Aproksymacja

Zadanie aproksymacji polega na przybliżeniu danej funkcji funkcją „prostszą”. Potrzeba taka

może pojawić się na przykład, kiedy mamy dane wyniki pomiaru eksperymentalnego pewnej

funkcji f opisującej badane przez nas zjawisko fizyczne. Na ogół znamy charakter takiej

funkcji, więc możemy określić pewną klasę funkcji (np. wielomiany), którymi możemy ją

przybliżyć. Zatem mamy dane wyniki pomiaru funkcji f(x

i

) w skończonej liczbie punktów x

i

,

i=1,2,…,N. W tym przypadku będziemy szukać pewnej funkcji h(x) takiej, by wartość

)

(

)

(

x

h

x

f



była jak najmniejsza [1].

Aproksymacja w przeciwieństwie do interpolacji nie wymaga, by wartości funkcji

aproksymacyjnej dokładnie odpowiadały danym wartościom funkcji. Jest to szczególnie

ważne w przypadku, kiedy aproksymujemy wartości zmierzone eksperymentalnie, a więc

obarczone pewnym błędem pomiaru. Żądanie wtedy, by wartości funkcji aproksymacyjnej

były dokładnie takie same jak dane eksperymentalne nie ma sensu. Ponadto interpolacja przy

dużej liczbie węzłów prowadzi do uzyskania wielomianu wysokiego rzędu, co jest dość

kłopotliwe.

Aproksymacja średniokwadratowa

Dane są wartości pewnej funkcji y=f(x), która na zbiorze X punktów x

0

, x

1

,…,x

n

przyjmuje

wartości y

0

,y

1

,…,y

n

. Wartości te sa obarczone pewnym błędem pomiarowym. Zadaniem

aproksymacji średniokwadratowej jest wyznaczenie funkcji F(x), takiej by wyrażenie [2]:















n

i

i

i

i

x

f

x

F

x

w

x

f

x

F

0

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

, gdzie w(x

i

)≥0 dla i=0,1,…,n. Zakładamy, że

funkcja F(x) ma gładki przebieg, co umożliwi zniwelowanie zakłóceń danych błędami

pomiaru. Przyjmijmy układ funkcji bazowych w postaci φ

j

(x), j=0,1,…,m. Poszukujemy

wielomianu w postaci:







m

i

i

i

x

a

x

F

0

)

(

)

(



, gdzie współczynniki a

i

są określone tak, by

funkcja F(x) była jak najlepszym przybliżeniem funkcji f(x).

Oznaczmy więc:

























n

j

m

i

i

i

j

j

m

x

a

x

f

x

w

a

a

a

H

0

2

0

1

0

)

(

)

(

)

(

)

,...,

,

(



.

Nasze zadanie polega więc na znalezieniu minimum funkcji H. W tym celu obliczmy

pochodne cząstkowe (warunek na ekstremum funkcji):

































n

j

j

k

m

i

j

i

i

j

j

k

x

x

a

x

f

x

w

a

H

0

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2





, k=0,1,…,m.

Rozwiązanie tego układu daje nam minimum funkcji H, a więc rozwiązanie zadania

aproksymacji [2].

Jako układ bazowy funkcji możemy przyjąć układ wielomianów:

i

i

x

x



)

(



, i=0,1,…,m.

Mówimy wtedy o aproksymacji średniokwadratowej wielomianami [2]. Dla takiej postaci

bazy układ równań przyjmuje postać:

























n

j

k

j

m

i

i

j

i

j

x

x

a

x

f

0

0

0

)

(

dla k=0,1,…,m.

Zmieniając kolejność sumowania możemy zapisać układ równań w postaci:







m

i

k

ik

i

g

a

0



, dla k=0,1,…,m,

(1)

gdzie:









n

j

k

i

j

ik

x

g

0

,

(2)







n

j

k

j

j

k

x

x

f

0

)

(



.

(3)

Przykład:

Mamy dane wyniki pomiarów:

x

1

3

4

6

8

9

11

14

y

1

2

4

4

5

7

8

9

Znajdź zależność między x i y w postaci ax+by=1.

Rozwiązanie:

Szukamy więc zależności w postaci: y= - ax/b + 1/b.

Wielomian aproksymacyjny jest dany równaniem: y=a

1

x+a

0

, gdzie a

0

=1/b, a

1

=-a/b. Baza

przestrzeni to wielomiany: x

0

, x

1

. Korzystając ze wzorów (1)-(3) możemy obliczyć:

8

0

0

00











n

j

j

n

x

g

56

0

0

1

10















n

j

n

j

j

j

x

x

g

56

0

01









n

j

j

x

g

524

0

2

11









n

j

j

x

g

40

0

0









n

j

j

y



364

0

1









n

j

j

j

x

y



Układ równań jest w postaci:

a

0

g

00

+a

1

g

10

=ρ

0

a

0

g

01

+a

1

g

11

=ρ

1

.

Metodą wyznaczników znajdujemy rozwiązanie: a

0

=6/11, a

1

=7/11. Zatem szukana prosta jest

opisana wzorem: ax+by=1, gdzie b=1/a

0

, a=- a

1

b, więc szukaną prostą można zapisać jako:

y = - (a/b)x+(1/b).

Metoda aproksymacji średniokwadratowej przy aproksymacji wielomianami wyższych

rzędów prowadzi do układu równań źle uwarunkowanego, co oznacza, że małe zaburzenia w

danych wejściowych przekładają się na duże błędy wyniku. Aby uniknąć tego problemu

stosuje się bazę wielomianów ortonormalnych. Szczegółowy opis takiej aproksymacji można

znaleźć w [2; 1].

1. Jankowscy, Janina i Michał. Przegląd Metod i Algorytmów Numerycznych, cz. 1.
Warszawa : Wadawnictwa Naukowo-Techniczne, 1981. ISBN 83-204-0226-3.

2. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. Metody Numeryczne. Warszawa : Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1993. ISBN 83-204-2772-X.