Sformułowanie zadania interpolacyjnego

Danych jest n+1 różnych punktów x

0

, x

1

, ... , x

n

z przedziału [a,b], które nazywamy węzłami

interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach

y

0

= f(x

0

) , y

1

= f(x

1

) , .... , y

n

= f(x

n

).

Zadanie interpolacji polega na znalezieniu funkcji F, zwanej funkcją interpolującą, która w
węzłach x

i

, i = 0, 1, ... ,n , pokrywa się z funkcją f

F(x

i

) = f(x

i

) dla i = 0, 1, ... , n .

Rozważamy zadanie interpolacji liniowej, tj. zadanie w którym funkcja interpolująca przedstawiana
jest w postaci kombinacji liniowej

gdzie

j

, j = 0,1, ... ,n są funkcjami określonymi na przedziale [a,b]. Poszukiwanymi są tutaj

współczynniki kombinacji liniowej a

j

, j = 0, 1, ... ,n. Pytania o istnienie i jednoznaczność funkcji

interpolującej sprowadzają się do tego, czy układ równań liniowych

dla i = 0,1, .... , n (*)

ma rozwiązanie oraz, czy to rozwiązanie jest jedyne.

Zadanie intepolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu L

n

, stopnia nie wyższego

niż n, spełniającego warunki interpolacji

L

n

(x

i

) = f(x

i

) dla i = 0,1, ... ,n .

Wielomian L

n

nazywamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a funkcji f opartym na

węzłach x

0

, x

1

, ... , x

n .

Interpolacja

Oznaczymy

Odpowiedź na powyższe pytania zależy od wyznacznika macierzy A. Jeżeli

,

to układ (*)

ma jednoznaczne rozwiązanie. Znalezienie tego rozwiązania daje funkcję interpolującą.

Interpolacja Lagrange'a

TWIERDZENIE. Zadanie interpolacyjne Lagrange'a na jednoznaczne rozwiązanie.

Wielomian interpolacyjny L

n

można przedstawić w postaci

,

gdzie układ funkcji

0

,

1

, ... ,

n

stanowi bazę przestrzeni W

n

(przestrzeni wielomianów stopnia

nie wyższego niż n).

Rozpatrzymy

(a) bazę naturalną : 1, x , x

2

, ... , x

n

(b) bazę wielomianów Newtona :

,

, j = 1, ... , n

W przypadku (a) mamy do czynienia z postacią naturalną wielomianu interpolacyjnego

F x

( )

0

n

j

a

j



j



x

( )









0

n

j

a

j



j



x

i

 









y

i

A



0

x

0

 



0

x

1

 

.



0

x

n

 



1

x

0

 



1

x

1

 

.



1

x

n

 

.

.

.

.

.

.

.

.



n

x

0

 



n

x

1

 

.



n

x

n

 





























det A

( )

0



L

n

x

( )

0

n

j

a

j



j



x

( )









p

0

x

( )

1

p

j

x

( )

0

j 1



k

x x

k











L

n

x

( )

0

n

j

a

j

x

j















W przypadku (b) współczynniki

a

0

= y

0

oraz a

j

= f

0,1, ... ,j

, j = 1, ... ,n

są ilorazami różnicowymi określonymi poniżej.

Wyrażenia

, . . . . ,

nazywamy ilorazami różnicowymi 1-go rzędu. Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe 2-go rzędu

,

. . . .

Ogólnie iloraz różnicowy rzędu k tworzymy z ilorazów różnicowych rzędu k-1 za pomoca wzoru
rekurencyjnego

Wobec tego

L

n

(x) = y

0

+ f

0, 1

p

1

(x) + f

0, 1, 2

p

2

(x) + .... + f

0,1, ... , n

p

n

(x)

Jest to tzw. postać Newtona wielomianu interpolacyjnego.

Dla n =1 (2 węzły)

Dla n =2 (3 węzły)

Algorytm obliczania n-tego ilorazu różnicowego można zapisać w postaci tablicy trójkątnej

W celu oszacowania błędu interpolacji możemy posłużyć się twierdzeniem

TWIERDZENIE. Jeżeli funkcja f jest klasy C

n+1

([a,b]), to dla

gdzie M

n+1

=

| f

(n+1)

(x)|.

W sformułowanym zadaniu interpolacyjnym wyznaczamy wielomian w oparciu o
dane wartości funkcji f w (n+1) różnych węzłach. Powstaje pytanie, czy wielomian
ten będzie coraz lepiej przybliżał funkcję f wraz ze zwiększeniem liczby węzłów ?
Oczywiście, większa liczba zmierzonych wartości funkcji zawiera w sobie dokładniejszą
informację o tej funkcji.

W przypadku stosowania wielomianów jako funkcji interpolujących, często występuje
zjawisko pogarszania się przybliżenia przy zwiększaniu się liczby węzłów interpolacyjnych.
Dokładniej oznacza to, że ciąg ( L

n

) wielomianów interpolacyjnych nie będzie zbieżny

do funkcji f na przedziale [a,b]. Problemy te nie występują, gdy do interpolacji będziemy
stosować funkcje kawałkami "sklejane" z wielomianów niskich stopni.

f

0 1



y

1

y

0



x

1

x

0



f

n 1



n



y

n

y

n 1





x

n

x

n 1





f

0 1



2



f

1 2



f

0 1





x

2

x

0



f

n 2



n 1





n



f

n 1



n



f

n 2



n 1







x

n

x

n 2





f

i i 1





....



i k





f

i 1



....



i k





f

i ....



i k



1







x

i k



x

i



L1 x

( )

y

0

f

0 1



x

x

0











L2 x() y0 f0 1



x x

0



 





f

0 1



2



x x

0



 



x x

1



 





x

0

x

1

x

2

.

.

x

n 1



x

n

y

0

y

1

y

2

.

.

y

n 1



y

n

f

0 1



f

1 2



.

.

f

n 2



n 1





f

n 1



n



f

0 1



2



.

.

f

n 3



n 2





n 1





f

n 2



n 1





n



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. f

0 1



...



n



















































a

x



b



f x

( )

L

n

x

( )



M

n 1



n

1



(

)



x x

0







x x

1









....



x x

n













max

a x



b

