algebra skrypt dla studentów UW

Materia l do zaj

e´c z algebry liniowej na

Wydziale Zarz

adzania Uniwersytetu

Warszawskiego

J´

ozef Chaber, El˙zbieta Pol i Roman Pol

Komentarz.
Materia l odpowiada programowi zaj

e´

c z algebry liniowej na Wydziale

Zarz

adzania UW i jest oparty na naszym do´swiadczeniu w prowadzeniu tych

zaj

e´

W przewidzianym na zaj

ecia czasie nie ma wiele miejsca na uzasadnia-

nie metod. Wydaje si

e jednak wa˙zne, aby podkre´sla´

c ´scis ly zwi

azek tych

metod z uk ladami r´

owna´

n i eliminacj

a Gaussa. Do l

aczyli´smy, wydzielaj

ac je

tr´

ojk

atami

. . .

, obja´snienia w tym duchu do wszystkich, poza cz

e´sci

dotycz

a wyznacznik´

ow, zagadnie´

n przewidzianych w programie. S

adzimy,

˙ze takie wyja´snienia powinny by´

c latwo dost

epne dla student´

ow, nawet je´sli

w klasie nie ma na nie czasu.

Przyk lady zamieszczone w tek´scie s

a zbli˙zone do zada´

n, jakie przera-

biali´smy w klasie. Za l

aczone zestawy zada´

n dawali´smy studentom do sa-

modzielnej pracy, a nasze kolokwia i egzaminy by ly ´sci´sle powi

azane z tymi

zadaniami.

1. Wektory i macierze, dzia lania algebraiczne i operacje elemen-

tarne na macierzach.

1.1. Przestrze´

n liniowa ~

Wektorem n-wymiarowym nazywamy uporz

adkowany uk lad liczb rzeczy-

wistych x

, x

, . . . , x

, kt´

ory b

edziemy zapisywa´

c w postaci kolumny

x =

















;

nazywamy i-t

a wsp´

o lrz

edn

a wektora ~

Transponowanie ~

oznacza, ˙ze wektor ~

x zapisujemy w postaci wiersza

= [x

, x

, . . . , x

Zbi´

or wszystkich n-wymiarowych wektor´

ow oznaczamy symbolem ~

Wektory z ~

x =

















y =

















dodaje si

e i mno˙zy przez skalary a (tzn. liczby a ∈ R) “po wsp´

o lrz

ednych”

x + ~

y =









+ y









x =

















Przestrze´

n ~

z opisanymi dzia laniami dodawania wektor´

ow i mno˙zenia

wektor´

ow przez skalary jest przestrzeni

a liniow

a. Symbolem ~0 oznaczamy

wektor zerowy w tej przestrzeni, tzn. wektor o wszystkich wsp´

o lrz

ednych

r´

ownych zeru.

1.2. Operacja mno ˙zenia ~

Iloczyn wektora - wiersza przez wektor - kolumn

e tego samego wymiaru,

= [x

, x

, . . . , x

y =

















okre´slamy formu l

y = x

+ x

+ · · · + x

n
i=1

Jest to operacja liniowa:

x + ~

y) = ~

x + ~

y, ~

(a~

x) = a( ~

x), dla ~

w, ~

x, ~

y ∈ ~

, a ∈ R.

Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze ~

y = ~

1.3. Macierze.

Macierz

a o m wierszach i n kolumnach, kr´

otko – (m × n)-macierz

a, na-

zywamy tabliczk

(1)

A =









. . .

. . . a









, a

∈ R.

Macierz A b

edziemy interpretowa´

c na dwa sposoby:

(i) jako uk lad wektor´

ow - wierszy:

(2)

A =

















= [a

, a

, . . . , a

], ~

∈ ~

;

(ii) jako uk lad wektor´

ow - kolumn:

(3)

A = [~a

, ~a

, . . . , ~a

], ~a

















∈ ~

1.4. Macierze jako przekszta lcenia liniowe.

Niech A b

edzie (m × n)-macierz

a zapisan

a w postaci wierszowej (2). Dla

ka˙zdego wektora ~

x ∈ ~

iloczyn A~

x okre´slamy formu l

x =













∈ ~

Iloczyn jest operacj

a liniow

a (zob. 1.2.):

A(~

x + ~

y) = A~

x + A~

y, A(a~

x) = a(A~

x), dla ~

x, ~

y ∈ ~

, a ∈ R.

Macierz A okre´sla wi

ec przekszta lcenie

A : ~

→ ~

przyporz

adkowuj

ace wektorom ~

x ∈ ~

wektory A~

x ∈ ~

, z zachowaniem

operacji dodawania wektor´

ow i mno˙zenia wektor´

ow przez skalary – takie

przekszta lcenia nazywa si

e przekszta lceniami liniowymi (zob. 11).

1.5. Algebra macierzy.

(A) Dodawanie i mno ˙zenie przez skalary.

Sum

e (m × n)-macierzy

A =







. . .

. . . a







, B =







. . .

. . . b







okre´slamy formu l

A + B =







+ b

. . .

+ b

. . . a

+ b







Iloczyn macierzy A przez skalar a ∈ R jest macierz

aA =







. . .

. . . aa







Przyk lad.






0 −1











1 −1
1











2 2
1 0
1 0






1
3






0 −1











1
3

0 −

1
3






(B) Iloczyn (m × n)-macierzy i (n × k)-macierzy.

Niech

A =







. . .

. . . a



















∈ ~

B =







. . . b







= [~b

, . . . ,~b

∈ ~

a macierzami takimi, ˙ze liczba kolumn macierzy A jest r´

owna liczbie

wierszy macierzy B. Iloczyn AB jest (m × k)-macierz

a okre´slon

a formu l

AB =







. . .







tzn. na przeci

eciu i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy AB stoi iloczyn

i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B,

n
l=1

Przy interpretacji A i B jako przekszta lce´

n liniowych B :

→ ~

A : ~

→ ~

, iloczyn AB okre´sla przekszta lcenie liniowe AB : ~

→ ~

kt´

ore jest z lo˙zeniem tych przekszta lce´

(AB)~

x = A(B~

x).

Przyk lady.

1. Niech A =

2 3
4 0

, B =

2 0

3 −1 0

(a) Znale´

z´

c AB

(b) Sprawdzi´

c, ˙ze dla ~

x ∈ ~

, (AB)~

x = A(B~

x).

2. Niech A =

0 1

−1 0

, B =

0 1
1 0

. Pokaza´

c, ˙ze AB 6= BA.

3. Niech C =

1 −1
1 −1

. Sprawdzi´

c, ˙ze C

= CC =

0 0
0 0

sci algebraiczne dzia la´

n na macierzach.

W podanych ni˙zej formu lach zak lada si

e, ˙ze wymiary macierzy pozwalaj

na wykonanie wskazanych operacji na macierzach:

A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA,
A(BC) = (AB)C, a(AB) = (aA)B = A(aB).

Dwie pierwsze regu ly to rozdzielno´s´

c mno˙zenia wzgl

edem dodawania,

trzecia regu la oznacza, ˙ze mno˙zenie macierzy jest l

aczne, a ostatnia wi

a˙ze

operacj

e iloczynu macierzy z operacj

a mno˙zenia macierzy przez skalary. Naj-

mniej widoczna z tych regu l – l

aczno´s´

c mno˙zenia, staje si

e jasna, je´sli in-

terpretuje si

e macierze jako przekszta lcenia liniowe, zob. (B), bo sk ladanie

przekszta lce´

n jest operacj

a l

aczn

Dla ka˙zdego n okre´slamy (n × n)-macierz jednostkow







. ..







w kt´

orej na przek

atnej stoj

a jedynki, a poza ni

a zera. Poniewa˙z I

x = ~

dla ~

x ∈ ~

, przekszta lcenie I

: ~

→ ~

jest identyczno´sci

a. Dla ka˙zdej

(m × n)-macierzy A, I

A = AI

= A.

1.6. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Posta´

c schod-

kowa macierzy.

(I) Operacja elementarna (I)

(i)(k)

na wierszach macierzy A polega na

zamianie i-tego wiersza macierzy A z k-tym.

(II) Operacja elementarna (II)

(i)+a(k)

, gdzie i 6= k, polega na dodaniu do

i-tego wiersza macierzy A wiersza k-tego pomno˙zonego przez skalar a.

(III) Operacja elementarna (III)

c(i)

, gdzie c 6= 0 polega na pomno˙zeniu

i-tego wiersza macierzy A przez skalar c.

Pierwszy niezerowy wyraz wiersza nazywa´

c b

edziemy wyrazem wiod

acym

tego wiersza.

M´

owimy, ˙ze macierz A ma posta´

c schodkow

a, je´sli

(S1) ˙zaden wiersz zerowy macierzy A nie poprzedza wiersza niezerowego,

(S2) wyrazy wiod

ace kolejnych niezerowych wierszy macierzy stoj

a w

kolumnach o rosn

acych numerach.

Wyja´snimy, w jaki spos´

ob dowoln

a m × n-macierz mo˙zna sprowadzi´

c do

postaci schodkowej operacjami elementarnymi typu (I) i (II) na wierszach
tej macierzy. Algorytm, kt´

ory opiszemy, nazywany jest metod

a eliminacji

Gaussa.

Niech A b

edzie (m×n)-macierz

a niezerow

a. Zamieniaj

ac wiersze macierzy

A miejscami (operacja typu (I)) mo˙zna umie´sci´

c jako pierwszy wiersz, w

kt´

orym wyraz wiod

acy stoi w kolumnie o mo˙zliwie najmniejszym numerze

. Otrzymamy macierz









0 . . . 0

. . .

0 . . . 0

. . .

0 . . . 0 a

. . . a









gdzie a

6= 0. Odejmuj

ac kolejno, dla i = 2, 3, . . . , m, od i- tego wiersza

macierzy A

pierwszy wiersz pomno˙zony przez

ij1

1j1

(czyli wykonuj

ac opera-

e (II)

(i)−

aij

a1j

(1)

) otrzymujemy macierz A

, w kt´

orej kolumny o numerach

mniejszych ni˙z j

a zerowe, a jedynym niezerowym wyrazem w kolumnie o

numerze j

jest a









0 . . . 0 a

. . .

0 . . . 0

0
2j

. . .

0
2n

0 . . . 0

0
mj

. . . a

0
mn









Nast

epnie powtarzamy procedur

e dla macierzy powsta lej z A

przez opusz-

czenie pierwszego wiersza, uzyskuj

ac (m × n)-macierz A

, stosujemy proce-

dur

e do macierzy powsta lej z A

przez opuszczenie dw´

och pierwszych wierszy,

otrzymuj

ac (m × n)-macierz A

i po kolejnych analogicznych krokach docho-

dzimy do (m × n)-macierzy w postaci schodkowej.

Przyk lad. Sprowadzi´

c nast

epuj

ace macierze do postaci schodkowej ope-

racjami elementarnymi typu (I) lub (II) :








3 1

6 1

−3 −6 −9 1

3 0


















0 0

2 −1 2

1 3

0 −2 −4

5 7 14

4 5


















−1 −2 −1

1 −2













1 1 −1

0 −1 3 −1 −2
1

1 1






2. Uk lady r´

owna´

n liniowych.

2.1. Uk lady m r´

owna´

n z n niewiadomymi.

Uk ladem m r´

owna´

n z n niewiadomymi nazywamy uk lad

(1)











+ · · · +

+ a

+ · · · + a

= b

gdzie liczby a

i b

a dane, a x

, . . . , x

a niewiadomymi.

Uk lad ten

edziemy zapisywa´

c w postaci macierzowej

(2)

x = ~b,

gdzie

A =







. . .

. . . a







, ~b =













∈ ~

, ~

x =













∈ ~

Je´sli ~b = ~0, to uk lad b

edziemy nazywa´

c jednorodnym.

Oznaczaj

ac kolumny i wiersze macierzy A odpowiednio przez













∈ ~

, ~

= [a

, . . . , a

], ~

∈ ~

to znaczy pisz

A = [~a

, . . . , ~a

] =













mo˙zemy przedstawi´

c uk lad r´

owna´

n (1) w postaci wektorowej

(3)

+ . . . + x

= ~b,

lub te˙z, zapisa´

c go w postaci

(4)











x = b

2.2. Rozwi

azywanie uk lad´

ow r´

owna´

n metod

a eliminacji.

Rozpatrzmy uk lad r´

owna´

n (4). Dla ka˙zdej pary wska´

znik´

ow i 6= k, uk lady

r´

owna´

(

x = b

, oraz

(

x = b

( ~

+ a ~

)

x = b

+ ab

a r´

ownowa˙zne, tzn. maj

a ten sam zbi´

or rozwi

aza´

Wynika st

ad, ˙ze je´sli z uk ladem r´

owna´

n (2) zwi

a˙zemy macierz [A,~b],

dopisuj

ac do A kolumn

e ~b, a nast

epnie przekszta lcimy [A,~b] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do postaci [A

,~b

], to uk lad r´

owna´

(5)

x = ~b

edzie r´

ownowa˙zny z uk ladem wyj´sciowym (2).

Metoda eliminacji polega na sprowadzaniu macierzy [A,~b] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do macierzy w postaci schodkowej [A

,~b

] i opisaniu

zbioru rozwi

aza´

n uk ladu (5) (identycznego ze zbiorem rozwi

aza´

n uk ladu (2)).

Dla podkre´slenia, ˙ze w macierzy [A,~b] ostatnia kolumna gra rol

e inn

a, ni˙z

pozosta le, zob. (3), b

edziemy zapisywa´

c t

e macierz w postaci [A | ~b].

Niech

(6)

| ~b

] =









T
1

T
m









a wi

ec (5) jest uk ladem r´

owna´

(7)

x = c

, i = 1, . . . , m,

i za l´

o˙zmy, ˙ze macierz [A

| ~b

] jest schodkowa.

Mo˙zliwe s

a dwa przypadki:

(A) dla pewnego i, ~

= ~0, ale c

6= 0 – w´

owczas i-te r´

ownanie ~0

x = c

jest sprzeczne, a zatem uk lad r´

owna´

n (5) nie ma rozwi

aza´

(B) sytuacja opisana w (A) nie ma miejsca – w´

owczas uk lad r´

owna´

n (5)

jest niesprzeczny i cofaj

ac si

e od ostatniego niezerowego r´

ownania w (7) do

pierwszego, mo˙zna wyznaczy´

c wszystkie rozwi

azania.

Opiszemy dok ladniej przypadek (B). Niech ~

, . . . , ~

a niezerowy-

mi wierszami macierzy A

i niech wyrazy wiod

ace kolejnych wierszy ~

, . . . , ~

stoj

a w kolumnach o numerach j

< j

< . . . < j

Uk lad r´

owna´

n (7) nie nak lada ˙zadnych ogranicze´

n na zmienne x

z in-

deksami r´

o˙znymi od j

, . . . , j

– s

a to zmienne wolne, kt´

ore traktujemy jako

parametry rozwi

aza´

Rozwi

azywanie uk ladu (7) zaczynamy od r´

ownania ~

x = c

, wyzna-

czaj

ac zmienn

a x

w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych – parametr´

ow x

gdzie j > j

. Nast

epnie z r´

ownania ~

T
r−1

x = c

r−1

wyznaczamy zmienn

a x

r−1

w zale˙zno´sci od zmiennych x

o indeksach j > j

r−1

, i podobnie, wyznaczamy

kolejne zmienne x

r−2

, . . . , x

. W rezultacie, ka˙zda zmienna x

wyznaczona

jest w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych x

z indeksami j > j

. Przypomnij-

my, ˙ze zmienne x

dla j < j

a tak˙ze zmiennymi wolnymi.

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy uk lad r´

owna´

n jest niesprzeczny i je´sli tak,

opisa´

c wszystkie jego rozwi

azania w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych – para-

metr´

ow.











+ x

= 3

−2x

+ 2x

+ x

= 4

−

+ x

= 1











− 2x

−

= −2

+ 3x

−3x

− 2x











− 2x

−x

+ 4x

= −1

+ 4x











+ 3x

+ 2x

+ 3x

+ 4x

= 5

+ 2x

+ 3x

= 4

+ 2x

+ 3x

+ 2x

= 0

+ 7x

+ 3x

+ 2x

= 1

3. Podprzestrzenie liniowe przestrzeni ~

, liniowa niezale ˙zno´

s´

wektor´

ow, bazy, przestrze´

n zerowa N (A) i obraz R(A) macierzy A.

3.1. Kombinacje liniowe wektor´

ow.

Kombinacjami liniowymi wektor´

ow ~

, . . . , ~

∈ ~

nazywamy wektory

postaci

(1)

v = t

+ . . . + t

n
j=1

, t

∈ R.

Niepusty zbi´

or wektor´

ow V ⊂ ~

jest przestrzeni

a liniow

a, je´sli ka˙zda

kombinacja liniowa wektor´

ow ~

∈ V jest elementem V .

Dla ustalonego uk ladu wektor´

ow ~

, . . . , ~

∈ R

, zbi´

or Lin(~

, . . . , ~

)

wszystkich kombinacji liniowych (1) jest przestrzeni

a liniow

a; nazywamy

a przestrzeni

a rozpi

a na wektorach ~

, . . . , ~

, albo pow lok

a liniow

a tego

uk ladu wektor´

ow.

3.2. Liniowa niezale ˙zno´

s´

c wektor´

ow.

Uk lad wektor´

ow ~

, . . . , ~

∈ ~

jest liniowo niezale˙zny, je´sli uk lad r´

owna´

(2)

+ . . . + x

= ~0

ma tylko trywialne rozwi

azanie x

= x

= . . . = x

= 0. Oznacza to, ˙ze w

uk ladzie r´

owna´

n liniowych zapisanym formu l

a (2) nie ma zmiennych wolnych,

ec dla dowolnego ~b ∈ Lin(~

, . . . , ~

) (nie tylko dla ~b = ~0), uk lad r´

owna´

(3)

+ . . . + x

= ~b

ma dok ladnie jedno rozwi

azanie.

Uwaga. Uk lad wektor´

ow ~

, . . . , ~

∈ ~

jest liniowo niezale˙zny wtedy

i tylko wtedy, gdy po sprowadzeniu macierzy [~

, . . . , ~

| ~0] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do macierzy w postaci schodkowej, otrzymuje si

macierz, w kt´

orej wyraz wiod

acy i-tego wiersza stoi w i-tej kolumnie, dla

i = 1, 2, . . . , r, a pozosta le wiersze s

a zerowe.

Je´sli (2) ma nietrywialne rozwi

azania, to uk lad wektor´

ow ~

, . . . , ~

na-

zywamy liniowo zale˙znym.

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy dany uk lad wektor´

ow jest liniowo niezale˙zny.

1. ~








−1








, ~








1
1
0
1








, ~








2
1

−2








2. ~








2
1
0

−1








, ~








−1

1
0








, ~








1
1
1
2








, ~








−2

−3








Twierdzenie. Ka˙zda przestrze´

n liniowa V ⊂ ~

jest rozpi

eta na pew-

nym liniowo niezale˙znym uk ladzie wektor´

ow ~

, . . . , ~

, gdzie r ≤ m.

Konstruujemy uk lad ~

, ~

, . . . wektor´

ow w V wybieraj

ac najpierw

6= ~0, a potem kolejno ~v

6∈ Lin(~v

, . . . , ~

i−1

) dla i > 1. Z Uwagi wynika,

˙ze po ka˙zdym kroku konstrukcji mamy uk lad liniowo niezale˙zny, a liczba

wyst

epuj

acych w tym uk ladzie wektor´

ow (r´

owna liczbie niezerowych wierszy

odpowiedniej macierzy w postaci schodkowej) nie jest wi

eksza ni˙z m (liczba

wierszy tej macierzy). Zatem dla pewnego r ≤ m wyb´

or nast

epnego wektora

r+1

nie b

edzie mo˙zliwy, czyli Lin(~

, . . . , ~

) = V .

3.3. Bazy w przestrzeniach liniowych V ⊂ ~

Uk lad wektor´

ow ~

, . . . , ~

w V jest baz

a przestrzeni liniowej V ⊂ ~

je´sli V = Lin(~

, . . . , ~

), oraz uk lad ~

, . . . , ~

jest liniowo niezale˙zny.

R´

ownowa˙zne okre´slenie bazy ~

, . . . , ~

w V : ka˙zdy wektor ~

v ∈ V zapisuje

e jednoznacznie jako kombinacja liniowa ~

v = t

+. . .+t

(wsp´

o lczynniki

, . . . , t

interpretuje si

e jako wsp´

o lrz

edne wektora ~

v w bazie ~

, . . . , ~

Uk lad wektor´

ow ~

, ~

, . . . , ~

, gdzie























∈ ~

, . . . , ~

] = I

jest baz

a w ~

; nazywa´

c j

a b

edziemy baz

a standardow

a w ~

Niech V = Lin(~a

, ~a

, . . . , ~a

) b

edzie przestrzeni

a rozpi

a na uk ladzie

wektor´

ow w ~

. Opiszemy, w jaki spos´

ob mo˙zna wybra´

c wektory ~a

, . . . , ~a

z tego uk ladu, aby otrzyma´

c baz

e V , a ponadto, jak zapisa´

c ka˙zdy z pozo-

sta lych wektor´

ow ~a

jako kombinacj

e liniow

a poprzedzaj

acych go wektor´

wybranych.

Macierz A = [~a

, . . . , ~a

], kt´

orej kolumnami s

a wektory z danego uk ladu,

sprowadzamy operacjami elementarnymi na wierszach do postaci schodkowej

(4)

[~b

, . . . ,~b

Niech j

< . . . < j

a numerami kolumn, w kt´

orych stoj

a wyrazy

wiod

ace niezerowych wierszy macierzy (4). W´

owczas uk lad wektor´

(5)

, . . . , ~a

jest baz

a V .

Aby zapisa´

c dowolny wektor ~a

, i 6= j

, . . . , j

, jako kombinacj

e liniow

poprzedzaj

acych go wektor´

ow z uk ladu (5), zwi

azujemy z macierz

a schod-

kow

a (4) uk lad r´

owna´

(6)

+ . . . + x

= ~0.

W uk ladzie (6) zmienne x

dla j 6= j

, . . . , j

a wolne, przyjmijmy x

−1, oraz x

= 0 dla pozosta lych zmiennych wolnych, a nast

epnie wyznaczmy

z uk ladu (6) warto´sci s

, s

r−1

, . . . , s

pozosta lych zmiennych (zauwa˙zmy, ˙ze

dla j

> i, s

= 0).

W´

owczas

(7)

= s

+ . . . + s

, gdzie j

< i.

Opisana procedura wyboru bazy z uk ladu rozpinaj

acego przestrze´

n V

odpowiada konstrukcji z dowodu Twierdzenia w 3.2. Dla uzasadnienia tej
procedury rozpatrzmy uk lad r´

owna´

(8)

+ . . . + x

= ~0.

Uk lad (8) jest r´

ownowa˙zny uk ladowi (6), bo macierz [~b

, . . . ,~b

| ~0] otrzymuje

e z macierzy [~a

, . . . , ~a

| ~0] w wyniku operacji elementarnych na wierszach.

Znajduj

ac s

, . . . , s

tak, ˙ze −~b

+. . .+s

= ~0 (i s

= 0 dla j

> i),

zapewniamy wi

ec (7). W szczeg´

olno´sci, dla ka˙zdego i, ~a

∈ Lin(~a

, . . . , ~a

ad V = Lin(~a

, . . . , ~a

Liniowa niezale˙zno´s´

c uk ladu (5) wynika z Uwagi w 3.2, bo w macierzy

schodkowej [~b

, . . . ,~b

| ~0] wyraz wiod

acy i-tego wiersza stoi w i-tej kolumnie

dla i = 1, . . . , r, a pozosta le wiersze s

a zerowe.

Przyk lad. Z danego uk ladu wektor´

ow wybra´

c baz

e przestrzeni rozpi

etej

na tym uk ladzie i zapisa´

c ka˙zdy z pozosta lych wektor´

ow tego uk ladu jako

kombinacj

e liniow

a poprzedzaj

acych go wektor´

ow wybranych.








1
1
2

−1








, ~a








1
2
1
1








, ~a








1
4

−1








, ~a








1
0
4

−1








, ~a








2
5
0
2















6
4
4
2








, ~a








3
2
2
1








, ~a








2
1
3
7








, ~a








3
2
2
3








, ~a








4
3
1
2








Twierdzenie. Ka˙zda przestrze´

n liniowa V ⊂ ~

ma baz

e, ka˙zdy liniowo

niezale˙zny uk lad wektor´

ow w V mo˙zna uzupe lni´

c do bazy V i ka˙zde dwie bazy

w V maj

a tyle samo element´

ow.

Pierwsza cz

e´s´

c tezy wynika z Twierdzenia w 3.2, a druga z nast

epuj

acej

obserwacji: je´sli V jest rozpi

eta na uk ladzie wektor´

ow ~a

, . . . , ~a

, ~

, . . . , ~

wektory ~a

, . . . , ~a

a liniowo niezale˙zne, to Uwaga w 3.2 zapewnia, ˙ze wy-

bieraj

ac z tego uk ladu baz

e V nie usuniemy ˙zadnego z wektor´

ow ~a

Je´sli mamy teraz dwie bazy ~

, . . . , ~

, oraz ~

, . . . , ~

w przestrzeni V ,

to zgodnie z t

a obserwacj

a, kolejno: wybieraj

ac z uk ladu ~

, ~

, . . . , ~

baz

V , dopisuj

ac na pocz

atku wybranej bazy ~

i wybieraj

ac z tego uk ladu baz

V , a nast

epnie powtarzaj

ac t

e procedur

e dla wektor´

ow ~

, ~

, . . ., po k kro-

kach dostajemy baz

e ~

, ~

k−1

, . . . , ~

, ~

, . . . , ~

przestrzeni V . Za ka˙zdym

razem, dopisuj

ac ~

i wybieraj

ac baz

e, zmniejszamy liczb

e wektor´

ow ~

w ba-

zie (bo dopisuj

ac do bazy wektor ~

dostajemy uk lad liniowo zale˙zny – wektor

daje si

e zapisa´

c jako kombinacja liniowa rozszerzonego uk ladu wektor´

na dwa r´

o˙zne sposoby). W rezultacie, w q krokach usuwamy co najmniej q

wektor´

ow ~

, wi

ec q ≤ r i z symetrii za lo˙ze´

n, tak˙ze r ≤ q.

Wymiarem dimV przestrzeni liniowej V ⊂ ~

nazywamy liczb

e ele-

ment´

ow dowolnej bazy w V .

Z Twierdzenia wynika, ˙ze je´sli V ⊂ W ⊂ ~

a przestrzeniami liniowymi,

to dimV ≤ dimW . Je´sli ponadto dimV = dimW , to V = W .

3.4. Przestrze´

n zerowa N (A) i obraz R(A) macierzy A.

Przestrze´

n zerowa (m × n)-macierzy A,

(9)

N (A) = {~

x ∈ ~

: A~

x = ~0}

jest przestrzeni

a liniow

a w ~

z lo˙zon

a z rozwi

aza´

n jednorodnego uk ladu

r´

owna´

n A~

x = ~0.

Zapiszmy macierz A w postaci kolumnowej

(10)

A = [~a

, . . . , ~a

∈ ~

i przypomnijmy (zob. 2.1), ˙ze

(11)

x = x

+ . . . + x

x =













∈ ~

Przestrze´

(12)

R(A) = {A~

x :

x ∈ ~

} = Lin(~a

, . . . , ~a

) ⊂ ~

rozpi

a na kolumnach macierzy A nazywamy obrazem macierzy A.

Baz

e w przestrzeni R(A) mo˙zna znale´

z´

c metod

a opisan

a w 3.3. Aby

znale´

z´

c baz

e w przestrzeni N (A), przyjmijmy oznaczenia z 3.3 i rozpatrzmy

uk lad r´

owna´

n (6).

Dla ka˙zdego i ∈ {1, . . . , n} \ {j

, . . . , j

} wyznaczmy

rozwi

azanie ~

uk ladu (6), przyjmuj

ac x

= 1, oraz x

= 0 dla pozosta lych

zmiennych wolnych x

. Uk lad n − r wektor´

ow ~

, i ∈ {1, . . . , n} \ {j

, . . . , j

}

jest baz

a przestrzeni zerowej N (A) macierzy (10).

Niech I = {1, . . . , n} \ {j

, . . . , j

} oznacza zbi´

or wszystkich zmiennych

wolnych uk ladu (6). Rozwa˙zmy wektor ~

w = Σ

i∈I

acy kombinacj

a li-

niow

a wektor´

ow ~

Wektor ~

w jest jedynym rozwi

azaniem (6) maj

acym

zmienne wolne x

= t

dla i ∈ I. Ka˙zde rozwi

azanie (6) mo˙zna wi

ec jed-

noznacznie zapisa´

c jako kombinacj

e liniow

a wektor´

ow ~

, i ∈ I. Poniewa˙z

uk lad r´

owna´

n (6) jest r´

ownowa˙zny uk ladowi (8), uk lad wektor´

ow ~

, i ∈ I

jest baz

a N (A), zob. (9) i (11).

Poniewa˙z, zgodnie z (5), dimR(A) = r, otrzymujemy formu l

(13)

dimN (A) + dimR(A) = n.

Przyk lad. Znale´

z´

c baz

e przestrzeni zerowej N (A) macierzy A, gdzie

1. A =






1 1 0 1 0

−1 0 1 0 1

1 1 1 0 1






2. A =








−2 4

8 12 −12 8

−1

4 4

−6 8








3.5. Rz

ad macierzy.

edem macierzy A nazywamy liczb

e rankA = dimR(A).

Rozpatrzmy uk lad r´

owna´

(14)

x = ~b.

Zgodnie z 2.1, dla A = [~a

, . . . , ~a

] uk lad (14) mo˙zna zapisa´

c w postaci

+ . . . + x

= ~b.

Zatem uk lad r´

owna´

n (14) ma rozwi

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy ~b ∈ R(A),

co mo˙zna te˙z wyrazi´

c formu l

(15)

rankA = rank[A | ~b].

Niech ~

, . . . , ~

edzie baz

a przestrzeni zerowej N (A) macierzy A. Je´sli

zachodzi (15), mo˙zna wybra´

c wektor ~

v taki, ˙ze A~

v = ~b. W´

owczas dowolne

rozwi

azanie uk ladu (14) zapisuje si

e jednoznacznie w postaci

(16)

x = ~

v + t

+ . . . + t

Istotnie, je´sli A~

x = ~b, to A(~

x − ~

v) = ~0, tzn. ~

x − ~

v ∈ N (A), a wi

x − ~

v zapisuje si

e jednoznacznie jako kombinacja liniowa wektor´

ow z bazy

, . . . , ~

Przyk lad. Wyja´sni´

c, czy uk lad r´

owna´

n A~

x = ~b jest niesprzeczny i je´sli

tak, zapisa´

c jego rozwi

azanie og´

olne w postaci (16), gdzie ~

, . . . , ~

jest

baz

a przestrzeni zerowej N (A), a t

, . . . , t

a parametrami.

1. A =






3 1

12 18 9 12

9 5






, ~b =











2. A =








2 2 4 4 −4
1 4 2 2

0 2 0 0

1 6 2 2








, ~b =








0
3
3
6








3. A =








1 1 −1 1 0
1 3

2 2 5

0 0

5 0 5

2 2

3 2 5








, ~b =








0
0
1
1








Uwaga 1. Je´sli A jest (m × n)-macierz

a i B jest (n × k)-macierz

a, to

R(AB) ⊂ R(A) i w szczeg´

olno´sci

(17)

rank(AB) ≤ rankA.

Uwaga 2. Je´sli macierz B powstaje z macierzy A w wyniku operacji

elementarnych na wierszach, to A i B maj

a identyczne rz

edy. Istotnie, z

r´

ownowa˙zno´sci uk lad´

ow r´

owna´

n A~

x = ~0 i B~

x = ~0 wynika, ˙ze N (A) = N (B),

a wi

ec r´

owno´s´

c rz

ed´

ow jest konsekwencj

a formu ly (13).

3.6. Transponowanie macierzy.

Macierz transponowana A

macierzy A powstaje z A przez zamian

e ko-

lumn na wiersze, tzn.

[~a

, . . . , ~a

]







T
1

T
n







∈ ~

Zauwa˙zmy, ˙ze

(18)

)

= A, (A + B)

= A

+ B

, (AB)

= B

przy czym w drugiej r´

owno´sci zak lada si

e, ˙ze macierze A, B maj

a te same

wymiary, a w trzeciej, ˙ze liczba kolumn macierzy A jest r´

owna liczbie wierszy

macierzy B.

Bardzo wa˙zny jest nast

epuj

acy fakt

(19)

rankA = rankA

R´

owno´s´

c rz

ed´

ow A i A

oznacza, ˙ze przestrzenie rozpi

ete na kolumnach

i wierszach macierzy A maj

a te same wymiary.

Rozpatrzmy (m × n)-macierz A. Niech B b

edzie (m × r)-macierz

kt´

orej kolumny s

a baz

a przestrzeni R(A). Utw´

orzmy (r × n)-macierz C,

wpisuj

ac w j-t

a kolumn

e C wsp´

o lczynniki przy przedstawieniu j-tej kolumny

macierzy A jako kombinacji liniowej kolumn macierzy B. W´

owczas A = BC,

ad A

= C

, zob. (18), a wi

ec R(A

) ⊂ R(C

), zob. (17). Zatem

dimR(A

) ≤ r, bo C

ma r kolumn. Otrzymali´smy nier´

owno´s´

c rankA

≤

rankA. Podstawiaj

ac w tej nier´

owno´sci A

zamiast A, dostajemy nier´

owno´s´

przeciwn

a rankA = rank(A

)

≤ rankA

4. Macierze odwracalne.

4.1. Odwracanie macierzy.

M´

owimy, ˙ze (n × n)-macierz A jest odwracalna, je´sli istnieje (n × n)-

macierz B taka, ˙ze

(1)

AB = I

Je´sli taka macierz B istnieje, jest wyznaczona jednoznacznie; nazywamy

a macierz

a odwrotn

a do A i oznaczamy symbolem A

−1

Twierdzenie. Macierz A wymiaru n × n jest odwracalna wtedy i tylko

wtedy, gdy rankA = n.

Niech

(2)

A = [~a

, . . . , ~a

∈ ~

Sprowad´

zmy macierz

(3)

[A | I

] = [~a

, . . . , ~a

| ~e

, . . . , ~

]

operacjami elementarnymi na wierszach do macierzy schodkowej

(4)

[C | D].

Je´sli rankC < n (tzn. macierz schodkowa C ma wiersz zerowy), macierz

A nie jest odwracalna. Je´sli rankC = n, dalszymi operacjami elementarnymi
na wierszach macierzy schodkowej (4) sprowadzamy j

a do postaci

(5)

| B] = [~e

, . . . , ~

| ~b

, . . . ,~b

W´

owczas

(6)

B = A

−1

Uzasadnimy Twierdzenie i opisan

a procedur

e odwracania macierzy.

Je´sli A jest odwracalna, to (1) daje rank(AB) = n, a wi

ec rankA = n,

zob. 3.5 (17). Je´sli za´s rankA = n, to zgodnie z Uwag

a 2 w 3.5, rankC = n

i macierz [A | I

] mo˙zna sprowadzi´

c operacjami elementarnymi na wierszach

do postaci (5).

Poniewa˙z uk lady r´

owna´

n A~

x = ~

, oraz I

x = ~b

a r´

ownowa˙zne, dla

j = 1, . . . , n, oraz I

= ~b

, otrzymujemy A~b

= ~

, dla j = 1, . . . , n,

co oznacza dok ladnie (1). Warunek rankA = n zapewnia ponadto, ˙ze dla
ka˙zdego j ≤ n uk lad r´

owna´

n A~

x = ~

ma dok ladnie jedno rozwi

azanie, wi

(1) wyznacza B jednoznacznie.

Uwaga 1. Dla (n × n)-macierzy odwracalnej A przekszta lcenie liniowe

A : ~

→ ~

jest odwracalne. R´

owno´s´

c AA

−1

= I

, zob. (1), oznacza wi

ec,

˙ze macierz odwrotna A

−1

okre´sla przekszta lcenie A

−1

: ~

→ ~

odwrotne

do A, a st

ad wynika, ˙ze tak˙ze A

−1

A = I

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy macierz A jest odwracalna i je´sli tak, znale´

z´

−1

1. A =






1 1 0
0 1 2
0 3 5






2. A =








1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1








3. A =






1 4 2
3 5 2
0 2 1






4. Dla dowolnego wektora ~b =















rozwi

aza´

c uk lad r´

owna´











+ 6x

+ 4x

= b

+ 2x

= b

+ 4x

+ 3x

+ 5x

= b

+ 2x

+ 3x

= b

5. Niech A =






−1 −2

3 −1

0 −1






, B =






5 −2

0 −2






, C =






1 0 1
0 1 0
1 1 1






Znale´

z´

c (3 × 3)-macierz X tak

a, ˙ze AXB = C.

6. Niech A =

7 11

, B =

1 1
2 3

, C =

2 0

1 −1 1

Znale´

z´

c (2 × 3)-macierz X tak

a, ˙ze AX = 3BX + C.

Uwaga 2. Je´sli A i B s

a (n × n)-macierzami odwracalnymi, to

(AB)

−1

= B

−1

oraz (A

)

−1

= (A

−1

)

Istotnie, (B

−1

)(AB) = B

−1

A)B = B

−1

B = I

, oraz A

−1

)

−1

= I

5. Rzut ortogonalny na przestrze´

n liniow

a i zagadnienie naj-

mniejszych kwadrat´

ow.

5.1. Ortogonalno´

s´

c wektor´

ow i norma wektora.

M´

owimy, ˙ze wektory ~

u, ~

v ∈ ~

a ortogonalne (= prostopad le), co zapi-

sujemy ~

u⊥~

v, je´sli ~

v = 0.

Norm

e (= d lugo´s´

c) wektora ~

v ∈ ~

okre´slamy formu l

k ~v k= (~v

1
2

Wektory ortogonalne ~

u, ~

v wyznaczaj

a tr´

ojk

at, dla kt´

orego spe lniona jest

formu la Pitagorasa

(1)

k ~

u − ~

v k

=k ~

u k

+ k ~

v k

Istotnie, je˙zeli ~

v = 0, to k ~

u −~

v k

= (~

u −~

v) = ~

u − 2~

v +

v = k ~

u k

+ k ~

v k

5.2. Rzut ortogonalny na przestrze´

n liniow

a V ⊂ ~

M´

owimy, ˙ze wektor ~

u ∈ ~

jest ortogonalny do przestrzeni liniowej V ⊂

, co zapisujemy ~

u⊥V , je´sli ~

u⊥~

v dla ka˙zdego ~

v ∈ V .

Twierdzenie Niech V ⊂ ~

edzie przestrzeni

a liniow

a. Dla ka˙zdego

~b ∈ ~

istnieje dok ladnie jeden wektor P (~b) ∈ V taki, ˙ze ~b − P (~b)⊥V .

Wektor P (~b) nazywamy rzutem ortogonalnym ~b na V . Opiszemy metod

wyznaczania rzutu ortogonalnego.

Znajdujemy baz

e ~a

, . . . , ~a

przestrzeni V , a nast

epnie, dla macierzy

A = [~a

, . . . , ~a

], znajdujemy wektor ~

w ∈ ~

taki, ˙ze

(2)

A ~

w = A

~b.

W´

owczas

(3)

P (~b) = A ~

Aby uzasadni´

c t

e procedur

e, sprawdzimy przede wszystkim, ˙ze uk lad

r´

owna´

(4)

x = A

ma dok ladnie jedno rozwi

azanie. W tym celu poka˙zemy, ˙ze (r × r)-macierz

A jest odwracalna.

Za l´

o˙zmy, ˙ze rankA

A < r i niech ~

x ∈ ~

edzie niezerowym wektorem

takim, ˙ze A

x = ~0. Wektor ~

v = A~

x spe lnia ~

v⊥~

v, bo z 3.6 (18) ~

v =

x = ~

~0 = 0. Zatem ||~v|| = 0, czyli ~v = ~0, ale to przeczy liniowej

niezale˙zno´sci kolumn macierzy A.

Poniewa˙z przestrze´

n V jest rozpi

eta na wektorach ~a

, . . . , ~a

, dla uzasad-

nienia, ˙ze ~b − A ~

w⊥V wystarczy sprawdzi´

c, ˙ze ~a

⊥(~b − A ~

w), dla i = 1, . . . , r,

co macierzowo mo˙zna zapisa´

c w postaci A

(~b − A ~

w) = ~0 r´

ownowa˙znej (2).

Zauwa˙zmy na koniec, ˙ze (3) implikuje P (~b) ∈ R(A) = V i z jedno-

znaczno´sci rozwi

azania (4) wynika jednoznaczno´s´

c rzutu.

Odnotujmy dwa szczeg´

olne przypadki – rzut ortogonalny na przestrze´

rozpi

a na jednym niezerowym wektorze i rzut ortogonalny na przestrze´

wektor´

ow prostopad lych do niezerowego wektora:

(5)

je´sli V = Lin(~a), ~a 6= ~0,

to P (~b) = (

)~a,

(6)

je´sli V = {~

x : ~

x⊥~a}, ~a 6= ~0,

to P (~b) = ~b − (

)~a.

Dla uzasadnienia tych formu l, rozpatrzmy ~c = (

)~a ∈ Lin(~a). Po-

niewa˙z ~a

(~b − ~c) = 0, ~b − ~c⊥Lin(~a), st

ad wynika natychmiast (5). Jed-

nocze´snie zauwa˙zmy, ˙ze dla przestrzeni V opisanej w (6), ~b − ~c ∈ V , oraz

~b − (~b − ~c) = ~c⊥V , sk

ad wynika (6).

Przyk lad. Znale´

z´

c rzut ortogonalny wektora ~b =








1
0
1
5








∈ ~

na prze-

strze´

n V ⊂ ~

, gdzie

(A) V = Lin( ~

, ~








1
1

−1















1
2

−1








(B) V = N (B),

B =






−1 −1

1 −2 −1






~a =








1
2
2
1








(D) V = {~

x ∈ ~

: ~a

x = 0},

= (−1, −2, 0, 1).

5.3. Zagadnienie najmniejszych kwadrat´

ow.

Niech A b

edzie (n × r)-macierz

a rz

edu r i niech ~b ∈ ~

. Nale˙zy znale´

z´

wektor ~

w ∈ ~

taki, ˙ze

(7)

k ~b − A ~

w k= min{k ~b − A~

x k: ~

x ∈ ~

Zagadnienie to nabiera znaczenia, je´sli uk lad r´

owna´

n A~

x = ~b jest sprzecz-

ny. Warunek (7) opisuje w´

owczas wektor ~

w, dla kt´

orego odleg lo´s´

c A ~

w od ~b,

mierzona pierwiastkiem z sumy kwadrat´

ow r´

o˙znic wsp´

o lrz

ednych, jest mini-

malna.

Zgodnie z 5.2, jednoznacznym rozwi

azaniem tego zagadnienia jest wektor

w spe lniaj

acy uk lad r´

owna´

n (4).

Istotnie, A ~

w = P (~b) jest rzutem ortogonalnym wektora ~b na przestrze´

V = R(A) rozpi

a na kolumnach A. Dla dowolnego ~

v ∈ V , z formu ly

Pitagorasa, k ~b − ~

v k

=k ~b − P (~b)

k + k P (~b) − ~v k

≥k ~b − P (~b) k

, a zatem

A ~

w spe lnia (7).

W szczeg´

olno´sci, rozpatrzmy nast

epuj

ace zagadnienie. Mierzymy dwie

zale˙zne od siebie wielko´sci t, y i ustalamy, ˙ze warto´sciom t

, . . . , t

pierwszej

z nich odpowiadaj

a warto´sci y

, . . . , y

drugiej. Chcemy okre´sli´

c m i c tak,

aby funkcja y = mt + c minimalizowa la odchylenie kwadratowe

i=1

[(mt

+ c) − y

]

Rozwi

azaniem tego zagadnienia jest wektor ~

w =

, kt´

ory spe lnia waru-

nek (7) dla

A =













, ~b =













Istotnie, odchylenie kwadratowe zapisuje si

e w postaci

=k A~

x − ~b k

x =

Przyk lady. 1. Niech A =






1 −2

−1






, ~b =






1
1

−3






Znale´

z´

c min{k ~b − A~

x k: ~

x ∈ ~

2. W wyniku pomiar´

ow ustalono, ˙ze warto´sciom 2,3,5,6 wielko´sci t odpo-

wiadaj

a warto´sci 1,2,6,8 wielko´sci y. Znale´

z´

c m i c takie, ˙ze funkcja y = mt+c

minimalizuje odchylenie kwadratowe od obserwowanych wielko´sci.

5.4. Macierzowy opis rzutu ortogonalnego.

Niech ~a

, . . . , ~a

edzie baz

a przestrzeni liniowej V ⊂ ~

. Macierz A =

[~a

, . . . , ~a

] ma rz

ad r, wi

ec (r × r)-macierz A

A jest odwracalna (zob. uza-

sadnienie jednoznaczo´sci rozwi

aza´

n uk ladu (4) w (5.2)). Formu ly 5.2 (2),(3)

opisuj

ace rzut ortogonalny ~b ∈ ~

na V mo˙zna zatem zapisa´

c w postaci

macierzowej

(8)

P (~b) = A(A

−1

~b.

Przyk lad. Znale´

z´

c macierz opisuj

a rzut ortogonalny na V

1. V = Lin(~a

, ~a

gdzie ~a








1
1

−1








, ~a








1
2

−1








∈ ~

2. V = N (C),

gdzie C =






−1 −1

0 −1 −1

−2 −1






Formu la (8) prowadzi te˙z do opisu przestrzeni V uk ladem r´

owna´

n jedno-

rodnych

(9)

(A(A

−1

− I

x = ~0,

bo ~

x ∈ V wtedy i tylko wtedy, gdy P (~

x) − ~

x = ~0.

Uk lad (9) ma n r´

owna´

n, ale przestrze´

n V rozwi

aza´

n tego uk ladu ma

wymiar r, wi

ec zgodnie z 3.4 (13), rz

ad macierzy tego uk ladu wynosi n − r.

Przestrze´

n V mo˙zna opisa´

c uk ladem n − r r´

owna´

(10)

x = ~0, B = [~

, . . . , ~

n−r

], gdzie ~

, . . . , ~

n−r

jest baz

a N (A

Niech W = N (B

) b

edzie przestrzeni

a rozwi

aza´

n uk ladu (10). Po-

niewa˙z rankA

= rankA = r, z 3.4 (13) wynika, ˙ze dim N (A

) = n − r =

rankB = rankB

i dimW = n − (n − r) = r = dimV .

Przestrze´

n N (A

) rozwi

aza´

n jedorodnego uk ladu r´

owna´

n A

x = ~0 jest

zbiorem wektor´

ow ortogonalnych do ka˙zdej z kolumn macierzy A. Zatem dla

u ∈ N (A

) mamy ~

u⊥R(A) = V , co daje V ⊂ W . Z r´

owno´sci wymiar´

tych przestrzeni wynika V = W , zob. 3.3.

Przyk lad. Znale´

z´

c jednorodny uk lad r´

owna´

n opisuj

acy przestrze´

n V ⊂

rozpi

a na wektorach ~a








1
1

−1








, ~a








0
1
0
1








6. Wyznacznik macierzy kwadratowej.

6.1. Okre´

slenie wyznacznika.

Ka˙zdej (n×n)-macierzy A mo˙zna przyporz

adkowa´

c w spos´

ob jednoznacz-

ny liczb

e detA – wyznacznik macierzy A tak, aby spe lnione by ly nast

epuj

ace

warunki:

(i) zamiana kolejno´sci dw´

och wierszy macierzy zmienia znak jej wyznacz-

nika,

(ii) dodanie do wiersza macierzy innego wiersza pomno˙zonego przez ska-

lar nie zmienia jej wyznacznika,

(iii) wyznacznik macierzy kwadratowej maj

acej same zera poni˙zej przek

at-

nej jest iloczynem wyraz´

ow na przek

atnej.

Z w lasno´sci (i), (ii), (iii) wynika tak˙ze w lasno´s´

(iv) je´sli A powstaje z macierzy B w wyniku operacji elementarnej (III)

c(i)

to detA = c · detB.

Uwaga 1. Niech

A =







. . . a







Wyznacznik detA mo˙zna okre´sli´

c nast

epuj

aco. Z kolejnych wierszy wybie-

ramy wyrazy a

1σ(1)

, a

2σ(2)

, . . . , a

nσ(n)

, przy czym z ka˙zdej kolumny wybieramy

tylko jeden element (tzn. σ(i) 6= σ(j) dla i 6= j) i tworzymy iloczyn

(1)

(−1)

l(σ)

1σ(1)

2σ(2)

· . . . · a

nσ(n)

gdzie l(σ) jest liczb

a par wska´

znik´

ow 1 ≤ i < j ≤ n, dla kt´

orych σ(i) > σ(j)

(tzn. liczb

a par wierszy, dla kt´

orych z wcze´sniejszego wiersza wybrali´smy

element z dalszej kolumny).

Wyznacznik detA jest sum

a wszystkich mo˙zliwych iloczyn´

ow postaci (1).

Dla n = 2 dostajemy wz´

det

= a

− a

a dla n = 3 wz´

or Sarrusa

det











= a

−a

− a

Uwaga 2. Niech ~a,~b, ~c b

a liniowo niezale˙znymi wektorami w ~

i niech

, ~

a wierszami macierzy B powsta lej z macierzy

A =











w wyniku operacji elementarnych na wierszach typu (I), lub (II). W´

owczas

r´

ownoleg lo´scian w przestrzeni tr´

ojwymiarowej o kraw

edziach wyznaczonych

przez ~a,~b, ~c ma obj

eto´s´

c r´

own

a obj

eto´sci r´

ownoleg lo´scianu o kraw

edziach wy-

znaczonych przez ~

u, ~

v, ~

w. Macierz A mo˙zna przekszta lci´

c operacjami typu (I)

i (II) do postaci

B =






r 0 0
0 s 0
0 0






w kt´

orej wektory - wiersze s

a parami prostopad le i wyznaczaj

a prostopad lo´scian

o obj

eto´sci | rst |=| detB |=| detA |. Wynika st

ad, ˙ze modu l wyznacznika A

jest obj

eto´sci

a r´

ownoleg lo´scianu o kraw

edziach wyznaczonych przez ~a,~b, ~c.

Podobnie, dla (2 × 2)-macierzy A, | detA | jest polem r´

ownoleg loboku na

p laszczy´

znie, kt´

orego boki s

a wyznaczone przez wektory - wiersze A.

Uwaga 3. Z Uwagi 1 wynika, ˙ze dla (n × n)-macierzy A,

detA = detA

zatem przy okre´slaniu wyznacznika wiersze mo˙zna zast

api´

c kolumnami ma-

cierzy.

Przyk lady.

1. Znale´

z´

c pole r´

ownoleg loboku na p laszczy´

znie o kraw

edziach ~

P Q, ~

P R,

gdzie P = (1, 2), Q = (6, 7), R = (3, 8).

2. Znale´

z´

c obj

eto´s´

c r´

ownoleg lo´scianu w przestrzeni o kraw

edziach ~

P Q, ~

P R, ~

P S,

gdzie P = (1, −1, 1), Q = (2, 6, 2), R = (−3, −5, 4), S = (4, 2, −1).

6.2. Obliczanie wyznacznika.

Niech A b

edzie (n × n)-macierz

a. Operacjami elementarnymi typu (I),

lub (II) sprowadzamy macierz A do postaci schodkowej







. ..







zmieniaj

ac znak wyznacznika przy ka˙zdej operacji typu (I) i nie zmieniaj

wyznacznika przy operacji typu (II). Zatem

detA = (−1)

detA

= (−1)

· . . . · a

gdzie p jest liczb

a wykonanych operacji typu (I).

Przyk lady Obliczy´

c wyznaczniki nast

epuj

acych macierzy:








1 −1

−2

3 −1

−1

−3

0 −8 −13















0 3 5 1
3 3 1 8

−2 0 2 1

1 3 4 3















0 4 1 3
0 2 2 1
1 3 1 2
2 2 1 4








6.3. Formu la Cauchy’ego.

Dla (n × n)-macierzy A i B,

(2)

det(AB) = detA · detB.

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli macierz A

powstaje z A w wyniku ope-

racji elementarnych na wierszach, to z definicji iloczynu macierzy w 1.5.(B)
wynika, ˙ze te same operacje na wierszach macierzy AB sprowadzaj

a j

a do

macierzy A

B (wystarczy to sprawdzi´

c dla jednej operacji ka˙zdego typu).

Je´sli rankA < n to z powy˙zszej obserwacji (zob. te˙z 3.5 (17)) wynika, ˙ze

rank(AB) < n, a wi

ec, zgodnie z 6.2, obie strony (2) s

a r´

owne zeru.

Je´sli rankA = n, to operacjami elementarnymi na wierszach typu (I) lub

(II) mo˙zna sprowadzi´

c A do postaci diagonalnej







. ..







Niech p ozacza liczb

e wykonanych operacji typu (I). Mamy wtedy detA =

(−1)

· detA

i z powy˙zszej obserwacji, r´

ownie˙z det(AB) = (−1)

det(A

B).

Dla dowodu (2) wystarczy wi

ec sprawdzi´

c, ˙ze det(A

B) = detA

detB, a to

wynika z

det














. ..




























= det















= a

· . . . · a

det















Przyk lad

Niech A =






4 2 1
4 1 2
4 1 1






, B =






2 2 1
0 1 0
0 5 1






. Znale´

z´

c det(A

−7

6.4.

Macierz adjA stowarzyszona z macierz

a kwadratow

a A i

formu ly Cramera.

Niech A b

edzie (n × n)-macierz

a. Dla ka˙zdej pary indeks´

ow 1 ≤ i, j ≤

n, oznaczamy przez A(i, j) macierz otrzyman

a z A przez skre´slenie i-tego

wiersza i j-tej kolumny i okre´slamy

= (−1)

i+j

detA(i, j).

Macierz

adjA =







. . . A







stowarzyszona z A ma nast

epuj

a w lasno´s´

(3)

A · adjA = detA · I

W szczeg´

olno´sci,

(4)

je´sli detA 6= 0, to A

−1

detA

adjA.

Formu la (4) pozwala zapisa´

c rozwi

azanie uk ladu r´

owna´

(5)

x = ~b,

gdzie detA 6= 0,

w postaci

(6)

x = (

detA

adjA)~b.

Je´sli

A = [~a

, . . . , ~a

], ~a

∈ ~

, ~b ∈ ~

, ~

x =













rozwi

azanie (6) prowadzi do formu l Cramera

(7)

detA

det[~a

, . . . , ~a

i−1

,~b, ~a

, . . . , ~a

], i = 1, . . . , n.

Formu ly Cramera (7) maj

a g l´

ownie znaczenie teoretyczne. Wynika z nich

na przyk lad, ˙ze je´sli detA = 1, oraz wyrazy A i wsp´

o lrz

edne wektora ~b s

liczbami ca lkowitymi, to rozwi

azanie ~

x uk ladu r´

owna´

n (5) jest wektorem o

wsp´

o lrz

ednych ca lkowitych, zob. Uwaga 1 w 6.1.

Przyk lady. Znale´

z´

c adjA i sprawdzi´

c, ˙ze spe lniona jest formu la (3).

1. A =

3 4
5 6

2. A =






2 −1 −1
3






7. Model Leontiewa przep lyw´

ow mi

edzyga l

eziowych.

Rozpatrujemy n ga l

ezi gospodarki. Niech x

> 0 b

edzie produkcj

a global-

a i-tej ga l

ezi, x

≥ 0 b

edzie cz

e´sci

a produkcji i-tej ga l

ezi zu˙zywan

a przez

j-t

a ga l

a´

z do produkcji, za´s d

≥ 0 b

edzie produktem ko´

ncowym i-tej ga l

ezi

(sprzedawanym na rynku). Informacje te zapisujemy w postaci macierzy
przep lyw´

ow mi

edzyga l

eziowych











. . . x











Wsp´

o lczynniki

(1)

okre´slaj

a stosunki mi

edzy nak ladami i wielko´sci

a produkcji, sta le w modelu

Leontiewa. Macierz

(2)







. . . a







jest macierz

a (sta lych) wsp´

o lczynnik´

ow produkcji. Dla ka˙zdej ga l

ezi mamy,

zob. (1),

(3)

= x

+ . . . + x

+ d

= a

+ . . . + a

+ d

co mo˙zna zapisa´

c w postaci macierzowej jako r´

ownanie

x = A~

x + ~

x =

















d =

















albo te˙z w postaci

(4)

− A)~

x = ~

Macierz I

− A nazywa si

e macierz

a Leontiewa.

Twierdzenie. Je´

sli produkty ko´

ncowe d

ka˙zdej ga l

ezi gospodarki s

a do-

datnie, to macierz Leontiewa I

− A jest odwracalna, a wektor produkcji

globalnej ~

x jest opisany formu l

x = (I

− A)

−1

Mno˙z

ac, dla j = 1, 2, . . . , n, j-t

a kolumn

e macierzy I

− A przez x

korzystaj

ac z (1), otrzymujemy macierz

B =









− x

−x

. . .

−x

− x

. . .

−x

. . . x

− x









Przypu´s´

cmy, ˙ze n × n-macierz I

− A nie jest odwracalna, to znaczy, ˙ze

jej kolumny s

a liniowo zale˙zne (zob. 4.1). Wtedy kolumny B te˙z s

a liniowo

zale˙zne, wi

ec istnieje niezerowy wektor ~

w = [w

, . . . , w

]

taki, ˙ze B ~

w = ~0.

Zast

epuj

ac, w razie potrzeby, ~

w przez wektor − ~

w mo˙zemy dodatkowo za lo˙zy´

˙ze ~

w ma dodatni

a wsp´

o lrz

edn

Wybierzmy i ≤ n takie, ˙ze w

≥ w

dla j 6= i i zbadajmy i-t

a wsp´

o lrz

edn

wektora B ~

w = ~0:

0 = x

−

n
j=1

≥ x

−

n
j=1

= (x

−

n
j=1

= d

> 0.

Otrzymana sprzeczno´s´

c dowodzi, ˙ze macierz I

− A jest odwracalna.

Przyk lad. W modelu Leontiewa dla trzech ga l

ezi gospodarki dana jest

macierz przep lyw´

ow mi

edzyga l

eziowych:








2 0 1

2 3 0

0 0 1








(a) Znale´

z´

c macierz Leontiewa i i macierz do niej odwrotn

(b) O ile wzrosn

a produkty ko´

ncowe, je´sli produkty globalne wzrosn

a o

∆x

= 1, ∆x

= 2, ∆x

= 3?

c plan produkcji globalnej tak, aby pierwsza ga l

a´

z wytwarza la

produkt ko´

ncowy o warto´sci 9, druga o warto´sci 6 i trzecia o warto´sci 9.

8. Nier´

owno´

sci liniowe.

Dla ~

u, ~

v ∈ ~

, ~

u = [u

, . . . , u

]

, ~

v = [v

, . . . , v

]

, nier´

owno´s´

c ~

u ≤ ~

oznacza, ˙ze u

≤ v

, dla j = 1, 2, . . . , n. Je´sli ~

u ≥ ~0, b

edziemy m´

owili, ˙ze

wektor ~

u jest nieujemny.

Ustalmy wektory ~

, . . . , ~

∈ ~

i liczby b

, . . . , b

∈ R i niech

(1)

W = {~

x ∈ ~

: ~

x ≥ ~0, ~

x ≤ b

, i = 1, 2, . . . m}.

Dla n = 2, ka˙zda nier´

owno´s´

c ~

x ≤ b

opisuje p´

o lp laszczyzn

e w ~

, zatem

W jest albo zbiorem pustym, albo wielok

atem (by´

c mo˙ze nieograniczonym)

le˙z

acym w pierwszej ´

cwiartce p laszczyzny. Podobnie, dla n = 3, albo W =

∅, albo te˙z W jest wielo´scianem (by´c mo˙ze nieograniczonym), z lo˙zonym z
wektor´

ow nieujemnych.

Zauwa˙zmy, ˙ze zamiast (1) mo˙zemy rozwa˙za´

c zbiory postaci

(1)

W = {~

x ∈ ~

: ~

x ≥ ~0, ~

x ≥ b

, i = 1, 2, . . . m},

bo nier´

owno´s´

c ~

x ≥ b

jest r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci (− ~

)

x ≤ −b

Ustalmy ~

p ∈ ~

. B

edziemy rozpatrywa´

c nast

epuj

ace zagadnienie:

(2)

znale´

z´

c ~

∈ W takie, ˙ze ~

= min{~

x : ~

x ∈ W }.

Jest to zagadnienie minimalizacji funkcji liniowej ~

x, przy ogranicze-

niach zadanych nier´

owno´sciami liniowymi, opisuj

acymi zbi´

or W .

(A) Zagadnienie planu produkcji.

Producent produkuje n towar´

ow. Do wytworzenia jednostki j-tego to-

waru potrzeba a

jednostek i-tego ´srodka produkcji, i ≤ m. Dost

epnych jest

jednostek i-tego ´srodka produkcji, doch´

od ze sprzeda˙zy jednostki j-tego

towaru wynosi c

. Okre´sli´

c ilo´sci x

jednostek j-tego towaru, przy kt´

orych

zysk jest maksymalny.

Przyjmuj

















−~

p =

















mamy rozwi

aza´

c zagadnienie (2), gdzie W jest opisane formu l

a (1).

(B) Zagadnienie diety optymalnej.

Mamy n produkt´

ow ˙zywno´sciowych. Produkt j-ty zawiera m sk ladnik´

od˙zywczych, w proporcjach a

, a

, . . . , a

(w stosunku do ca lkowitej masy).

Przy od˙zywianiu nale˙zy dostarczy´

c co najmniej b

jednostek i-tego sk ladnika.

Cena jednostki j-tego produktu wynosi c

. Dobra´

c x

jednostek ka˙zdego pro-

duktu, aby zapewni´

c dostarczenie wystarczaj

acej ilo´sci ka˙zdego ze sk ladnik´

od˙zywczych, minimalizuj

ac przy tym koszt zakupu.

Tak wi

ec, dla

















p =

















mamy rozwi

aza´

c zagadnienie (2), gdzie W jest opisane formu l

a (1)

Przyjmijmy

(3)

A =

















~b =

















W´

owczas, zob. (1), (3),

(4)

W = {~

x ∈ ~

: ~

x ≥ ~0, A~

x ≤ ~b}.

Ka˙zda nier´

owno´s´

c ~

x ≤ b

jest r´

ownowa˙zna uk ladowi z lo˙zonemu z

r´

ownania ~

x + y

= b

i nier´

owno´sci y

≥ 0.

Zatem, wprowadzaj

(5)

B = [A, I

z =

x
~

∈ ~

n+m

(6)

Z = {~

z ∈ ~

n+m

: ~

z ≥ ~0, B~

z = ~b},

oraz

(7)

q =

∈ ~

n+m

zagadnienie (2) mo˙zna sformu lowa´

c r´

ownowa˙znie w nast

epuj

acy spos´

ob:

(8)

znale´

z´

c ~

∈ Z takie, ˙ze ~

= min{~

z : ~

z ∈ Z}.

Dok ladniej, je´sli ~

jest rozwi

azaniem (8), wektor ~

z lo˙zony z pierw-

szych n wsp´

o lrz

ednych wektora ~

jest rozwi

azaniem (2), a je´sli ~

jest

rozwi

azaniem (2), dopisuj

ac wektor ~

= ~b − A ~

, otrzymujemy rozwi

azanie

(8), zob. (5).

Opiszemy procedur

e, pozwalaj

a na wyja´snienie, czy zagadnienie (8) ma

rozwi

azanie i je´sli tak, na wskazanie pewnego rozwi

azania tego zagadnienia.

Odwracalne (m × m)- podmacierze macierzy B nazywa´

c b

edziemy ma-

cierzami bazowymi.

Ka˙zda macierz bazowa E wyznacza jednoznacznie wektor ~

= E

−1

spe lniaj

acy r´

ownanie E ~

= ~b i niech ~

∈ ~

n+m

edzie wektorem, kt´

orego

wsp´

o lrz

edne pokrywaj

a si

e ze wsp´

o lrz

ednymi wektora ~

, dla indeks´

ow wska-

zuj

acych kolumny macierzy E, a pozosta le wsp´

o lrz

edne s

a zerami.

Je´sli ˙zaden z wektor´

ow ~

nie jest nieujemny, zbi´

or Z opisany formu l

(6) jest pusty, a zatem zagadnienie (8) nie ma rozwi

azania.

W przeciwnym razie, spo´sr´

od nieujemnych wektor´

ow ~

wyznaczonych

przez macierze bazowe E, wybierzmy jako ~

wektor, dla kt´

orego liczba ~

jest minimalna.

Wektor ~

utworzony z pierwszych n wsp´

o lrz

ednych wektora ~

jest roz-

azaniem zagadnienia (2).

Uzasadnienie opisanej metody opiera si

e na nast

epuj

acej obserwacji.

Niech D b

edzie (m × k)-macierz

a rz

edu mniejszego ni˙z k, U = {~

u ∈ ~

u ≥ 0, D~

u = ~b} i niech ~

v ∈ ~

Je´sli ~

∈ U spe lnia warunek ~v

= min{~

u : ~

u ∈ U }, to istnieje

u ∈ U takie, ˙ze ~

= ~

u i wektor ~

u ma co najmniej jedn

a wsp´

o lrz

edn

zerow

Istotnie, z warunku rankD < k wynika istnienie wektora ~

w ∈ ~

takiego,

˙ze

D ~

w = ~0,

w 6= ~0.

Niech

= ~

+ t ~

w, t ∈ R.

W´

owczas

D ~

= ~b, ~

= ~

+ t~

Mo˙zemy zak lada´

c, ˙ze wszystkie wsp´

o lrz

edne ~

a dodatnie (inaczej, przyj-

mujemy ~

u = ~

) i w´

owczas, dla dostatecznie ma lych warto´sci |t|, ~

≥ ~0. Dla

takich t, ~

∈ U i z minimalno´sci ~v

wynika, ˙ze t~

w ≥ 0, niezale˙znie od

znaku t. To oznacza, ˙ze ~

w = 0, a wi

ec dla dowolnego t,

D ~

= ~b, ~

= ~

Poniewa˙z ~

w 6= ~0, zast

epuj

ac ewentualnie ~

w przez wektor − ~

w, mo˙zemy za lo˙zy´

˙ze co najmniej jedna wsp´

o lrz

edna wektora ~

w jest ujemna, sk

s = sup{t ≥ 0 :

≥ ~0} < +∞.

Poniewa˙z ~

≥ ~0, ~

∈ U i ~v

= ~

, oraz co najmniej jedna wsp´

o lrz

edna

wektora ~

jest zerowa, mo˙zemy przyj

a´

c ~

u = ~

9. Liniowe jednorodne r´

ownania ro ˙zniczkowe o sta lych wsp´

o l-

czynnikach.

W zbiorze C(R) funkcji ci

ag lych na prostej rzeczywistej okre´slone jest

w naturalny spos´

ob dzia lanie dodawania funkcji (f + g)(x) = f (x) + g(x)

i mno˙zenie funkcji przez liczby (af )(x) = af (x). B

edziemy interpretowa´

funkcje jako wektory, a liczby jako skalary, przenosz

ac do C(R) poj

ecia kom-

binacji liniowej wektor´

ow, liniowej niezale˙zno´sci wektor´

ow i podprzestrzeni

liniowej.

Zbi´

or rozwi

aza´

n r´

ownania r´

o˙zniczkowego

(1)

= by

+ cy.

jest przestrzeni

a liniow

a V(b, c) w przestrzeni C(R). Poka˙zemy, ˙ze w ka˙zdej

przestrzeni V(b, c) mo˙zna wskaza´

c baz

e z lo˙zon

a z dw´

och wektor´

ow.

Twierdzenie. Przyjmijmy ∆ = b

+ 4c. W´

owczas nast

epuj

aca para

funkcji y

(x), y

(x) jest baz

a przestrzeni rozwi

aza´

n r´

ownania (1):

(i) je´

sli ∆ = 0 i λ jest podw´

ojnym pierwiastkiem r´

ownania x

= bx + c,

to y

(x) = e

λx

, y

(x) = xe

λx

(ii) je´

sli ∆ > 0 i λ

, λ

a r´

o˙znymi pierwiastkami r´

ownania x

= bx + c,

to y

(x) = e

, y

(x) = e

(iii) je´

sli ∆ < 0, α =

, β =

1
2

√

−∆, to y

(x) = e

αx

cos βx, y

(x) =

αx

sin βx.

W ka˙zdym z przypadk´

ow (i) – (iii) bezpo´srednim rachunkiem spraw-

dza si

e, ˙ze wskazane funkcje s

a rozwi

azaniami r´

ownania (1).

Pozostaje upewni´

c si

e, ˙ze ka˙zde rozwi

azanie y = y(x)r´

ownania (1) zapi-

suje si

e jednoznacznie w postaci y = a

+ a

, gdzie a

, a

a sta lymi, a

, y

funkcjami wskazanymi w odpowiednim punkcie twierdzenia.

Wyja´snimy to w przypadku (iii) (pozosta le przypadki uzasadnia si

e po-

dobnie).

Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze funkcja f ∈ C(R) spe lnia warunek

(2)

= bf

+ cf i f (0) = 0, f

(0) = 0.

Poka˙zemy, ˙ze

(3)

f (x) = 0 dla ka˙zdego x ∈ R.

W tym celu rozpatrzmy

(4)

g(x) = f (x)e

−αx

W´

owczas g

(x) = (f

(x) − 2αf

(x) + α

f (x))e

−αx

i poniewa˙z z (2), f

+ cf = 2αf

+ cf , mamy g

(x) = (α

+ c)f (x)e

−αx

= −β

f (x)e

−αx

Zatem, zob. (4) i (2),

(5)

= −β

g, g(0) = 0, g

(0) = 0.

Poniewa˙z [(g

)

+ β

]

= 2g

+ 2β

g, z (5) wynika, ˙ze ta pochodna

jest stale zerem, a wi

ec (g

)

+ β

jest funkcj

a sta l

a i przyjmuje warto´s´

zero. To oznacza w szczeg´

olno´sci, ˙ze g jest funkcj

a zerow

a i dostajemy (3),

zob. (4).

Niech teraz y = y(x) b

edzie dowolnym rozwi

azaniem (1). Poniewa˙z ma-

cierz

(0) y

(0)

(0) y

(0)

α β

jest odwracalna, istniej

a jednoznacznie wyznaczone liczby a

, a

takie, ˙ze

(0) y

(0)

(0) y

(0)

# "

y(0)

(0)

W´

owczas f = y − (a

+ a

) spe lnia (2), zatem z (3), y = a

+ a

przy czym wsp´

o lczynniki a

, a

a wyznaczone jednoznacznie.

Uwaga. Zbi´

or rozwi

aza´

n r´

ownania

(6)

= ay

jest przestrzeni

a jednowymiarow

Istotnie, wszystkie rozwi

azania (6) s

a postaci y(x) = ce

, gdzie c jest

sta l

10. R´

ownania r´

o ˙znicowe drugiego rz

edu i pot

egowanie macierzy

kwadratowych.

Dla ci

agu x

, x

, . . . przyjmijmy oznaczenie

(1)

∆x

= x

n+1

− x

W´

owczas

(2)

∆

= ∆(∆x

) = x

n+2

− 2x

n+1

+ x

Jednorodnym r´

ownaniem r´

o˙znicowym drugiego rz

edu nazywamy r´

ownanie

(3)

∆

+ α∆x

+ βx

= 0, x

= a

, x

= a

Rozwi

azanie r´

ownania (3) polega na znalezieniu wszystkich opisanych tym

r´

ownaniem ci

ag´

ow o pierwszych dw´

och wyrazach a

, a

Zgodnie z (1) i (2) zagadnienie (3) mo˙zna opisa´

c r´

ownowa˙znie w postaci

rekurencyjnej

(4)

n+2

= bx

n+1

+ cx

, x

= a

, x

= a

co z kolei zapisuje si

e w postaci macierzowej

(5)

n+2

n+1

= A

n+1

A =

1 0

= a

, x

= a

Poniewa˙z (5) oznacza, ˙ze dla n = 1, 2, . . .

(6)

n+1

= A

A =

1 0

rozwi

azanie r´

ownania r´

o˙znicowego (3) sprowadza si

e do wyznaczenia dowol-

nej pot

egi (2 × 2)-macierzy.

Poka˙zemy jak to zrobi´

c dla macierzy

(7)

A =

1 d

, gdzie (b − d)

+ 4c > 0.

Warunek (b − d)

+ 4c > 0 zapewnia, ˙ze wielomian zmiennej λ

(8)

det(A − λI

) = λ

− (b + d)λ + (bd − c)

ma dwa r´

o˙zne pierwiastki rzeczywiste λ

, λ

W tej sytuacji macierz

(9)

M =

− d λ

− d

jest odwracalna i mno˙z

ac odpowiednie macierze mo˙zna sprawdzi´

c, ˙ze

(10)

AM = M

Mno˙z

ac obie strony (10) z prawej strony przez M

−1

dostajemy r´

owno´s´

A = M

−1

z kt´

orej mo˙zna latwo wyprowadzi´

c wz´

or na pot

egi macierzy A

(11)

= M

n
1

n
2

−1

Przyk lad 1 (Ci

ag Fibonacciego). Znajdziemy rozwi

azania r´

ownania

n+2

= x

n+1

+ x

, x

= 0, x

= 1.

Dla macierzy, zob. (4) i (5),

A =

1 1
1 0

wielomian, zob. (8), det(A − λI

) = λ

− λ − 1 ma dwa r´

o˙zne pierwiastki

1−

√

, λ

√

Niech, zob. (9),

M =

W´

owczas

−1

−λ

−1

a wi

ec, zgodnie z (6) i (11),

n+1

−λ

# "

n
1

n
2

# "

−λ

−1

# "

1
0

−λ

# "

n
1

−λ

n
2

√

[(

√

)

− (

1−

√

)

Przyk lad 2 (Model Samuelsona). W kolejnych odst

epach czasu roz-

patruje si

e doch´

od narodowy Y

, konsumpcj

e C(n) i inwestycje I(n), n =

0, 1, 2, . . .. Zwi

azek mi

edzy nimi opisuj

a r´

ownania

= C(n) + I(n), C(n + 1) = γY

, I(n + 1) = α(C(n + 1) − C(n)),

gdzie γ ∈ (0, 1) jest (sta l

a) sk lonno´sci

a do oszcz

edzania i α > 0 jest (sta lym)

wsp´

o lczynnikiem akceleracji.

Eliminuj

ac C(n) i I(n) otrzymujemy r´

ownanie

n+2

= γ(1 + α)Y

n+1

− αγY

Przyjmuj

ac, ˙ze wielko´sci Y

= a

, Y

= a

a znane, mamy zatem

n+1

= A

A =

γ(1 + α) −αγ

Z macierz

a A zwi

azany jest wielomian (zob. (8))

det

γ(1 + α) − λ −αγ

−λ

= λ

− γ(1 + α)λ + αγ,

kt´

ory ma dwa r´

o˙zne pierwiastki rzeczywiste λ

, λ

je´sli spe lniony jest waru-

nek γ(1 + α)

− 4α > 0. W´

owczas pot

egi A

a opisane formu l

a (11), gdzie

M jest macierz

a z (9) dla d = 0.

Przyk lad 3. Interesuj

acy nas obiekt (np. wybrana ga l

a´

z gospodarki)

mo˙ze znajdowa´

c si

e w jednym z czterech stan´

ow, przy czym sytuacj

e w danej

chwili opisuje wektor

p =















, p

> 0, p

+ p

= 1,

gdzie p

jest interpretowane jako prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze obiekt jest w

stanie i.

Za l´

o˙zmy, ˙ze po up lywie sta lej jednostki czasu obiekt pozostaje w tym

samym stanie z prawdopodobie´

nstwem α ∈ [0, 1], lub przechodzi w inny stan

z prawdopodobie´

nstwem

1−α

, dla ka´

zdego ze stan´

ow innych ni˙z wyj´sciowy.

Je´sli wi

ec w danej chwili stan obiektu opisany jest wektorem ~

p, to po

up lywie jednostki czasu, jego stan opisuje wektor

q = P ~

p , gdzie P =








1−α








Interesuje nas jakie jest prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze obiekt, kt´

ory w

chwili pocz

atkowej by l w stanie 1 z prawdopodobie´

nstwem 1, po up lywie n

jednostek czasu b

edzie w tym samym stanie. Chcemy zatem wyznaczy´

c, dla

n = 1, 2, . . ., pierwsz

a wsp´

o lrz

edn

a wektora P

, czyli wyraz macierzy P

stoj

acy w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

Pomijaj

ac oczywisty przypadek α = 1, mo˙zemy zapisa´

(12)

P =

1−α

Q , Q =















, β =

3α

1−α

Mno˙z

ac macierz Q przez siebie, latwo dostrzec, ˙ze kolejne pot

egi Q maj

posta´

(13)















przy czym x

= 1, y

= 0 oraz

n+1

= βx

+ 3y

, y

n+1

= x

+ (β + 2)y

a wi

(14)

n+1

= A

, A =

β + 2

ad, dla n = 1, 2, . . .,

(15)

= A

1
0

Macierz A zdefiniowana w (14) spe lnia warunek (7), przy czym pierwiastkami

wielomianu det

β − λ

(β + 2) − λ

, zob. (8), s

a λ

= β − 1 i λ

= β + 3.

Dla macierzy opisanej formu l

a (9) mamy wi

M =

−3 1

, M

−1

1
4

−1 1

ad, zob. (11) i (15),

1
4

−3 1

# "

(β − 1)

(β + 3)

# "

−1 1

# "

1
0

1
4

−3 1

# "

−(β − 1)

(β + 3)

Podstawiaj

ac (zob. 12) β =

3α

1−α

otrzymujemy

1
4

[3(

4α−1

1−α

)

+ (

1−α

)

a zatem, zgodnie z (12) i (13), prawdopodobie´

nstwo, ˙ze obiekt, po up lywie

n jednostek czasu, pozostaje w stanie 1 jest r´

owne

(

1−α

)

1
4

[3(

4α−1

)

+ 1].

11. Uzupe lnienie: przekszta lcenia liniowe.

Przekszta lcenie T : ~

→ ~

jest liniowe, je´sli

(1)

T (~

x + ~

y) = T (~

x) + T (~

y), T (a~

x) = aT (~

x), dla ~

x, ~

y ∈ ~

, a ∈ R.

Dla ustalonej bazy ~

, . . . , ~

∈ ~

, wskazanie uk ladu wektor´

ow ~

, . . . , ~

∈

jednoznacznie wyznacza przekszta lcenie liniowe T : ~

→ ~

spe lniaj

ace

warunki

(2)

T ( ~

) = ~

j = 1, 2, . . . , n,

a mianowicie przekszta lcenie T opisane formu l

(3)

T (a

+ . . . + a

) = a

+ . . . + a

, a

∈ R.

Przekszta lcenie liniowe T spe lniaj

ace (2) jest okre´slone (m × n)-macierz

(4)

A = [ ~

, . . . , ~

][ ~

, . . . , ~

]

−1

to znaczy, dla macierzy (4),

(5)

T (~

x) = A~

x, dla ~

x ∈ ~

Aby to sprawdzi´

c, wystarczy upewni´

c si

e, korzystaj

ac z liniowo´sci

przekszta lcenia A : ~

→ ~

okre´slonego przez A i formu ly (3), ˙ze T ( ~

) =

A ~

, dla j = 1, 2, . . . , n, to znaczy, zgodnie z (2), ˙ze

(6)

A ~

= ~

, j = 1, . . . , n.

Poniewa˙z [ ~

, . . . , ~

] ~

= ~

, wi

ec ~

= [ ~

, . . . , ~

]

−1

, sk

= [ ~

, . . . , ~

] [ ~

, . . . , ~

]

−1

, a zatem otrzymujemy (6), zob. (4).

Przyk lad. Niech T : ~

→ ~

edzie przekszta lceniem liniowym spe l-

niaj

acym warunki T ( ~

) = ~

, dla j = 1, 2, gdzie

1
2

, ~

2
3

, ~








1
0
2
3








, ~








2
1
0
0








Znale´

z´

c (4 × 2)-macierz A tak

a, ˙ze T (~

x) = A~

x dla x ∈ ~

ZADANIA I

1. Niech

A =

2 1
1 3

B =

0 −1
1

C =

−2 3

1 1

(a) Znale´

z´

c macierze AB, BA, B(A + 3C).

(b) Znale´

z´

c (2 × 2) macierz X =

tak

a, ˙ze 2A + 5B + X =

3A + 2B.

x =

−3

Znale´

z´

c wektor (2B + 3C)~

2. Niech

A =

0 −1
1

B =

0 1
1 0

C =

−1 −1

Znale´

z´

c macierze (A + 2B) · (A + 2B), B

, C

, oraz (AC + BC)C

[ Uwaga: B

= B · B, C

= C · C].

3. Niech

A =

2 3
1 4

B =

1 2
1 4

C =








8 −1
3








D =








1 −1 1 −1
1








x =

1
3

y =








2
3
1
1








(a) Znale´

z´

c CA.

(b) Znale´

z´

c AB − BA.

z´

c C(B~

x); znale´

z´

c CB i sprawdzi´

c, ˙ze C(B~

x) = (CB)~

(d) Znale´

z´

c D~

4. Czy dla dowolnych (2 × 2)-macierzy A i B spe lnione jest r´

ownanie

(A − B)(A + B) = A

− B

ZADANIA II

1. Sprowadzi´

c nast

epuj

ace macierze operacjami elementarnymi na wier-

szach do postaci schodkowej.

(A)

1 2
2 1

(B)

0 1 3
1 2 3

(C)








3 −2 −5

2 −3

5 −3

0 −4 −3

1 −1 −4








(D)








4 −3 1 −5 −7
1 −1 0 −3 −3
3 −1 2

3 −8








(E)








2 2 2 1 −3
2 3 1 3

3 4 2 2

1 1 1 2








2. Wyja´sni´

c, czy uk lad r´

owna´

n jest niesprzeczny i je´sli tak, wyznaczy´

wszystkie rozwi

azania:

(A)











+ 3x

+ 2x

+ 3x

+ 4x

= 5

+ 2x

+ 3x

= 4

+ 2x

+ 3x

+ 2x

= 0

+ 7x

+ 3x

+ 2x

= 1

(B)











− 3x

= 1

− 6x

= 2

− 3x

− 11x

− 15x

= 1

(C)











− 5x

+ 2x

+ 4x

= 2

− 4x

+ 3x

= 5

+ 7x

− 4x

− 6x

= 3

3. Dany jest uk lad r´

owna´

(∗)











+ 2x

= b

+ 2x

− 3x

= b

+ 3x

+ 10x

+ 6x

= b

+ 4x

= b

Wyja´sni´

c, czy dla danego wektora

(A)






















2
0
7
4








(B)






















3
0
7
4








uk lad r´

owna´

n (∗) jest niesprzeczny i je´sli tak, wyznaczy´

c wszystkie rozwi

azania

tego uk ladu.

ZADANIA III

1. Z danego uk ladu wektor´

ow wybra´

c baz

e w przestrzeni rozpi

etej na tym

uk ladzie i zapisa´

c pozosta le wektory z tego uk ladu jako kombinacje liniowe

wektor´

ow z wybranej bazy.

(A)






1
2
1











2
5
0











3
7
1











1
1
3






(B) ~








2
1
3
5















4
3
1
3















−1

5
7















3
2
3
4















7
6

−7








(C)








2
0
0
1















4
2
4
2















8
3
6
3















4
0
2
2















5
0
2
2








2. Znale´

z´

c baz

e w przestrzeni zerowej N (A) macierzy A.

(A) A =






1 3 1 3
2 1 2 1
1 0 1 0






(B) A =








2 6 5

8 5

1 3 2

3 1

3 9 6 10 6
1 3 3

6 7








3. Niech A =








2 4 4 8 5
0 2 0 3 0
1 4 2 6 2
1 2 2 3 2








(A) Znale´

z´

c baz

e w przestrzeni N (A).

(B) Wyja´sni´

c, czy dla danego wektora ~b ∈ ~

uk lad r´

owna´

n A~

x = ~b jest

niesprzeczny i je´sli tak, poda´

c og´

olne rozwi

azanie tego uk ladu, wykorzystuj

baz

e z (A).

(i) ~b =








3
3
5
1








(ii) ~b =








3
3
4
1








ZADANIA IV

1. Wyja´sni´

c, czy macierz A jest odwracalna i je´sli tak, znale´

z´

c macierz

odwrotn

a A

−1

(A) A =








2 4 2 2
0 2 0 2
1 2 1 0
0 1 1 2








(B) A =








3 3

0 −4 −2 8
1

2 7

2 3















2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2








(D) A =








0 1 0 1
2 0 2 3
1 0 0 1
2 2 2 2








2. Dla dowolnego wektora ~b =















rozwi

aza´

c uk lad r´

owna´

(A)











= b

+ 2x

+ 3x

= b

+ 2x

= b

(B)











= b

+ 2x

= b

+ 2x

= b

+ 2x

= b

3. Niech

A =








2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2








B =






0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1






C =








0 1 0
1 0 0
1 1 1
1 0 0








Znale´

z´

c macierze X =











, oraz Y =















takie, ˙ze XA = B, oraz AY = C.

4. Niech

A =








4 1

3
2

1 3

3
2

2 1

5
2

3
2








B =








4 0 1 1
0 2 0 1
2 0 1 0
1 0 4 6








C =








d 0

c 0








Znale´

z´

c macierz X =















tak

a, ˙ze AX =

1
2

BX + C.

5. Niech A =

1 2
2 3

(A) Znale´

z´

c A

−1

(B) Znale´

z´

c (2 × 2)-macierze X, Y spe lniaj

ace uk lad r´

owna´

(

XA +

= A

+ Y A

−1

= A

−1

6. Niech A =






1 1 1
1 2 2
2 3 4






B =






2 1 0
1 1 1
0 1 1






Znale´

z´

c macierze A

−1

, B

−1

, oraz (A

−1

ZADANIA V

1. Znale´

z´

c rzut ortogonalny wektora ~b =








−3
−1

0
8








∈ ~

na przestrze´

V ⊂ ~

, gdzie

(A) V = Lin(~a

, ~a

), ~a








−1

2
1








, ~a








1
2
1
0








(B) V = N (B), B =






2 −2

1 −1 3 −1
1 −2 4






Znale´

z´

c rzut ortogonalny wektora ~b =






1
2
3






∈ ~

na przestrze´

V ⊂ ~

, gdzie

(A) V = Lin(~a), ~a =






−2
−2






(B) V = {~

x ∈ ~

: ~a

x = 0}, ~a

= (2, −1, 5).

3. Niech A =








1 3
1 2
0 1
1 1








, ~b =








1
2
2
1








Znale´

z´

c min{k ~b − A~

x k: ~

x ∈ ~

4. Warto´sciom 1, 4, 8, 11 wielko´sci t odpowiadaj

a warto´sci 1, 2, 4, 5 wielko´sci

y. Znale´

z´

c m i c takie, ˙ze funkcja y = mt + c minimalizuje odchylenie kwa-

dratowe od obserwowanych pomiar´

ow.

5. Opisa´

c przestrze´

n V rozpi

a na wektorach








1
0
2
1















0
1
0

−1








jednorodnym uk ladem r´

owna´

n liniowych.

ZADANIA VI

1. Znale´

z´

c wyznacznik macierzy:








2 4 2 2
0 2 0 2
1 2 1 0
0 2 1 2















0 0 2 5
2 2 0 1
2 0 1 2
1 0 0 0















2 6 9 12
1 2 3

1 4 9 12
1 2 3















1 0 0 0
0 2 0 3
0 0 2 1
1 1 0 2















2 2 1 4
2 3 0 2
0 0 1 2
1 1 0 2








2. Niech

A =






2 0 1
4 1 0
0 1 2






B =






3 2 1
1 0 2
2 2 2






Znale´

z´

c det (A

−5

), det(B

−3

), oraz det ((A

)

−3

3. Dla danej macierzy A znale´

z´

c macierz stowarzyszon

a adj A, wyznacz-

nik det A i macierz odwrotn

a A

−1






2 1 1
4 1 0

−2 2 1






1 2
3 4






1 0 1
2 1 2
1 1 2











1 1 1
1 2 2
1 3 1











1 2 3
0 1 2
0 0 1






4. (A) Uzasadni´

c, ˙ze je´sli wszystkie wyrazy (3×3)-macierzy A s

a liczbami

ca lkowitymi, to wyznacznik det A jest liczb

a ca lkowit

(B) Uzasadni´

c, ˙ze je´sli wszystkie wyrazy (4 × 4)-macierzy A s

a liczbami

ca lkowitymi i det A = 1, to wszystkie wyrazy macierzy odwrotnej A

−1

liczbami ca lkowitymi.

ZADANIA VII.

W modelu Leontiewa dla trzech ga l

ezi gospodarki dana jest macierz

przep lyw´

ow mi

edzyga l

eziowych:








3 0 2

0 6 2

1 6 0








(a) O ile powinny wzrosn

a´

c produkcje globalne x

, je´sli produkty ko´

ncowe

maj

a wzrosn

a´

c o ∆d

= 0, ∆d

= 1, ∆d

= 3?

(b) O ile wzrosn

a produkty ko´

ncowe, je´sli produkcja globalna ka˙zdej ga l

ezi

podwoi si

2. W modelu Leontiewa dla trzech ga l

ezi gospodarki dana jest macierz

przep lyw´

ow mi

edzyga l

eziowych:








2 2 0

0 6 1

1 2 1








(a) Ustali´

c plan produkcji globalnej tak, aby pierwsza ga l

a´

z wytwarza la

produkt ko´

ncowy o warto´sci 2, druga – o warto´sci 3, a trzecia – o warto´sci 6.

(b) O ile wzrosn

a produkty ko´

ncowe, je´sli produkty globalne wzrosn

a o

∆x

= 1, ∆x

= 2?

ODPOWIEDZI I

1. (a) AB =

1 1
3 8

, BA =

−1 −3

, B(A + 3C) =

−4 −6

(b) X = A − 3B =

−2 −6

x =

−33
−17

2. (A + 2B) · (A + 2B) =

3 0
0 3

, B

1 0
0 1

, C

0 0
0 0

(AC + BC)C = (A + B)C

0 0
0 0

3. (a) CA =








15 20








(b) AB − BA =

−1 −1

x =

; C(B~

x) =








27
28
43
47








; CB =








7 12
5 14








(d) D~

y =








−1








4. (A − B)(A + B) = A

+ AB − BA − B

, wi

ec r´

ownanie nie jest na og´

o l

spe lnione ((2 × 2)-macierze A, B z zada´

n 1,2 i 3 pokazuj

a, ˙ze AB mo˙ze si

r´

o˙zni´

c od BA).

ODPOWIEDZI II

1. Posta´

c schodkowa macierzy nie jest wyznaczona jednoznacznie, niezmiene

a jedynie numery kolumn, w kt´

orych wyst

epuj

a kolejne schodki. Dla ma-

cierzy z (A) s

a to kolumny o numerach 1, 2; z (B) 1, 2; z (C) 1, 2, 3, 4; z (D)

1, 2, 4, 5; z (E) 1, 2, 4.

2. Zapis zbioru rozwi

aza´

n nie jest jednoznaczny, niezmiena jest liczba para-

metr´

ow (zmiennych niezale˙znych). Podane ni˙zej rozwi

azania s

a otrzymane

w wyniku zastosowania standardowej metody opisanej w tek´scie (przedsta-
wienie rozwiazania jako sumy wektor´

ow ma na celu u latwienie identyfikacji

poszczeg´

olnych element´

ow tego rozwi

azania).

(A) ~

x =











−3/2

−2

6
0











+ x











−1/2

1
0
0
0











+ x











3/4

0
1

−7/2











(B) ~

x =








1/2

0
0
0








+ x








3/2

1
0
0








+ x








−1/16

−11/8








3. Oba uk lady s

a niesprzeczne. Rozwi

azania r´

o˙zni

a si

e pierwszym sk ladnikiem,

kt´

ory zale˙zy od b

, b

(suma pozosta lych sk ladnik´

ow jest rozwi

azaniem

jednorodnego uk ladu r´

owna´

n).

(A) ~

x =











−1

0
0
1
0











+ x











−1

1
0
0
0











+ x











−1

0
1
0
0











(B) ~

x =











−4

0
0

5/2

−1











+ x











−1

1
0
0
0











+ x











−1

0
1
0
0











ODPOWIEDZI III

1. Wyb´

or bazy nie jest jednoznaczny, niezale˙zna od wyboru jest liczba wek-

tor´

ow bazy. Podane ni˙zej rozwi

azania s

a otrzymane w wyniku zastosowania

standardowej metody opisanej w tek´scie.

(A) Baza: ~a

, ~a

;

= ~a

+ ~a

= 3~a

− ~a

(B) Baza: ~a

, ~a

;

= 2~a

− ~a

= ~a

+ 5~a

− 5~a

, ~a

;

= 0~a

−

3
4

1
2

+ ~a

2. Wyb´

or bazy nie jest jednoznaczny, niezale˙zna od wyboru jest liczba wek-

tor´

ow bazy. Podane ni˙zej rozwi

azania s

a otrzymane w wyniku zastosowania

standardowej metody opisanej w tek´scie.

(A)








−1

0
1
0















−1

0
1








(B)











−3

1
0
0
0





















2
0
3

−3











3. (A)











−2

0
1
0
0





















−2

3/4

−1/2











;

inna odpowied´











−2

0
1
0
0





















−8

3
0

−2











(B) Wektor ~b w (ii) jest r´

o˙znic

a dw´

och ostatnich kolumn macierzy A,

ec bez redukcji do postaci schodkowej wida´

c, ˙ze uk lad jest niesprzeczny

(ma rozwi

azanie x

= x

= 0, x

= 1, x

= −1), a jego wszystkie

rozwi

azania mo˙zna zapisa´

c (jako sum

e tego rozwi

azania i dowolnego wektora

z N (A)) w postaci

(ii) ~

x =











0
0
0
1

−1











+ s











−2

0
1
0
0











+ t











−8

3
0

−2











W celu rozwi

azania (i) (oraz (ii), je´sli kto´s nie zauwa˙zy l opisanego wy˙zej

rozwi

azania) trzeba zredukowa´

c macierz A z dopisan

a kolumn

a wyraz´

ow wol-

nych ~b z (i) (oraz kolumn

a ~b z (ii)). Uk lad z (i) jest sprzeczny, a standardowe

rozwi

azanie uk ladu z (ii) (otrzymane jako suma rozwi

azania dla x

= x

= 0

i dowolnego wektora z N (A)) ma posta´

x =











−2

3/4

1/2











+ s











−2

0
1
0
0











+ t











−8

3
0

−2











ODPOWIEDZI IV

1. (A) A

−1

= 1/2








3 −1 −4 −2

−1

−1 −1

0 −2








(B) A nie jest odwracalna,

−1

= 1/5








4 −1 −1 −1

−1

4 −1 −1

−1 −1

4 −1

−1 −1 −1








(D) A

−1

= 1/6








−4 −2

2 −2

−2

2 −6

0 −2








2. W obu punktach mamy uk lad A~

x = ~b, przy czym macierz A jest odwra-

calna: w (A) mamy macierz z zadania 1(D), a w (B) z 1(C).

Dla ustalonego wektora ~b jedynym rozwi

azaniem jest wektor ~

x = A

−1

(dla ka˙zdego z punkt´

ow podane s

a dwa poprawne zapisy rozwi

azania).

(A) ~

x =

1
6








−4b

− 2b

+ 6b

+ 2b

− 2b

+ 0b

+ 2b

−2b

+ 2b

− 6b

+ b

+ 2b

+ 0b

− 2b








1
6















−4

−2








+ b








−2
−2

2
2








+ b








6
0

−6








+ b








2
2
1

−2















(B) ~

x =

1
5








− b

−b

+ 4b

− b

−b

− b

+ 4b

− b

−b

− b

+ 4b








1
5















−1
−1
−1








+ b








−1

−1
−1








+ b








−1
−1

−1








+ b








−1
−1
−1















3. A jest macierz

a odwracaln

a z zadania 1(C) wi

X = BA

−1

1
5






−3

2 2

−3 2 2

1 1






Y = A

−1

C =

1
5








−3

−1

−2 −1








4. Dodaj

ac do obu stron −

1
2

BX dostajemy AX −

1
2

BX = C, czyli (A −

1
2

B)X = C. Poniewa˙z A −

1
2

B jest odwracaln

a macierz

a z zadania 1(C),

mno˙z

ac z lewej strony przez (A −

1
2

−1

dostajemy X = (A −

1
2

−1

C, czyli

X =

1
5








−1 −1 −1

−1

−1 −1

−1

−1 −1 −1















a b
0 c
d 0

c 0








1
5








4a − d − c

4b − c

−a − d − c

−b + 4c

−a + 4d − c

−b − c

−a − d + 4c

−b − c








5. (A)

−1

−3

−1

(B) Mno˙z

ac drugie r´

ownanie z prawej strony przez A i odejmuj

ac stronami

pierwsze dostajemy XA = I

− A. Zatem

X = A

−1

− I

−4

−2

Y = 2A − I

1 4
4 5

6. A

−1






2 −1

−1 −1






−1






1 −1

1 −2

−1

2 −1






−1

= B

−1

)

−1

= B

−1

)






−1

3 −2

4 −6

−4

5 −2






ODPOWIEDZI V

1. (A) P (~b) =








−3

1
1








(B) P (~b) =

1
9








−8

18
11








2. (A) P (~b) =






−1

2
2






(B) P (~b) =

1
2






0
5
1






√

4. m =

12
29

c =

15
29

Warunek P (~

x) − ~

x = ~0 daje (po wymno˙zeniu obu stron przez 11) uk lad

r´

owna´

n Q~

x = ~0, gdzie

Q =








−9

1 −5

2 −5

2 −3

1 −5

2 −5








jest macierz

a rz

edu 2.

Wiersze Q mo˙zna interpretowa´

c jako wektory prostopad le do V . Ta obser-

wacja prowadzi do innej, bardziej bezpo´sredniej, metody znajdowania uk ladu
r´

owna´

n opisuj

acego V (zob. 5.4 (10)).

Wektory ~

u prostopad le do V spe lniaj

a dwa warunki: ~a

T
1

u = 0 i ~a

T
2

u = 0.

Rozwi

azuj

ac uk lad r´

owna´

1 0 2

0 1 0 −1

x =

0
0

dostajemy dwa liniowo niezale˙zne wektory ~

, ~

prostopad le do V . Dla

macierzy B = [~

, ~

]

−2 0 1 0
−1 1 0 1

jest macierz

a innego jednorodnego uk ladu r´

owna´

n, kt´

ory r´

ownie˙z opisuje V .

ODPOWIEDZI VI

1. Warto´sci wyznacznik´

ow: 4, −2, −24, 2, 2.

2. det A = 2

, det B = −6, wi

ec z formu ly Cauchy’ego dostajemy:

det (A

−5

) =

−2

det(B

−3

) =

−2

det ((A

)

−3

) =

3. Warto´sci wyznacznik´

ow: 8, −2, 1, −2, 1. Macierze stowarzyszone:






1 −1

−4

10 −6 −2






4 −2

−3






1 −1

−2

1 −1











−4

0 −1

1 −2











1 −2






−1

detA

adjA.

ODPOWIEDZI VII.

L =






0 −3

6 −3

−2 −6






−1

1
4






3 3

1 11 3
2

6 6






(a) ∆x

= 3, ∆x

= 5, ∆x

= 6.

(b) Podwoj

a si

2. L =

1
5






3 −1

2 −1

−1 −1






−1

1
4






4 1

1 12 3
2

4 6






(a) x

= 8, x

= 14, x

= 13.

(b) ∆d

2
5

, ∆d

= 0, ∆d

6
5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Psychologia Ogólna - skrypt dla studentów, UWM, oligorfenopedagogika, Rok I, Semestr I, Psychologia
Krajowa lista ndzk skrypt dla studentĂlw 01 2013
HISTORIA POWSZECHNA45 1992 skrypt dla studentow
Biologia skrypt dla studentów medycyny, Wrocław 2008(1)
SKRYPT DLA STUDENTÓW, ERGONOMIA
Godnosc wlasna a zachowanie skrypt dla studentow WSFiZ 2005
WSPTWP PEZ skrypt dla studentów
Górski Religie skrypt dla studentów
Andragogika skrypt dla studentów
TEOLOGIA MORALNA Skrypt dla studentow 2007 2008
Algebra zbiorów, Ściągi dla studentów, Matematyka
skrypt prorocy dla studentów, STARY TESTAMENT
Algebra zbiorów, Ściągi dla studentów, Matematyka
gruźlica dla studentów2

więcej podobnych podstron