Szczególna teoria względności

Postulaty Einsteina:

I.

Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia.

II.

Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia.

Transformacje Lorentza

y

y

=

'

z

z

=

'

t

t

=

'

'

x

x

ut

= −

y

y

′

=

z

z

′

=

t

t

′

=

x

x

ut

′

=

+

Transformacje Galileusza:

y

y

=

'

z

z

=

'

2

'

xu

t

t

c

γ





=

−









(

)

'

x

x

ut

γ

=

−

y

y

′

=

z

z

′

=

2

'

x u

t

t

c

γ





′

=

+









(

)

'

x

x

ut

γ

′

=

+

Transformacje Lorentza:

2

2

1

1

u

c

γ

=

−

„Skrócenie długości”

0

2

1

l

x

x

′

′

=

−

2

2

1

1

u

c

γ

=

−

0

2

1

(

)

(

)

l

x

ut

x

ut

γ

γ

=

−

−

−

0

2

1

(

)

l

x

x

γ

=

−

2

1

0

2

(

)

1

x

x

l

u

c

−

=

 

−  

 

0

2

1

l

l

u

c

=

 

−  

 

⇒

(

)

2

0

1

/

l

u c

l

=

−

⋅

(

)

'

x

x

ut

γ

=

−

Przykład

•

Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje
wynik 400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi,
jeśli wiadomo, że prędkość statku u = 0.8c

2

2

2

0

1

/

400 1 (0.8 / )

400 1 0.64

240

l

l

u

c

c c

m

=

−

=

−

=

−

=

Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu

'

⊥

=

⊥

l

l

Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami

2

1

2

1

2

1

2

2

x u

x u

t

t

t

t

c

c

γ

γ

′

′









′

′

−

=

+

−

+

















a) Zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie x’ = a i w
chwilach względem układu S’

1

2

t

oraz t

′

′

2

1

2

1

2

1

2

2

(

)

au

au

t

t

t

t

t

t

c

c

γ

γ





′

′

′

′

−

=

+

− −

=

−









Zdarzenia jednoczesne, zachodzące w tym samym punkcie w jednym
inercjalnym u.w. są równoczesnymi w każdym innym układzie
inercjalnym.

(

)

0

2

1

/

t

t

u c

∆

∆ =

−

czas własny

Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami

Przykład

•

Statek kosmiczny wysyła impulsy świetlne trwające wg
astronautów na statku 2x10

-6

s. Jak długo trwają te impulsy wg

obserwatora na Ziemi, jeśli statek porusza się względem Ziemi z
prędkością v=0.6c?

s

x

s

x

c

c

s

x

c

u

t

t

6

6

2

2

6

2

2

0

10

5

.

2

8

.

0

10

2

6

.

0

1

10

2

1

−

−

−

=

=

−

=

−

∆

=

∆

Czas życia mionów

• Miony powstają w górnych

warstwach atmosfery w
wyniku rozpadu pionów

•

Poruszają się z

prędkościami bliskimi
prędkości światła

• Ich czas życia w

„spoczynku”
τ = 2.2x10

-6

s

• W takim czasie powinny

przebyć odległość nie
większą niż

600m

zanim nie

ulegną rozpadowi

•

Tymczasem przebywają one odległość
rzędu

4.8km

µ

π

µ

ν

+

+

→

+

e

e

v

v

µ

µ

+

+

→

+

+

%

S im u lta n e ity

2

'

xu

t

t

c

γ





=

−









)

(

'

)

(

'

2

c

dx

u

dt

dt

udt

dx

dx

−

=

−

=

γ

γ

x

2

x

2

2

x'

v

1

v

1

)

(

)

(

'

'

v

c

u

u

dt

dx

c

u

u

dt

dx

c

dx

u

dt

udt

dx

dt

dx

−

−

=

−

−

=

−

−

=

=

γ

γ

x

2

x

x'

v

1

v

v

c

u

u

−

−

=

x'

2

x'

x

v

1

v

v

c

u

u

+

+

=

Transformacja prędkości

Załóżmy, że pewna cząstka porusza
się z prędkością u wzdłuż osi Ox.
Powiążmy z tą cząstką nowy u.w.

(

)

x

x

ut

γ

′ =

−

Teraz ta cząstka porusza się w
kierunku osi Oy, a ruch jej jest
obserwowany

przez

obserwatora w układzie O’x’

dt

c

dx

u

dt

dt

dy

dy

γ

γ

=

−

=

=

)

(

'

'

2

2

2

y

y'

1

v

'

'

v

c

u

dt

dy

dt

dy

−

=

=

=

γ

Transformacja prędkości

2

2

1

o

m

p

u

u

c

=

−

r

r

Relatywistyczny

pędu

Druga zasady dynamiki

dt

p

d

F

r

r

=

Równoważność masy i energii

2

E

mc

=

2

2

2

0

E

c m c

p

=

+

Pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej, m

0

=0

2

0

E

E

c

p

p

c

=

+

⇒

=

Pęd fotonu:

hv

p

c

=

2

2

0

K

mc

m c

=

−

Skorzystajmy z rozwinięcia :

(

)

(

)

⋅

⋅

⋅

+

−

+

+

=

+

!

2

1

1

1

2

x

n

n

nx

x

n















⋅

⋅

⋅

+













+













+

=

8

3

2

1

1

2

2

2

2

2

0

c

v

c

v

m

(

)

2

1

2

2

0

1

−

−

=

c

v

m

m

2

0

2

2

0

0

2

1

c

m

c

v

m

m

K













−

+

≅

2

0

2

1

v

m

=

























+

≅

2

2

0

2

1

1

c

v

m

Przypadek małych prędkości:

2

0

v

c

 

<<

 

 

Energia kinetyczna

Przykład 1.

Elektron porusza się z prędkością v=0.9c.

Masa spoczynkowa elektronu m

0

=0.511 eV

2

2

0

0.661

T

mc

m c

eV

=

−

=

(

)

2

1

2.2942

1

0.9

γ

=

=

−

⇒

Przykład 2. Synteza trytu

2

2

3

1

1

1

1

1

H

H

H

H

energia

+

→

+

+

13

4.03

6.45 10

energia

eV

J

−

=

=

×

Przykład 3.

Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa o masach
spoczynkowych

m

1

i

m

2

. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.

Energia całkowita układu

2

1

2

Mc

E

E

=

+

pęd:

2

2

1

2

1

2

0

p

p

p

p

+

=

⇒

=

(

)(

)

2

2

2

2

2

2

4

1

1

1

1

2

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

4

2

2

1

2

1

2

1

2

(

)

(

)

E

c m c

p

p

E

m c

E

m c

E

m c

E

E

c m

m

E

E

E

E

c m

m

=

+

⇒

=

−

−

=

−

⇒

−

=

−

−

+

=

−

4

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

(

)

E

E

c m

m

Mc

E

E

Mc

−

=

⋅

−

+

=