v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 108

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

VIII. Stateczność

63. Zadanie

Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 63.1. Obliczyć wartości obciążenia krytycznego

kr

P

oraz odpowiadające długości wyboczeniowe elementów ściskanych. Przyjąć EI=const.

Rys. 63.1. Dany układ ramowy

Rozwiązanie metodą przemieszczeń (zakładamy symetryczną postać wyboczenia).

Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowymi kątami obrotu

1

ϕ

i

2

ϕ

.

Rys. 63.2. Momenty przywęzłowe

Z założenia symetrycznej postaci wyboczenia wynika warunek

1

2

ϕ

ϕ

= −

, wystarczy zapisać jedno rów-

nanie równowagi, np. w węźle (1)

( )

1

1

'

A

EI

M

l

α λ ϕ

=

, gdzie

2

Pl

EI

λ

=

12

1

2

1

4

2

2

EI

EI

EI

M

l

l

l

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

=

Równanie równowagi w węźle (1)

( )

1

1

12

1

0 :

'

2

0

A

EI

M

M

M

l

α λ

ϕ

=

+

=

+

=









∑

Niezerowe rozwiązanie

(

)

1

0

ϕ ≠

dla

( )

'

2

α λ = −

Przybliżone rozwiązanie – z zastosowaniem tablicy funkcji

( )

'

α λ

( )

( )

3, 5

'

1, 4682

3, 6

'

2, 0587

λ

α λ

λ

α λ

=

⇒

= −

=

⇒

= −

v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 109

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

.

Rys. 63.3. Liniowa interpolacja

Interpolacja liniowa

2 1.4682

2, 0587 1.4682

0,1

x

−

−

=

,

0, 09

3, 59

x

λ

=

⇒

=

.

Obciążenie krytyczne

2

2

2

12, 98

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

.

Długość wyboczeniowa (efektywna na wyboczenia) elementu ściskanego – długość pręta prostego, które-
go siła krytyczna wg wzoru Eulera równa jest sile w chwili wyboczenia danego elementu ramy.

2

2

2

kr

w

kr

w

kr

EI

EI

EI

l

P

l

l

P

l

P l

π

λ

π

π

λ

=

⇒

=

=

=

Dla danych z zadania otrzymujemy

1

2

0,875

3, 59

A

B

w

w

l

l

l

l

π

−

−

=

=

=

.

64. Zadanie

Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 64.1

. Obliczyć krytyczną wartość obciążenia

kr

P oraz

odpowiadającą długość wyboczeniową elementu ściskanego. Założyć symetryczną postać wyboczenia.
Przyjąć

EI = const.

Rys. 64.1. Dany układ ramowy

Przy założeniu symetrycznej postaci wyboczenia otrzymujemy

1

2

ϕ

ϕ

= −

oraz zerową wartość przesuwu

elementu (1-2).

W rozwiązaniu metodą przemieszczeń wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np.

1

0

M

=

∑

.

Rys. 64.2. Momenty wyjściowe

v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 110

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

1

1

1

3

5

0, 6

A

EI

EI

M

l

l

ϕ

ϕ

=

=

( )

( )

( ) ( )

12

1

2

1

EI

EI

EI

M

l

l

l

α λ ϕ

β λ ϕ

α λ β λ ϕ

=

+

=

−









,

2

Pl

EI

λ

=

Równanie równowagi

( ) ( )

1

1

12

1

0 :

5

0

A

EI

M

M

M

l

α λ β λ

ϕ

=

+

=

−

+

=









∑

.

Niezerowe rozwiązanie występuje jedynie w przypadku, gdy

( ) ( )

5

α λ β λ

−

= −

.

Wykorzystujemy tablice funkcji

( )

α λ

i

( )

β λ

λ

( )

α λ

( )

β λ

( ) ( )

β λ α λ

−

4,7
4,8

-0,6582
-1,0289

3,9839
4,2112

4,6421
5,2401

Z interpolacji liniowej otrzymujemy

0, 06

x

=

, zatem

4, 76

λ

=

.

Rys. 64.3. Liniowa interpolacja

Krytyczna wartość obciążenia

2

2

2

22, 66

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

.

Długość wyboczeniowa elementu (1-2)

0, 66

4, 76

w

l

l

l

l

π

π

λ

=

=

=

.

65. Zadanie

Dana jest belka ciągła przedstawiona na rys. 65.1. Wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia

kr

P oraz

długości wyboczeniowe elementów ściskanych. Przyjąć EI=const.

Rys. 65.1. Dana belka obciążona osiowo

Rozwiązanie metodą przemieszczeń

(

1)

g

n

=

, niewiadomą jest

B

ϕ ϕ

=

.

Parametry

λ

każdego z elementów:

v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 111

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

(A-B)

2

2

1

1

4

2

Pl

Pl

EI

EI

λ

λ

=

=

=

,

(B-C)

2

2

2

Pl

EI

λ

λ

=

=

.

Momenty przywęzłowe.

`( )

BA

EI

M

l

α λ ϕ

=

,

`(2 )

BC

EI

M

l

α λ ϕ

=

Równanie równowagi.

[

]

0 :

`( )

`(2 )

0

B

BA

BC

EI

M

M

M

l

α λ α λ ϕ

Σ

=

+

=

−

=

.

Niezerowe rozwiązanie jest możliwe jedynie w przypadku, gdy

`( )

`(2 )

0

α λ α λ

+

=

.

λ

( )

'

α λ

( )

' 2

α

λ

( )

( )

'

' 2

α λ α

λ

+

1,8
1,9

2,2818
2,1891

-2,0587
-3,6908

0,2231

-1,5017

Z interpolacji liniowej otrzymujemy

1,81

λ

=

.

Rys. 65.2. Liniowa interpolacja

Obciążenie krytyczne

2

2

2

4

13,104

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

.

Długości wyboczeniowe elementów:

(A-B)

1

1, 736

1,81

w

l

l

l

l

π

π

λ

=

=

=

,

(B-C)

2

0,868

2

3, 62

w

l

l

l

l

π

π

λ

=

=

=

.

66. Zadanie

Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 66.1. Obliczyć krytyczną wartość obciążenia

kr

P oraz

odpowiadającą długość wyboczeniową elementu ściskanego.

v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 112

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

Rys. 66.1. Dany układ ramowy

Rozwiązanie metodą przemieszczeń,

1 1

2

g

n

n

n

ϕ

∆

=

+

= + =

.

Rys. 66.2. Siły wyjściowe (momenty i tnące)

Momenty przywęzłowe (gdy

2

Pl

EI

λ

=

):

1

( )

( )

A

EI

EI

M

l

l

α λ ϕ

ν λ

=

−

∆

,

1

3

5

0, 6

B

EI

EI

M

l

l

ϕ

ϕ

=

=

.

Równania równowagi:

[

]

1

1

1

2

0

( ) 5

( )

0

A

B

EI

EI

M

M

M

l

l

α λ

ϕ

ν λ

Σ

=

+

=

⇒

+

−

∆ =

,

1

2

3

0

( )

( )

0

A

EI

EI

T

l

l

ν λ ϕ

δ λ

Σ

=

⇒

−

+

∆ =

,

v. 2010.02.26

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

strona 113

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS

[

]

2

2

3

( ) 5

( )

0

0

( )

( )

( )

EI

EI

l

l

EI

EI

l

l

K

α λ

ν λ

ϕ

ν λ

δ λ

λ





+

−



    





⋅

=

   

∆



    

−









.

Aby istniało niezerowe rozwiązanie musi zachodzić warunek

det

( )

0

K

λ

=

.

[

]

{

}

2

2

4

(

)

( ) 5

( )

( )

0

EI

l

α λ

δ λ ν λ

+

−

=

,

[

]

2

( )

( ) 5

( )

( )

0

f

λ

α λ

δ λ ν λ

=

+

−

=

λ

( )

f

λ

2,6
2,7

2,5889

-2,2551

Rys. 66.3. Liniowa interpolacja

Z interpolacji liniowej otrzymujemy

2, 65

λ

=

.

Obciążenie krytyczne

2

2

2

7, 023

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

.

Długość wyboczeniowa elementu ściskanego

1,186

w

l

l

l

π

λ

=

=

⋅

.