UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5, Struktura algebraiczna i geometryczna liczb zespolonych
1. Wykazać, że stosunki odległości odpowiednich punktów leżących na prostej
R
t
z
z
t
z
z
,
1
2
1
,
2
1
z
z
, wynoszą:
a)
2
2
1
,
1
z
z
t
t
z
z
z
z
; b)
t
z
z
z
z
2
1
1
2. Określić zbiory punktów płaszczyzny zespolonej spełniających warunki:
a)
i
z
i
z
Arg
i
z
i
z
Arg
2
1
2
lub
0
2
1
2
b)
3
1
1
z
z
c)
3
2
2
z
z
d)
2
Re
2
z
z
3. Lemniskata. Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających
równanie
c
z
1
2
. Dla
1
c
zapisać równanie otrzymanej krzywej we współrzędnych
biegunowych.
4. Wyznaczyć środek oraz promień okręgu Apoloniusza:
i
z
i
z
2
5
2
1
.
Wykazać, że dwa punkty spełniające odpowiednio jedno z równań:
i
z
i
z
2
5
2
1
leżą na średnicy tego okręgu.
5. Wykazać, że dla dowolnej liczby zespolonej
z
spełnione są następujące równości:
a)
0
Re
2
2
2
z
z
z
z
b)
z
z
z
z
z
Re
2
2
6. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego
C
C
f
:
takiego, że
z
i
z
f
)
1
(
)
(
w bazie:
i
e
2
2
1
,
i
e
3
2
2
.
7. Wykazać równoważność następujących wzorów algebraicznych na pierwiastki kwadratowe z
liczby zespolonej
ib
a
z
:
a)
z
z
z
z
z
Re
2
b)
z
z
z
z
z
z
2
/
1
c)
)
(
2
2
2
2
2
2
b
a
a
bi
b
a
a
z
8. Rozwiązać równania korzystając kolejno ze wszystkich wzorów z zadania 7:
a)
0
3
6
)
1
(
2
i
z
i
z
b)
0
1
2
i
z
9. Czy obroty wokół punktu (0,0) i przesunięcia równoległe na płaszczyźnie są przemienne?
Odpowiedź uzasadnić algebraicznie ( w języku liczb zespolonych ) oraz graficznie ( przykład ).
10. Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołkami są rozwiązaniami równania
0
4
4
i
z
.
Podać współrzędne wierzchołków: kartezjańskie oraz biegunowe.
11. Wykazać równości:
a)
2
)
1
(
2
2
1
cos
sin
sin
)
1
cos(
...
cos
1
n
n
n
b)
2
)
1
(
2
2
1
sin
sin
sin
)
1
sin(
...
sin
n
n
n
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. Z równania parametrycznego prostej przechodzącej przez dwa punkty:
1
z
)
0
(
t
oraz
2
z
)
1
(
t
otrzymujemy
1
2
1
z
z
t
z
z
,
2
1
2
1
z
z
t
z
z
,
Stąd: a) stosunek odległości dowolnego punktu prostej
z
od punktów
1
z
i
2
z
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
,
1
1
1
)
)(
1
(
)
(
z
z
z
t
t
t
t
z
z
t
z
z
t
z
z
t
z
z
t
z
z
z
z
b) stosunek odległości punktu
z
od punktu
1
z
do długości odcinka
2
1
, z
z
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
,
)
(
z
z
t
z
z
z
z
t
z
z
z
z
t
z
z
z
z
2. a) Wprowadźmy oznaczenia:
i
z
2
1
,
i
z
2
1
2
oraz
1
1
1
i
e
r
z
z
,
2
2
2
i
e
r
z
z
.
Wtedy
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
i
e
r
r
Arg
z
z
z
z
Arg
a1) Jeśli
0
2
1
z
z
z
z
Arg
to
2
1
. Z układu równań:
i
i
e
r
z
z
e
r
z
z
2
2
1
1
otrzymujemy kolejno:
i
e
r
r
z
z
)
(
2
1
1
2
oraz
)
(
1
2
2
1
1
1
z
z
r
r
r
z
z
równanie parametryczne prostej przechodzącej przez
1
z
i
2
z
Dla
2
1
r
r
parametr
2
1
1
r
r
r
t
spełnia nierówność
1
t
, natomiast
0
t
dla
2
1
r
r
.
Punkt
z
leży więc na prostej przechodzącej przez punkty
1
z
i
2
z
na zewnątrz odcinka
2
1
, z
z
.
a2) Jeśli
2
1
z
z
z
z
Arg
to
2
1
. Z układu równań:
2
2
2
2
)
(
1
1
i
i
e
r
z
z
e
r
z
z
otrzymujemy kolejno:
2
)
(
2
1
1
2
i
e
r
r
z
z
(
1
i
e
) oraz
)
(
1
2
2
1
1
1
z
z
r
r
r
z
z
równanie parametryczne prostej przechodzącej przez
1
z
i
2
z
Parametr
2
1
1
r
r
r
t
spełnia nierówność
1
0
t
.
Punkt
z
leży więc na prostej przechodzącej przez punkty
1
z
i
2
z
na zewnątrz odcinka
2
1
, z
z
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
b) Jest to równanie elipsy o ogniskach w punktach
1
1
z
,
1
2
z
będącej miejscem
geometrycznym punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od ognisk jest stała i
wynosi 3.
c) Jest to równanie hiperboli o ogniskach w punktach
2
1
z
,
2
2
z
będącej miejscem
geometrycznym punktów na płaszczyźnie, których różnica odległości od ognisk jest stała i
wynosi 3.
d) Jest to równanie paraboli będącej miejscem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, których
różnica odległości od punktu
2
0
z
i prostej
0
Re
z
jest stała i wynosi 2.
3. Z równania
c
z
z
)
1
)(
1
(
wynika, że iloczyn odległości punktu z od punktów
1
1
z
i
1
2
z
jest równy stałej c. Zbiór takich liczb zespolonych
z
tworzy na płaszczyźnie zespolonej
krzywą zwaną lemniskatą.
Dla c = 1 ,
i
re
z
)
2
sin
2
(cos
2
2
2
2
i
r
e
r
z
i
2
sin
1
2
cos
1
2
2
2
ir
r
z
.
Z równania
1
1
2
2
z
wynika więc, że
1
2
sin
1
2
cos
2
2
2
2
r
r
i ostatecznie:
2
cos
2
2
r
.
4. Zbiór punktów, takich że
b
z
a
z
tworzy:
-
prostą gdy
1
( symetralna odcinka
b
a,
)
-
okrąg ( gdy
1
0
) o środku w punkcie
2
2
0
1
b
a
z
i promieniu
2
1
b
a
r
,
przy czym
0
z
leży na prostej przechodzącej przez punkty a i b , na zewnątrz odcinka
b
a,
.
Dowód polega na przekształceniu równania
2
2
2
b
z
a
z
do postaci
2
2
0
r
z
z
. Korzystając z równości
d
d
d
z
d
z
z
z
w
w
w
2
, dla
d
z
w
, otrzymujemy kolejno:
)
)(
(
)
)(
(
2
b
z
b
z
a
z
a
z
a
a
b
b
b
a
z
b
a
z
z
z
2
2
2
2
)
(
)
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
)(
(
)
1
(
)
1
(
)
)(
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
b
a
b
a
a
a
b
b
b
a
b
a
b
a
z
b
a
z
z
z
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
b
a
b
a
z
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
W tym przypadku (
i
a
1
,
i
b
2
5
,
2
) otrzymujemy
3
7
3
19
0
i
z
,
3
17
2
r
Rozwiązaniami równań
)
(
b
z
a
z
są liczby
z
postaci:
)
(
1
a
b
a
z
,
)
(
1
a
b
a
z
Punkty
z
leżą na okręgu oraz na prostej przechodzącej przez punkty a i b. Środek okręgu
0
z
leży również na prostej przechodzącej przez punkty a i b, i to dokładnie w środku
odcinka
]
,
[
z
z
, będącego średnicą okręgu, bowiem
)
(
1
1
2
2
2
2
0
a
b
a
b
a
z
,
)
(
2
1
0
z
z
z
W tym przypadku
i
z
3
9
,
3
/
5
11
i
z
. Łatwo sprawdzić, że
3
17
4
2
r
z
z
oraz
3
7
3
19
2
2
1
0
i
z
z
z
Uwaga. Zadanie można rozwiązać kładąc na samym początku (
i
a
1
,
i
b
2
5
,
2
).
5. a) W dowodach korzystamy wyłącznie z równości:
d
d
d
z
zd
z
z
w
w
w
2
,
dla
a
z
w
oraz
z
z
z
Re
2
. Otrzymujemy kolejno:
z
z
z
2
0
2
z
z
zz
zz
z
0
)
(
2
z
z
z
zz
z
i ostatecznie
0
Re
2
2
2
z
z
z
z
b) Korzystając z wyniku uzyskanego w zadaniu 5a oraz z własności modułu liczby
zespolonej ( moduł iloczynu = iloczyn modułów ) otrzymujemy kolejno:
0
Re
2
2
2
z
z
z
z
0
Re
2
2
2
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Re
2
2
2
2
2
)
Re
(
2
)
(
2
z
z
z
z
z
i ostatecznie
z
z
z
z
z
Re
2
2
6. Niech
A
oznacza macierz przekształcenia liniowego
C
C
f
:
,
z
i
z
f
)
1
(
)
(
w bazie:
i
e
2
2
1
,
i
e
3
2
2
. Kolumny
j
A
.
macierzy
A
tworzą wektory kolumnowe, będące
obrazami elementów bazy
j
e
przy przekształceniu
f
, zapisanymi we współrzędnych w bazie
i
e
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
Jeśli
2
1
)
(
i
i
ij
j
e
a
e
f
to
j
j
j
a
a
A
2
1
.
czyli
22
21
12
11
a
a
a
a
A
W tym przypadku
i
i
i
e
f
4
)
2
2
)(
1
(
)
(
1
czyli
)
3
2
(
)
2
2
(
4
21
11
i
a
i
a
i
Równanie zespolone na
1
i
a
sprowadza się do układu dwóch równań rzeczywistych ( liczby
zespolone są równe gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe ):
21
11
21
11
3
2
4
2
2
0
a
a
a
a
stąd
5
4
21
11
a
a
i
i
i
e
f
5
)
3
2
)(
1
(
)
(
2
czyli
)
3
2
(
)
2
2
(
5
22
12
i
a
i
a
i
Teraz
21
11
21
11
3
2
1
2
2
5
a
a
a
a
stąd
10
13
12
a
,
10
12
12
a
Macierz przekształcenia liniowego f ma więc postać:
12
8
13
8
10
1
A
7. Równoważność wzorów a) i b) wynika wprost z równości udowodnionej w zadaniu 5b:
z
z
z
z
z
Re
2
2
czyli
z
z
z
z
z
2
/
1
)
(Re
2
1
Wzór c) można łatwo przekształcić do postaci a) :
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
a
ib
b
a
a
b
a
a
b
i
b
a
a
z
z
z
z
z
Re
2
ponieważ dla
ib
a
z
mamy
2
2
Re
b
a
a
z
z
oraz
2
2
b
a
ib
a
z
z
8. a) Można korzystać ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego
a
b
z
2
,
gdzie
1
a
,
i
b
1
,
i
ac
b
10
24
4
2
.
W oparciu o wzory z zadania 7 obliczamy
:
26
,
i
10
2
,
2
Re
,
26
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
We wszystkich trzech przypadkach otrzymujemy
i
5
1
. Dlatego
i
z
2
1
,
i
z
3
b) W tym przypadku korzystamy bezpośrednio ze wzorów z zadania 7:
2
z
,
i
z
z
2
1
,
2
1
Re
z
z
,
2
2
4
z
z
Stąd a)
2
2
2
2
1
i
z
b)
2
2
4
)
2
1
(
2
4
i
z
c)
2
2
2
2
1
i
z
Należy jeszcze sprawdzić ( podnosząc obie strony do kwadratu ), że
2
2
4
2
2
2
1
4
9. Każdej liczbie zespolonej
1
z
można przyporządkować przekształcenie płaszczyzny zespolonej
1
1
:
)
(
z
z
z
z
T
- przesunięcie równoległe, a liczbie zespolonej o module równym jeden
postaci
2
2
i
e
z
obrót wokół punktu (0,0) o kąt
2
:
2
:
)
(
2
i
ze
z
R
.
Wykonując najpierw przesunięcie a potem obrót otrzymujemy:
1
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
(
z
ze
ze
z
T
z
R
z
T
i
i
Gdy zmienimy kolejność przekształceń otrzymamy inny wynik
2
2
1
1
2
1
2
)
(
)
(
)
(
i
i
e
z
ze
z
z
R
z
z
T
R
Otrzymaną nierówność
1
1
2
2
z
ze
e
z
z
i
i
zilustrować na płaszczyźnie zespolonej dla
wybranych wartości
2
1
,
,
z
z
, na przykład:
2
,
1
,
1
2
1
z
z
.
10. Dla każdej liczby zespolonej
i
re
w
, równanie
0
w
z
n
posiada n różnych rozwiązań
( pierwiastków n-tego stopnia z
w
) postaci:
n
k
i
n
k
e
r
z
2
,
1
...,
,
1
,
0
n
k
.
Pierwiastki te tworzą na płaszczyźnie zespolonej wielokąt foremny o środku w puncie (0,0) .
W tym przypadku
i
e
i
w
4
4
. Liczby:
4
0
2
i
e
z
,
4
3
1
2
i
e
z
,
4
5
2
2
i
e
z
,
4
7
3
2
i
e
z
są wierzchołkami kwadratu o boku
a
, którego przekątna równa jest
2
2
2
2
2
4
a
r
z
k
.
Pole kwadratu:
4
2
a
P
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
Uwaga: Długość boku kwadratu równa jest odległości jego sąsiednich wierzchołków:
2
4
sin
2
2
Im
2
2
2
2
4
2
4
4
2
0
1
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
e
e
z
z
a
11. Układ dwóch równości dla licz rzeczywistych postaci:
2
)
1
(
2
2
1
cos
sin
sin
)
1
cos(
...
cos
1
n
n
n
2
)
1
(
2
2
1
sin
sin
sin
)
1
sin(
...
sin
n
n
n
jest równoważny jednej równości dla liczb zespolonych postaci:
2
)
1
(
2
2
1
2
)
1
(
2
2
1
sin
sin
sin
cos
sin
sin
)
1
sin(
...
sin
)
1
cos(
...
cos
1
n
n
n
n
i
n
i
n
Obliczamy lewą stronę tej równości korzystając kolejno:
- ze wzoru Eulera:
sin
cos
i
e
i
,
- ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego:
q
q
a
S
n
1
1
0
,
- oraz
z
z
z
Im
2
,
2
1
sin
2
sin
2
sin
2
1
cos
2
sin
2
sin
2
1
sin
2
1
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
2
sin
2
1
1
...
1
)
1
sin(
...
sin
)
1
cos(
...
cos
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
n
n
i
n
n
n
i
n
n
e
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
i
n
n
i
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
in
n
i
i
Obie strony równości są więc równe.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
al lin zad3 rozw
al lin zad2 rozw
al lin zad1 rozw
al lin zad4 rozw
al lin zad7 rozw
al lin zad6 rozw
al lin zad3 rozw
al lin zad dom1
al lin zad dom4
al lin zad dom3
al lin zad dom2
regresja lin 2 wzor rozw(2)
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw(1)
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
więcej podobnych podstron