Automatyka i Robotyka

2011/12

Fizyka 1

Materiały do wykładu 4

28 10 2011

⃗

dr

⃗

F

⃗

F =

d ⃗p

dt

dW =

d ⃗p

dt

⋅⃗

dr = ⃗F⋅⃗

dr

m

ϕ

∣ ⃗

dr∣= ds

dW = ⃗

F⋅⃗

dr =F ds cos( ⃗

F , ⃗

dr) = F ds cos ϕ

praca

⃗

F ≠const , ϕ≠const

A

B

l

X

Y

⃗

r

A

⃗

r

B

⃗

d r

i

⃗

F

i

ϕ

i

W

AB (l )

=

∫

A(l )

B

⃗

F⋅⃗

dr =

∫

A(l )

B

F ds cos ϕ

!

praca

⃗

F ≠const

siła zachowawcza

W

AA

=

0

W

AA

=

W

AB (l

1

)

+

W

BA(l

2

)

=

0

l

1

l

2

A

B

siła zachowawcza

W

AA

=

0

W

BA(l

1

)

=

W

BA(l

2

)

B

A

s

l

1

l

2

mg

mg

h

A

B

mg

C

mg

D

s

s

y

x

W

AB

= ⃗

mg⋅⃗h = mg h cos π = mg h(−1)

W

BC

=⃗

mg⋅⃗s = mg scos π

2

=

mg s⋅(0) =0

W

CD

= ⃗

mg⋅⃗h = mg h cos 0 = mg h(1)

W

DA

= ⃗

mg⋅⃗s = mg scos π

2

=

mg s⋅(0) =0

W

AA

=

W

AB

+

W

BC

+

W

CD

+

W

DA

−

mgh+0+mgh+0=0

praca siły ciężkości na drodze zamkniętej (1)

A

B

C

D

a

b

c

d

α

β

γ

δ

⃗

mg

⃗

mg

⃗

mg

⃗

mg

W

AA

=

W

a

+

W

b

+

W

c

+

W

d

y

a

y

b

y

c

y

d

y

W

AA

= −

mg a cos α−mg b cosβ+mg c cos γ+mg d cos δ

W

AA

= −

mg (a

y

+

b

y

)+

mg (c

y

+

d

y

) =

0

praca siły ciężkości na drodze zamkniętej (2)

praca siły tarcia na drodze zamkniętej

A

B

⃗

T

⃗

T

⃗

T

f = cons.

⃗

T

s

W

(

AB)

=⃗

T⋅⃗s = T s cosπ = =−T s

W

(

AA)

=−

Ts−Ts−Ts−Ts = −4T s ≠ 0

C

D

s

s

s

W

(

BC )

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

W

(

CD)

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

W

(

DA)

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

⃗

F = ⃗F (⃗r)

W = ⃗F⋅⃗

Δ

r = −Δ E

p

(⃗r)

siła zachowawcza

zależy

wyłącznie

od położenia

„energia potencjalna” ma sens

wyłącznie

dla sił zachowawczych

dW = ⃗

F⋅⃗

dr = −d E

p

(⃗r)

energia
potencjalna

E

p

funkcja położenia, ciągła,

skalarna

,

mająca ciągłe pochodne, niezależna od czasu

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

E

pA

+Δ

E

p

=

E

pB

E

pA

−

E

pB

=− Δ

E

p

=

W

AB

praca siły zachowawczej

dowolna wartość E

pA

lub E

pB

E

pB

=

E

pA

−

W

AB

praca
siły zachowawczej
na drodze AB

energia
potencjalna
w punkcie B

energia
potencjalna
w punkcie A

mg

s

1

A

B

E

pA

E

pB

E

pB

=

E

pA

−

W

s

1

y

energia potencjalna siły mg

s

2

s

3

E

pB

=

E

pA

−

W

s

2

E

pB

=

E

pA

−

W

s

3

W

s

1

=

W

s

2

=

W

s

3

E

pB

=

const

praca siły tarcia na drodze A-B

A

B

⃗

T

⃗

T

⃗

T

f = cons.

⃗

T

s

W

1( AB)

=−

T s

dla sił tarcia

nie

ma sensu pojęcie energii potencjalnej

C

D

s

s

s

W

2( AB)

=

W

AD

+

W

DC

+

W

CB

=−

T s−T s−T s =−3T s

E

pB

=

E

pA

−

W

1( AB)

=

E

pA

+

Ts

E

pB

=

E

pA

−

W

2( AB)

=

E

pA

+

3Ts

?

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

E

pB

=

E

pA

+Δ

E

p

=

E

pA

−

W

AB

E

pB

=

E

pA

+

mg h>E

pA

y

energia potencjalna siły mg

E

pB

=

E

pA

−

mg h(−1)

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

y

E

pA

=

E

pB

+Δ

E

p

=

E

pB

−

W

BA

E

pA

=

E

pB

−

mg h

E

pA

=

E

pB

−

mg h<E

pB

energia mechaniczna

E

k

=

mV

2

2

energia kinetyczna

E

p

energia potencjalna

E

pA

+

E

kA

=

E

pB

+

E

kB

zasada zachowania energii mechanicznej

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

⃗

V

A

⃗

V

B

E = E

k

+

E

p

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

⃗

V

A

⃗

V

B

zasada zachowania energii mechanicznej

E

pA

+

m V

A

2

2

=

E

pB

+

m V

B

2

2

E

pA

−

E

pB

=

mV

B

2

2

−

mV

A

2

2

E

pA

−

E

pB

=

W

AB

W

AB

=

mV

B

2

2

−

mV

A

2

2

W

AB

>

0⇒

m V

B

2

2

>

mV

A

2

2

W

AB

<

0⇒

m V

B

2

2

<

mV

A

2

2

zasada zachowania energii mechanicznej w polu siły mg

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

y

V

B

V

A

W

AB

=

m V

B

2

2

−

mV

A

2

2

mV

B

2

2

=

m V

A

2

2

+

W

AB

W

AB

= ⃗

mg⋅⃗h = mg h cos π = mg h(−1)

mV

B

2

2

=

m V

A

2

2

−

mgh

V

B

<

V

A