Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

Drgania wymuszone

układów o jednym stopniu swobody

(wymuszenie dowolną funkcją czasu)

materiały do wykładu nr 4

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

2

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Drgania wywołane obciążeniem impulsowym
a) impuls jednostkowy

p

mu

 

2

1

2

1

(

)

t

t

J

pdt

m u

u

m u







 









Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

3

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Drgania wywołane obciążeniem impulsowym
a) impuls jednostkowy

(0)

( )

(0) cos

(

)

sin

(

)

n

n

n

u

u t

u

t

t













 





(0)

0 (0)

1 /

u

u

u

m



  









1

(

)

( )

sin

(

) ,

n

n

h t

u t

t

t

m











 











(

)

1

(

)

( )

sin

(

) ,

n

t

d

d

h t

u t

e

t

t

m



















 







Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

4

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

b) impuls prostokątny

( )

0

o

d

d

p

t

t

mu

ku

p t

t

t









 







faza działania impulsu t  t

d

 

( )

(1 cos

),

st

n

d

o

u t

u

t

t

t









faza drgań swobodnych t  t

d

 





( )

cos

cos

,

st

n

d

n

d

o

u t

u

t

t

t

t

t





















Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

5

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

c) impuls sinusoidalny

sin(

/

)

( )

0

o

d

d

d

p

t t

t

t

mu

ku

p t

t

t











 







faza działania impulsu t  t

d

faza drgań swobodnych t  t

d

/

0.5

d

n

t

T



 

2

1

2

( )

sin

sin

,

;

2

1 (

/ 2 )

n

st

d

o

d

d

n

n

d

T

t

t

u t

u

t

t

t

t

T

T

t





















































 

2

(

/

) cos(

/

)

( )

sin 2

0.5

,

.

(

/ 2 )

1

n

d

d

n

d

st

d

o

n

n

n

d

T

t

t

T

t

t

u t

u

t

t

T

T

T

t









































faza działania impulsu t  t

d

faza drgań swobodnych t  t

d

/

0.5

d

n

t

T



 

1

2

2

2

( )

sin

cos

,

;

2

st

d

o

n

n

n

t

t

t

u t

u

t

t

T

T

T

























 

( )

cos 2

0.5 ,

.

2

st

d

o

n

t

u t

u

t

t

T























Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

6

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

7

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

„krótki impuls”

0.5

d

n

t

T



( )

sin(

)

n

n

J

u t

t

m







0

( )

d

t

J

p t dt





d) przybliżone wyznaczanie przemieszczeń układu dla

tzw. „krótkiego impulsu”

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

8

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Drgania wywołane dowolną siłą wymuszającą

• Całka Duhamela
• Całkowanie numeryczne równań ruchu

Całka Duhamela





0

( )

( )

sin

(

t

n

n

p

u t

t

d

m













 



 

 





1

0

( )

sin

(

n

t

d

d

p

u t

e

t

d

m





















 



Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

9

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Całkowanie numeryczne równań ruchu:

• metoda różnic centralnych
• metoda Newmarka

Metoda różnic centralnych

i

i

i

i

mu

cu

ku

p











 

1

1

1

1

2

2

,

2

i

i

i

i

i

i

i

u

u

u

u

u

u

u

t

t



























 

1

1

1

1

2

2

2

i

i

i

i

i

i

i

u

u

u

u

u

m

c

ku

p

t

t

























 



 

 

1

1

2

2

2

2

2

2

ˆ

i

i

i

i

i

m

c

m

c

m

u

p

u

k

u

t

t

t

t

t

p

k



















































































Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

10

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody



1

ˆ

i

i

ku

p





 

1

0

1

1

1

0

0

2

2

,

2

u

u

u

u

u

u

u

t

t























 

2

1

0

0

0

2

t

u

u

tu

u







 







0

0

0

0

mu

cu

ku

p











0

0

0

0

p

cu

ku

u

m











1

n

t

T







warunek stabilności



1

ˆ

i

i

p

u

k





Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

11

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Algorytm metody różnic centralnych

1. Obliczenia początkowe

0

0

0

0

p

cu

ku

u

m











 

2

1

0

0

0

2

t

u

u

tu

u







 









 

2

2

m

c

k

t

t









 

2

2

m

c

a

t

t









 

2

2m

b

k

t

 



2. Obliczenia dla kroku czasowego i

1

ˆ

i

i

i

i

p

p

au

bu











1

ˆ

i

i

p

u

k





 

1

1

1

1

2

2

,

2

i

i

i

i

i

i

i

u

u

u

u

u

u

u

t

t



























3. Powtórzenie dla następnego kroku czasowego:

zamień i na i + 1, powtórz 2.1, 2.2, 2.3 dla następnego kroku czasowego (i = 0, 1, 2, …).

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2.1

2.2

2.3

[u,v,a]=mrc(m,c,k,p,t,u0,v0)

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

12

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Przykład

Układ o jednym stopniu swobody (m = 0.1 kg, k = 10 N/m, 



= 0.05) poddany jest działaniu siły 

wymuszającej jak na rysunku. Obliczyć metodą różnic centralnych przemieszczenie układu. Krok 
czasowy ∆t = 0.1 s, czas końcowy 1 s,  u(0) = 0, v(0) = 0.

10 rad/s

n

k

m







2

0.1 kg/s

n

c

m

 





1. Obliczenia początkowe

0

0

0

0

p

cu

ku

u

m











   

2

1

0

0

0

2

t

u

u

t u

u







 









 

2

2

m

c

k

t

t









 

2

2

m

c

a

t

t









 

2

2m

b

k

t

 



2. Obliczenia dla kroku czasowego i

1

ˆ









i

i

i

i

p

p

au

bu



1

ˆ





i

i

p

u

k

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

13

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Metoda Newmarka

Warunek stabilności

n

t

T



 

1

1

2

2

n

t

T













1

4





1

2









 

 



 

 

1

1

2

2

1

1

1

0.5

i

i

i

i

i

i

i

i

i

u

u

t u

t u

u

u

t u

t

u

t

u

















 

 

 

















  

































0.551

n

t

T





1

6





1

2





Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

14

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Metoda Newmarka

1

1

1

1

i

i

i

i

mu

cu

ku

p























 

 



 

 

1

1

2

2

1

1

1

0.5

i

i

i

i

i

i

i

i

i

u

u

t u

t u

u

u

t u

t

u

t

u

















 

 

 

















  

































 

 

1

1

2

2

1

1

1

0.5

1

i

i

i

i

i

u

u

u

u

u

t

t

t















































1

i

u



 





 

 

 

1

1

2

2

1

1

1

0.5

1

1

i

i

i

i

i

i

i

u

u

t u

t

u

u

u

u

t

t

t





























 

 

 

















































 

 





1

1

1

1

2

2

0.5

0.5

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

m

m

u

u

u

mu

cu

t cu

cu

cu

cu

t

cu

ku

p

t

t

t

t

t

































































 





















































 

 





1

1

2

2

0.5

0.5

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

m

m

c

k u

u

u

mu

cu

tcu

cu

cu

t

cu

p

t

t

t

t

t





























































 







 



















































1

1

ˆ

ˆ

i

i

ku

p







Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

15

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Algorytm metody Newmarka dla układów liniowych

1. Obliczenia początkowe

0

0

0

0

p

cu

ku

u

m











2. Obliczenia dla kroku czasowego i

3. Powtórzenie dla następnego kroku czasowego: 

zamień i na i + 1, powtórz 2.1 do 2.5 dla następnego kroku czasowego.

1.1

1.2

1.3

2.1

2.2

2.3



 

2

1

k

k

m

c

t

t







 







m

c

a

t













1

1

2

2

b

m

t

c













 











ˆ

i

i

i

i

p

p

au

bu

   









ˆ

i

i

p

u

k



 

1

2

i

i

i

i

u

u

u

t

u

t

















 

 

 



















 

2

1

1

1

2

i

i

i

i

u

u

u

u

t

t







 

 













1

1

1

,

,

i

i

i

i

i

i

i

i

i

u

u

u

u

u

u

u

u

u







  

  

  













1.4

2.4

2.5

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

16

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

Projektowanie konstrukcji o jednym stopniu swobody

obciążonych dynamicznie

( )

mu

cu

ku

p t











( )

z

p

ku

p t

mu

cu















z

p

ku



min

min

max

max

z

z

p

ku

p

ku





max

1

z max

1

min

1

z min

obw

=

dyn

Q

dyn

M

M p

M

M

M Q

M

M p







Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

17

Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody

2 przypadki szczególne:

0

mu

ku







ku

mu

  

2

z

n

p

mu

m

C

kC



 











( )

sin

n

u t

C

t









min,max

z

p

kC

 

b) drgania wymuszone harmonicznie

sin

o

mu

cu

ku

p

t













min,max

(

)

st o

d

u

u

R

 

min,max

min,max

z

o

d

p

ku

p R









a) drgania swobodne bez tłumienia

 





( )

sin

st

d

o

u t

u

R

t

 



