1

NAPRĘŻENIA NORMALNE I ODKSZTAŁCENIA -

LINIOWA TEORIA SPRĘŻYSTA.

Przedmiotem kilku wykładów była nośność graniczna przekrojów
żelbetowych. Zakładało się, że naprężenia i odkształcenia osiągają wartości
graniczne, zależne od właściwości betonu i stali, i na tej podstawie
wyznaczało się graniczny, obliczeniowy moment zginający M

Rd.

Teraz zajmiemy się obliczaniem naprężeń i odkształceń wywołanych przez
mniejszy od granicznego obliczeniowy

moment zginający M

Ed.

. Zakłada się, że

wartość M

Ed.

< M

Rd

jest dana jako wynik obliczeń statycznych.

Jeżeli przyjmiemy, że beton i stal są materiałami sprężystymi, odpowiedź
elementu na taki moment zginający może być aproksymowana przy założeniu,
że:

I. przekrój

nie

jest zarysowany - stosuje się teorię fazy I

(state I, for uncracked

condition)

II. przekrój jest zarysowany - stosuje się teorię fazy

(state II, for fully

cracked condition)

2

Zakładamy, ze prawdziwa jest hipoteza płaskich przekrojów i że beton i stal
mogą być uważane za materiały liniowo sprężyste.

Tę część teorii żelbetu stosuje się do obliczania naprężeń, które są potrzebne do
sprawdzania wymagań ze względu na SLS

N

M

lub

N

M

e =

Oś środka
ciężkości

e - mimosród

Dla danych N i M obliczamy naprężenia i odkształcenia
betonu i zbrojenia w fazie I albo w fazie II.

3

Elementy (odcinki), w których obciążenie wywołuje w betonie naprężenia nie
przekraczające wytrzymałości na rozciąganie rozpatruje się jako nie zarysowane (w
Fazie I). Zwykle obciążenia elementów żelbetowych są na tyle duże, że trzeba te
elementy rozpatrywać jako zarysowane (w fazie II). Teorię fazy I stosuje się przede
wszystkim do obliczeń elementów sprężonych.

Rysy w centralnej części
belki żelbetowej
obciążonej równomiernie
rozmieszczonymi siłami
skupionymi

W fazie I całą długość rozpatrywanego odcinka uważa się za nie zarysowaną: wzory
na naprężenia można stosować do każdego przekroju na tym odcinku..
Teoria „czystej” fazy II, która zostanie tu przedstawiona, dotyczy tylko przekrojów
pokrywających się z rysami i nie opisuje naprężeń i odkształceń między rysami
(hence the term: for fully cracked condition).

4

Najprostszy przykład faz I i II – element rozciągany osiowo

Faza I

N ≤ N

cr,

σ

c

≤ f

ctm

σ

s

Faza II

Faza III

N > N

cr

σ

s

σ

c

s

s

c

c

A

A

N

σ

σ

+

=

Warunki
równowagi

y

s

s

f

A

N <

=

σ

c

cm

s

s

s

s

s

cm

c

c

E

E

E

E

σ

σ

σ

ε

σ

ε

=

⇒

=

=

=

c

e

s

σ

α

σ

=

cm

s

e

E

E

=

α

s

s

A

N

σ

=

y

s

f

=

σ

Zgodność
odkształceń

0

=

c

σ

ctm

c

cr

f

A

N =

N

cr

– siła rysująca (cracking force)

5

∑

+

=

i

si

e

c

I

A

A

A

α

∑

+

=

i

si

e

cc

II

A

A

A

α

α

e

A

s1

α

e

A

si

Beton
ściskany

α

e

A

s1

α

e

A

si

Faza I (for uncracked condition)

Faza II (for fully cracked condition)

Pole przekroju sprowadzonego w
fazie I składa się z całego pola
przekroju betonu i z pola przekroju
zbrojenia pomnożonego przez α

e

Pole przekroju sprowadzonego w fazie II składa
się z pola strefy ściskanej betonu i z pola
przekroju zbrojenia pomnożonego przez α

e

Podstawowe

terminy

Pełzanie uwzględnia się stosując (zamiast E

cm

) efektywny moduł sprężystości betonu

W obu fazach stosunek modułów (the modular ratio)

cm

s

e

E

E

=

α

(

)

0

,

,

1

t

E

E

cm

eff

c

∞

+

=

ϕ

Przekroje sprowadzone

6

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

Rys. 6.1. Odkształcenia ε i naprężenia w betonie σ

c

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

Rys. 6.2

.

Odkształcenia ε i naprężenia w betonie

σ

c

w fazie II

w fazie I

7

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

W fazach I i II (w obu)

Odległość osi środkowej od górnego włókna jest oznaczona przez

x

0

a zasięg strefy

ściskanej przez x (oczywiście wartości tych zmiennych w fazach I i II są różne).
Zbrojenie jest rozmieszczone w n warstwach. Pole przekroju warstwy zbrojenia o
numerze i jest równe

A

si,

a współrzędna tej warstwy jest równa z

i

(i = 1,2…n). Za dodatnie

uważa się naprężenia ściskające w betonie i w zbrojeniu.

Krzywizna κ wynosi

x

r

u

ε

κ

=

=

1

r oznacza tu promień krzywizny a ε

u

odkształcenie na górnej krawędzi

przekroju

(6.1)

8

z

κ

ε

ε

+

=

0

Z hipotezy płaskich przekrojów wynika, że

a z prawa Hooke‘a

.

)

(

0

cm

c

E

z

κ

ε

σ

+

=

=

c

0

0

E

m

c

σ

ε

.

0

cm

c

c

E

z

κ

σ

σ

+

=

Dla z = 0 (na osi środka ciężkości)

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

W fazie i i II

(6.2)

(6.3)

(6.4)

9

Naprężenie w i-tej warstwie zbrojenia

(

)

(

)

i

cm

e

s

i

s

si

si

z

E

E

z

E

κ

ε

α

κ

ε

ε

σ

+

=

+

=

=

0

0

(

)

cm

i

c

e

si

E

z

κ

σ

α

σ

+

=

0

W ten sposób wszystkie naprężenia przedstawiono jako funkcje κ i naprężenia
na osi środkowej σ

c0

. Wartości κ i σ

c0

można wyznaczyć na postawie

warunków równowagi.

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

(6.6)

(6.5)

10

x

0

N

M

ε

s1

h

b

A

s1

A

sn

σ

c

x

=

z

A

s1

σ

s1

ε

ε

u

ε

sn

A

si

σ

c

N

A

dz

b

i

si

si

z

z

c

u

b

=

+

∑

∫

σ

σ

.

M

z

A

dz

z

b

i

i

si

si

z

z

c

u

b

=

+

∑

∫

σ

σ

W fazie I:

z

b

= - (h-x

0

) z

u

= x

0

W fazie II:

z

b

= - (x-x

0

) z

u

= x

0

(N1)

(M1)

11

(

)

(

)

N

E

z

A

dz

b

E

z

i

cm

i

c

si

e

z

z

cm

c

u

b

=

+

+

+

∑

∫

κ

σ

α

κ

σ

0

0

(

)

(

)

M

E

z

z

A

dz

b

z

E

z

i

cm

i

c

i

si

e

z

z

cm

c

u

b

=

+

+

+

∑

∫

κ

σ

α

κ

σ

0

0

N

z

A

dz

b

z

E

A

dz

b

u

b

u

b

z

z

i

i

si

e

cm

z

z

i

si

e

c

=















+

+















+

∫

∑

∫

∑

α

κ

α

σ

0

M

z

A

dz

b

z

E

z

A

dz

b

z

u

b

u

b

z

z

i

i

si

e

cm

i

z

z

i

si

e

c

=















+

+















+

∫

∑

∫

∑

2

2

0

α

κ

α

σ

Podstawiając na miejsce σ

c

i σ

si

wyrażenia (6.3) i (6.6) otrzymuje się

i po wyciągnięciu σ

c0

i κ przed nawias

Drugi składnik wyrażenia (N) i pierwszy składnik wyrażenia (M) są równe. Składnik ten
przedstawia moment statyczny przekroju sprowadzonego względem osi przechodzącej
przez jego środek ciężkości.

(M2)

(N2)

12

N

A

c

=

0

σ

M

J

E

cm

=

κ

Wyrażenie w nawiasie we wzorze (N3) przedstawia pole przekroju sprowadzonego,
a wyrażenie w nawiasie we wzorze (M3) moment bezwładności tego przekroju
względem jego środka ciężkości. Tak więc

N

A

dz

b

u

b

z

z

i

si

e

c

=















+

∫

∑

α

σ

0

M

z

A

dz

b

z

E

u

b

z

z

i

i

si

e

cm

=















+

∫

∑

2

2

α

κ

Ten moment statyczny jest równy zeru, a więc

(M3)

(N3)

13

A

N

c

=

0

σ

J

E

M

cm

=

κ

J

z

M

A

N

c

+

=

σ













=

i

si

z

J

M

A

N

+

e

α

σ

A – pole przekroju sprowadzonego

J - moment bezwładności przekroju sprowadzonego względem osi przechodzącej

przez jego środek ciężkości

Oznaczenia

σ

c0

-

naprężenie w środku ciężkości przekroju

sprowadzonego

α

e

– stosunek modułów sprężystości

κ – krzywizna

14

Przykład 1 – Faza I – Przekrój prostokatny

h

x

0

b

d

α

e

A

s

cm

33

,

28

1800

50

30

5

,

0

45

0

,

15

20

5

,

0

2

2

0

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

+

+

=

s

e

s

e

A

bh

h

b

d

A

x

α

α

2

cm

1800

15

20

50

30

=

⋅

+

⋅

=

+

=

s

e

A

h

b

A

α

Pole przekroju betonu

h = 50 cm, b = 30 cm, d= 45 cm

E

s

= 200000 MPa , E

cm

= 30000 MPa

A

s

= 15 cm

2

(≈ 1% bd)

cm

1500

50

30

2

=

⋅

=

A

4

3

cm

312500

12

50

30

=

⋅

=

J

Pole przekroju sprowadzonego

Dla φ(∞,t

0

) = 2,0

20

30

)

0

,

2

1

(

200

=

+

⋅

=

e

α

1

2

15

(

)

(

)

(

)

(

)

4

2

2

2

0

2

0

3

cm

396700

33

,

28

45

15

20

33

,

28

50

5

,

0

1500

312500

5

,

0

12

=

−

⋅

+

−

⋅

+

=

−

+

−

+

=

x

d

A

x

h

h

b

h

b

J

s

e

α

(

)









−

−

=

J

x

d

M

A

N

e

s

0

1

α

σ

(

)

J

x

h

M

A

N

c

0

1

−

−

=

σ

J

x

M

A

N

c

0

2

+

=

σ

Pole przekroju sprowadzonego jest o około 20% większe niż pole betonu, a
moment bezwładności przekroju sprowadzonego jest o około 27% większy niż
moment bezwładności samego betonu

16

Przykład 2 – Faza II – Przekrój prostokątny przy zginaniu

h

x=x

0

b

α

e

A

s

d

Charakterystyki przekroju betonu

h = 50 cm, b = 30 cm, d = 45 cm

E

s

= 200000 MPa , E

cm

= 30000 MPa

A

s

= 15 cm

2

(≈ 1% bd)

cm

1500

50

30

2

=

⋅

=

A

4

3

cm

312500

12

50

30

=

⋅

=

J

Dla φ(∞,t

0

) = 2,0

20

30

)

0

,

2

1

(

200

=

+

⋅

=

e

α

s

e

s

e

II

II

A

x

b

d

A

x

b

A

S

x

α

α

+

+

=

=

2

5

,

0

Z powyższej zależności wynika równanie kwadratowe ze względu na x.
Rozwiązując to równanie otrzymuje się

17

(

)

ρ

α

ρ

α

ρ

α

ξ

e

e

e

−

+

=

2

2

d

x

=

ξ

d

b

A

s

=

ρ

(

)

2

3

3

x

d

A

x

b

J

s

e

−

+

=

α

Względny zasięg strefy ściskanej

W powyższym wzorze ρ oznacza stopień zbrojenia

Moment bezwładności

J

x

M

c

=

σ

Naprężenie w betonie na górnej krawędzi

Naprężenie w zbrojeniu

(

)

J

x

d

M

e

s

−

−

=

α

σ

Zadanie: Obliczyć σ

c

i σ

s

dla M = 200 kNm

18

Zginanie przy niezerowej sile podłużnej

x = x

0

h

b

α

e

A

s

d

wynika, że zasięg strefy ściskanej jest równy
odległości środka ciężkości przekroju
sprowadzonego od najbardziej ściskanych
włókien.

A

N

c

=

0

σ

Przy czystym zginaniu (N = 0) z zależności

Jeżeli N ≠ 0, to x ≠ x

0.

Naprężenia i odkształcenie w elementach nie
zarysowanych nadal można obliczyć wzorami
ze „złotej tablicy”, ale dla elementów
zarysowanych wzory te są niewystarczające.

h

x

0

b

α

e

A

s

d

x

Czyste zginanie x = x

0

Zginanie przy ściskającej sile
podłużnej

x > x

0

19

W powyższej zależności występują dwie niewiadome x i x

0

. Do wyznaczenia ich

potrzebna jest dodatkowa zależność. Można np. wykorzystać zależność
(naprężenie na dolnej krawędzi strefy ściskanej jest równe zeru):

dla

z = - (x - x

0

)

σ

c

(z) = 0.

Np. odległość od krawędzi do środka
ciężkości przekroju sprowadzonego dla
przekroju prostokątnego jest dana wzorem

s

e

s

e

II

II

A

x

b

d

A

x

b

A

S

x

α

α

+

+

=

=

2

0

5

,

0

h

x

0

b

α

e

A

s

d

x

Z powyższych dwóch zależności otrzymuje się równanie trzeciego stopnia ze
względu na x lub ze względu na x

0

, które można rozwiązać numerycznie, i

następnie zastosować wzory ze „złotej tablicy”.

Proste sposoby przybliżonego obliczania naprężeń w zbrojeniu przedstawiono
w rozdziale dotyczącym SGU.

20

Rozciąganie z małym mimośrodem

Ściany zbiorników walcowych.

Przykłady elementów rozciąganych osiowo

N

M

lub

N

M

e =

Środek
ciężkości

e - mimośród

Ściąg w elemencie o kształcie łuku

21

Rozpatruje się element zginany i jednocześnie rozciągany siłą podłużną.
Efekty obciążenia można przedstawić dwoma równoważnymi sposobami: jako
siłę N i moment M, albo jako siłę N na mimośrodzie e.

Jeżeli siła N leży pomiędzy A

s1

i A

s2

, to po zarysowaniu cały przekrój betonu

jest przecięty rysą i oba zbrojenia A

s1

i A

s2

są rozciągane.

Zwykle zbrojenie składa się z dwóch grup A

s1

i A

s2

.

e

N

e

s2

e

s1

A

s2

A

s1

Dla danych N i M określa się e,

a następnie e

s1

i e

s2

N

M

lub

N

M

e =

Środek
ciężkości

e - mimośród

22

s

s

s

s

d

e

A

N

2

1

1

=

σ

s

s

s

s

d

e

A

N

1

2

2

=

σ

N

e

s2

e

s1

d

s

A

s2

A

s1

s

s

d

e

N

2

s

s

d

e

N

1

Z warunków równowagi (r. momentów względem A

s1

i A

s2

) otrzymuje się siły

w A

s1

i A

s2

, a następnie naprężenia w zbrojeniu

Oczywiście

N

d

e

e

N

d

e

N

d

e

N

A

A

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

=

+

=

+

=

+

2

1

1

2

2

2

1

1

σ

σ

Siła N jest w całości przenoszona przez zbrojenie.

23

Example 3.

T–cross-section in cracked conditions (State II)

x

300

1000

150

450

Given: E

cm

= 27500 MPa,

creep coefficient φ = 2,5

M = 120 kNm

A

s

= 15,71 cm2 (5Φ20)

Required: concrete and steel stresses

MPa

7857

5

,

2

1

27500

1

,

=

+

=

+

=

ϕ

cm

eff

c

E

E

46

,

25

7857

200000 =

=

e

α

Assuming that x ≥ 150 mm (the compression zone depth is greater than the flange thickness:

Effective modulus of elasticity

The modular ratio

The area of transformed cross-section

2

2

m

040

,

0

cm

0

,

400

71

,

15

46

,

25

=

=

⋅

=

s

e

A

α

(

)

x

x

A

30

,

0

145

,

0

040

,

0

30

,

0

30

,

0

00

,

1

15

,

0

+

=

+

+

−

=

24

The first moment of area about the upper edge of the cross-section

The compression zone depth

The second moment of area of the transformed section

Steel stresses (negative for tension)

Concrete stress (upper edge)

(

)

02588

,

0

15

,

0

45

,

0

04

,

0

5

,

0

30

,

0

15

,

0

5

,

0

30

,

0

00

,

1

2

2

2

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

−

=

x

x

S

02588

,

0

145

,

0

15

,

0

145

,

0

30

,

0

02588

,

0

15

,

0

2

2

−

+

⇒

+

+

=

x

x

x

x

x

03656

,

0

02588

,

0

15

,

0

4

145

,

0

2

=

⋅

⋅

+

=

∆

(

)

m

1540

,

0

03656

,

0

145

,

0

15

,

0

2

1

=

+

−

⋅

=

x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4

3

3

4

2

3

2

3

m

10

722

,

4

10

505

,

3

10

652

,

3

553

,

6

969

,

1

154

,

0

45

,

0

040

,

0

3

154

,

0

30

,

0

15

,

0

5

,

0

154

,

0

15

,

0

3

,

0

0

,

1

12

15

,

0

3

,

0

0

,

1

−

−

−

⋅

=

⋅

+

⋅

+

+

=

−

+

+

⋅

−

⋅

⋅

−

+

−

=

J

(

)

MPa

9

,

192

10

722

,

4

154

,

0

45

,

0

120

,

0

46

,

25

3

−

=

⋅

−

−

=

−

s

σ

MPa

914

,

3

10

722

,

4

154

,

0

120

,

0

3

=

⋅

⋅

=

−

c

σ