KOD ZDAJĄCEGO

MMA-P1G1P-021

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Arkusz I

Czas pracy 120 minut

Instrukcja dla zdającego

1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.

Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu

na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.

3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać

ołówkiem.

4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania

prowadzący do ostatecznego wyniku.

5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,

którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.

9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.

10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,

którą wypełnia egzaminator.

Życzymy powodzenia!

ARKUSZ I

MAJ

ROK 2003

Za rozwiązanie

wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie 40 punktów

Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

(Wpisuje zdający przed

rozpoczęciem pracy)

Miejsce

na naklejkę

z kodem

2

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

I

Zadanie 1. (4 pkt

)

Lewa strona równania 1

jest sumą nieskończonego ciągu

geometrycznego o ilorazie

. Z warunku zbieżności mamy

. Zatem dziedziną

równania jest przedział

(

)

.

3

...

...

2

6

4

2

=

+

+

+

+

+

+

n

x

x

x

x

2

x

1

,

1

−

1

2

<

x

Równanie można zapisać w postaci 1

. Stąd 1

.

3

...)

1

(

4

2

2

=

+

+

+

+

x

x

x

3

3

2

=

+ x

Pierwiastkami ostatniego równania są liczby:

3

6

1

−

=

x

,

3

6

2

=

x

należące do dziedziny.

Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby

3

6

1

−

=

x

,

3

6

2

=

x

.

Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie : 1

.

2

...

...

3

2

=

+

+

+

+

+

+

n

x

x

x

x

Egzamin maturalny z matematyki

3

Arkusz

I

Zadanie 2. (4 pkt )

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f .

a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Podaj rozwiązania nierówności

.

0

)

(

≤

x

f

c) Podaj rozwiązania równania

.

3

)

(

=

x

f

-6

2

1

-1

0

4

y

-3

-2

-1

-4

-5

5

1

2

3

x

6

5

4

3

Odp. a) Miejsca zerowe funkcji f : ........................................................................................

b)

Rozwiązania nierówności : ......................................................................................

c)

Rozwiązania równania : ..........................................................................................

Zadanie 3. (4 pkt )

Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie.
a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B

(podaj wynik dokładny).

b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost

wyższy od średniego?

0

1

2

3

4

5

9

wzrost w cm

liczba ch

łopców

1 2 3 4 5 6 7 8

164

165

166

167

168

169

170

171

172

Odp. a) Średni wzrost chłopców z klasy II B jest równy ..............................................

b) Wzrost powyżej średniego ma ................................ chłopców.

4

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

I

Zadanie 4. (3 pkt )

Liczby 102, 105, 108, 111,... są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu
arytmetycznego

. Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz

.

(

n

a

)

81

a

Odp. Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu ma postać ................................

= ............

81

a

Zadanie 5. (5 pkt )

Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm
wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 7 .
Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.

0

Odp. Długość podjazdu jest w przybliżeniu równa
......................................................

Egzamin maturalny z matematyki

5

Arkusz

I

Zadanie 6. (3 pkt )

Ciąg

określony jest wzorem

(

n

a

)





{ }







∈

+

+

=

=

=

+

−

+

0

2

2

1

1

1

2

2

1

\

N

n

dla

a

a

a

a

a

n

n

n

n

Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.
















Odp.

.....................

=

4

a

Zadanie 7. (5 pkt )

]

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji

liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wykresu

funkcji f otrzymanym za pomocą przesunięcia

o wektor u

. Wyznacz miejsce zerowe

funkcji g.

[

2,1

=

G

4

x

1

2

3

3

-3

-2

-1

-1

0

y

2

1

Odp. Miejsce zerowe funkcji g jest równe ..................................................

6

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

I

Zadanie 8. (3 pkt )

Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek
na ubezpieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest
równa 60% przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie
zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł. Wynik podaj
w zaokrągleniu do 1 grosza.

Odp. Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa ..........................................................

Zadanie 9. (3 pkt )

Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan
przedstawiony jest na rysunku. Zakładamy,
że kąty ABC i ECD są kątami prostymi.

A

B

C

D

E

m

16

m

8

m

4

m

10

Odp. Pole działki jest równe .....................................

Egzamin maturalny z matematyki

7

Arkusz

I

Zadanie 10. (2 pkt )

Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych
lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo

wygrania nagrody książkowej jest równe

7

1

. Oblicz, ile jest losów pustych.

Odp. Losów pustych jest ...................................

Zadanie 11. (4 pkt )

Podstawą prostopadłościanu

jest prostokąt o bokach długości :

1

1

1

1

D

C

B

ABCDA

3

=

AD

i

6

=

AB

. Wysokość prostopadłościanu ma

długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą
rachunków, że trójkąt

jest prostokątny.

1

BAD

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny I

1

Schematy punktowania zadań do Arkusza I

Zadanie 1.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie dziedziny równania.
Odp.

(

)

.

1

,

1

−

Dopuszczamy zapis

1

<

x

1

2.

Zapisanie równania w postaci :

.

2

...)

1

(

1

2

=

+

+

+

+

x

x

x

1

3. Zapisanie równania w postaci : 1

.

2

2

=

+ x

1

4.

Wyznaczenie rozwiązania równania.
Odp.

.

5

,

0

=

x

1

Zadanie 2.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wykonanie polecenia a).
Odp. , .

1

−

=

x

5

=

x

1

2.

Wykonanie polecenia b).
Odp.

)

(

∞

+

∪

−

∞

−

∈

,

5

1

,

x

.

1

3.

Wykonanie polecenia c).
Odp. lub

.

0

=

x

4

=

x

Za każde z rozwiązań równania – 1 punkt.

2

Zadanie 3.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie liczby chłopców z klasy II B.
Odp. 15.

1

2.

Obliczenie średniego wzrostu.

15

172

170

2

169

168

3

167

2

166

4

164

2

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

Odp. 167,4 cm.
1 punkt za poprawne odczytanie danych;
1 punkt za wyznaczenie średniej arytmetycznej.

1
1

3.

Podanie liczby chłopców z klasy II B, którzy mają
wzrost wyższy od średniej.
Odp. 7.

1

Zadanie 4.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu

.

( )

n

a

99

3

1

3

102

+

=

−

+

=

n

n

a

n

)

(

,

.

{ }

0

\

N

n ∈

Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu - 1 punkt.

2

2.

Obliczenie wyrazu

.

81

a

Odp.

a

.

342

81

=

1

Zadanie 5.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń.
Jeżeli uczeń nie wykona rysunku, ale wprowadzi
czytelne oznaczenia przyznajemy punkt.

1

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny I

2

2. Obliczenie długości odcinka BC .

Odp. 120 cm.

1

3.

Odczytanie z tablic wartości sinusa kąta o mierze

0

7 .

Odp.

sin

.

1219

,

0

7

0

=

1

4.

Obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie
odpowiedzi.
Odp. 980 cm.

Za zapisanie zależności

AC

BC

CAB

=

∠

sin

- 1 punkt.

2

Za wyznaczenie długości odcinka AB bez wskazanego zaokrąglenia
przyznajemy w sumie 4 pkt.
Przyjęcie innej wartości ( poprawnego przybliżenia) sinusa nie może
stanowić przesłanki do odjęcia punktu.

Zadanie 6.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie wyrazu

.

3

a

Odp.

a

.

4

3

=

Za zapisanie zależności a

przyznajemy 1 punkt.

2

1

0

3

2

a

a

+

+

=

2

2.

Wyznaczenie wyrazu

.

4

a

Odp.

a

.

8

4

=

1

Zadanie 7.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie wzoru funkcji

2

4

: ( )

5

5

f f x

x

=

+

lub
Wyznaczenie współrzędnych obrazów punktów

i

w przesunięciu o wektor .

)

0

,

2

(

−

)

2

,

3

(

u

G

Odp.

(

, (

.

)

1

,

0

)

3

,

5

Po 1 punkcie za wyznaczenie współrzędnych każdego
z obrazów.

2

2.

Zapisanie układu równań

i wyznaczenie

wzoru funkcji

'

'

2
1

x x

y

y

 = −





= −



g

lub
Wyznaczenie wzoru funkcji g, której wykres
przechodzi przez punkty (0,1) i (5,3)

Odp.

1

5

2

)

(

+

= x

x

g

.

Za zapisanie odpowiedniego układu równań
przyznajemy 1 punkt.

2

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny I

3

3.

Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji g.
Odp. .

5

,

2

−

=

x

1

Zadanie 8.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Obliczenie wysokości podstawy wymiaru składek.
Odp.

60

.

856

1121

76

1869

,

,

%

=

⋅

Punkt przyznajemy także za odpowiedź 1121

.

,86 zł

1

2.

Obliczenie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
Odp.

7

.

1394

84

86

1121

5

,

,

%

,

=

⋅

1

3.

Podanie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
Odp. 84

.

gr

zł 14

W odpowiedzi wymagane jest poprawne
zaokrąglenie.

1

Zadanie 9.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Obliczenie pola trójkąta CED.
Odp.

.

2

20m

P

CED

=

∆

1

2.

Obliczenie pola trapezu ABCE.
Odp.

.

2

104m

P

ABCE

=

∆

1

3.

Obliczenie pola działki.
Odp. 124

.

2

m

1

Zadanie 10.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie liczby wszystkich losów.
Odp. 70.

1

2.

Wykonanie polecenia zadania.
Odp. 59.

1

Zadanie 11.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wyznaczenie długości przekątnej

1

AD .

Odp.

5

3

1

=

AD

.

1

2.

Wyznaczenie długości przekątnej

1

BD .

Odp.

9

1

=

BD

1

3.

Uzasadnienie, że trójkąt

jest prostokątny na

podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia
Pitagorasa .

1

BAD

1 punkt przyznajemy za zapisanie równości

2

1

2

1

2

BD

AD

AB

=

+

i jej sprawdzenie, bez

powołania się na odpowiednie twierdzenie.

2

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie

punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.