EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ II (st. zaoczne) - zestaw przyk÷

adowy

Test wielokrotnego wyboru

:

1.

Zbiór f(x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

1 ^ y > xg jest zbiorem

A.

otwartym.

B.

ograniczonym i spójnym.

C.

regularnym.

2.

Równanie z =

p

x

2

+ y

2

opisuje

A.

powierzchni ¾

e sto·

zkow ¾

a.

B.

pó÷

sfer ¾

e.

C.

paraboloid ¾

e.

3.

Je´sli f ma ci ¾

ag÷

e wszystkie pochodne cz ¾

astkowe II rz ¾

edu w otoczeniu punktu p

0

2 R

2

i rf(p

0

) = [0; 0]; to funkcja f

posiada w punkcie p

0

A.

maksimum lokalne, gdy

f

00

xx

(p

0

)

f

00

xy

(p

0

)

f

00

yx

(p

0

)

f

00

yy

(p

0

)

< 0:

B.

ekstremum lokalne, gdy

f

00

xx

(p

0

)

f

00

xy

(p

0

)

f

00

yx

(p

0

)

f

00

yy

(p

0

)

> 0:

C.

minimum lokalne, gdy f

00

xx

(p

0

) < 0 i

f

00

xx

(p

0

)

f

00

xy

(p

0

)

f

00

yx

(p

0

)

f

00

yy

(p

0

)

> 0:

4.

Istnieje dok÷

adnie jedna funkcja zmiennej x uwik÷

ana równaniem

x

2

y

2

+ e

xy

= 1;

której wykres przechodzi przez punkt

A.

(0; 0):

B.

(0; 1):

C.

(1; 0):

5.

Równanie ró·

zniczkowe y

0

=

x
y

jest

A.

równaniem o zmiennych rozdzielonych.

B.

równaniem jednorodnym wzgl ¾

edem x i y:

C.

równaniem liniowym.

6.

Rozwa·

zmy równanie (*): y

0

y = xe

x

. Wówczas rozwi ¾

azanie szczególne równania (*) wyznaczone metod ¾

a przewidy-

wania jest postaci:

A.

'

1

(x) = axe

x

:

B.

'

2

(x) = (ax + b)e

x

:

C.

'

3

(x) = (ax + b)xe

x

:

7.

Rozwa·

zmy równanie (*): y

00

y

0

= 0. Wówczas

A.

'

1

(x) = x jest rozwi ¾

azaniem szczególnym równania (*).

B.

'

2

(x) = 2e

x

jest rozwi ¾

azaniem szczególnym równania (*).

C.

'

3

(x) = Ce

x

; gdzie C 2 R, jest rozwi ¾

azaniem ogólnym równania (*).

8.

Niech D = [0; 1]

[1; 2] oraz I =

ZZ

D

dxdy: Wówczas

A.

I =

1

R

0

2

R

1

dxdy:

B.

I =

1

R

0

2

R

1

dydx:

C.

I = 1:

Pytania otwarte:

9.

Wyznaczy´c gradient rf(1; 1) oraz pochodn ¾

a kierunkow ¾

a f

0

[ 2;1]

(1; 0); je´sli f (x; y) =

p

x + 2y. Poda´c warunek konieczny

istnienia ekstremum lokalnego funkcji trzech zmiennych.

10.

Uzasadni´c, ·

ze zagadnienie

y

0

=

x
y

y(1) = 1

posiada dok÷

adnie jedno rozwi ¾

azanie. Wyznaczy´c to rozwi ¾

azanie.

11.

Obliczy´c ca÷

k¾

e

ZZ

D

(x yx)dxdy, gdy D jest oszarem ograniczonym krzywymi o równaniach: y =

1

x

; y =

1

x

; y = 1; y = 2;

12.

Naszkicowa´c bry÷¾

e V ograniczon ¾

a powierzchniami z =

p

8

x

2

y

2

i z =

p

x

2

+ y

2

: Obliczy´c obj ¾

eto´s´c bry÷

y V: