1

Prąd elektryczny I - Zadanie 1

Treść:
Ile wynosi natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący na pierwszej
orbicie atomu wodoru z częstotliwością 6.5

.

10

15

Hz?

Dane:
f = 6.5

.

10

15

Hz

Szukane:
I = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Aby wyliczyć natężenie korzystając z pierwszego wzoru potrzebna nam będzie wartość
ładunku elektronu. Wartość ta jest zawsze stała i wynosi (znajdziesz ją w każdych porządnych
tablicach fizycznych)

Potrzebujemy czas, w jakim elektron okrąża orbitę atomu wodoru, a znajdujemy go
korzystając z tego, że czas ten (tak zwany okres) jest odwrotnością częstotliwości

Zbierając wszystkie powyższe dane, wyliczamy szukane natężenie

Sprawdzamy jednostkę, pamiętając o tym, że herc to odwrotność sekundy

Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron wynosi 1.0413

.

10

-3

A.

2

Prąd elektryczny I - Zadanie 2

Treść:
Przy napięciu 24V przez przewodnik w ciągu 2 minut przepływa ładunek 12C. Ile
wynosi opór tego przewodnika?

Dane:
U = 24 V
t = 2 min = 120 s
Q = 12 C

Szukane:
R = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Szukając oporu przewodnika R skorzystamy ze wzoru na opór elektryczny, czyli inaczej
mówiąc z prawa Ohma. Otóż to prawo mówi, że opór jest liczbowo równy stosunkowi
napięcia U, do którego podłączony jest przewodnik przez natężenie prądu I, które płynie
przez nasz przewodnik.

W zadaniu nie mamy danego natężenia I. Ale wiemy (np. z poprzedniego zadania), że
natężenie to stosunek ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepływa, czyli

Możemy zatem połączyć dwa powyższe wzory i wyliczyć szukany opór

Opór przewodnika wynosi 240 omów.

3

Prąd elektryczny I - Zadanie 3

Treść:
Drut o oporze 8Ω rozciągnięto do długości dwukrotnie większej niż początkowa.
Ile wyniesie opór rozciągniętego drutu, jeżeli podczas rozciągania nie zmieniają
się ani opór właściwy ani gęstość materiału?

Dane:
R = 8 Ω
ρ = const (opór właściwy)
G = const (gęstość)
l' = 2l

Szukane:
R' = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zadanie nie jest takie trudne, jednak łatwo w nim się pomylić.
Na pewno skorzystamy ze wzoru, w którym zarówno występuje opór elektryczny i opór
właściwy

gdzie:
R - opór elektryczny,
ρ - opór właściwy,
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju przewodnika.
Nie mamy danego pola przekroju, a jak wiadomo, skoro przewodnik się wydłuża, to jego pole
przekroju musi się zmniejszyć. A jak liczbowo prezentują się te zmiany? Sprawdzimy to,
korzystając z tego, że pole przekroju przewodnika S razy jego długość l to nic innego, jak
objętość V

Przekształcamy ten wzór...

...i podstawiamy go do wzoru na opór

Powinniśmy się jeszcze zastanowić, czy zmienia się objętość przewodnika. Intuicyjnie
wydaje się, że nie - ale we fizyce wszystko musi być udowodnione. Jak to zrobić? Ano wiemy
jeszcze, że gęstość G materiału (czyli ilorazu masy przez objętość), z którego wykonany jest
przewodnik nie zmienia się. Ze wzoru na gęstość...

4

...wyprowadzamy objętość...

...i wstawiamy to wszystko do wzoru na opór:

A przecież po rozciągnięciu masa drutu na pewno się nie zmieni!

Liczymy więc opór drutu przed rozciąganiem...

i szukany opór po rozciągnięciu:

Wykorzystujemy oczywiście to, że stałe są wartości charakteryzujące przewodnik: opór
właściwy ρ, gęstość G oraz masa m.
Sprawdzimy jeszcze tylko, czy wzór generuje poprawną jednostkę, a co za tym idzie czy jest
poprawny

Opór rozciągniętego drutu wynosi 32 omów.

5

Prąd elektryczny I - Zadanie 4

Treść:
Przy gęstości prądu 10

6

A/m

2

między końcami przewodnika o długości 2m

utrzymuje się różnica potencjałów 2V. Ile wynosi opór właściwy przewodnika?

Dane:
j = 10

6

A/m

2

l = 2 m
U = 2 V

Szukane:
ρ = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy znaleźć opór właściwy rozpatrywanego przewodnika. Cóż począć? Ano trzeba
skorzystać ze wzoru na opór, w skład którego wchodzi opór właściwy ρ

Przekształcamy nasz wzór do postaci, w której wyliczymy szukaną

Oczywiście nie mamy danego oporu R, który możemy zastąpić stosując wzór trzeci

Nie mamy jednak danego natężenia prądu I oraz przekroju poprzecznego przewodnika S. Ale
przecież za pomocą tych wartości wyrażamy gęstość prądu j (wzór pierwszy)

Otrzymany wzór posłużył nam do wyliczenia wartości gęstości prądu (pamiętajmy, że różnica
potencjałów to inaczej napięcie), sprawdźmy jeszcze na wszelki wypadek jednostkę:

Trzeba wiedzieć, że jednostką oporu właściwego jest omometr (Ωm) - i tak nam wyszło.

Opór właściwy rozpatrywanego przewodnika wynosi 10

-6

Ωm.

6

Prąd elektryczny I - Zadanie 5

Treść:
Jakie natężenie wskazuje amperomierz A
na schemacie przedstawionym obok?
Przyjąć R

1

=12Ω, R

2

=4Ω, I

2

=3A.

Dane:
R

1

= 12Ω

R

2

= 4Ω

I

2

= 3A

Szukane:
I = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmujemy oznaczenia tak, jak na rysunku powyżej.
Mamy tu do czynienia z równoległym łączeniem oporów. W takim razie możemy
wywnioskować, że:

Z prawa Ohma wiemy, że

Przekształcając ten wzór otrzymujemy

Zatem dla równoległego połączenia oporów prawdziwym jest

gdzie R jest oporem zastępczym oporów R

1

i R

2

.

Z powyższej zależności wynika między innymi

Wzór na szukane natężenie I przyjmie postać

7

Znajdziemy najpierw opór zastępczy R dla równoległego połączenia kondensatorów

Wyliczamy na koniec szukane natężenie:

Amperomierz powinien wskazać natężenie równe 4 amperom.

Prąd elektryczny I - Zadanie 6

Treść:
W przedstawionym obwodzie napięcie między
końcami opornika R

1

wynosi 4V. Jaką wartość ma

napięcie między końcami opornika R

2

? Przyjąć

R

1

=2Ω, R

2

=3Ω, R

3

=3Ω.

Dane:
R

1

= 2 Ω

R

2

= 3 Ω

R

3

= 3 Ω

U

1

= 4 V

Szukane:
U

2

= ?

Wzory:

Rysunek:

8

Rozwiązanie:
Żeby rozwiązać powyższe zadanie, należy zapoznać się z zasadami równoległego i
szeregowego łączenia oporników.
Najpierw rozpatrzymy natężenie prądu. Ze źródła prądu wypływa prąd o natężeniu I.
Natężenie to przechodzi przez pierwszy opornik, a na połączeniu równoległym rozdziela się
ono na dwa natężenia:
- przy oporniku drugim natężenie I

2

- przy oporniku trzecim natężenie I

3

(patrz rysunek).

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:

A co dzieje się z napięciem? Zgodnie z zasadą szeregowego łączenia oporników napięcie
całkowite dzieli się pomiędzy opornik pierwszy (U

1

) oraz opornik drugi i trzeci. A ponieważ

te dwa ostatnie są połączone równolegle, to oznacza to, że napięcia na nich są identyczne

Z prawa Ohma wiemy, że opór to stosunek napięcia U do natężenia I. Przekształcając ten
wzór otrzymujemy:

Powyższy wzór zastosujemy do naszego równania przedstawiającego rozkład natężenia
prądu:

A ponieważ napięcia na drugim i trzecim oporniku są identyczne, to:

Pozostaje nam teraz wyprowadzić wzór na szukane napięcie U

2

i je wyliczyć

9

Napięcie między końcami opornika R

2

ma wartość 3 V.

Prąd elektryczny I - Zadanie 7

Treść:
Policzyć opory zastępcze dla przedstawionych układów oporników o oporze R
każdy.

Dane:
R

Szukane:
R

Z

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
a)

Najpierw policzymy opory zastępcze szeregowego połączenia oporników 1 i 2 oraz 3 i 4:

Te opory zastępcze tworzą układ równoległy, którego opór zastępczy wynosi:

10

Pozostaje nam wyliczenie oporu zastępczego całego układu oporników (teraz mamy układ
szeregowy)

b)

Jeśli ktoś powie, że powyższy układ sprawia wrażenie trudnego, to ma rację - rzeczywiście
tylko sprawia takie wrażenie. W rzeczywistości zadanie jest banalne, wystarczy zauważyć, że
poniższy układ jest identyczny z powyższym:

Tak więc liczymy opór zastępczy układów równoległych złożonych z oporników 1, 2 i 3 oraz
4 i 5:

Powstaje nam układ szeregowy, którego opór zastępczy wynosi:

11

c)

Najpierw policzymy opór układu równoległego kondensatorów 6 i 7:

Teraz mamy szeregowe układy kondensatorów: 1-2-3, 4-5, 67-8. Liczymy ich opory:

Z powyższych układów utworzył nam się układ równoległy, po wyliczeniu jego oporu
otrzymamy opór zastępczy:

12

d)

Zastanówmy się jak zachowuje się prąd elektryczny. Skoro mamy jednakowe oporniki o
oporze R każdy, to prąd będzie chciał przepływać przez jak najmniejszą liczbę oporników. W
naszym przypadku prąd może przepływać przez jeden z oporników na trzy różne sposoby:

Spróbujmy narysować nasz układ w nieco inny sposób

I w ten sposób zadanie stało się... proste. :) Liczymy opór zastępczy:

13

Prąd elektryczny I - Zadanie 8

Treść:
W układzie przedstawionym na rysunku galwanometr G
nie wskazuje przepływu prądu. Ile wynosi opór R

4

, jeżeli

R

1

=1Ω, R

2

=4Ω i R

3

=3Ω?

Dane:
R

1

= 1 Ω

R

2

= 4 Ω

R

3

= 3 Ω

Szukane:
R

4

= ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na początek definicja:
Galwanometr - elektryczny przyrząd pomiarowy, służący do pomiaru małych natężeń prądu,
napięcia oraz ładunku elektrycznego; urządzenie stosowane jest także jako wskaźnik zaniku
prądu, tzw. wskaźnik zera.

Jeśli galwanometr nie wskazuje przepływu prądu, to znaczy, że napięcie pomiędzy punktami
C i D jest równe zeru. Zatem

Niech potencjał punktu A będzie wyższy niż punktu B. Wtedy rozpływ prądów pokazuje
powyższy rysunek. Napięcia na opornikach są równe:

A wobec faktu, że V

C

= V

D

, to

14

Policzmy, korzystając ze wzoru na opór, jak możemy wyrazić każde napięcie za pomocą
oporu i natężenia prądu:

Z powyższych wzorów możemy zapisać dwie zależności (przyrównujemy te same natężenia):

Czas skorzystać z tego, że U

1

= U

2

i U

3

= U

4

. Wobec tego powyższe dwie równości można

zapisać jako jedną

Szukany opór wynosi:

Aby galwanometr nie wskazywał przepływu prądu, opornik R

4

musi mieć opór 12 omów.

Uwaga wniosek!
Jeżeli warunek

jest spełniony, to prąd nie płynie przez opór (w tym zadaniu galwanometr) łączący punkty C i
D.

15

Prąd elektryczny I - Zadanie 9

Treść:
Trzyżyłową linkę o oporze 10Ω rozpleciono i otrzymane przewody połączono w
jeden szereg. Ile wynosi opór uzyskanego przewodnika?

Dane:
R

1

= 10 Ω

S

1

= 3S

l

1

= l

S

2

= S

l

2

= 3l

Szukane:
R

2

= ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Opór drutu zmieni się wskutek zmiany długości oraz pola powierzchni przekroju
poprzecznego przewodnika. Dlatego skorzystamy z poniższego wzoru

gdzie:
l - długość przewodnika,
S - pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika,
ρ - opór właściwy.
Ponieważ opór właściwy zależy od materiału, z którego wykonany jest przewodnik, to będzie
to wartość, która u nas nie będzie się zmieniać.
Przed rozkręceniem nasz przewodnik miał następujący opór:

Po rozkręceniu przewodów i połączeniu ich szeregowo otrzymamy przewodnik o trzykrotnie

mniejszym przekroju poprzecznym, ale o trzykrotnie większej długości. Zatem:

Opór uzyskanego przewodu wynosi 90 omów.

16

Prąd elektryczny I - Zadanie 10

Treść:
Z drutu oporowego zbudowano szkielet kwadratu wraz z jedną
przekątną (patrz rysunek). Ile wynosi stosunek wypadkowego
oporu R

AC

do R

BD

?

Dane:

Szukane:
R

AC

/ R

BD

= ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że opór każdego boku kwadratu jest równy R. Znajdźmy najpierw opór
przekątnej kwadratu R'.
Spójrzmy na wzór:

gdzie:
R - opór elektryczny przewodnika,
ρ - opór właściwy przewodnika (zależy od materiału, z którego przewodnik jest wykonany),
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju poprzecznego przewodnika.
Oczywistym jest, że wartości ρ i S są identyczne zarówno na bokach, jak i na przekątnej
kwadratu. Ze wzoru widzimy, że opór wtedy jest proporcjonalny do długości przewodnika. W
takim razie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy opór przekątnej R':

Opory R

AC

i R

BD

policzymy posługując się schematem pokazanym na rysunku. Warto

zauważyć, że opór R

AC

jest oporem zastępczym trzech przewodników połączonych

równolegle: R-R, R', R-R. R-R to dwa przewody połączone szeregowo, tak więc ich opór
wynosi 2R. Stąd:

17

Obliczając R

BD

należy zauważyć, że

Zatem na podstawie zadania 8 z tego działu stwierdzamy, że przez przekątną prąd nie płynie!
I to jest właśnie najtrudniejsza część zadania.
Opór R

BD

jest więc zastępczym oporem dwóch przewodników R-R i R-R połączonych

równolegle, zatem

Szukany stosunek oporów wynosi:

18

Prąd elektryczny I - Zadanie 11

Treść:
Jaki opór należy dołączyć równolegle do oporu 24Ω, aby przez taki układ pod
napięciem 12V płynął prąd o natężeniu 2A?

Dane:
U = 12 V
I = 2 A
R

1

= 24 Ω

Szukane:
R

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z prostym obwodem elektrycznym. Spójrzmy na wzór wyrażający
prawo Ohma:

Mówi on, że całkowity opór układu, to iloraz napięcia do natężenia prądu.
Musimy więc znaleźć całkowity (zastępczy) opór układu. Zgodnie z zasadami równoległego
łączenia oporników:

Opór zastępczy R

Z

jest równy zgodnie z powyższym ilorazowi napięcia i natężenia prądu:

Pozostaje nam wyliczyć wartość szukanego oporu. Można od razu podstawiać dane, ale my to
zrobimy w ładniejszy sposób - najpierw wyprowadzimy wzór:

19

Do danego oporu należy dołączyć równolegle opornik o oporze 8 Ω, aby otrzymać prąd o
zadanych parametrach.

Prąd elektryczny I - Zadanie 12

Treść:
Oblicz wartość oporu R

2

, jeżeli R

1

=4Ω. Woltomierz U

1

wskazał napięcie 8V, a U

2

napięcie 2V.

Dane:
R

1

= 4 Ω

U

1

= 8 V

U

2

= 2 V

Szukane:
R

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy szeregowe połączenie oporników. Zatem:

Korzystamy z (***), czyli z tego że natężenie prądu jest wszędzie takie samo. Przekształcając
wzór wynikający z prawa Ohma, otrzymujemy:

Nie przypadkiem tak zrobiliśmy. Możemy teraz wyliczyć opór zastępczy całego układu.
Ponieważ

to...

...a korzystając z (**):

20

Szukany opór możemy wyliczyć teraz na dwa równoważne sposoby.

Pierwszy sposób:
Wykorzystujemy po prostu równanie (*):

Drugi sposób:
Korzystamy z równania wynikającego z (***):

Szukany opornik ma wartość 1 Ω.

Uwaga!
Ktoś może słusznie zauważyć taką rzecz. Dlaczego natężenie prądu jest wszędzie takie samo,
skoro część natężenia idzie do oporników, a część do woltomierzów?
W zadaniu zakładamy, że mamy woltomierz idealny, czyli taki, który ma nieskończenie duży
opór. A taki opór spowodowałby, że natężenie prądu byłoby nieskończenie małe (więcej
znajdziesz w teorii - punkt 19.6).

21

Prąd elektryczny I - Zadanie 13

Treść:
Ile musi być równy opór R

2

, aby napięcia

między punktami AB i BC obwodu były
jednakowe? Przyjąć, że R

1

=11Ω, R

3

=1Ω.

Dane:
R

1

= 11 Ω

R

3

= 1 Ω

Szukane:
R

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Jak Jamnik zazwyczaj rozwiązuje takie zadania? Najpierw z tabelki o szeregowym i
równoległym łączeniu oporników (lub z głowy) wypisuje potrzebne wartości:

Skąd on wie, że akurat te są potrzebne? Z doświadczenia. Jeśli go nie masz, po prostu wypisz
wszystkie wzory. :)
Wzór (*) oznacza, że napięcia na układzie równoległym oporników 1 i 2 oraz na oporniku 3
są równe - to akurat wynika z treści zadania.
Wzór (**) mówi, że natężenie prądu się nie zmienia (szeregowe połączenie oporników).
Natomiast wzór (***) to nic innego, jak opór zastępczy układu równoległego oporników 1 i 2.

Indeks "12" przy oznaczeniach oznaczać będzie, że wartość ta odnosi się do układu
zastępczego równoległego połączenia oporników R

1

i R

2

. Policzmy opór zastępczy tych

oporników zgodnie z (***):

Korzystamy z danych zadania. Mamy dane, zgodnie z (*), że:

Korzystamy ze wzoru na prawo Ohma i przekształcając go odpowiednio, otrzymujemy, że:

A ponieważ natężenia prądu są sobie równe (**), to:

22

Zatem:

Aby napięcia między punktami AB i BC były równe, opór R

2

musi być równy 1.1 Ω.

Prąd elektryczny I - Zadanie 14

Treść:
Znajdź opór R

2

, jeżeli w obwodzie napięcie między

punktami A i B jest równe 2V. Przyjąć U=6V, R

1

=2Ω.

Dane:
U = 6 V
U

AB

= 2 V

R

1

= 2 Ω

Szukane:
R

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z szeregowym łączeniem oporników. W takim przypadku natężenie
prądu w każdym punkcie obwodu jest stałe (I = const), a zatem:

Przekształcając wzór na prawo Ohma, otrzymujemy wyrażenie opisujące wartość natężenia
prądu:

Możemy zapisać więc nasze równanie jako:

gdzie:
R

Z

- opór zastępczy szeregowego układu oporników,

23

U

2

- to inaczej natężenie prądu pomiędzy punktami U

AB

.

Oczywiście opór zastępczy oporników wynosi:

Obliczamy więc nasz szukany opór R

2

(środkowa część równania nie będzie nam potrzebna):

Wartość szukanego opornika wynosi 1 Ω.

Prąd elektryczny I - Zadanie 15

Treść:
Do jakiego napięcia naładuje się kondensator w
obwodzie elektrycznym na rysunku obok? Jaki będzie
ładunek na kondensatorze? Przyjąć U=10V, R

1

=2Ω,

R

2

=3Ω, C=1µF.

Dane:
U = 10 V
R

1

= 2 Ω

R

2

= 3 Ω

C = 1 µF

Szukane:
U

C

= ?

Q

C

= ?

Wzory:

Rysunek:

24

Rozwiązanie:
Powyższy rysunek przedstawia ten sam obwód elektryczny - jeśli tego nie widać od razu,
należy się dokładniej przypatrzeć. :)
Mamy więc układ równoległy kondensatora i opornika 2, a układ ten jest połączony
szeregowo z opornikiem pierwszym.
I teraz potrzebne są nam podstawowe wiadomości o kondensatorach.
Wiemy, że kondensator gromadzi ładunek - nie przepływa więc przez niego prąd. Dlatego
przebieg natężenia prądu I w układzie zaznaczono niebieskimi strzałkami - widzimy, że dla
natężenia prądu oporniki są połączone szeregowo. Dlatego opór zastępczy układu wynosi:

Ponieważ natężenie prądu w układzie szeregowym oporników jest stałe, to możemy zapisać,
że:

Przekształcając wzór na prawo Ohma (wyprowadzamy z niego natężenie I) otrzymujemy:

Naszym zadaniem jest znaleźć napięcie U

BC

. Ponieważ pod tym napięciem znajduje się układ

równoległy kondensatora i opornika drugiego, to napięcia na tych podzespołach będą
identyczne:

gdzie:
U

C

- napięcie, do którego naładuje się kondensator (szukana),

U

2

- napięcie na drugim oporniku.

Korzystamy więc z naszego równania (środkowy człon nie będzie nam potrzebny) do
wyliczenia szukanego napięcia:

25

Wyliczenie drugiej szukanej, czyli ładunku kondensatora, nie powinno sprawić trudności.
Liczymy to ze wzoru na pojemność kondensatora, który przekształcamy do postaci:

Zatem kondensator naładował się do napięcia 6 woltów, a jego ładunek to 6 mikrokulombów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 16

Treść:
Amperomierz o oporze wewnętrznym 1Ω posiada zakres do 3A. Jaki należy
podłączyć równolegle do amperomierza opór, aby jego zakres rozszerzyć do 15A?

Dane:
I

1

= 3 A

I

2

= 15 A

R

A

= 1 Ω

Szukane:
R = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Skoro amperomierz pozwala nam mierzyć natężenie prądu do zakresu I

1

, to napięcie na

amperomierzu wynosi (przekształciłem wzór na prawo Ohma):

Teraz pod to samo napięcie przykładamy zmodyfikowany amperomierz. Dołączyliśmy do
niego równolegle opornik R. Wobec tego opór zastępczy naszego układu wynosi:

26

Natężenie prądu na zmodyfikowanym amperomierzu ma wynosić I

2

, napięcie jest równe

więc:

Przyrównujemy nasze wzory na napięcia i otrzymujemy szukaną wartość oporu:

Aby uzyskać zakres pomiaru do 15 A, należy dołączyć równolegle do amperomierza opornik
o wartości 0.25 Ω.

27

Prąd elektryczny I - Zadanie 17

Treść:
Ile wynosi moc wydzielana na oporniku R

3

? Przyjąć:

U=120V, I=3A, R

1

=20Ω, R

2

=60Ω.

Dane:
U = 120 V
I = 3 A
R

1

= 20 Ω

R

2

= 60 Ω

Szukane:
P

3

= ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Skoro dotarłeś/aś już do tego zadania, bez problemu zauważysz, że obwód na powyższym
rysunku jest identyczny z obwodem na rysunku z treści zadania.
Aby policzyć moc wydzieloną na oporniku R

3

, należy znaleźć napięcie U

3

i natężenie I

3

dla

tego opornika.
Przystępujemy do dzieła.
Źródło prądu daje napięcie U. Zgodnie z zasadami szeregowego łączenia oporników, zostaje
one podzielone na napięcia U

1

i U

23

. Jednocześnie natężenie prądu nie zmieni się:

Możemy zatem wyliczyć napięcie na oporniku pierwszym:

Zatem napięcie U

23

(czyli na układzie oporników połączonych równolegle) wynosi:

Przechodzimy teraz do równoległego układu oporników.

28

Wiemy, że w takim przypadku napięcie nie zmieni się, jednak podzieli się natężenie. Zatem
słuszne są wzory:

Pamiętamy oczywiście, że:

Liczymy natężenie prądu dla opornika drugiego:

Zatem przez opornik trzeci przepływa prąd o natężeniu:

Szukana moc wydzielona na oporniku R

3

wynosi więc:

Prąd elektryczny I - Zadanie 18

Treść:
Grzejnik elektryczny o oporze 12Ω pobierał prąd o natężeniu 10A. Po jakim
czasie grzejnik zużył 10kWh energii?

Dane:
R = 12 Ω
I = 10 A
E = 10 kWh

Szukane:
t = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Co to jest kilowatogodzina (kWh)?
Jest to oczywiście alternatywna jednostka energii. Otóż my przyzwyczailiśmy się do
podawania wartości energii wyrażonej w dżulach (J). Spróbujmy przeliczyć kilowatogodziny
na dżule:

29

Skorzystaliśmy z tego, że moc razy czas daje nam energię (pracę)

Nasz grzejnik ma opór R i pobiera prąd o natężeniu I. Znajdźmy jego moc P. W tym celu
korzystamy z odpowiedniego wzoru na moc:

Teraz szukamy czasu t. Grzejnik zużył W = 10 kWh energii. Przekształcając wzór na moc
otrzymujemy:

W ten sposób możemy wyliczyć szukany czas

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

W ciągu 500 minut grzejnik zużyje 10 kilowatogodzin energii.

Zad19

Treść:
Na końcach drutu oporowego panuje napięcie 3V. Jak należy zmienić pole
przekroju poprzecznego drutu, aby po zmianie napięcia na 15V ilość ciepła
wydzielającego się w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy
niezmienionej długości drutu)?

Dane:
U

1

= 3 V

U

2

= 15 V

Q = const
l = const (długość drutu)
t = const

Szukane:
S

1

/ S

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zmieniając przekrój poprzeczny drutu, zmienimy jego opór R zgodnie ze wzorem:

30

gdzie:
l - długość drutu (const),
S - pole przekroju poprzecznego drutu,
ρ - opór właściwy (też const, bo ta wielkość charakteryzuje materiał, z którego wykonany jest
drut).

Spróbujmy jeszcze wyrazić ciepło (pracę) prądu stałego przepływającego przez nasz drut.
Korzystając z prawa Ohma, możemy je wyrazić na trzy równoważne sposoby:

Nam najbardziej przyda się wzór, w którym jest natężenie U oraz opór R, czyli

Korzystając z naszych rozważań o oporze, wzór na ciepło przyjmie postać:

Przed zmniejszeniem przekroju poprzecznego, gdy panowało napięcie U

1

mieliśmy sytuację

(korzystamy od razu z tego, że W, t, l, ρ = const):

Po zwiększeniu napięcia:

Przyrównujemy oba wzory...

...upraszczamy co się da i otrzymujemy zależność:

31

Aby ilość ciepła w jednostce czasu nie uległa zmianie, należy zmniejszyć przekrój
poprzeczny drutu 25 razy.

Prąd elektryczny I - Zadanie 20

Treść:
Żarówka o mocy 20W przystosowana do napięcia 200V została włączona do
napięcia 100V. Jaką posiada ona moc przy niezmienionej oporności włókna?

Dane:
P

1

= 20 W

U

1

= 200 V

U

2

= 100 V

R = const

Szukane:
P

2

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Indeksem "1" będziemy zaznaczać wielkości charakteryzujące żarówkę, do których jest
przystosowana, a "2" wielkości, w których żarówka pracuje.
Należy znaleźć wzór na moc żarówki, w którym zarówno występuje napięcie U, jak i opór R.
Znając jeden wzór na moc prądu stałego, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory
(korzystając z prawa Ohma). Mamy zatem:

My oczywiście korzystamy z tego trzeciego.
Dla warunków "normalnych" dla żarówki mamy:

Dla żarówki z zadania:

W obu przypadkach korzystamy z tego, że opór R nie zmienia się. Po prawo wyprowadzamy
wzory na opór, które teraz przyrównamy:

32

Możemy więc już znaleźć wartość szukanej mocy

Żarówka przy napięciu 100 woltów posiada moc 5 watów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 21

Treść:
Na którym z oporników w obwodzie prądu stałego
wydzieli się najwięcej ciepła? Przyjąć R

1

=1Ω, R

2

=1Ω,

R

3

=2Ω, R

4

=1Ω.

Dane:
R

1

= 1 Ω

R

2

= 1 Ω

R

3

= 2 Ω

R

4

= 1 Ω

Szukane:
W

MAX

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na ciepło (pracę), możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając
z prawa Ohma:

Będziemy korzystać ze wzoru, w którym występuje zarówno opór R, jaki i napięcie U. A
dlaczego?
Dlatego, że stworzymy sobie teraz układ równoległy oporników 1-2-3 i 4. Wtedy napięcia na
takich opornikach będą identyczne (czas również jest stały - liczymy ciepło w tych samych
jednostkach czasu). Należy więc policzyć opór zastępczy układu oporników 1-2-3:

Liczymy ciepło (pracę) dla układu oporników 1-2-3 i opornika 4:

33

Czyli widzimy, że na opornikach 1-2-3 wydziela się mniej ciepła niż, na oporniku czwartym.



Najwięcej ciepła wydzieli się na oporniku czwartym.

Prąd elektryczny I - Zadanie 22

Treść:
Na którym oporniku podczas przepływu prądu wydzieli
się największa moc? Przyjąć R

1

=1Ω, R

2

=2Ω, R

3

=3Ω,

R

4

=1Ω.

Dane:
R

1

= 1 Ω

R

2

= 2 Ω

R

3

= 3 Ω

R

4

= 1 Ω

Szukane:
P

MAX

= ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na moc prądu, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając z
prawa Ohma:

Rozważmy układ szeregowy oporników 1-2 i 3-4. Policzymy ich opory:

W układzie szeregowym mamy stałe natężenie prądu I, więc przekształcając wzór na prawo
Ohma zauważymy, że:

34

Będziemy mieli teraz do rozważenia dwa równoległe układy oporników, w których napięcie
prądu jest stałe. Mamy więc:

Czyli w grę tylko wchodzą oporniki nr 1 i 4. Ale:

Dlatego też największa moc wydzieli się na oporniku czwartym.

Prąd elektryczny I - Zadanie 23

Treść:
Winda o ciężarze 5000N wznosiła się przez 10 sekund. Na jaką wysokość
wzniosła się winda, jeżeli natężenie prądu w silniku windy wynosiło 10A, a
napięcie 500V?

Dane:
Q = 5000 N
t = 10 s
I = 10 A
U = 500 V

Szukane:
s = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Jak już się domyślacie, w zadaniu trzeba porównać powyższe dwa wzory na pracę.
Jednocześnie przypomnimy sobie parę informacji z dynamiki. :)
Pierwszy wzór na pracę to iloczyn wektora siły, wektora przesunięcia i kąta między nimi.
Winda porusza się w górę, wektory siły działającej i przesunięcia mają te same zwroty oraz
kierunki, więc

35

Zatem wzór na pracę przyjmie postać:

Zakładamy, że siłą działającą jest siła równoważna sile ciężkości, a wtedy zgodnie z I zasadą
dynamiki winda będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Wzór na pracę prądu stałego ma postać:

Należy więc porównać oba wzory na pracę i wyliczyć szukane przesunięcie (droga) s:

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

Zatem winda wzniosła się na wysokość 10 metrów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 24

Treść:
Do obwodu prądu stałego o napięciu 220V włączono silnik elektryczny. Oporność
uzwojeń silnika wynosi 20Ω, a natężenie prądu płynącego przez silnik wynosi 1A.
Ile wynosi moc użytkowa oraz sprawność silnika?

Dane:
U = 220 V
R

S

= 20 Ω

I = 1 A

Szukane:
P

UŻ

= ?

η = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Moc silnika można wyliczyć z trzech alternatywnych wzorów. Mając jeden z nich i stosując
prawo Ohma, otrzymamy dwa pozostałe, tak więc

Mamy obwód elektryczny, do którego podłączony jest silnik. Parametry prądu elektrycznego
określają wartości napięcia U i natężenia I. Korzystając z prawa Ohma, możemy obliczyć
opór:

36

Ale zaraz, my przecież już mamy dany jakiś opór. Owszem, ale to jest tylko opór uzwojenia
silnika i wchodzi on w skład oporu całkowitego R.
No właśnie. Korzystając z oporu całkowitego R, możemy obliczyć moc całego układu:

Mogliśmy skorzystać z innego wzoru na moc, to bez różnicy - zawsze wyjdzie to samo.
A jak obliczyć moc użytkową? Tak samo, tylko że zmieni nam się wartość oporu. Od
całkowitego oporu odejmujemy opór uzwojenia silnika i w ten sposób otrzymamy opór
"użytkowy":

Liczymy więc moc użytkową:

Teraz bez problemu możemy wyliczyć sprawność silnika:

Moc użytkowa silnika wynosi 200 watów, a jego sprawność około 91%.

37

Prąd elektryczny I - Zadanie 25

Treść:
Mierząc sprawność grzałki elektrycznej podczas ogrzewania wody, otrzymano
wynik: η=80%. Ile ciepła w ciągu 5 minut woda pobrała od grzałki, jeżeli moc
prądu płynącego przez grzałkę wynosiła 500W?

Dane:
P = 500 W
η = 80%
t = 5 min = 300 s

Szukane:
W = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Uwaga! Przed rozwiązaniem tego zadania, przyda się zapoznanie z zadaniem poprzednim.
Aby obliczyć ilość ciepła, jakie woda pobrała od grzałki, musimy znaleźć moc użytkową
grzałki. Gdyby sprawność grzałki wynosiła 100%, to moglibyśmy skorzystać już z danej
mocy P, jednak tak nie jest. Zatem korzystamy ze wzoru na sprawność i liczymy moc
użytkową P

UŻ

:

Ilość ciepła znajdujemy korzystając ze wzoru na pracę prądu stałego:

A zatem:

Woda pobrała od grzałki 120 kilodżuli ciepła.