −1], [1, 1, 1, 1], [1, 0, −1, 0], [0, 1, 0, −1];

(b) [1, 1, 1, 1], [1, −1, −1, 1], [2, 1, 1, 3], [0, 1, −1, 0].

17. Niech (R

3

, ξ) b˛edzie przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a tak ˛

a, ˙ze q

ξ

([x, y, z]

T

) = x

2

− 2xy + 3y

2

+ z

2

. Wybierz baz˛e ortonor-

maln ˛

a tej przestrzeni i za jej pomoc ˛

a oblicz iloczyny wektorowe: ε

1

× ε

2

, ε

3

× ε

2

,

ε

2

× ε

3

, (ε

1

+ ε

2

+ ε

3

) ×

ε

2

, (ε

1

+ ε

2

+ ε

3

) × ε

1

.

18. W przestrzeni euklidesowej R

3

ze zwykłym iloczynem skalarnym i baz ˛

a prostopadł ˛

a unormowan ˛

a (ε

1

, ε

2

, ε

3

) oblicz

nast˛epuj ˛

ace iloczyny wektorowe: ε

1

× ε

3

, ε

3

× ε

2

, ε

1

× ε

3

, [1, 0, 1] × [2, 3, 1], ([1, 1, 1] × [2, 1, 1]) × [1, 1, 0].

19. Sprawd´z, ˙ze zamiana miejscami dwóch czynników w iloczynie wektorowym powoduje zmian˛e znaku iloczynu na

przeciwny.

20. Niech α, β b˛ed ˛

a liniowo niezale˙znymi wektorami trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Sprawd´z, ˙ze układ

wektorów α, α × β, α × (α × β) jest baz ˛

a prostopadł ˛

a tej przstrzeni.

2